发表机构
Max Planck Institute for Mathematics; Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Palakkad（马克斯·普朗克数学研究所; 印度理工学院帕拉卡德分校数学系）
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本文在广义黎曼猜想下，将给定原根的最小素数上界改进为对数三次方量级，并证明大筛法新变体，优于现有结果。
AI 中文摘要
对于不等于 $-1$ 或平方数的整数 $g$，我们研究使得 $g$ 模 $p_g$ 为原根的最小素数 $p_g$。我们证明，在广义黎曼猜想成立的假设下，所有满足 $|g|\in[N,2N]$ 的此类 $g$ 中，至多有 $O((\log N)^{2.44})$ 个例外满足 $p_g\leq(\log |g|)^{3.44}$。这可以直接与 Fan 和 Pollack 最近证明的均匀上界 $p_g\leq(\log |g|)^{19}$ 相比较。为获得我们的结果，我们证明了 Gallagher 大筛法的一个新变体，该变体可能具有独立的研究价值。除了我们的条件性结果外，我们还讨论了无条件成立的关于 $p_g$ 的其他“几乎所有”上界。
英文摘要
For an integer $g$ not equal to $-1$ or a square, we study the least prime $p_g$ such that $g$ is a primitive root modulo $p_g$. We show that, assuming the Generalised Riemann Hypothesis, all such $g$ with $|g|\in[N,2N]$ have $p_g\leq(\log |g|)^{3.44}$ with at most $O((\log N)^{2.44})$ exceptions. This can be directly compared to the uniform bound $p_g\leq(\log |g|)^{19}$ proven recently by Fan and Pollack. To obtain our result, we prove a new variant of Gallagher's larger sieve, which may be of independent interest. In addition to our conditional result, we discuss other ``almost all" bounds for $p_g$ that hold unconditionally.
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