Topological entropy of transitive dendrite maps
Vladimír Špitalský
我们证明了，每个枝晶满足的条件，它没有一个子树包含所有的自由弧承认传递，甚至确切Devaney混沌映射具有任意小的熵。这部分回答了Baldwin在2001年提出的一个问题。
We show that every dendrite satisfying the condition that no subtree of it contains all free arcs admits a transitive, even exactly Devaney chaotic map with arbitrarily small entropy. This gives a partial answer to a question of Baldwin from 2001.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Transitive dendrite map with zero entropy
[2019 - 04 - 15][2019 - 04 - 15]日\& Dynam。Sys.（2014）\textbf{34}，1897- 1913]在拓扑上弱混合但不混合的通用树突上构建了一个映射。我们修改了Hoehn-Stronon的例子，证明了存在一个拓扑熵为零的传递（甚至是弱混合）枝晶映射。这回答了Baldwin [Topology（2001）\textbf{40}，551- 569]的问题。
Transitive dendrite map with infinite decomposition ideal
根据Blokh在1984年的一个结果，树的每一个传递映射都具有相对规范性质，从而它具有有限分解理想、正熵和稠密周期点。本文构造了一个具有无限分解理想和唯一周期点的可迁枝晶映射。基本上，所构造的映射（相对于任何非原子不变测度）是并矢加法机的度量理论扩展。再加上Hoehn和Jupon在2013年的一个例子，这表明树突上的传递性比树上的传递性变化更大。
Mobius disjointness conjecture for local dendrite maps
我们证明了Möbius不相交性猜想对图映射和所有单调局部枝晶映射都成立。我们进一步证明了这也适用于某些类树突上的连续映射。此外，我们看到存在一个熵为零的传递枝晶映射，莫比乌斯不相交性成立。
The hyperspace ω(f) when f is a transitive dendrite mapping
本文研究紧度量空间上连续映射诱导的 omega 极限集超空间 ω(f) 的拓扑性质，证明其内部为空，并在传递树枝映射下给出全不连通性条件及 Wazewski 万有树枝上存在含弧反例。
On entropy of pure mixing maps on dendrites
研究构建了具有任意熵值的纯混合映射，表明树状物上的熵行为不同于图映射，低熵不必然意味着更强的混沌性。
Pointwise-recurrent dendrite maps
设D是一个枝晶，f：D-> D是一个连续映射.分别用E（D）和B（D）表示D的端点集和分支点集。我们证明了如果E（D）是可数的（分别为B（D）是离散的）则f是逐点常返的当且仅当f是逐点周期同胚（分别为D中的每个点\E（D）是周期性的）。
Equicontinuity of maps on dendrites
给定一个树突$X$和一个连续映射$f\colon X\to X$，我们证明了以下等价性：（i）$ω_f$是连续的，$\overline{\mathrm{Per}(f)}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}f^n(X)$ ;（ii）对于每个$x\in X$，$ω(x,f)=Ω(x,f)$;（iii）$f$是等度连续的.此外，我们提出了一些例子来说明我们的结果。
On conjugacy between natural extensions of 1-dimensional maps
证明了对任意非退化枝晶$D$，存在拓扑混合映射$F : D \to D$和$f : [0, 1] \to [0, 1]$，使得自然扩张（又称移位同胚）$σ_F$和$σ_f$是共轭的，从而相应的逆极限是同胚的.此外，映射$f$不依赖于枝晶$D$，并且可以被选择为使得逆极限$\underleftarrow{\lim} (D, F)$同胚于伪弧。结果推广到任何有限数量的树突。我们的工作的动机，但独立的，最近的结果，第一和第三作者的共轭Lozi和Hénon地图的自然扩张的树突地图。
Measures of maximal entropy for Markovian dynamics on the Gehman dendrite
研究盖曼枝状图上特定传递动力系统，通过引入马尔可夫映射，用可数马尔可夫图编码动力学，利用相关准则控制最大熵测度存在性，给出任意给定系统的两个马尔可夫扰动，一个有唯一最大熵测度，一个没有。
Li-Yorke chaos for dendrite maps with zero topological entropy and $ω$-limit sets
设$X$是一个端点集$E(X)$闭的树状映射，$f:~X \to X$是一个拓扑熵为零的连续映射.令$P(f)$是$f$的周期点的集合。证明了若$L$是$f$的无限$ω$ -极限集，则有$L\cap P(f)\subset E(X)^{\prime}$，其中$E(X)^{\prime}$是$E(X)$的所有聚集点的集合.此外，如果$E(X)$是可数的，而$L$是不可数的，则$L\cap P(f)=\emptyset$。我们还表明，如果$E(X)^{\prime}$是有限的，那么$f$的任何不可数的$ω$ -极限集有一个分解，因此，如果$f$有一个李约克对$(x,y)$与$ω\_f(x)$或$ω\_f(y)$是不可数的，那么$f$是李约克混沌。
Monotone Maps on dendrites and their induced maps
一个连续$X$是一个枝晶，如果它是局部连通的并且不包含简单闭曲线，$X$的一个自映射$f$是单调的，如果$X$的任何连通子集的原像是连通的.如果$X$是一个枝晶和$f:X\to X$是单调连续映射，那么我们证明了任何$ω$ -极限集近似的周期轨道和家庭的所有$ω$-极限集是封闭的Hausdorff度量。其次，我们证明了周期点集的闭包、正则回归点集与所有$ω$ -极限集的并之间的等式对于导出映射$\mathcal{F}_n(f):\mathcal{F}_n(X)\to \mathcal{F}_n(X)$和$\mathcal{T}_n(f):\mathcal{T}_n(X)\to \mathcal{T}_n(X)$成立，其中$\mathcal{F}_n(X)$表示$X$的至多有$n$点的有限子集族，$\mathcal{T}_n(X)$表示$X$的至多有$n$端点的子树族，$\mathcal{F}_n(f)=2^f_{\mid\mathcal{F}_n(X)}$，$\mathcal{T}_n(f)=2^f_{\mid\mathcal{T}_n(X)}$，特别地，对于这些映射没有Li-Yorke对。然而，我们将表明，这种刚性一般不表现出诱导映射$\mathcal{C}(f):\mathcal{C}(X)\to \mathcal{C}(X)$其中$\mathcal{C}(X)$表示家庭的子连…
A large class of dendrite maps for which Möbius disjointness property of Sarnak is fulfilled
我们证明，任何树突地图的端点集是封闭的，可数满足Sarnak莫比乌斯不相交。这推广了el Abdalaoui-Askri和Marzougui \cite{ela-GH}的一个结果。我们进一步注意到Smital-Ruelle性质可以推广到具有封闭和可数端点的树突类。
On absolute nonshadowability of transitive maps
研究了紧致度量空间中连续映射$f$的随机无穷伪轨的跟踪性质。对于传递映射和传递吸引子的情形，我们证明了一个二分法：要么$f$满足跟踪性质，要么随机伪轨线以概率0可跟踪。
Strongly topologically transitive, supermixing, and hypermixing maps on general topological spaces
本文研究一般拓扑空间中的强拓扑传递、supermixing 与 hypermixing 映射，给出其基本性质，并在连续性条件下建立进一步结果。
High dimensional robustly singular maps that are $C^1$ robustly transitive
我们通过展示一个包含所有已知例子的结构来改进以前的结果。给出了一类紧致流形上存在鲁棒可迁奇异映射的充分条件。
Transitive sensitive subsystems for interval maps
本文指出，对于连续区间映射，正的拓扑熵蕴涵着一个非空的闭不变子集的存在性，它是可迁的，对初始条件敏感，并蕴涵着Li-Yorke意义下的混沌，同时给出了例子说明这三个概念是不同的.
New classes of $C^1$ robustly transitive maps with persistent critical points
该研究构造了作用于二维环面和克莱因瓶的扩张自同态同伦类中，带持久临界点的新型$C^1$开集鲁棒传递映射实例，丰富了相关动力系统研究的案例库。
Contribution to the ergodic theory of robustly transitive maps
在这篇文章中，我们打算在没有边界的紧致流形M上的鲁棒传递局部仿射集RT的遍历性质的理解作出贡献。证明了存在RT的C^1剩余子集R_0，使得R_0中的任意f都有M的具有稠密预轨道的剩余子集。此外，一般地，在没有分裂的局部同态空间中，所有点都有稠密的预轨道，有无数个遍历扩展的不变测度，具有完全支持，并表现出指数衰减的相关性。特别地，这些结果对[Lizana-Pujals'12]中考虑的一类重要的鲁棒传递映射成立。
Topological entropy of compact subsystems of transitive real line maps
对于从实直线（半开区间$[0,1)$）到其自身的连续映射$f$，设ent（f）表示$f|_K$的拓扑熵的上确界，其中$K$遍历$\mathbb{R}$的所有紧$f$不变子集（分别为$[0,1)$）.证明了若$f$是拓扑传递的，则ent（f）的最佳下界是$\log\sqrt{3}$（分别为$\log 3$），但不能达到.这解决了C{á}novas [Dyn. \textbf{24}（2009），no.4，473- 483]。
A dichotomy for measures of maximal entropy near time-one maps of transitive Anosov flows
我们证明了紧致流形的传递Anosov流的时间1映射是由鲁棒地满足以下二分法的双同态积累的：要么所有的最大熵测度都是非双曲的，要么恰好有两个遍历的最大熵测度，一个具有正的中心指数，另一个具有负的中心指数。我们建立了这种二分法的某些部分双曲同构同位素的身份时，他们的强叶理是最小的。我们的证明是建立在马古利斯为Anosov流开发的方法上的，他在那里构建了合适的动态叶理措施的家庭。
Topological sequence entropy and topological dynamics of tree maps
证明了零拓扑熵连续树映射在其非游荡集和链递归集上总是显示零拓扑序列熵。此外，我们表明，类似的结果是不可能的，当相空间是一个枝晶，即使我们只考虑的周期点的集合上的限制。
Chain recurrence rates and topological entropy
我们研究了链递归映射、链传递映射和链混合映射的性质（非游荡映射、拓扑传递映射和拓扑混合映射的著名概念的推广）。我们描述了链传递映射的结构。这些递归的概念是使用$\ep$ -链定义的，这些$\ep$ -链的最小长度给出了一种测量递归时间（链递归和链混合时间）的方法。我们给出了这些递归时间的上界和下界，并将链混合时间与拓扑熵联系起来。
Equilibrium states for non-transitive random open and closed dynamical systems
本文针对非传递随机开、闭区间映射，证明了无传递性条件的随机Ruelle–Perron–Frobenius定理与相对平衡态存在性，拓展了相关理论适用范围并给出多类应用。
Continuous Transitive Maps on the Interval Revisited
本文重新讨论了区间$I$上的连续传递映射$f$，其中$I$表示以下区间之一：$(-\infty, \infty)$，$(-\infty, a]$，$[b, \infty)$，$[a, b]$，其中$a < b$是实数.这样的地图必须有一个固定的点，比如$z$，在$I$的内部。本文系统地证明了这类映射的一些性质：（1）$f$使某点$c \ne z$离开$z$，即，对于某个点$c \ne z$，我们有$f(c) \le c < z$或$z < c \le f(c)$ ;（2）$f$将某个点$\hat c \ne z$移向$z$，但不“移过”$z$，即，对于某个点$\hat c \ne z$，我们有$\hat c < f(\hat c) < z$或$z < f(\hat c) < \hat c$ ;以及（3）$f$将所有点$x \ne z$移动到$z$的另一侧，即，对于所有点$x \ne z$，我们有$x < z \le f(x)$和$f(x) \le x < z$。这些证明是以这样的方式安排的，即它们产生相同的结果。例如，定理3处理满足条件（1）或条件（2）的映射，而定理4分别处理满足条件（1）和条件（2）或（3）的映射。重新讨论了区间上连续双传递映射的特征，并引入了连续双传递映射的一个新的混沌性质（定理8，p.21）。在这个修正中，我们修正了推论9和定理8证明中的一些错误，并将附录移…
Robustly transitive maps of $\mathbb{T}^n$ with large dimensional central spaces
本文研究了具有临界点和大维中心空间的鲁棒传递映射，构造了在同伦类中具有持久临界点的 $C^1$ 映射，并探讨了其在小 $k$ 时的扰动性质。
Dimension groups for interval maps II: the transitive case
任何连续的、传递的、分段单调的映射在二元选择之前都是由它的维数模和相应的生成元有限序列决定的。维数模本身决定了任意可迁分段单调映射的拓扑熵，也决定了任意可迁单峰映射直到共轭。对于一个非本质内射的可迁分段单调映射，其对应的维数群是一个简单维数群的直和，每个维数群具有唯一的状态。
Quasi-graphs, zero entropy and measures with discrete spectrum
本文研究了拟图上映射的动力学，刻画了映射的不变测度。特别地，我们证明了拓扑熵为零的拟图映射的不变测度具有离散谱。此外，我们还得到了Llibre-Misiurewicz关于正拓扑熵与拓扑马蹄铁存在性的结果的类似结果.我们还研究了枝晶上的动力学，证明了如果枝晶上的一个连续映射的所有端点的集合是封闭的，并且只有200多个聚点，拓扑熵为零，则每个支持在轨道闭包上的不变测度都有离散谱.
Decay of correlations and laws of rare events for transitive random maps
我们证明了传递映射的一致连续随机扰动定义了一个非周期Harris链，它也满足Doeblin条件。其结果是，我们得到的指数衰减的相关性适当的随机扰动这样的系统。我们还证明了，对于传递映射，极限分布的极值法律（EVLs）和命中/返回时间统计（HTS/RTS）是标准指数。此外，我们还证明了稀有事件点过程（REPP）按分布收敛于一个标准的泊松过程。
The topological structure of function space of transitive maps
设$C(\mathbf I)$是${\mathbf I}=[0,1]$中所有具有一致收敛拓扑的连续自映射的集合.一个映射$f\in C({\mathbf I})$称为传递映射，如果对于$\mathbf{I}$中的每对非空开集$U,V$，存在一个正整数$n$使得$U\cap f^{-n}(V)\not=\emptyset.$我们记$T(\mathbf{I})$和$\overline{T(\mathbf{I})}$为空间$C(\mathbf I)$中所有传递映射及其闭包的集合.本文证明了$T(\mathbf{I})$和$\overline{T(\mathbf{I})}$同胚于可分Hilbert空间$\ell_2$ .
Sensitivity and transitivity for the induced maps on symmetric product suspensions of a topological space
该文研究拓扑空间的$n$重对称乘积及其悬链上的诱导映射，分析原映射与两类诱导映射在十余种动力学性质类中的等价关系，改进并拓展了相关已有结果。
Topological entropy, sets of periods and transitivity for graph maps
传递性、周期点的存在性和正的拓扑熵可以用来刻画动力系统的复杂性。已知对于非树图，对每一个$\varepsilon>0,$，存在（复杂的）全传递映射（然后具有上有限周期集）使得拓扑熵小于$\varepsilon$（简单性）.首先，我们将通过三个例子来证明，对于任何不是树的图，可以构造完全传递（因此是鲁棒复杂的）的相对简单的映射（具有小熵），使得周期集也相对简单。为了在数值上测量周期集合的复杂性，我们引入了$\textit{boundary of cofiniteness}$的概念。越大的有限性边界意味着越简单的周期集。借助上有限性边界的概念，我们可以准确地说明将熵简单性结果扩展到周期集的含义：$\textit{there exist relatively simple maps such that the boundary of cofiniteness is arbitrarily large (simplicity) which are totally transitive (and hence robustly complicate)}$。此外，我们将证明，上述陈述适用于任意连续度的一圈映射。
Spectral decomposition and entropy for open set-valued maps
本文针对图为开集、单点像为开连通集的集值映射，在已有最终回归集研究基础上引入传递性与混合性拓展框架，证明其有无穷拓扑熵并建立其与传递Anosov微分同胚的联系。
Irregular sets for piecewise monotonic maps
对任意传递的分段单调映射，若其周期测度集在遍历不变测度集中稠密（如单调模1变换和具有两个单调段的分段单调映射），证明了不存在连续函数的Birkhoff平均的点集（称为非正则集）要么为空，要么具有全拓扑熵.推广了$β$ -变换的非正则集的Thompson定理，并将传递分段单调映射的非正则集的完整描述归结为周期测度的稠密性的Hofbauer-Raith问题.
Topological obstructions for robustly transitive endomorphisms on surfaces
讨论了曲面上鲁棒可迁映射存在的必要条件和拓扑障碍问题。具体地说，我们表明，部分双曲性是一个必要条件，以有$C^1$鲁棒传递自同态与表面上的临界点，和唯一的表面，承认鲁棒传递映射要么环面或克莱因瓶。此外，我们还证明了每个鲁棒传递自同态同伦于一个线性映射，该映射至少有一个模大于1的特征值。
Conjugacy in the Cantor Set Automorphism Group
我们调查，并扩大，同胚群$H(X)$的伴随作用的满射连续映射空间，$C_s(X)$，其中$X$是一个康托尔集的结果。我们还研究了对$C_s(X)$的各种动态定义的子集的动作的限制，G.拓扑传递映射，链传递映射，链混合映射等的集合。在每种情况下，我们考虑是否存在具有稠密共轭类的元素，如果存在，一般元素是什么样子的。
Statistical Stability for Barge-Martin attractors derived from tent maps
设$\{f_t\}_{t\in(1,2]}$是斜率$t$的核心帐篷映射族。参数化的Barge-Martin构造产生一族圆盘同胚$Φ_t\colon D^2\to D^2$，具有传递全局吸引子$Λ_t$，在该全局吸引子上$Φ_t$与$f_t$的自然扩张拓扑共轭. $f_t$的绝对连续不变测度的唯一族导出了一族遍历的$Φ_t$ -不变测度$ν_t$，它支持在吸引子$Λ_t$上.我们表明，这个家庭$ν_t$弱连续变化，和措施$ν_t$是物理的背景Oxtoby-Ulam措施$ρ_t$弱连续变化的家庭。对于传递球面同胚族$χ_t\colon S^2\to S^2$也得到了类似的结果，在[17]中作为$f_t$的自然扩张的因子构造。
On the omega-limit sets of tent maps
对于紧致度量空间（X，d）上的连续映射f，X的子集D是内链传递的，如果对D中的每个x和y以及每个delta > 0，存在点列{x= x_0，x_1，.，x_n=y}，使得d（f（x_i），x_{i+1}）< delta，i= 0，1，.，n-1。众所周知，每一个Ω-极限集都是内链传递的;在早期的工作中证明了，对于X是有限型的移位，X的闭子集D是内链传递的当且仅当D是X中某点的Ω-极限集，并且对于斜率等于2的帐篷映射也是如此。本文证明了对于临界点c=1/2是周期的帐篷映射，每个闭的内链传递集必是Ω-极限集.进一步证明了至少存在可数个具有非递归临界点的帐篷映射，且该帐篷映射存在一个非Ω极限的闭内链传递集.总之，这些结果使我们猜想，对于那些有阴影（或伪轨道跟踪）的帐篷映射，欧米茄极限集正是那些具有内部链传递性的集合。
Robust transitivity for endomorphisms admitting critical points
我们解决的问题，给充要条件，充分条件，以便有鲁棒传递自同态接纳持久临界集。我们展示了不同类型的开放例子的鲁棒传递映射在任何同位素类的自同态作用于二维环面承认持久临界点。我们还提供了一些必要条件的鲁棒传递在这种设置。
A uniqueness theorem for transitive Anosov flows obtained by gluing hyperbolic plugs
本文证明了通过粘合 hyperbolic plugs 构建的传递 Anosov 流的轨道等价类与粘合映射的精确选择无关，其唯一性结果基于一种编码程序并遵循 T. Barbot 引入的策略。
Entropy Density of Ergodic Nonadapted Measures for Markov Interval Maps
本文研究了马尔可夫区间映射中非适应ergodic测度的熵密度性质，证明其在特定度量下为余集且在多数情况下路径连通。
Unique ergodicity of circle and interval exchange transformations with flips
研究了定义在单位圆上的带翻转的可迁交换映射的存在性。本文对定义在n个子区间上的单位圆是否存在传递交换映射的问题给出了一个完整的答案。
Dynamics of continuous maps induced on the space of probability measures
对于紧区间$I$上的连续自映射$f$和概率测度空间$\mathcal{M}(I)$上的诱导映射$\hat f$，得到了$(I,f)$传递的一个严格条件当且仅当$(\mathcal{M}(I),\hat f)$传递.我们还表明，$(I,f)$的灵敏度相当于$(\mathcal{M}(I),\hat f)$。证明了对于任意传递系统$(I,f)$，$(\mathcal{M}(I),\hat f)$必有无穷大的拓扑熵，同时存在传递非自治系统$(I,f_{0,\infty})$使得$(\mathcal{M}(I),\hat f_{0,\infty})$的拓扑熵为零，其中$f_{0,\infty}=\{f_n\}_{n=0}^\infty$是$I$上的连续自映射序列.对于一般紧度量空间$X$上的连续自映射$f$，证明了$(X, f)$的链传递性蕴涵着$(\mathcal{M}(X),\hat f)$的链混合，并给出了两个反例证明了相反的结论.我们确认，阴影的$(X,f)$是不继承的$(\mathcal{M}(X),\hat f)$一般。对于非自治系统$(X,f_{0,\infty})$，证明了：如果$(\mathcal{M}(X),\hat{f}_{0,\infty})$是$n$阶的弱混合，则$(X,f_{0,\infty})$对任何$n\geq2$都是弱混合;存在$(X,f_{0,\inft…
Rigidity and Flexibility of Polynomial Entropy
我们引入的概念，单向马蹄铁和显示，多项式熵的区间映射是由单向马蹄迭代的地图，获得在这样一种方式的类似Misiurewicz定理的拓扑熵和标准的“双向”马蹄。此外，如果映射是Sharkovskii型1，那么它的多项式熵也可以通过我们所谓的本质区间链来计算。由此得到一个刚性结果：如果区间映射的多项式熵是有限的，则它是整数。我们还描述了多项式熵的所有Sharkovskii类型的地图的可能值。作为应用，我们计算了Logistic映射族中所有映射的多项式熵。另一方面，我们证明了在所有连续统类中，连续映射的多项式熵是非常灵活的。对于每一个值$α\in [0,\infty]$，在具有多项式熵$α$的连续统上存在同胚。我们还讨论了可能的值的多项式熵的连续映射的树突。
Non-robustly intermingled basins for perturbations of time-one map of Anosov flows
研究了传递Anosov流的时一映射的扰动。我们表明，大多数扰动没有混合盆地的双曲物理措施。
Invariance of entropy for maps isotopic to Anosov
研究同痕于Anosov的映射的熵不变性，证明具有简单中心丛、诱导作用双曲的部分双曲微分同胚的拓扑熵恒定，无简单性条件时构造出鲁棒传递反例。
Transitivities of maps of generalized topological spaces
本文研究了广义拓扑空间中自映射的传递性性质，提出准μ-孤立点概念，并在无准μ-孤立点情况下建立了轨道传递性与ω-传递性的等价关系。
Dynamical consequences of a free interval: minimality, transitivity, mixing and topological entropy
研究了包含自由区间的紧致可度量化空间上连续映射的动力学（即，同胚于开区间的开子集）。特别注意拓扑传递性、弱和强拓扑混合、稠密周期性和拓扑熵之间的关系以及极小集的拓扑结构。特别地，证明了极小集的一个二分性和传递映射的一个二分性。
Entropy and exact Devaney chaos on totally regular continua
研究了完全正则连续域上，即（拓扑上）可求长曲线上的恰Devaney混沌映射的拓扑熵。在引入所谓的P-Lipschitz映射（其中P是有限不变集）之后，我们给出了它们的拓扑熵的一个上界。证明了：如果非退化全正则连续统X包含一个不断开X的自由弧，或者X包含任意大的广义星，则X存在一个具有任意小熵的正Devaney混沌映射.指出了传递/Devaney混沌映射的拓扑熵的最佳下界的进一步研究的一个可能应用。
Phase transitions for transitive local diffeomorphism with break points on the circle and Holder continuous potentials
本文研究了具有圈上断点的传递局部微分同胚在Hölder连续势函数下的相变行为，证明了Hölder连续势函数最多有两个相变，并给出了谱间隙性质的稠密集及多标度分析应用。
The Conditional Variational Principle for Maps with the Pseudo-orbit Tracing Property
设$(X,d,f)$是一个拓扑动力系统，其中$(X,d)$是一个紧度量空间，$f:X\to X$是一个连续映射.我们定义$x\in X$的$n$有序经验测度为\begin{align*} \mathscr{E}_n(x)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}δ_{f^ix}, \end{align*}，其中$δ_y$是$y$处的狄拉克质量.用$V(x)$表示测度序列$\mathscr{E}_n(x).$的极限测度集本文得到了具有伪轨跟踪性质的传递动力系统中\begin{align*} Δ_{sub}(I)=\left\{x\in X:V(x)\subset I\right\}, \end{align*}和\begin{align*} Δ_{cap}(I)=\left\{x\in X:V(x)\cap I\neq\emptyset \right\}. \end{align*}的拓扑熵的条件变分原理，其中$I$是$\mathscr M_{\rm inv}(X,f)$的某个子集.
Topological horseshoes for surface homeomorphisms
在这项工作中，我们开发了一个新的标准存在的拓扑马蹄形的表面同胚的同伦类的身份。基于我们以前的工作强迫理论，这个新的标准是纯粹的拓扑，可以表示在等变布劳威尔叶理和横向轨迹。然后，我们应用这个新的工具在研究的动力学同胚的曲面与零亏格和零拓扑熵，我们得到了一些应用。对于同胚的开环$\mathbb{A}$与零拓扑熵，我们证明了旋转数存在的所有点的非空Ω限制，如果$\mathbb{A}$是一个广义区域的不稳定，那么它承认一个单一的旋转向量。我们还提供了一个新的证明Passegi，Potrie和Sambarino最近的结果，表明零熵耗散同胚的环作为一个矢量圆有一个单一的旋转数。我们的工作也研究了无马蹄球的同胚。对于这些映射，我们提出了一个结构定理的不动点自由不变子环，以及一个非常有限的描述所有可能的动力学行为的传递子集。这种描述确保了，例如，传递集可以包含最多$2$不同的周期轨道，并且在许多情况下，对传递集的同胚的限制必须是里程表的扩展。特别是，我们证明了任何非平凡的和稳定的传递子集的一个耗散的平面同构总是无限重正化的Bonatti-Gambaudo-Lion-Tresser的意义。
Topological Entropy on Points without Physical-like Behaviour
研究了紧致流形$M$上一类具有支配分裂的渐近熵扩张$C^1$同态，满足规范性质.这个类包括，特别是，传递Anosov同构和传递Anosov流的时间1映射。我们考虑吸引勒贝格-几乎所有轨道的经验概率（即时间平均值）的类物理测度的非空集合。我们定义的集合$I_f \cap Γ_f \subset M$不规则点没有物理的行为。证明了如果$f$的不变测度不满足Pesin熵公式（例如Anosov情形），则$I_f \cap Γ_f$具有全拓扑熵.对于紧致度量空间上的一类渐近熵扩张连续映射，如果类物理测度集是关于某个连续势的平衡态，我们也得到了这个结果.最后，我们证明了没有物理行为的正则点的集合$(M \setminus I_f) \cap Γ_f$也具有完全的拓扑熵。
Tameness of actions on finite rank median algebras
本文研究有限秩中位代数中映射族的独立数与秩的关系，结合罗森塔尔二元性，推广了Helly选择原理，并应用于拓扑群在紧致有限秩中位代数上的连续作用。
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