A comparison theorem for the isoperimetric profile under curve shortening flow
我们证明了一个比较定理的简单闭曲线的等周轮廓演变的归一化曲线缩短流：如果由初始曲线包围的区域的等周轮廓是大于，一些“模型”凸区域正好有四个顶点，并在两个轴上的反射对称，然后不等式仍然为真的演变区域的等周轮廓。我们应用此使用的Angenent的解决方案作为模型区域推导出尖锐的时间依赖的曲率上界任意嵌入闭曲线演变的归一化曲线缩短流。一个稍微不同的比较也给出了曲率的下界，其结果是格雷森定理的一个简单而直接的证明，而不使用任何爆破或紧性参数，Harnack估计，或自相似解的分类。
2011-04-05 math.AP math.DG
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds
设M是一个闭的定向三元流形，其素分解不含非球面因子。我们表明，对于任何初始黎曼度量M的解决方案，里奇流与手术，定义在我们以前的论文数学。DG/0303109，成为灭绝有限时间。证明使用了理查德·汉密尔顿1999年论文中的最小圆盘论证，以及Altschlaughter和Grayson提出的曲线缩短流的正则化。
2003-07-17 math.DG
Compact curve shortening flow solutions out of non compact curve
我们构造了一个弹弓，这是一个紧凑的，嵌入式的解决方案，曲线缩短流出来的非紧曲线，并存在于有限的时间。
2023-03-30 math.DG
Legendrian curve shortening flow in $\mathbb{R}^{3}$
受$\mathbb{R}^{3}$中Legendrian曲线缩短流的启发，研究了平面8字形曲线的曲线缩短流。我们证明了，在一定的对称性和曲率条件下，一个8字形曲线将收缩到一个点在第一个奇异时间。
2015-08-05 math.DG
Self-similar curve shortening flow in hyperbolic 2-space
在标准双曲2-空间中找到了曲线缩短流的自相似解并进行了分类。再加上Halldórsson在平面上的曲线缩短流以及Santos dos Reis和Tenenblat在2-球面上的工作，这完成了2维常曲率模型空间中自相似曲线缩短流的分类。
2021-02-21 math.DG
Classification of Convex Ancient Solutions to Free Boundary Curve Shortening Flow in Convex Domains
本研究针对一般有界凸区域上的自由边界凸古老曲线缩短流开展分类工作，完成了对应解的分类，为曲线缩短流领域的古老解研究提供了相关结果。
2024-04-12 math.DG
Classification of convex ancient free boundary curve shortening flows in the disc
本文分类了圆盘内边界在圆上的凸古曲线缩短流，解决了该几何流的全局分类问题。
2021-11-11 math.DG
Ancient solutions to the Curve Shortening Flow spanning the halfplane
本文构造了一个跨越半平面的曲线缩短流的古解的无穷族。
2020-11-16 math.DG
Self-similar solutions to the curve shortening flow
给出了平面曲线缩短流的自相似解的分类。
2012-12-14 math.DG
On asymptotically conical curve shortening flows with convex projections
University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
研究三维空间中具有凸投影的渐近锥形曲线在曲线缩短流下的长期演化行为。
2026-09-24 math.DG
Ancient Solutions to Curve Shortening with Finite Total Curvature
我们构造古老的解决方案，曲线缩短在平面上的全曲率是一致有界的任意链的给定的死神沿其共同的渐近线粘合在一起。
2018-03-04 math.DG
Geometric aspects of the curve shortening flow in the hyperbolic plane
Faculty of Economics and Business. University of Zagreb（萨格勒布大学经济与商业学院）；Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada（格拉纳达大学几何与拓扑系）
本文研究了双曲平面中曲线缩短流的翻译概念，解决了曲线缩短流方程，并探讨了古早凸解的曲率函数分离变量情况下的解法，以及闭古早解的面积估计。
2026-05-13 math.DG
Immortal Curve Shortening Flow on Analytic Surfaces
Rutgers University（罗格斯大学）
本文证明在闭可定向实解析黎曼曲面上，任何光滑浸入的闭不朽曲线缩短流均收敛至唯一的非常数闭测地线。
2026-09-10 math.DG
Convex ancient solutions to curve shortening flow
我们证明了曲线缩短流的唯一凸古代解是静止线，收缩圆，死神和原始椭圆，完成了Daskalopoulos，Hamilton和Sesum和X发起的分类。J. Wang
2019-03-05 math.DG
The curve shortening flow in the metric-affine plane
首次研究了度量-仿射平面上的曲线缩短流，证明了在简单几何条件下，曲线缩短流在有限时间内将闭凸曲线缩短为一个“圆点”。这推广了M.盖奇和R.S.关于欧氏平面上凸曲线的Hamilton定理。
2020-03-23 math.DG
Stability of the Shrinking Semi-Circle Under the Free Boundary Curve Shortening Flow
University of Tennessee（田纳西大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
研究了自由边界曲线缩短流在二维凸域中收敛到圆半点的稳定性及收敛速率。
2026-03-06 math.DG
Curve shortening flows in warped product manifolds
研究了两类曲积流形中的曲线缩短流。这些流形是具有两种类型的翘曲度量的$S^1\times N$，其中$S^1$是$R^2$中的单位圆，而$N$是封闭的黎曼流形。若初始曲线是$S^1$上的图，则其曲线缩短流始终存在，并最终收敛于测地线闭曲线.
2017-01-21 math.DG
Affine Self-similar solutions of the affine curve shortening flow I: The degenerate case
本文考虑欧氏平面上仿射曲线缩短流的仿射自相似解。我们得到了所有仿射自相似解的方程，直到仿射变换，并解决了方程或退化的情况下的解决方案的描述。找到了仿射曲线缩短流的一些新的特解。
2017-11-24 math.DG
Convex Ancient Solutions to Anisotropic Curve Shortening Flow
本文构造了各向异性曲线缩短流的平移解和紧致古老解，并证明在给定各向异性因子、方向、速度及带状宽度条件下，这些解是唯一的。
2023-09-01 math.DG
Contracting Convex Immersed Closed Plane Curves with Slow Speed of Curvature
研究了凸浸入平面曲线以速度（1/α）k^{α}的收缩，其中α在（0，1]中为常数，并证明了如果曲率的爆破率为1型，则它将收敛到位似自相似解.我们还讨论了第二型爆破的一种特殊对称情形，并证明了它收敛于平移自相似解。在曲线缩短流的情况下（即，当α=1时），这种平移自相似解是熟悉的“死神”（M. Grayson [GR]）。
2010-09-24 math.DG
Harnack inequalities for the curve shortening flow
我们提供了一个算法的方法来确定Harnack量的曲线缩短流，我们展示了如何，按照这个过程，可以得到汉密尔顿的Harnack不等式，这个流$κ_t + \frac{1}{2t}κ\geq \frac{κ_s^2}κ$，其中$κ$是曲率的曲线变形的流量。
2015-11-01 math.DG
A Short Note on Contracting Self-Similar Solutions of the Curve Shortening Flow
通过曲线缩短流，唯一封闭的嵌入收缩自相似解是圆：我们给出了一个非常简短和直观的几何证明这个基本的和经典的结果使用的Gage的想法。
2015-06-30 math.DG
Shrinkers of the area-preserving curve-shortening flow: Classification and saddle-point property
Goethe-Universität Frankfurt am Main（法兰克福歌德大学）
本文研究面积保持曲线缩短流的收缩器存在性及鞍点性质，通过λ曲线理论证明非圆形收缩器的存在，并提出类似Abresch-Langer分类的分类方案。
2026-11-06 math.DG
Rotational Solitons for the Curve Shortening Flow on Revolution Surfaces
该研究刻画了三维欧氏空间中旋转曲面上曲线缩短流的旋转孤子，并证明这类开曲线的两端渐近于平行测地线，完善了相关几何流的孤子理论。
2023-10-04 math.DG
On bounds of entropy and total curvature for ancient curve shortening flows
全曲率和熵的界是中曲率流的两个常见条件。我们证明了这两个假设对于一类古代完全嵌入光滑平面曲线缩短流是等价的，这类流是一维中曲率流。作为应用，我们给出了嵌入在$\mathbb{R}^2$中的具有有限熵的古光滑完备非紧曲线缩短流在无穷远处切流唯一性的一个简短证明。
2024-10-02 math.DG
Convergence of Curve Shortening Flow to Translating Soliton
研究了嵌入$\mathbb{R}^2$中的完备非紧凸曲线在指数$α>\frac12$的$α$ -曲线缩短流下的渐近性态.我们证明，任何这样的曲线，其两端都渐近于两条平行线，在$α$曲线缩短流下收敛到唯一的平移孤立子，其两端渐近于相同的平行线。这是一个新的结果，即使在标准情况下$α=1$，我们证明了所有指数的临界情况$α>\frac12$。
2018-07-29 math.DG
Curve shortening and the topology of closed geodesics on surfaces
我们研究紧致曲面M^2上测地线的“平结型”。对于每一个平坦纽结类型和任意黎曼度量g，我们引入一个与M^2上浸入曲线空间上的曲线缩短流相关联的康利指标。我们的结论是存在的闭测地线规定的平结类型，提供相关的康利指数是非平凡的。
2007-05-21 math.DG
Singularities of Curve Shortening Flow with Convex Projections
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
研究证明了在R^n中具有单射凸投影到某个2平面的光滑闭合浸入曲线在曲线缩短流下会产生I型奇点并渐近趋于圆形，同时证明了在R^n中曲线缩短流下的Huisken猜想的类比形式，即任何光滑闭合浸入曲线可通过光滑扰动转化为在R^{n+2}中收缩至圆点的闭合浸入曲线。
2026-05-21 math.DG
Nonplanar ancient curve shortening flows in $\mathbb{R}^3$ from grim reapers
本文通过组合位于垂直平面上的平移 grim reapers，构造了 $\mathbb{R}^3$ 中曲线缩短流的新的非平面古老（永恒）解。
2023-06-28 math.DG
Curve shortening flows on rotational surfaces generated by monotone convex functions
本文研究了$\mathbb{R}^3$中旋转曲面上的曲线缩短流。我们假设曲面具有负的高斯曲率，并且与高斯曲率和嵌入曲线曲率有关的条件在曲面上成立。在这些假设下，我们证明了曲线仍然是一个图形的平行的旋转表面沿流动。证明了该流的比较原理和长期存在性。
2022-03-01 math.DG
A note on self-similar solutions of the curve shortening flow
本文给出了曲线缩短流的自收缩和自膨胀解的另一种方法，这些解与中曲率流的奇异性形成有关。自相似解决方案的动机来自自然面积保持重新缩放。此外，我们描述了一个简单的常微分方程的自相似的解决方案，并给出了另一种证明，他们躺在飞机。
2015-11-11 math.DG
Sharp Entropy Bounds for Plane Curves and Dynamics of the Curve Shortening Flow
我们证明了一个封闭的浸入平面曲线的全曲率$2πm$的熵至少$m$倍的嵌入圆的熵，只要它产生的曲线缩短流（CSF）下的I型奇点。我们构造了全曲率$2πm$的封闭浸入平面曲线，其熵小于$m$乘以嵌入圆的熵。作为一个应用程序，我们扩展了Colding-Minicozzi的概念，一个通用的中曲率流封闭浸没平面曲线通过构建一个分段CSF，其唯一的奇点是嵌入的圆和II型奇点。
2020-12-25 math.DG
Soliton Solutions to the Curve Shortening Flow on the 2-dimensional hyperbolic plane
证明了曲线是曲线缩短流的孤子解的充要条件是曲线的测地曲率可以表示为曲线的切向量场与三维Minkowski空间的一个固定向量的内积.我们使用这个特性提供了一个定性的研究孤子。我们证明了在二维双曲空间上，对于每个固定向量，曲线缩短流都存在一个双参数孤子解族。此外，我们证明了每个孤立子定义在整条实直线上，它是嵌入的，并且它的测地曲率在每一端收敛于一个常数。
2021-01-29 math.DG
The curve shortening flow with parallel 1-form
设$M$是具有平行1-形式$Ω$的闭黎曼流形.证明了$M$中曲线缩短流的两个定理。一个是$M$中的{ \csf } $\ct$对于$[0, \infty)$中的所有$t$都存在，如果它满足初始曲线$\co$上的$Ω(T)\geq 0$。这里$T$是$\co$上的单位切向量。另一个是关于融合。它说，在一个封闭的{ \Rm } $\tilde{M}$中，假设曲线缩短流$\ct$对所有$t\in[0,\infty)$都存在，并且它的长度收敛到一个正极限，那么$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}max_{\ct}|\nabla^{m}A|^{2}=0$对所有$m=0,1,...$。这里$A$表示$\tilde{M}$中的$\ct$的第二基本形式。
2012-12-26 math.DG
Sharp distance comparison for curve shortening flow on the round sphere
该研究证明了球面上曲线缩短流的精确弦弧改进性质，由此得到曲率控制，进而直接证明简单球面曲线的两种演化结局，完善了球面曲线缩短流的相关结论。
2023-10-04 math.DG
A distance comparison principle for curve shortening flow with free boundary
本文通过引入反射弦弧剖面并建立弦弧估计，证明了凸平面区域中嵌入自由边界曲线缩短流要么无限时间收敛到唯一临界弦，要么有限时间收缩为边界上的圆形半点。
2023-09-20 math.DG
A Condition Ensuring Spatial Curves Develop Type-II Singularities Under Curve Shortening Flow
我们提供了一个条件的空间曲线，排除了发展的I型奇点。条件是，在最后一次出现拐点之后，如果挠率处处非负，则曲线不能出现I型奇点。
2015-12-16 math.DG
Curve Shortening Flow in a Riemannian Manifold
本文系统地研究了闭或非紧完备局部黎曼对称流形中曲线缩短流的长时间行为。假设我们有一个全球流动。然后我们可以展示出一个极限，对于这个流的全局行为。特别是，我们显示了以下结果。1）。设$\mathbf{M}$是紧致局部对称空间。如果曲线缩短流存在于无限时间，并且$$ \lim_{t\to\infty}L(γ_{t})>0, $$则对于每个$n>0$，$$ \lim_{t\to \infty}\sup(|\frac{D^{n}T}{\partial s^{n}}|)=0. $$特别地，极限曲线存在并且是$\mathbf{M}$中的闭测地线。2）。由于$γ_{0}$是一个斜坡，我们有一个整体流和流收敛到一个测地线在$C^{\infty}$范数。
2003-12-26 math.DG
Solitons for the inverse curve shortening flow on the hyperbolic plane
Faculty of Economics；Business. University of Zagreb
本文研究双曲面上的逆曲线缩短流，分类了所有与双曲面的抛物线性和共形向量场相关的孤立子，并证明抛物线性孤立子在y轴上为图，共形孤立子在x轴上为图，分析了这些孤立子的凹性和接近坐标轴的行为。
2026-11-06 math.DG
Solitons of discrete curve shortening
对于欧几里得空间中的多边形，我们考虑通过两次应用中点多边形构造并使用索引移位而获得的变换T。对于闭合多边形，这是一个曲线缩短过程。一个多边形称为变换T的（仿射）孤子，如果它在T下的像是多边形的仿射像。我们描述了一大类孤子考虑平滑曲线，这是解决方案的线性系的微分方程的二阶常系数。作为例子，我们得到了位于螺旋曲线上的孤子，它们在变换T下旋转和收缩。
2016-06-20 math.DG
The curve shortening problem associated to a density
在密度为$e^ψ$的$\mathbb{R}^n$中，我们研究了与超曲面的密度相关的中曲率流（$ψ$ -中曲率流或$ψ$ MCF）.主要结果涉及的描述下$ψ$ MCF的一个封闭的嵌入曲线在平面上的径向密度，并与陈述的次收敛到一个$ψ$ -最小闭曲线的表面在某些一般情况下。
2015-03-09 math.DG
The curve shortening flow with density of a spherical curve in codimension two
本文系统地研究了密度为$(M^3_w,\:g_w,\:ξ)$的三维旋转对称空间中球面曲线的密度中曲率流，其中密度$ξ$分解为径向部分$φ$和角向部分$ψ$ .我们分析如何无论是抛物线或双曲线的$(M^3_w,\:g_w)$条件的流动的行为时，解决方案走向无穷大。
2019-08-20 math.DG
Uniqueness of tangent flows at infinity for finite-entropy shortening curves
本文证明了有限熵古代曲线缩短流在无穷远处切流的唯一性，并通过重标度流的指数收敛及对尖端、顶点、拐点和图形半径增长率的精确刻画，排除了收缩圆、静态直线、回形针和平移冷酷收割者等例外情形。
2024-06-08 math.DG
Type I singularities in the curve shortening flow associated to a density
我们定义了与密度$ψ$（$ψ$ MCF）相关的中曲率流的I型奇点，并描述了这些奇点在奇异时刻的爆破。特别注意的情况下，奇异性来自的$ψ$ -曲率的一部分，由于密度。我们描述了一个家庭的曲线，其演变下$ψ$ MCF（在黎曼曲面的非负曲率与密度是奇异的测地线的表面）只产生I型奇点和研究其爆破的限制。
2016-07-28 math.DG
Which shapes can appear in a Curve Shortening Flow Singularity?
本文研究平面曲线缩短流奇点中可能出现的缠结，提出 n-环曲线并猜想其渐近收敛于挤压蝴蝶结，通过形式分析和数值模拟提供支持。
2024-03-14 math.AP math.DG
Classification of ancient finite-entropy curve shortening flows
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；University of Granada（格拉纳达大学）；National Central University（中央大学）；UC Irvine（加州大学尔湾分校）
本文分类了古代有限熵曲线缩短流，证明其只能是静态直线、收缩圆、纸夹、平移型 grim reaper 或图形古代 trombone，并指出紧致流为凸，非紧致流为静态直线或完整图。
2026-03-10 math.DG
Non-uniqueness of curve shortening flow
我们提出了一个关于对称曲面上真曲线的曲线缩短流的唯一性猜想，并给出了一个平面上非平坦度量的例子，证明了曲线缩短流不唯一.也就是说，相对于一个适当选择的度量，我们构造了一个非静态的解决方案，从一个适当嵌入的测地线曲线缩短流。
2022-05-06 math.AP math.DG
Ancient curve shortening flow in the disc with mixed boundary condition
本文在单位圆盘混合边界条件下构造并分类了固定非中心内点的凸古代曲线缩短流，证明仅有两个永恒解连接不稳定与稳定临界弧，并进一步分析了边界点退化情形下的有限时间坍缩奇点。
2024-04-01 math.DG
Weighted normalized curve shortening flow with applications in pseudo-Euclidean spaces
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；LMAM, School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院，应用数学研究所）
本文研究伪欧几里得空间中闭类空曲线的曲线缩短流，建立加权归一化流的二分法，证明曲线要么收缩为渐近圆点，要么切线趋于零锥，并给出面积-双向量缺陷作为点坍缩的定量障碍。
2026-09-22 math.DG
A Compact Non-convex Ancient Curve Shortening Flow
构造了一个关于曲线缩短流的紧致非凸嵌入古解的例子，该解是阴阳曲线的渐近解。
2022-04-12 math.AP math.DG
The blow up analysis of the general curve shortening flow
证明了在一般曲线缩短流下，曲率函数满足非线性发展方程，并给出了闭曲线在有限时间内收缩到一点时的详细渐近行为.
2009-11-15 math.AP math.DG
The fundamental solutions of the curve shortening problem via the Schwarz function
曲线缩短在$z$ -平面中，在曲线上的一个给定的点，曲线的法向速度等于曲率，满足$S_tS_z=S_{zz}$，其中$S(z,t)$是施瓦茨函数的曲线。这个方程被证明有一个参数的解决方案，从已知的显式解决方案的曲线缩短流，圆，死神，回形针和发夹，可以恢复。
2022-01-14 math.CV math.DG
Classification of compact ancient solutions to the curve shortening flow
考虑$\mathbb{R}^2$中曲线缩短流的嵌入凸古解$Γ_t$.我们证明，只有两种可能性：家庭$Γ_t$是家庭的收缩圈，这是一个I型古老的解决方案，或家庭的不断发展的原始椭圆形，这对应于一个II型古老的解决方案的曲线缩短流。我们还给出了一个必要和充分的曲率条件嵌入，封闭的古代解决方案的曲线缩短流是凸的。
2008-06-10 math.AP math.DG
Singularities of low entropy high codimension curve shortening flow
本文研究欧氏背景下任意余维的曲线缩短流，证明其在奇点附近渐近平面并分析爆破极限，进而得出具有熵界的初始曲线在有限时间内收敛至圆点。
2023-04-05 math.AP math.DG
