A Short Note on Contracting Self-Similar Solutions of the Curve Shortening Flow
通过曲线缩短流，唯一封闭的嵌入收缩自相似解是圆：我们给出了一个非常简短和直观的几何证明这个基本的和经典的结果使用的Gage的想法。
2015-06-30 math.DG
Curve shortening flows in warped product manifolds
研究了两类曲积流形中的曲线缩短流。这些流形是具有两种类型的翘曲度量的$S^1\times N$，其中$S^1$是$R^2$中的单位圆，而$N$是封闭的黎曼流形。若初始曲线是$S^1$上的图，则其曲线缩短流始终存在，并最终收敛于测地线闭曲线.
2017-01-21 math.DG
Uniqueness of tangent flows at infinity for finite-entropy shortening curves
本文证明了有限熵古代曲线缩短流在无穷远处切流的唯一性，并通过重标度流的指数收敛及对尖端、顶点、拐点和图形半径增长率的精确刻画，排除了收缩圆、静态直线、回形针和平移冷酷收割者等例外情形。
2024-06-08 math.DG
Classifying convex compact ancient solutions to the affine curve shortening flow
本文对仿射曲线缩短流的凸紧古解进行了分类：即任何仿射曲线缩短流的凸紧古解必为收缩椭圆。该方法结合了受\cite{Wang}启发的重新标度参数、方程的仿射不变性和仿射等周比的单调性。我们将给出两个证明。基本思想是相关的，但第一个使用水平集表示的演变。第二个证明采用了Schauder的估计，也为高维仿射法线流的相应分类结果提供了一个新的简单证明。
2013-03-01 math.AP math.DG
Sharp distance comparison for curve shortening flow on the round sphere
该研究证明了球面上曲线缩短流的精确弦弧改进性质，由此得到曲率控制，进而直接证明简单球面曲线的两种演化结局，完善了球面曲线缩短流的相关结论。
2023-10-04 math.DG
Three circles theorems and Liouville type theorems
该研究在非负Ricci曲率黎曼流形、带标量曲率下界的梯度收缩Ricci孤立子及带曲率条件的梯度收缩Kähler-Ricci孤立子上建立三圆定理，并应用其证明了若干刘维尔型定理。
2024-04-12 math.DG
Classification of Convex Ancient Solutions to Curve Shortening Flow on the Sphere
我们证明，只有封闭的，嵌入古代解决方案的曲线缩短流$\mathbb{S}^2$赤道或收缩的圆圈，开始于赤道的时间$t=-\infty$和崩溃的北极时间$t=0$。为了得到这个结果，我们首先证明了球面上曲线缩短流的Harnack不等式。然后应用高斯-博内，很容易让我们得到曲率边界的古老的解决方案，导致向后平滑收敛到赤道。为了完成证明，我们使用了一个亚历山德罗夫反射参数，以表明最大对称性下的流被保存。
2014-08-29 math.AP math.DG
Classification of ancient finite-entropy curve shortening flows
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；University of Granada（格拉纳达大学）；National Central University（中央大学）；UC Irvine（加州大学尔湾分校）
本文分类了古代有限熵曲线缩短流，证明其只能是静态直线、收缩圆、纸夹、平移型 grim reaper 或图形古代 trombone，并指出紧致流为凸，非紧致流为静态直线或完整图。
2026-03-10 math.DG
High Codimension Curve Shortening Flow with Free Boundary
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）
该研究探讨了高余维下自由边界曲线缩短流的性质，通过熵界分析证明了流在低熵情况下收敛或产生半圆奇点。
2026-02-24 math.AP math.DG
Curve shortening flows on surfaces that are not convex at infinity
本文研究了无穷远处非凸曲面上的曲线缩短流，针对单位圆与开区间的扭曲乘积，证明了曲线在有限时间后会变为图，推广了平面曲线缩短流的经典行为。
2024-10-11 math.DG
The fundamental solutions of the curve shortening problem via the Schwarz function
曲线缩短在$z$ -平面中，在曲线上的一个给定的点，曲线的法向速度等于曲率，满足$S_tS_z=S_{zz}$，其中$S(z,t)$是施瓦茨函数的曲线。这个方程被证明有一个参数的解决方案，从已知的显式解决方案的曲线缩短流，圆，死神，回形针和发夹，可以恢复。
2022-01-14 math.CV math.DG
Long-term behavior of curve shortening flow in $\mathbb{R}^3$
空间曲线运动描述了材料缺陷或界面的动力学，可以在图像处理或涡旋动力学中找到。本文分析了由曲线缩短流演化出的空间曲线的一些性质。与收缩平面曲线的经典情况相反，空间曲线一般不遵守回避原则。即使它们是简单的，它们也可能失去凸性或发展成非圆奇点。在正文的第一部分中，我们证明了即使在运动过程中不保持空间曲线的凸性，它们的正交投影仍然是凸的。在第二部分中，通过推广Hamilton和Gage的论证，给出了$\mathbb{R}^3$中曲线缩短流下球面曲线的避障原理。
2022-12-22 math.AP math.DG
Classification of compact ancient solutions to the curve shortening flow
考虑$\mathbb{R}^2$中曲线缩短流的嵌入凸古解$Γ_t$.我们证明，只有两种可能性：家庭$Γ_t$是家庭的收缩圈，这是一个I型古老的解决方案，或家庭的不断发展的原始椭圆形，这对应于一个II型古老的解决方案的曲线缩短流。我们还给出了一个必要和充分的曲率条件嵌入，封闭的古代解决方案的曲线缩短流是凸的。
2008-06-10 math.AP math.DG
On the Saddle Point Property of Abresch-Langer curves under the Curve Shortening Flow
Abresch和Langer在研究一般闭曲线上的曲线缩短流时，提出了一个猜想，即位似曲线可以看作多重折叠圆与某些奇异曲线之间的鞍点。换句话说，这些位似曲线是沿着流的具有非奇异未来的曲线和具有奇异未来的曲线之间的分水岭。本文对这一猜想给出了一个肯定的证明。
2001-02-13 math.AP math.DG
The Zoo of Solitons for Curve Shortening in $\R^n$
我们提供了一个详细的描述解决方案的曲线缩短在$\R^n$是不变的一些单参数对称群的方程，特别注意曲线的几何性质，和渐近性质的结束。我们发现广义螺旋线，并与单位球上的曲线缩短$\Sph^{n-1}$的连接。扩展的旋转孤子是渐近的广义对数螺线。就其端部的渐近性质而言，旋转收缩孤子最为复杂。我们发现，几乎所有的这些孤子是渐近圆。我们在这里讨论的许多曲线缩短孤子要么是空间曲线，要么是演化空间曲线。除了本文中的数字，我们还准备了一些孤子的动画，可以在http://www.youtube.com/user/solitons2012/videos?上查看view=1.
2012-07-17 math.CA math.DG math.DS
Classification of ancient flows by sub-affine-critical powers of curvature in $\mathbb{R}^2$
我们对次仿射临界幂$α\leq \frac{1}{3}$的闭凸$α$ -曲线缩短流进行了分类.此外，我们还证明了闭凸光滑有限熵$α$ -曲线缩短流是一个收缩圆，其中有$\frac{1}{3}<α$.经过规范化后，满足上述条件的古代流在后向无穷远处指数快速收敛到光滑闭凸收缩器。特别地，当$α=\frac{1}{k^2-1}$与$3\leq k \in \mathbb{N}$结合时，圆形收缩器具有非平凡的Jacobi场，但是古流不沿着Jacobi场演化。
2022-02-02 math.AP math.DG
Ancient gradient flows of elliptic functionals and Morse index
本文研究黎曼流形中椭圆泛函梯度流的闭古代解，对球面中平均曲率流及曲线缩短流在特定面积或长度界下进行了完全分类，揭示了其解仅为稳态或收缩的赤道球面、Clifford环面与圆。
2020-09-17 math.AP math.DG
Curve flows with a global forcing term
我们考虑嵌入，平滑曲线在平面上，这是封闭的或渐近的两条线。我们研究他们的行为下曲线缩短流与全球强迫项。首先，我们证明了一个类似于Huisken的距离比较原理的曲线缩短流的初始曲线，其局部全曲率不低于$-π$，并表明这个条件是尖锐的。其次，对于有界强迫项，我们排除了有限时间内的奇点。第三，对于闭曲线的不朽流，其强制项提供非零的封闭区域和有界长度，我们证明了有限时间凸性和光滑指数收敛到圆。
2021-05-15 math.DG
Translating solitons for Lagrangian mean curvature flow in complex Euclidean plane
利用曲线缩短流（包括自收缩和自膨胀曲线或螺线）的某些解，构造和表征了复欧氏平面中中曲率流的平移孤子的许多新例子.在第二个维度上，他们概括了乔伊斯、李和徐的\cite{JLT}。在我们的家庭中最简单的（非平凡）的例子被刻画为唯一的（非全测地线）哈密顿定常拉格朗日平移孤子的中曲率流在复欧几里德平面。
2010-07-12 math.DG
A note on expansion of convex plane curves via inverse curvature flow
最近，Andrews和Bryan [3]发现了一个比较函数，该函数允许他们将曲线缩短流将平面中嵌入的闭曲线收缩为圆形点这一众所周知的事实的经典证明缩短。使用这个比较函数，他们从下面根据端点之间的弧长和经过的时间来估计任何弦的长度。他们将这一估计应用于短线段，并直接推导出最大曲率以指数方式衰减到具有相同长度的圆的曲率。我们考虑凸曲线的逆（平均）曲率流下的扩展，并表明上述比较功能也适用于这种情况下，以获得一个新的证明的事实，即流动存在的所有时间，并成为圆形，即顺利收敛到单位圆后，适当的重新缩放。
2014-06-16 math.DG
On the $H^1(ds)$-gradient flow for the length functional
本文考虑了浸入平面曲线空间上的长度泛函。$L^2(ds)$黎曼度量给出了作为长度泛函的梯度流的曲线缩短流。受度量拓扑在这个空间中的平凡性的启发，我们考虑了长度泛函关于$H^1(ds)$ -度量的梯度流。半径为$r_0$的圆在流动下随$r(t) = \sqrt{W(e^{c-2t})}$收缩，其中$W$是Lambert $W$函数，$c = r_0^2 + \log r_0^2$。我们进行了深入的研究，给出了永恒的解决方案和收敛一般的初始数据的存在性，在各种空间中的正则性的保存，一个适当的重新缩放后的流的定性性质，和数值模拟。
2021-03-03 math.AP math.DG
Homogeneous Sobolev gradient flow of the length functional
Murdoch University（默多克大学）；University of Wollongong（伍伦贡大学）
研究平面浸入闭曲线空间中长度泛函的梯度流，采用参数λ>0和a∈R的同质SobolevH^1型Riemann度量。通过弧长卷积和周期格林函数得到梯度流，证明在最优低正则性设定下局部适定性，并展示长度指数衰减和全局存在性。
2026-07-30 math.AP math.DG
