Nonplanar ancient curve shortening flows in $\mathbb{R}^3$ from grim reapers
本文通过组合位于垂直平面上的平移 grim reapers，构造了 $\mathbb{R}^3$ 中曲线缩短流的新的非平面古老（永恒）解。
2023-06-28 math.DG
Convex Ancient Solutions to Anisotropic Curve Shortening Flow
本文构造了各向异性曲线缩短流的平移解和紧致古老解，并证明在给定各向异性因子、方向、速度及带状宽度条件下，这些解是唯一的。
2023-09-01 math.DG
Classification of compact ancient solutions to the curve shortening flow
考虑$\mathbb{R}^2$中曲线缩短流的嵌入凸古解$Γ_t$.我们证明，只有两种可能性：家庭$Γ_t$是家庭的收缩圈，这是一个I型古老的解决方案，或家庭的不断发展的原始椭圆形，这对应于一个II型古老的解决方案的曲线缩短流。我们还给出了一个必要和充分的曲率条件嵌入，封闭的古代解决方案的曲线缩短流是凸的。
2008-06-10 math.AP math.DG
A Compact Non-convex Ancient Curve Shortening Flow
构造了一个关于曲线缩短流的紧致非凸嵌入古解的例子，该解是阴阳曲线的渐近解。
2022-04-12 math.AP math.DG
Geometric aspects of the curve shortening flow in the hyperbolic plane
Faculty of Economics and Business. University of Zagreb（萨格勒布大学经济与商业学院）；Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada（格拉纳达大学几何与拓扑系）
本文研究了双曲平面中曲线缩短流的翻译概念，解决了曲线缩短流方程，并探讨了古早凸解的曲率函数分离变量情况下的解法，以及闭古早解的面积估计。
2026-05-13 math.DG
Nonconvex ancient solutions to Curve Shortening Flow
我们构造了一个古老的解决方案，平面曲线缩短。该解决方案始终紧凑且嵌入式。对于$t\ll0$，它近似为旋转的阴阳孤子，截断在一个有限的角度$α(t) = -t$，和封闭的一个小副本的死神平移孤子。
2023-02-23 math.AP math.DG
Classifying convex compact ancient solutions to the affine curve shortening flow
本文对仿射曲线缩短流的凸紧古解进行了分类：即任何仿射曲线缩短流的凸紧古解必为收缩椭圆。该方法结合了受\cite{Wang}启发的重新标度参数、方程的仿射不变性和仿射等周比的单调性。我们将给出两个证明。基本思想是相关的，但第一个使用水平集表示的演变。第二个证明采用了Schauder的估计，也为高维仿射法线流的相应分类结果提供了一个新的简单证明。
2013-03-01 math.AP math.DG
Classification of Convex Ancient Solutions to Curve Shortening Flow on the Sphere
我们证明，只有封闭的，嵌入古代解决方案的曲线缩短流$\mathbb{S}^2$赤道或收缩的圆圈，开始于赤道的时间$t=-\infty$和崩溃的北极时间$t=0$。为了得到这个结果，我们首先证明了球面上曲线缩短流的Harnack不等式。然后应用高斯-博内，很容易让我们得到曲率边界的古老的解决方案，导致向后平滑收敛到赤道。为了完成证明，我们使用了一个亚历山德罗夫反射参数，以表明最大对称性下的流被保存。
2014-08-29 math.AP math.DG
Ancient curve shortening flow in the disc with mixed boundary condition
本文在单位圆盘混合边界条件下构造并分类了固定非中心内点的凸古代曲线缩短流，证明仅有两个永恒解连接不稳定与稳定临界弧，并进一步分析了边界点退化情形下的有限时间坍缩奇点。
2024-04-01 math.DG
Classification of ancient flows by sub-affine-critical powers of curvature in $\mathbb{R}^2$
我们对次仿射临界幂$α\leq \frac{1}{3}$的闭凸$α$ -曲线缩短流进行了分类.此外，我们还证明了闭凸光滑有限熵$α$ -曲线缩短流是一个收缩圆，其中有$\frac{1}{3}<α$.经过规范化后，满足上述条件的古代流在后向无穷远处指数快速收敛到光滑闭凸收缩器。特别地，当$α=\frac{1}{k^2-1}$与$3\leq k \in \mathbb{N}$结合时，圆形收缩器具有非平凡的Jacobi场，但是古流不沿着Jacobi场演化。
2022-02-02 math.AP math.DG
Construction of High Codimension Ancient Mean Curvature Flows
在高余维欧几里得空间中构造了一类中曲率流的紧致古解。特别地，我们构造了更高的余维古曲线缩短流。此外，我们还刻画了这些解的渐近性态。补充说明：本文中的结构是由AltscheldD发现的。阿尔茨切什-吴先，[AAAW 13]。
2019-09-05 math.DG
Sharp Entropy Bounds for Plane Curves and Dynamics of the Curve Shortening Flow
我们证明了一个封闭的浸入平面曲线的全曲率$2πm$的熵至少$m$倍的嵌入圆的熵，只要它产生的曲线缩短流（CSF）下的I型奇点。我们构造了全曲率$2πm$的封闭浸入平面曲线，其熵小于$m$乘以嵌入圆的熵。作为一个应用程序，我们扩展了Colding-Minicozzi的概念，一个通用的中曲率流封闭浸没平面曲线通过构建一个分段CSF，其唯一的奇点是嵌入的圆和II型奇点。
2020-12-25 math.DG
Entropy, noncollapsing, and a gap theorem for ancient solutions to the Ricci flow
本文讨论了里奇流古解的渐近熵。我们证明了古代的解决方案，这可以被视为一个熵对应横田的工作的间隙定理。此外，我们还证明了在一定的假设下，对于具有非负曲率算子的完全古解的一个时间片，有限渐近熵蕴涵着在所有尺度上的kappa-非坍缩.这为Perelman的更一般的断言提供了证据，即在具有非负曲率算子的完全古解上，有界熵等价于kappa-非坍缩。
2017-06-06 math.DG
Uniqueness of tangent flows at infinity for finite-entropy shortening curves
本文证明了有限熵古代曲线缩短流在无穷远处切流的唯一性，并通过重标度流的指数收敛及对尖端、顶点、拐点和图形半径增长率的精确刻画，排除了收缩圆、静态直线、回形针和平移冷酷收割者等例外情形。
2024-06-08 math.DG
Ancient finite entropy flows by powers of curvature in $\mathbb{R}^2$
我们通过嵌入熵有限的$\mathbb{R}^2$中的曲率幂证明了非位似古流的存在性。我们确定了流的Morse指标和收缩算子的线性化算子的核，并利用线性化算子的不稳定本征函数构造了古流。
2020-12-18 math.DG
A uniform Sobolev inequality for ancient Ricci flows with bounded Nash entropy
本文是[CMZ 21]的续篇。我们将证明具有一致有界Nash熵的古里奇流也必须具有一致有界的$ν$ -泛函。因此，在这样一个古老的解决方案有一致的对数Sobolev和Sobolev不等式。我们强调，只要[Bam 20 c]中的理论是有效的，特别是当基础流形是闭的时，本文中的主要定理是正确的。
2021-07-03 math.DG
Perelman's entropy on ancient Ricci flows
在[ZY2]中，第二作者证明了Perelman的断言，即对于一个具有有界非负曲率算子的古里奇流，有界熵等价于在所有尺度上的非坍缩。在本文中，我们继续这一讨论。结果表明，曲率算子的非负性不是一个必要条件，我们只需要假设哈密尔顿迹Harnack的一个推论。此外，我们还证明了这个条件对具有非负里奇曲率的稳定里奇孤子也成立。
2021-07-07 math.DG
An entropy formula for the heat equation on manifolds with time-dependent metric, application to ancient solutions
本文引入了一个新的熵泛函，证明了流形上具有不定常黎曼度量的热方程的非负解。在一定的积分假设下，我们证明了这个熵是非减的，而且如果度量在超里奇流（包括里奇流和具有非负里奇曲率的固定度量）下演化，则这个熵是凸的.作为应用，我们根据熵对热传导方程的非负古解进行了分类。特别地，我们证明了在超里奇流下演化的流形上熵次线性增长的非负古解必须是常数。假设是尖锐的意义上说，确实存在非常数的积极永恒的解决方案，其熵增长的时间正好线性。还得到了其它一些结果。
2013-05-02 math.DG
Ancient gradient flows of elliptic functionals and Morse index
本文研究黎曼流形中椭圆泛函梯度流的闭古代解，对球面中平均曲率流及曲线缩短流在特定面积或长度界下进行了完全分类，揭示了其解仅为稳态或收缩的赤道球面、Clifford环面与圆。
2020-09-17 math.AP math.DG
Singularities of low entropy high codimension curve shortening flow
本文研究欧氏背景下任意余维的曲线缩短流，证明其在奇点附近渐近平面并分析爆破极限，进而得出具有熵界的初始曲线在有限时间内收敛至圆点。
2023-04-05 math.AP math.DG
Codimension Bounds and Rigidity of Ancient Mean Curvature Flows by the Tangent Flow at $-\infty$
受一类显式紧致古曲线缩短流的极限行为的启发，我们利用古平均曲率流在$-\infty$上的切流证明了古平均曲率流的余维界，推广了[CM 19 b]中关于圆柱的一个定理.在$m$ -覆盖圆的情况下，我们应用这个界证明了一个强刚性定理。此外，我们扩展了这种范式下，充分快速收敛的假设下，一个紧凑的古代中曲率流是相同的，它的切线流在$-\infty$。
2021-10-26 math.AP math.DG
Convex ancient solutions to mean curvature flow
X.- J. Wang证明了关于中曲率流的凸古解的结构的一系列显著结果。他的一些结果似乎并不广为人知，但是，可能是由于技术性质，他的论点和他利用的方法，这是不广泛使用的中曲率流动。在这篇简要的文章中，我们介绍了王的结构理论和它的一些结果。我们将利用单调性公式和微分Harnack不等式简化Wang的一些分析，并利用后者得到一个重要的附加结构结果.我们的结论是，凸古解和凸平移子的各种刚性结果都直接来自结构理论，包括推论8.3的新结果。我们最近提供了一个完整的分类凸古代解决方案，曲线缩短流利用类似的参数。
2019-07-09 math.AP math.DG
A rigidity result for ancient Ricci flows
该研究仅借助无穷附近尖锐对数Sobolev泛函的大小条件，证明了曲率无符号约束的古老Ricci流的刚性结果，且该结果和II型古老Ricci流及其反向极限的识别问题相关。
2024-06-24 math.DG
On equivalence between noncollapsing and bounded entropy for ancient solutions to the Ricci flow
在我们以前的工作中，我们表明，对于一个古老的解决方案的里奇流与非负曲率算子，假设有界的几何上的一个时间片，有界熵意味着在所有尺度上的非崩溃。本文从另一个方向证明了：对于具有有界非负曲率算子的古解，非坍缩蕴涵有界熵。因此，我们证明了佩雷尔曼的断言下的假设有界几何上的一个时间片。特别地，对于三维的古代解，我们只需要假设有界曲率。我们还建立了渐进熵和渐进约化体积之间的等式，这是与徐相似的结果，其中他假设非坍缩和I型曲率界。
2017-06-06 math.AP math.DG
Curvature-Torsion Entropy for Twisted Curves under Curve Shortening Flow
该研究针对三维扭转曲线的曲线缩短流，定义挠率-曲率熵泛函，证明流的奇点要么对应拐点要么是满足τ/κ²趋于无穷的II型奇点，与经典平面性定理的τ/κ趋于零的结论形成鲜明对比。
2023-05-11 math.AP math.DG
On Ecker's local integral quantity at infinity for ancient mean curvature flows
我们指出，对于古中曲率流，如果Huisken的积分在每个时间片上是有限的，那么Ecker的局部积分量与Huisken的在无穷远处的整体积分量是一致的。特别地，这意味着埃克尔积分量在无穷远处的有限性意味着熵在无穷远处的有限性。
2020-06-18 math.DG
High Codimension Curve Shortening Flow with Free Boundary
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）
该研究探讨了高余维下自由边界曲线缩短流的性质，通过熵界分析证明了流在低熵情况下收敛或产生半圆奇点。
2026-02-24 math.AP math.DG
Ancient Ricci flows with asymptotic solitons
本文研究了Perelman意义下存在渐近孤子的古里奇流。我们证明了渐近孤子在无穷远处必须与Bamler切流重合。此外，我们表明，Perelman的$ν$ -功能是一致有界的古老的解决方案，这一事实导致对数Sobolev不等式和Sobolev不等式。最后，作为证明上述结果的一个重要工具，我们还证明了对于曲率有界的完备里奇流，Nash熵的界仅依赖于其基点的$H_n$ -中心周围的局部几何.
2021-06-13 math.DG
Ancient low entropy flows, mean convex neighborhoods, and uniqueness
本文证明了$\mathbb{R}^3$中曲面中曲率流的平均凸邻域猜想。也就是说，如果流在时空点$X=(x,t)$处具有球形或圆柱形奇点，则存在正的$\varepsilon=\varepsilon(X)>0$，使得流在$X$周围大小为$\varepsilon$的时空邻域中是平均凸的。主要的困难是把关于奇点的无穷小信息推广到宏观尺度的结论。事实上，我们证明了一个更一般的分类结果，所有古老的低熵流，出现潜在的极限流附近的$X$。也就是说，我们证明了任何古老的，单位正则，循环，积分Brakke流在$\mathbb{R}^3$熵至多$\sqrt{2π/e}+δ$是一个平面，一个圆形收缩球，一个圆形收缩柱，一个平移碗孤子，或一个古老的椭圆。作为应用，我们证明了球奇点或柱奇点的中曲率流的唯一性猜想。特别是，假设Ilmanen的重数1猜想，我们得出结论，嵌入两个领域的中曲率流通过奇点是适定的。
2021-08-30 math.AP math.DG
Ancient solutions and translators of Lagrangian mean curvature flow
本文研究复空间中Lagrange平均曲率流的近校准精确古老解，通过吹缩为两个相交Lagrange平面的静态并集这一条件证明其必为平移子，并在$\mathbb{C}^2$中对熵小于3的情形给出分类。
2023-10-31 math.DG
On the Existence and Uniqueness of Ancient Rescaled Mean Curvature Flows
我们证明了从一个给定的渐近锥形自膨胀器开始的重新标度的中曲率流的古老的解决方案的存在性。这些是从非自相似的圆锥体中流出的中曲率流的例子。我们还显示了一个强大的唯一性定理时，锥是通用的，并用它来分类中曲率流出来的通用锥的小熵在低维。
2022-12-21 math.AP math.DG
Complexity of parabolic systems
我们首先用熵来界定古中曲率流的余维。因此，所有的爆破都位于一个欧氏子空间中，其维数由演化子流形的熵和维数所限定。这大大降低了系统的复杂性。结合\cite{CM12}，给出了任意余维曲面类属奇点的第一个一般界。我们还显示了尖锐的界限，余维可以说是一些最重要的情况下，古老的流量。也就是说，我们证明了在任意维数和余维数下，任何在$-\infty$为圆柱的古流都是欧氏子空间中的超曲面流。这将众所周知的分类结果扩展到更高的余维。余维上的熵的界限是收缩器和更一般的古代流的谱计数函数的尖锐界限的特殊情况。收缩器是通过缩放而演化的解决方案，并且是流动的奇点模型。最后，我们证明了在所有维度和所有余维中作为收缩体的圆柱体的刚性在一个非常强的意义上：任何收缩体，即使在一个大的维度空间中，在一个足够大但紧凑的集合上足够接近圆柱体，它本身就是一个圆柱体。这是理论中的一个重要工具，也是规律性的关键;参见。\cite{CM8}。
2019-07-10 math.AP math.DG
Ancient asymptotically cylindrical flows and applications
本文证明了$\mathbb{R}^{n+1}$中平均曲率流的颈奇点的平均凸邻域猜想：证明了如果$\mathbb{R}^{n+1}$中的平均曲率流$\{M_t\}$在$(x_0,t_0)$处有$S^{n-1}\times \mathbb{R}$奇点，则存在$\varepsilon=\varepsilon(x_0,t_0)>0$使得$M_t\cap B(x_0,\varepsilon)$对所有$t\in(t_0-\varepsilon^2,t_0+\varepsilon^2)$都是平均凸的.正如前三位作者在arXiv：1810.08467中解决的$n=2$的情况一样，这种平均凸邻域的存在是从对某类古代Brakke流的分类中得出的，这些流是在颈部奇点附近作为潜在的爆破极限出现的。具体地说，我们证明了任何古老的单位正则积分Brakke流与圆柱形排污必须是一个圆形的收缩圆柱，平移碗孤子，或一个古老的椭圆形。特别地，结合前两位作者的一个先验结果，我们得到了通过颈奇点的平均曲率流的唯一性。解决高维问题的主要困难是将圆柱上的谱分析推广到解的全局几何性质。最关键的是，由于潜在的各种各样的自收缩流的熵低于圆柱体时，$n\geq 3$，光滑性不遵循从谱分析的软参数。这就排除了使用经典的移动平面方法来推导对称性。为了克服这一点，我们引入了一种新的变体的移动平面方法，我们称之为“移动平面方法不假设平滑”-其…
2022-01-13 math.AP math.DG
An equation linking $\mathscr{W}$-entropy with reduced volume
Perelman引入了里奇流的$\mathscr{W}$ -熵和约化体积，证明了它们在里奇流研究中的重要性. L. Ni研究了静态流形上线性热方程的类似概念，并建立了一个方程，将这两个方程的大时间行为联系起来。由于里奇流和线性热方程中的概念之间惊人的相似性，一个自然的问题是，这样的方程是否对里奇流的古解成立。倪本文给出了L.根据一种新的方法改进了Ni的原始方程。按照这个方法的相同原理，我们回答L。Ni的问题积极的I型$κ$ -解决方案的里奇流。
2014-11-28 math.AP math.DG
Convergence of Ricci flow and long-time existence of Harmonic map heat flow
本文建立了渐近紧致可积shrinker的ancient Ricci flow及相应奇点情形下harmonic map heat flow的长时间存在性，提供全局parabolic gauge并证明切流唯一性，同时分类了ancient flows并得出奇点最优收敛速率。
2025-04-03 math.AP math.DG
Mean curvature flow with generic initial data
本文研究一般初始数据下平均曲率流的奇点回避问题，证明三维一般闭曲面避开渐近锥形与非球面紧致奇点，四维一般闭低熵超曲面光滑演化至圆点消失，并建立古代流的长时间存在唯一性。
2024-04-02 math.AP math.DG
