On regular homogeneously traceable nonhamiltonian graphs
Fujian Key Laboratory of Financial Information Processing, Putian University（莆田学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
研究正则均匀可迹非哈密顿图，探讨其阶数实现问题。通过研究，证明对于任意$k\geq6$和$n\geq6(k - 2)$，存在相应阶数的$k$正则均匀可迹非哈密顿图，完善了此类图的相关研究。
2026-07-13 math.CO
Extremal problems about the order and size of nonhamiltonian locally linear graphs
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Central China Normal University（华中师范大学）
研究局部线性图的最小阶数及边数，探讨非哈密顿图的极值性质。
2026-09-16 math.CO
A stability version for a theorem of Erdős on nonhamiltonian graphs
设$n, d$为整数，其中$1 \leq d \leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$为整数，并设置$h(n,d):={n-d \choose 2} + d^2$和$e(n,d):= \max\{h(n,d),h(n, \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor)\}$。因为$h(n,d)$在$d$中是二次的，所以存在$d_0(n)=(n/6)+O(1)$使得$e(n,1)> e(n, 2)> \dots >e(n,d_0)=e(n, d_0+1)=\dots = e(n,\left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor)$。Erdens的一个定理指出，对于$d\leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$，任何具有最小度$δ(G) \geq d$的$n$ -顶点非哈密顿图$G$最多有$e(n,d)$边，而对于$d > d_0(n)$，唯一清晰度的例子就是图$K_n-E(K_{\lceil (n+1)/2\rceil})$。Erdibs还为每个$1\leq d \leq d_0(n)$提供了一个清晰度示例$H_{n,d}$。我们证明了如果$d< d_0(n)$和一个$2$连通的、非Hamilton的$…
2017-04-05 math.CO
Extremal problems on disjoint path covers of graphs
School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Analytical Mathematics and Applications (Ministry of Education), Fujian Key Laboratory of Analytical Mathematics and Applications (FJKLAMA), Center for Applied Mathematics of Fujian Province (FJNU), Fujian Normal University（福建师范大学数学与统计学院，分析数学及应用教育部重点实验室，福建省分析数学及应用重点实验室（FJKLAMA），福建省应用数学中心（FJNU））
本文研究图的不相交路径覆盖的极值问题，通过推广哈密顿性结果，分别依据团数量与\(\alpha\)-谱半径，建立图具有不同类型\(t\)不相交路径覆盖的充分条件，并刻画达到这些界的极值图。
2026-07-10 math.CO
On the Toughness of Regular Graphs and Prisms
本文研究正则图及棱柱图的坚韧度，证明不存在18阶坚韧度为5/2的5-正则图，构造含爪的4-正则坚韧度为2的图族，并给出棱柱图坚韧度的若干界与充分条件。
2025-05-08 math.CO
Long paths and toughness of k-trees and chordal planar graphs
我们证明了韧性大于$\frac{k}{3}$的$k$树对于$k \geq 3$是Hamilton连通的. (In特别地，韧性大于$1$的弦可平面图是哈密尔顿连通的。）这改进了Broersma et al.（2007）的结果，并推广了Böhme et al.（1999）的结果。另一方面，我们提出的图的最长路径是短的。即，我们构造了$1$ -坚韧弦可平面图和$1$ -坚韧平面$3$ -树，并证明了该类的短指数分别为$0$，至多$\log_{30}{22}$.两者都提高了Böhme等人的边界。此外，该构造提供了韧性大于$1$的$k$树（对于$k \geq 4$）。
2018-10-12 math.CO
Minimal toughness in special graph classes
本文研究了弦图、分裂图、无爪图和 $2K_2$-free 图等特殊图类中极小 $t$-tough 图的最小度与可识别性问题。
2023-11-13 math.CO
The Toughness of Kneser Graphs
图$G$的\textit{toughness} $t(G)$是其连通性的度量，其与哈密尔顿性密切相关。Brouwer证明了连通$\ell$ -正则图韧性的下界$t(G) > \ell / λ- 2$，其中$ λ$是邻接矩阵的最大非平凡特征值。他解释说，这个下界可以改进为$\ell / λ-1$，这个猜想仍然是开放的。布劳威尔还观察到，许多图族（特别是那些在独立数的霍夫曼比范围内达到相等的图族）恰好具有$\ell / λ$韧性。Cioabeland和Wong证实了Brouwer对几个图族的观察，包括Kneser图$K(n,2)$及其补图，但Petersen图$K(5,2)$除外。在本文中，我们推广了这些结果，并确定了Kneser图$K(n,k)$的韧性时，$k\in \{3,4\}$和$n\geq 2k+1$以及$k\geq 5$和足够大的$n$（在$k$方面）。在所有这些情况下，韧性是由一个最大的独立集的补充，我们推测，这是任何$k\geq 5$和$n\geq 2k+1$的情况。
2021-06-28 math.CO
Tight toughness, isolated toughness and binding number bounds for the $\{K_2,C_n\}$-factors
图的$\{K_2,C_n\}$ -因子是一个生成子图，它的每个分支是$K_2$或$C_n$。本文利用紧韧性、孤立韧性和联结数界给出了图的$\{K_2,C_{2i+1}| i\geq 2 \}$ -因子存在的一个充分条件，从而回答了Gao和Wang（J. Oper. Res. Soc. China（2021），https：//doi.org/10.1007/s40305-021-00357-6）。
2022-04-09 math.CO
Tight Toughness and Isolated Toughness for $\{K_2,C_n\}$-factor critical avoidable graph
本文研究图G成为{K2,Cn}-因子临界可避图的充分条件，分别基于孤立韧度给出一般情形，并基于紧韧度与孤立韧度给出{K2,C_{2i+1}}情形的充分条件。
2024-06-25 math.CO
An Expander Mixing Lemma for Directed Graphs via Transition Matrices
Mount Royal University（蒙特雷阿尔皇家大学）
本文利用非对称转移概率矩阵的特征值为有向图建立了 Expander Mixing Lemma，并据此推导出有向图韧性的谱界，推广了 Alon 关于 $k$-正则图的经典结论。
2026-11-09 math.CO
Sufficient conditions for the variation of toughness under the distance spectral in graphs involving minimum degree
本文研究图韧性变化问题，基于最小度和距离谱半径提出并证明了一个图为tau-韧性的充分条件，推广了Chen、Fan和Lin关于t-韧性的结果。
2025-04-09 math.CO
Toughness and spectral radius in graphs
本文结合韧度变体与谱条件，给出了图成为$τ$-韧度（整数或倒数整数）且具有最小度$δ$的谱条件，并探讨了平衡二分图的类似问题。
2023-10-14 math.CO
Hamiltonian cycles in 7-tough $(P_3\cup 2P_1)$-free graphs
不完全图$G$的韧性是最大实数$t$，使得对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，并且完全图的韧性被定义为$\infty$。确定给定图的韧性是NP困难的。Chvátal的韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$，使得任何韧性至少为$t_0$的图都是Hamilton的，对于一般图仍然是开放的。一个图称为无$(P_3\cup 2P_1)$的，如果它不包含任何同构于$P_3\cup 2P_1$的导出子图，即$P_3$与两个孤立点的不交并.本文证明了Chvátal关于无$(P_3\cup 2P_1)$图的坚韧性猜想，证明了至少有三个顶点的无7-坚韧$(P_3\cup 2P_1)$图是Hamilton图.
2021-07-18 math.CO
Toughness and Hamiltonicity in Random Apollonian Networks
本文研究了随机阿波罗网络（RAN）的韧性，RAN是一种随机图模型，它生成具有幂律性质的可平面图。我们认为他们的重要特点：每个RAN是一个唯一表示的弦图和平面$3$树，因此，已知的结果，这些类可以specialized。我们建立了一个分区的类在八个非平凡的子类，并为每一个这些子类，我们提供了他们的元素的韧性的界限。我们还研究了这些子类的元素的哈密顿性。
2020-02-21 math.CO
Triangle-Free Graphs of Toughness Approaching Two Without a 2-Factor
Auburn University（奥本大学）
本文证实了Bauer等人1996年的猜想，构造出坚韧度趋近于2且不含2-因子的无三角形图，说明存在2-因子的阈值2在无三角形图类中仍为最优界限。
2026-08-17 math.CO
Toughness, hamiltonicity and spectral radius in graphs
研究图中Hamilton圈的存在性是图论中的一个经典问题。通过结合韧性和谱条件，我们可以从另一个角度考虑Chvátal猜想：什么是谱条件，以保证存在的哈密尔顿圈之间的$t$ -坚韧图？首先给出$1$ -tough图的答案，即如果$ρ(G)\geqρ(M_{n})$，则$G$包含一个Hamilton圈，除非$G\cong M_{n}$，其中$M_{n}=K_{1}\nabla K_{n-4}^{+3}$和$K_{n-4}^{+3}$是由$3K_{1}\cup K_{n-4}$通过在$3K_{1}$和$K_{n-4}$之间添加三条独立边而得到的图. Brouwer韧性定理指出，每个$d$ -正则连通图总是有$t(G)>\frac{d}λ-1$，其中$λ$是邻接矩阵的第二大绝对特征值。本文利用图的谱半径推广了这一结果，即分别给出了一个图是1-坚韧的最小度$δ$和$t$ -坚韧的谱条件.
2022-04-05 math.CO
Graph toughness from Laplacian eigenvalues
图$G=(V,E)$的韧性$t(G)$定义为$t(G)=\min\{\frac{|S|}{c(G-S)}\}$，其中所有$S\subset V$取最小值，使得$G-S$断开，其中$c(G-S)$表示$G-S$的分量数。我们提出了两个紧下界$t(G)$的拉普拉斯特征值和提供强有力的支持，一个更好的界的猜想，如果真的，意味着这两个界限，并改善和推广已知的阿隆，布劳威尔，和第一作者的界限。作为应用，得到了关于Laplacian特征值的完美匹配、因子和游动的几个新结果，从而引出了关于Hamilton性和Laplacian特征值的一个猜想。
2021-04-08 math.CO
Eigenvalues, edge-disjoint perfect matchings and toughness of regular graphs
该研究针对连通d-正则图，推导得到边不交完美匹配数的下界（改进已有结果），并给出非二部情形下保证韧度大于1的第二大特征值紧上界。
2024-10-06 math.CO
Toughness and existence of $2$-factors
本文针对韧性在1到2之间的图，给出了存在2-因子的新的紧充分条件，条件涉及独立数、最小度、连通性和禁止森林，补充了Enomoto等人的结果。
2023-10-16 math.CO
Toughness Bounds for Fractional Hamiltonicity and Resistance Positivity
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文通过构造非哈密顿弦生成超图，结合弦图的哈密顿性定理，证明10-韧性图为分数哈密顿图，进而证实Devriendt关于10-韧性图为电阻正图的猜想，同时构造出韧性接近3/2的非电阻非负图。
2026-09-04 math.CO
Spectral radius, toughness and $k$-factor of graphs
School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）；College of Mathematics and System Science, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）
本文研究了连通1-韧性图中k-因子的存在条件，基于谱半径提出并证明了当δ(G)≥k时，存在k≥3的k-因子的充分条件。
2026-03-22 math.CO
Every $2k$-connected $(P_2\cup kP_1)$-free graph with toughness greater than one is hamiltonian-connected
针对 Shi–Shan Hamilton 性猜想已获证实的背景，本文证明更强结论：韧度大于一的 $2k$-连通 $(P_2\cup kP_1)$-无关图必为 Hamilton 连通。
2025-03-17 math.CO
A lower bound of toughness of regular graphs: in terms of second largest eigenvalue
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
研究正则图的 toughness 与第二大的特征值的关系，证明 toughness 下界与特征值有关。
2026-05-01 math.CO
A proof of Haemers' toughness conjecture
Division of Mathematical Sciences Nanyang Technological University（南洋理工大学数学科学部）
本文证明了连通图的韧性下界与拉普拉斯特征值的关系，提出韧性下界为μ₂/(μ_n-δ)。
2026-05-15 math.CO
Toughness and distance spectral radius in graphs involving minimum degree
本文运用距离谱技巧和结构分析，提出了基于距离谱半径的充分条件，以保证具有最小度的图为1-tough及t-tough。
2023-11-21 math.CO
Vizing's 2-factor Conjecture Involving Toughness and Maximum Degree Conditions
设$G$是简单图，$Δ(G)$和$χ'(G)$分别表示$G$的最大度和色指数. Vizing证明是$χ'(G)=Δ(G)$或$Δ(G)+1$。如果对$G$的每个真子图$H$，$χ'(G)=Δ+1$和$χ'(H)<χ'(G)$都成立，则称$G$是$Δ$ -临界的. 1968年，Vizing证明了如果$G$是一个$Δ$ -临界图，那么$G$有一个2-因子.设$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图.证明了如果$Δ(G)\ge n/2$，则$G$有2-因子;如果$Δ(G)\ge 2n/3+12$，则$G$有一个哈密顿循环，因此有2-因子。众所周知，每一个至少有三个顶点的2-坚韧图都有一个2-因子。我们研究了在给定韧性和最大度的条件下，$Δ$临界图中2-因子的存在性。特别地，我们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，其韧性至少为3/2，最大度至少为$n/3$，则$G$有一个2-因子.此外，我们开发了新的技术，证明存在的2-因子的图。
2017-09-05 math.CO
Toughness and prism-hamiltonicity of $P_4$-free graphs
图$G$上的\emph{prism}是乘积$G \Box K_2$，即，通过取$G$的两个副本并添加通过边连接每个顶点的两个副本的完美匹配而获得的图。图$G$称为\emph{prism-hamiltonian}，如果它有一个哈密尔顿棱柱。Jung证明了每个至少有三个顶点的$1$ -tough $P_4$ -free图都是Hamilton图.在本文中，我们将这一点扩展到观察到，$k \geq 1$的$P_4$ -自由图有一个生成\emph{$k$-walk}（闭行走使用每个顶点在最多$k$倍）当且仅当它是$\frac{1}{k}$ -强硬。作为我们的主要结果，我们证明了对于$P_4$ -free图类，是棱镜-Hamilton图、有生成$2$ -行走图和是$\frac{1}{2}$ -坚韧图这三个性质是等价的。
2019-01-07 math.CO
The toughness of random graphs
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文针对二项随机图G(n,p)，证明其韧性τ(G(n,p))以高概率满足τ(G(n,p))=(n−a)/a+o(1)，并存在序列n_m→∞使得其韧性以高概率小于(n_m−a)/a−1/a。
2026-09-09 math.CO
Disconnected Forbidden Subgraphs, Toughness and Hamilton Cycles
1974年，Goodman和Hedetniemi证明了任何2-连通无$(K_{1,3},K_{1,3}+e)$图都是Hamilton图。这一结果在附加连通性条件下给出了各种禁止连通子图对和禁止连通子图三重图的其他哈密尔顿性条件。1997年证明了2-连通图中的单个禁止连通子图$R$只能生成一类平凡的具有$R=P_3$的哈密顿图（完全图）。本文证明了：如果$R$是不连通的，则一个禁止子图$R$可以生成一个非平凡的哈密顿图类：$(\ast1)$：每个无$(K_1\cup P_2)$的图都是Hamilton图或属于一个定义良好的非哈密顿图类; $(\ast2)$：每个无1-tough $(K_1\cup P_3)$的图都是Hamilton图.我们证明了每个1-tough $(K_1\cup P_4)$ -free图是Hamilton图，每个1-tough $P_4$ -free图是Hamilton图
2012-07-24 math.CO
A proof of Brouwer's toughness conjecture
连通图$G$的韧性$t(G)$被定义为$t(G)=\min\{\frac{|S|}{c(G-S)}\}$，其中在所有真子集$S\subset V(G)$上取最小值，使得$c(G-S)>1$，其中$c(G-S)$表示$G-S$的分量数.用PDMATHAMT表示图的邻接矩阵的第二大绝对特征值。对于任何连通的$d$ -正则图$G$，Alon已经证明了$t(G)>\frac{1}{3}(\frac{d^2}{dλ+λ^2}-1)$，通过它，Alon能够证明对于每个$t$和$g$，存在围长严格大于$g$的$t$ -坚韧图，从而在很强的意义上反驳了Chvátal关于泛圈性的猜想。Brouwer独立地发现了一个更好的边界$t(G)>\frac{d}λ-2$为任何连接$d$ -正则图$G$，而他也证明了下界可以改进为$t(G)\ge \frac{d}λ - 1$。我们证实了这一猜想。
2021-05-15 math.CO
Connectivity, toughness, spanning trees of bounded degree, and the spectrum of regular graphs
本文给出了正则图的谱与其广义连通度、坚韧度以及有界度支撑树的存在性之间的关系的一些新结果。
2016-02-18 cs.DM math.CO
The spectrum and toughness of regular graphs
1995年，Brouwer证明了连通$k$ -正则图$G$的韧性至少为$k/λ-2$，其中$λ$是$G$的非平凡特征值的最大绝对值。布劳威尔指出，人们可以将这个下限改进为$k/λ-1$，并且许多图（特别是在独立数的霍夫曼比范围内达到相等的图）的韧性等于$k/λ$。本文改进了Brouwer的谱界在韧性度较小时的性质，并确定了许多强正则图在Hoffman比界上相等的韧性度的精确值，如格图、三角图、三角图的补图和广义四边形的点图的补图.对于所有这些图的例外的彼得森图，我们确认布劳威尔的直觉，表明韧性等于$k/(-λ_{min})$，其中$λ_{min}$是最小的特征值的邻接矩阵的图形。
2013-12-08 cs.DM math.CO
Toughness and normalized Laplacian eigenvalues of graphs
给定一个连通图$G$，韧性$τ_G$定义为比率$|S|/ω_{G-S}$的最小值，其中$S$的范围是$G$的所有顶点割集，$ω_{G-S}$是从$G$中删除$S$的所有顶点得到的子图$G-S$中连通分支的个数.在本文中，我们提供了韧性$τ_G$的最大程度，最小程度和归一化拉普拉斯特征值的$G$的下界。这可以被视为Brouwer韧性猜想的轻微推广，Gu（2021）证实了这一点。此外，我们给出了达到Gu和Haemers（2022）给出的关于韧性和Laplacian特征值的两个下界的图的特征。
2023-01-08 math.CO math.SP
Toughness and spanning trees in $K_4$-minor-free graphs
对于整数$k$，$k$ -树是最大度至多为$k$的树。更一般地，如果$f$是顶点上的整数值函数，则$f$树是其中每个顶点$v$具有至多$f(v)$的度的树。令$c(G)$表示图$G$的分支数。证明了如果$G$是一个连通的$K_4$ -minor-free图，且$$ c(G-S) \;\le\; \sum_{v \in S} (f(v)-1) \quad\hbox{for all $S \subseteq V(G)$ with $S \ne \emptyset$} $$有生成$f$ -树.因此，如果$G$是一个$\frac{1}{k-1}$ -tough $K_4$ -minor-free图，则$G$有一个生成$k$ -树。这些结果是强于一般的图，由于赢（$k$ -树）和Ellingham，Nam和Voss（$f$ -树）的结果。无$K_4$ -minor图是平面图的一个子类，与树宽至多为$2$的图相同，也与块串并联的图相同.我们提供的例子表明，上面的不等式不能放松，通过添加$1$的右手边，也表明我们的结果并不适用于一般的平面图。我们的证明使用了一种技术，我们将韧性相关的信息与顶点和割集相关的权重。
2019-07-01 math.CO
Toughness of recursively partitionable graphs
一个简单的图$G=(V,E)$在$n$顶点上被称为是递归可分的（RP），如果$G \simeq K_1$，或者如果$G$是连通的并且满足以下递归性质：对于$n$的每个整数划分$a_1, a_2, \dots, a_k$，存在$V$的一个划分$\{A_1, A_2, \dots, A_k\}$，使得每个$|A_i|=a_i$和每个导出子图$G[A_i]$是RP（$1\leq i \leq k$）。我们证明，如果$S$是具有$|S|\geq 2$的RP图$G$的顶点割，则$G-S$最多有$3|S|-1$分量。此外，这个界限是尖锐的$|S|=3$。我们提出了两种方法来构造新的RP图从旧的。我们使用这些方法表明，对于所有的正整数$s$，存在无限多的RP图的$s$ -顶点削减其删除叶$2s+1$组件。此外，我们证明了一个简单的必要条件，一个图有一个RP生成树，我们提出了一类极小2-连通RP图。
2022-10-19 math.CO
Generalized toughness and Q-index in a graph
School of Science, Jiangsu University of Science and Technology（江苏科技大学理学院）
本文推广了图的广义 $l$-坚韧度概念，并分别提出了判定图成为 $(b,l)$-坚韧和 $(\frac{1}{b},l)$-坚韧的无符号拉普拉斯谱半径（$Q$-指标）条件。
2025-10-12 math.CO
Minimally tough series-parallel graphs with toughness at least $1/2$
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；HUN-REN–ELTE Numerical Analysis and Large Networks Research Group（匈牙利研究网络–罗兰大学数值分析与大型网络研究组）
本文研究了韧性至少为1/2的最小坚韧系列-并行图的特征，证明了当韧性t在1/2到1之间时，大部分具有该韧性的系列-并行图是最小坚韧图，而当韧性为1/2时则不是。
2025-12-01 cs.DM math.CO
On the Hamiltonicity, traceability and toughness of complements of line graphs
School of Mathematics and Statistics UNSW Sydney（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文通过最长环方法证明了线图补图的Hamilton性特征化，并指出某些特定图如K_5的补图为彼得森图。
2026-09-16 math.CO
Minimal toughness in subclasses of weakly chordal graphs
University of Primorska（波雷奇大学）
研究弱弦图子类中最小韧性图的特性及分类，揭示其在不同子类中的结构特征。
2026-03-05 cs.DM math.CO
Minimally tough chordal graphs with toughness at most $1/2$
本文刻画了韧度至多 1/2 的极小坚韧弦图，并由此推出区间图的相应刻画，为图韧度理论提供了完整分类。
2022-09-01 cs.DM math.CO
Fractional factors and component factors in graphs with isolated toughness smaller than 1
本文证明了孤立顶点数不等式条件与特定分支因子存在的等价性，并通过二部划分刻画了相关树族结构。
2024-09-23 math.CO
Factors and connected factors in tough graphs with high isolated toughness
设$G$是一个图，$f$是$V(G)$上的一个正整数值函数.假设对于所有$S\subseteq V(G)$，$$\sum_{v\in I(G\setminus S)}f(v)(f(v)+1)\le |S|,$$，其中$I(G\setminus S)$表示$G\setminus S$的孤立顶点集。在本文中，我们表明，如果对所有的$S\subseteq V(G)$，$$ω(G\setminus S)\le \sum_{v\in S}(f(v)-1)+1,$$和$\sum_{v\in V(G)}f(v)$是偶数，则$G$有一个因子$F$，使得对于每个顶点$v$，$d_F(v)=f(v)$，其中$ω(G\setminus S)$表示$G\setminus S$的组件的数量。此外，我们表明，如果对所有的$S\subseteq V(G)$，$$ω(G\setminus S)\le \frac{1}{4}|S|+1,$$和$f\ge 2$，则$G$有一个连接因子$H$，使得对每个顶点$v$，$d_H(v)\in \{f(v),f(v)+1\}$。
2022-05-08 math.CO
Scattering number and $τ$-toughness in graphs involving $A_α$-spectral radius
本文利用$A_α$-谱技术与结构分析，给出图满足$s(G)\leq1$及具有$τ$-韧性的谱半径充分条件，并推广和统一了已有结果。
2025-09-01 math.CO
Strengthening some complexity results on toughness of graphs
设$t$为正实数。一个图被称为$t$ -tough，如果删除任何断开图的顶点集$S$，最多只留下$|S|/t$组件。图的韧性是图是$t$ -tough的最大$t$。本文的主要结果如下。对于任何正有理数$t \le 1$和任何$k \ge 2$和$r \ge 6$整数，识别$t$ -坚韧二部图是coNP-完全的（$t=1$的情况是已知的），并且这个问题对于$k$ -连通二部图仍然是coNP-完全的，识别1-坚韧r-正则二部图的问题也是如此。为了证明这些陈述，我们也处理其他相关的韧性复杂性问题。%在本文中，我们证明了以下内容。对于任意正有理数$t$，判定$τ(G)=t$是否DP-完全，如果是$t < 1$，则该问题对于二部图仍是DP-完全的.对任意整数$k \ge 2$和正有理数$t \le 1$，识别$t$ -坚韧$k$ -连通二部图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 5$，识别$1/2$ -坚韧$r$ -正则图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 6$，识别1-坚韧$r$ -正则二部图是coNP-完全的.对于任意正有理数$t < 2/3$，给出了识别具有韧性$t$的3-正则图的多项式时间算法.最后，我们证明了每个连通4-正则图都是1/2-坚韧的。
2019-10-19 cs.DM math.CO
Binding Number, Toughness and General Matching Extendability in Graphs
本文研究图中绑定数与韧度条件对一般匹配可扩展性的影响，证明在足够大的图中，若绑定数不低于4/3+ε或韧度不低于1+ε且高连通，则图具有E(m,n)-可扩展和(n,k)-可扩展性。
2019-01-15 math.CO
Properties of minimally $t$-tough graphs
一个图$G$是最小$t$ -tough的，如果$G$的韧性是$t$，并且从$G$删除任何边都会降低韧性。Kriesell证明了对每一个极小$1$ -坚韧图，最小度$δ(G)=2$ .我们证明了在每一个极小$1$ -坚韧图$δ(G)\le\frac{n+2}{3}$中.证明了极小$1$ -坚韧无爪图是圈。另一方面，我们证明了对于每个$t \in \mathbb{Q}$，任何图都可以作为诱导子图嵌入到极小$t$ -坚韧图中。
2017-08-11 math.CO
The complexity of recognizing minimally tough graphs
一个图被称为$t$ -tough，如果删除任何断开图的顶点集$S$，最多只留下$|S|/t$组件。图的韧性是图是$t$ -坚韧的最大$t$。一个图是极小$t$ -坚韧的，如果图的韧性是$t$，并且从图中删除任何边都会降低韧性。复杂度类DP是所有可以表示为NP语言和coNP语言的交集的语言的集合。本文证明了对任意正有理数$t$，识别极小$t$ -坚韧图是DP-完全的.我们引入了一个新的概念，称为加权韧性，这在我们的证明中有一个关键作用。
2020-11-23 cs.DM math.CO
2-factors in $\frac{3}{2}$-tough maximal planar graphs
本文研究了$\frac{3}{2}$-坚韧极大平面图中2-因子的存在性条件，通过限制度数为3的顶点之间的距离给出了2-因子存在的充分条件。
2025-07-01 math.CO
l-connectivity, l-edge-connectivity and spectral radius of graphs
本文研究了简单图的l-连通性、l-边连通性与谱半径之间的联系，并探讨了有向图及边版本的类似问题，是对正则图基于第二大绝对特征值下界研究的拓展。
2023-09-11 math.CO
The minimum degree of minimally $t$-tough graphs
一个图$ G $是最小$ t $ -坚韧的，如果$ G $的韧性是$ t $，并且从$ G $删除任何边都会降低其韧性。Katona等人证明了极小$ t $ -坚韧图的最小度是$ \lceil 2t\rceil $，并给出了\cite{Katona, Gyula}中极小$ t $ -坚韧图的最小度的上界.本文证明了具有围长$ g\geq 5 $的极小1-坚韧图$ G $的最小度至多为$ \lfloor\frac{n}{g+1}\rfloor+g-1$，具有围长$ 4 $的极小$ 1 $ -坚韧图的最小度至多为$ \frac{n+6}{4}$ .我们还证明了极小$\frac{3}2$ -坚韧无爪图的最小度是$ 3 $。
2022-06-18 math.CO
Toughness and the existence of tree-connected $\{f,f+k\}$-factors
设$G$是一个图，$f$是$V(G)$上满足$2m\le f\le b$的正整数值函数，其中$b$和$m$是两个正整数，且满足$b\ge 4m^2$ .在本文中，我们表明，如果$G$是$b^2$ -tough和$|V(G)|\ge b^2$，那么它有一个$m$ -树连通因子$H$，使得对于每个顶点$v$，$$d_H(v)\in \{f(v), f(v)+1\}.$$接下来，我们推广了这个结果，给出了一个强硬的图有一个树连通因子$H$，使得对于每个顶点$v$，$d_H(v)\in \{f(v), f(v)+k\}$。作为应用，我们证明了每一个阶至少为$b+1$且具有$ab|V(G)|$的$64b(b-a)^2$ -坚韧图$G$甚至允许一个度在$\{a,b\}$集合中的连通因子，其中$a$和$b$是两个具有$2\le a< b < \frac{6}{5}a$的整数.此外，我们证明了每一个$16$ -坚韧图$G$的顺序至少为3承认$2$ -连接的因素，其程度在于在集合$\{2,3\}$，如果$G$有一个$2$ -因素的围长至少为5。这个结果证实了Chvátal（1973）提出的一个长期猜想的一个较弱版本。
2022-05-22 math.CO
Connectivity, toughness, and hamiltonicity of simplicial polytopes
Deakin University（迪肯大学）
针对 $d\ge4$ 的单纯多面体，构造了满足指定连通度、低坚韧度且不可迹的例子，否定了高连通度保证高维多面体哈密顿性的猜想，还得到了短度系数和指数的相关结论。
2026-10-12 math.CO
Toughness and Aα-spectral radius in graphs
Jiangsu University of Science and Technology（江苏科技大学）；Dalian Jiaotong University（大连交通大学）；Yantai University（烟台大学）
本文研究了图的 toughness 与 Aα-谱半径的关系，证明了在特定条件下图的 toughness 与谱半径的联系，并给出了 t-tough 图的谱半径条件。
2026-01-22 math.CO
