一次同余方程的解的个数
Number of Solutions of Linear Congruence Systems
摘要：
利用初等方法，得到了一次同余方程组的解的个数公式。
英文摘要：
We find a formula for the number of solutions of linear congruence systems, by using elementary methods.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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利用欧拉数和欧拉数，建立了调和数、正切数和Genocchi数的和的同余关系.
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Kummer-type congruences for multi-poly-Bernoulli numbers
多重多伯努利数是伯努利数的推广。本文利用$p$ -adic分布证明了多重多Bernoulli数的Kummer型同余。
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Hurwitz类数的非全纯Ramanujan型同余
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与已知的Ramanujan型同余相比，我们发现Hurwitz类数的Ramanujan型同余可以在非全纯生成列上得到支持.我们建立了一类Hurwitz类数的非全纯同余的整除性结果。在我们的证明中的两个关键工具是全纯投影的产品的theta系列与Hurwitz类数生成系列和一个定理的塞尔，它允许我们排除某些同余。
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关于限制一次同余方程的解的个数
On the number of solutions of a restricted linear congruence
考虑一次同余方程方程$${a_1^{s}x_1+\ldots+a_k^{s} x_k \equiv b\,(\text{mod } n^s)}\text { where } a_i,b\in\mathbb{Z},s\in\mathbb{N}$$用$(a,b)_s$表示同时整除$a$和$b$的最大$l^s\in\mathbb{N}$.给定$t_i|n$，我们寻求这个一次同余方程的解$\langle x_1,\ldots,x_k\rangle\in\mathbb{Z}^k$，其中约束为$(x_i,n^s)_s=t_i^s$。Bibak等人[J. Number Theory，171：128-144，2017]考虑了上述一次同余方程与$s=1$，并给出了Ramanujan和的解的个数公式。本文对任意$s\in\mathbb{N}$导出了上述同余式的解的个数公式，其中包含E. Cohen [Duke Math. J，16（85-90）：2，1949]
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本文给出了泛Bernoulli数的Kummer原型模素幂同余关系.虽然幂指数是原全等的一半，但这种估计是最好的。
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虚二次域的类数与Bernoulli数或欧拉数之间存在经典的同余关系。在BSD猜想下，Onishi得到了这些同余的一个椭圆推广，它给出了某些具有CM的椭圆曲线的Tate-Shafarevich群在高斯整数环上的阶与Mordell-Weil秩0之间的同余，以及与高斯整数环相关联的椭圆函数的幂级数展开系数。本文给出了Eisenstein整数情形下的Onishi型同余。
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带指定和数的划分上标记部分个数的模2，4，8的新同余
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非负整数一次同余方程
Non-Negative Integer Linear Congruences
考虑多元一次同余方程的所有非负整数解的刻画问题。这个问题可以简化为求解同余式$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + ... + (n-1)x_{n-1} \equiv 0 \pmod n$，其中在非负整数中寻找未知数$x_i$的值。我们考虑这个方程的幺半群的解决方案，并证明了一个猜想Elashvili关于这些解决方案的结构。这就产生了一个简单的算法，用于生成方程的大多数（几乎所有）高度不可分解的解。
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具有不同偶数部分的分拆和双分拆个数的同余
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令$ped(n)$表示$n$的分区的数目，其中偶数部分是不同的（并且奇数部分是不受限制的）。我们证明了$ped(n)$模$8$的无穷族同余。我们还详细研究了$ped_{-2}(n)$模$8$的行为，其中$ped_{-2}(n)$表示$n$的偶数部分不同的二分区的数量。其结果是，我们找到了无穷族的同余$ped_{2}(n)$模$8$。
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我们表明，没有简单的同余公式的点的数量的模p减少的一个经常性的模型的一个光滑的真簇定义在一个局部域与$\ell$ -进上同调支持余维$\ge κ$。
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用广义Ramanujan和求限制一次同余方程
On solving a restricted linear congruence using generalized Ramanujan sums
考虑$b,n\in\mathbb{Z}$的一次同余方程方程$x_1+\ldots+x_k \equiv b\,(\text{mod } n)$。$(a,b)_s$是指同时划分$a$和$b$的最大的$l^s\in\mathbb{N}$。对于每个$d_j|n$，定义$\mathcal{C}_{j,s} = \{1\leq x\leq n^s | (x,n^s)_s = d^s_j\}$。Bibak等人用Ramanujan和给出了上述同余方程在$x_i$上的一些gcd限制下的解的个数的公式。我们推广了他们的结果，在$x_i$上引入了广义gcd限制，证明了对于上述一次同余方程，解的个数为$$\frac{1}{n^s}\sum\limits_{d|n}c_{d,s}(b)\prod\limits_{j=1}^{τ(n)}\left(c_{\frac{n}{d_j},s}(\frac{n^s}{d^s})\right)^{g_j}$$，其中$g_j = |\{x_1,\ldots, x_k\}\cap \mathcal{C}_{j,s}|$对$j=1,\ldots τ(n)$，$c_{d,s}$表示E.科恩
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类数为1的同余函数域
Congruence Function Fields with Class Number One
本文证明了在有限域上存在一个函数域，直到同构为止，该函数域的两个元素的类数类数为1，亏格为4。这个结果与MacRae，Madan，Leitzel，Queen和Stirpe的结果一起，证明了存在8个亏格大于零且类数为1的非同构同余函数域.
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散点列的同余与非同余子群的模形式
Congruences for sporadic sequences and modular forms for non-congruence subgroups
在证明zeta（2）R.阿维尼翁引入了数b_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2{n+k \choose k}。Stienstra和Beukers证明了对素数p > 3的Aynomial数满足同余式b（（p-1）/2）= 4a^2- 2 p mod p，如果p = a^2+b^2（其中a是奇数）。后来，Zagier发现了一些Aiden数的推广，即所谓的零星序列，最近Osburn和Straub证明了除了Zagier的六个零星序列中的一个之外的所有类似的同余（三个案例已经知道是真的），并证明了第六个序列的同余。本文通过研究非同胚子群的某些尖点形式的傅里叶系数之间的Atkin和Swinnerton-Dyer同余，证明了剩余同余。
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关于具有同余条件的二次型表示整数的个数
On the number of representations of integers by quadratic forms with congruence conditions
我们用模形式理论刻画了标题中所描述的表示数的母函数。呼吁这个特征，我们得到明确的公式的代表数作为例子。
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一类可加同余问题误差项估计的对数因子
On the logarithmic factor in error term estimates in certain additive congruence problems
我们去掉了一类模素数可加同余解的个数渐近公式中误差项估计的对数因子。
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利用周期性求剖分同余
Using Periodicity to Obtain Partition Congruences
在本文中，我们推广了Mizuhara、Sellers和Swisher最近的工作，该工作给出了一种基于有界数量的计算来建立限制平面划分同余的方法。使用周期性的分拆函数，我们的扩展技术可能是一个有用的工具来证明某些类型的组合函数的基础上有限数量的计算同余。作为结果的应用，我们建立了新的和已有的限制平面分拆同余、限制平面超分拆同余以及限制分拆同余的几个例子。
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Borcherds乘积指数的线性同余关系
Linear congruence relations for exponents of Borcherds products
University of Cologne（科隆大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
本文证明对于所有素数p≥5的正幂，存在无穷多个线性同余关系连接扭曲Borcherds乘积的指数，并推广到p=2,3的情况，证实了Ono的猜想。
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高阶Catalan数与二项式系数的雅可比多项式与同余
Jacobi polynomials and congruences involving some higher-order Catalan numbers and binomial coefficients
本文研究了二项式系数乘积和上的同余式，并利用雅可比多项式的性质证明了这类同余式。我们特别注意多项式同余包含Catalan数，二阶Catalan数，序列（\seqnum{A176898}）$S_n=\frac{{6n\choose 3n}{3n\choose 2n}}{2{2n\choose n}(2n+1)},$和二项式系数${3n\choose n}$和${4n\choose 2n}$。作为一个应用，我们讨论了Z的几种结构。W. Sun关于涉及$S_n$的和的同余的结果，我们证明了一个关于二项式系数${3n\choose n}$和的三次剩余性准则H.太阳
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类数与带同余条件的三元二次型表示
Class numbers and representations by ternary quadratic forms with congruence conditions
本文主要研究整三元二次型与类数之间的关系。这部分是由彼得森的问题引起的。
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数域的伽罗瓦表示的同余
On congruences of Galois representations of number fields
利用模l的整体表示给出了代数数域的两个l-adic伽罗瓦表示在限制于一个分解群时同构的一个判据.在半稳定性条件下证明了Rasmussen-Tamagawa猜想的一个推广，推广了作者的一些结果.并应用它证明了关于模形式的傅里叶系数的一个同余结果。
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关于同余系的解的个数与两个多项式的结式的关系
On the relationship between the number of solutions of congruence systems and the resultant of two polynomials
设$q$为奇素数，$f(x)$，$g(x)$为整系数多项式.如果同余系$f(x) \equiv g(x) \equiv 0 \pmod{q}$有$\ell$解，则有$R\left(f(x),g(x)\right)\equiv 0 \pmod{q^\ell}$，其中$R\left(f(x),g(x)\right)$是多项式的结果。利用这个结果，我们给出了一些已知的包含Lucas序列的同余式的新证明.
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一类Markoff数的同余与唯一性
Congruence and Uniqueness of Certain Markoff Numbers
利用关于同余的简单事实，我们首先证明了每个偶数Markoff数都同余于2模32，然后推广了Baragar的一个结果，建立了3c - 2和3c + 2中的一个是素数幂、4倍素数幂或8倍素数幂的Markoff数c的唯一性.
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关于Voronoi同余与Fermat商的留数的注记
A note on the Voronoi congruences and the residue of the Fermat quotient
给定一个奇素数p，我们证明了在基a中Fermat商q_p（a）的p-剩余上的一个同余，其中0<a<p，它是Voronoi同余的推广，也是除伯努利数的和与加权和的一些同余的推广.作为基2情形的一个应用，我们得到了（p-1）/2阶第一广义调和数的一个同余，这是Z-H的一个推广.太阳的一个经典的同余已知长期以来为调和数的顺序（p-1）/2作为一个特殊情况下的Lerch公式。我们发现Voronoi同余有一个与W.约翰逊和哪一个计算效率更高。我们证明了一个额外的相关同余，该同余专门用于以2为基，可以检索最初归因于E的几个同余。莱默
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两个模3同余的另一个证明及偶数部分超划分中最小部分个数的另一个SPT猜想
Another proof of two modulo 3 congruences and another SPT crank for the number of smallest parts in overpartitions with even smallest part
通过考虑过划分和剩余曲柄的$M_2$ -秩，我们给出了同余$\overline{\mbox{spt}}_2(3n)\equiv \overline{\mbox{spt}}_2(3n+1)\equiv 0\pmod{3}$的另一种组合加细.这里，$\overline{\mbox{spt}}_2(n)$是$n$的超分区中最小部分的出现总数，其中最小部分是偶数并且没有上划线。我们的证明依赖于Bailey引理和Lovejoy和Osburn关于过划分的$M_2$ -秩的秩差公式。这个同余，以及一个模$5$同余，以前已经使用过分区的秩进行了细化。
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关于同余式$\sum_{j=1}^{n-1} j^{k(n-1)} \equiv -1 \pmod n $。k-强Giuga数和k-卡迈克尔数
On the congruence $\sum_{j=1}^{n-1} j^{k(n-1)} \equiv -1 \pmod n $. k-strong Giuga and k-Carmichael numbers
在这项工作中，我们考虑的同余$\sum_{j=1}^{n-1} j^{k(n-1)} \equiv -1 \pmod n$为每个$k \in \mathbb{N}$，从而扩展了Giuga的想法$k=1$。特别地，证明了一对$(n,k)\in \mathbb{N}^2$满足该同余当且仅当$n$是素数或Giuga数且$λ(n) \mid k(n-1)$ .同时，我们建立了Giuga数的新的刻画，并研究了满足$λ(n) \mid k(n-1)$的数$n$的一些性质.
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三次函数及某些类似分拆函数的奇数差的同余
Congruences for the difference of even and odd number of parts of the cubic and some analogous partition functions
其中偶数部分以两种不同颜色出现的分区称为立方分区。最近，梅尔卡介绍和研究的功能$A(n)$，这是定义为之间的差异的数量立方分区的$n$到一个偶数的部分和数量立方分区的$n$到一个奇数的部分。特别是，使用斯穆特的\textsf{RaduRK} Mathematica软件包，梅尔卡证明了以下同余找到确切的生成函数的各自职能。对于所有的$n\ge0$，\begin{align*}A(9n+5)\equiv 0\pmod 3,\\ A(27n+26)\equiv 0\pmod 3. \end{align*}，da Silva和Sellers利用生成函数的操作和剖分，证明了这些同余和由这些同余产生的模3的两个无穷族同余.本文利用Ramanujan的θ函数恒等式，给出了生成函数的简化公式，由此可以很自然地证明Merca的同余式以及da Silva和Sellers的同余式.我们还研究了类似的分拆函数，其中多个$k$出现在两种不同的颜色，其中$k\in\{3,5,7,23\}$。
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L（-k，χ）的Stern型同余
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证明了广义Bernoulli数的几个Stern型同余。
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广义Bernoulli数与伯努利多项式的同余关系
Some congruences involving generalized Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials
设$[x]$是$x$的整数部分，$n>1$是正整数，$χ_n$表示模$n$的平凡Dirichlet特征标.本文利用Z. H.得到了$T_{m,k}(n)=\sum_{x=1}^{[n/m]}\frac{χ_n(x)}{x^k}\left(\bmod n^{r+1}\right)$对于$r\in \{1,2\}$，任意正整数$m $与$n \equiv \pm 1 \left(\bmod m \right)$关于伯努利多项式的同余式.作为应用，我们还得到了关于广义Bernoulli数的模$n^4$的二项式系数的一些新的同余式.
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关于Lehmer同余的注记
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本文推广了Lehmer关于一般合数的一些同余式.
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带同余限制的多元线性同余方程组
Linear Congruences in several variables with congruence restrictions
本文研究带限制条件的多元线性同余方程组，利用 Ramanujan 和给出解数的充要条件与显式公式，并推广至 $\mathbb{F}_q[t]$ 函数域。
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广义Lucas同余与线性$p$ -格式
Generalized Lucas congruences and linear $p$-schemes
我们观察到一个序列满足Lucas同余模$p$当且仅当它的值模$p$可以描述的线性$p$ -计划，介绍了罗兰和Zeilberger，与一个单一的状态。这个简单的观察表明卢卡斯同余概念的自然推广。为了说明这一点，我们证明了显式广义Lucas同余整数序列，可以表示为$P(x,y)^n Q(x,y)$的常数项，其中$P$和$Q$是某些劳伦多项式。
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多重调和和与Bernoulli数的新同余
New Congruences on Multiple Harmonic Sums and Bernoulli Numbers
令${\mathcal{P}_{n}}$表示与$n$互素的正整数的集合。令$B_{n}$为第$n$个伯努利数。对任意素数$p \ge 11$和整数$r\ge 2$，证明了$$ \sum\limits_{\begin{smallmatrix} {{l}_{1}}+{{l}_{2}}+\cdots +{{l}_{6}}={{p}^{r}} {{l}_{1}},\cdots ,{{l}_{6}}\in {\mathcal{P}_{p}} \end{smallmatrix}}{\frac{1}{{{l}_{1}}{{l}_{2}}{{l}_{3}}{{l}_{4}}{{l}_{5}}{l}_{6}}}\equiv - \frac{5!}{18}p^{r-1}B_{p-3}^{2} \pmod{{{p}^{r}}}. $$这推广了一类奇异同余.我们还得到了其他有趣的同余涉及多重调和伯努利数。
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关于负上标多重伯努利数的同余性质
On congruence properties of poly-Bernoulli numbers with negative upper-indices
本文研究了负上标多重伯努利数的同余与 $p$ 进性质，并将其结果应用于推导 lonesum 矩阵数量的同余性质。
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关于二项式系数和Apéry型数的超同余
Super congruences concerning binomial coefficients and Apéry-like numbers
设$p$是一个素数，其上有$p>3$，$a,b$是两个有理数$p-$.本文给出了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac p{k+b}\pmod {p^2}$的一般同余式.对于$n=0,1,2,\ldots$，令$D_n$和$b_n$分别为Domb和Almkvist-Zudilin数。我们还建立了$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{16^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{4^n}, \quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-3)^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-27)^n}\pmod {p^2}$$在某些二元二次型方面的同余。
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分拆函数模 4 的显式线性同余依赖关系
Explicit linear dependence congruence relations for the partition function modulo 4
针对分拆函数 p(n) 模 4 的线性同余依赖关系，本文首次显式构造了 Ono 理论证明存在的实例，揭示了其奇偶性并非完全随机。
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Z.-调和数的一个同余式的证明W.孙
Proof of a congruence for harmonic numbers conjectured by Z.-W. Sun
对于正整数$n$，令$H_n=\sum_{k=1}^{n}1/k$为$n$次谐波数。本文证明了对任何素数$p\ge 7$，$$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k^2}{k^2} \equiv4/5pB_{p-5}\pmod{p^2}, $$都是一个素数，从而证实了Z. W.太阳此外，我们还证明了两个模$p^2$的相似同余。
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Domb数与Almkvist-Zudilin数的同余
Congruences for Domb and Almkvist-Zudilin numbers
本文证明了模素数同余的几个变换公式，并推导了Domb数和Almkvist-Zudilin数的几个同余.我们还对模素幂同余作了一些讨论。
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有限代数扩张K/Q类数的prime factors上的一些同余
Some congruences on prime factors of class number of finite algebraic extensions K/Q
本文是对数域的类数的奇素因子上的一些同余的刻划的一个贡献。得到的结果的一个例子是：设L/Q是有限Galois可解扩张，[L：Q]=N，其中N > 1是奇数.设h（L）是L的类数。假设h（L）> 1。设p是素数整除h（L）.设r是L的p-类群的秩。则乘积p \times（p^r-1）\times（p^{r-1}-1）\times. \times（p-1）和N不是互质的。证明是基本的。
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关于涉及$q$ -Catalan数的一个同余
On a congruence involving $q$-Catalan numbers
基于作者和Petrov的一个$q$ -同余式，我们建立了Sun-Tauraso关于Catalan数和的一个$q$ -同余式的一个类似，它推广了Tauraso的一个$q$ -同余式.
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Chebotarev定理与递归线性方程组的同余关系及$\mathbb{F}_p$上的因式分解算法
Théorème de Chebotarev et Congruences de suites récurrentes linéaires, liens avec les algorithmes de factorisations sur $\mathbb{F}_p$
Fibonacci和Lucas序列所满足的经典同余关系反映在由黄金数生成的环中素数的分解上。这推广到建立一个对应关系，我们希望将是新的Chebotarev定理和线性序列满足的同余。这个链接是在数字域扩张的上下文中完成的。特别地，我们刻画了由线性递归序列项上的单同余完全分解的素理想。我们的结果被大量的例子所证明，包括$S_3$群的Padovan序列和与$\mathbb{PSL}_2 (\mathbb{F}_7)$群的Cartier Trink多项式相关的Padovan序列.此外，我们建立了一个链接之间的因式分解算法的Berlekamp和Cantor-Zassenhaus和这项工作的结果。
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数域上GL（n）上自守形式的伴随L函数和同余的特殊值
Special values of adjoint L-functions and congruences for automorphic forms on GL(n) over a number field
本文证明了任意数域上GL（n）上的上同调尖形自守表示的伴随L-函数在s=1处的值的一个可积性结果。然后，我们表明，素数（例外集外）划分这个特殊的值引起的自守形式之间的同余。我们还证明了GL（n）× GL（n）上相应的Rankin-Selberg L函数在无穷远处的非零性.
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关于Stirling数和Eulerian数的同余
Congruences on Stirling numbers and Eulerian numbers
本文建立了Stirling数和Eulerian数的Fleck-Weisman型同余和Davis-Sun型同余。
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同余和与有理逼近
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Apéry数$β_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}$的同余
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本文建立了Apéry数$β_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}$ $(n=0,1,2,\ldots)$的几个同余.例如，我们证明了对于任意正整数$n$，$$\sum_{k=0}^{n-1}(11k^2+13k+4)β_k\equiv0\pmod{2n^2}$$是零，对于任意素数$p>3$，$$\sum_{k=0}^{p-1}(11k^2+13k+4)β_k\equiv 4p^2+4p^7B_{p-5}\pmod{p^8}$$是零，其中$B_{p-5}$是$(p-5)$ th Bernoulli数.给出了两类Aesthetic数$β_n$和$A_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2$的同余性质之间的某些关系。
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同余子群与正交群
Congruence Subgroups and Orthogonal Groups
给出了任意二次数域上的Siegel模群、Hermitian模群和2次Hurwitz四元数上的模群的某些同余子群与特殊正交群SO 0（2，n），n = 3，4，6的判别核之间的显式同构.证明是基于适应数论需要的线性代数的应用。
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二次同余方程解的稠密性
Density of solutions to quadratic congruences
数论中的一个经典结果是关于等差数列中素数密度的狄利克雷定理。我们证明了一个类似的结果，正好有k个素因子的数，k>1。根据E.M.的证明。Wright在1954年提出的方法，我们计算这样的数的自然密度，其中每个素数满足一个同余条件。作为应用，我们得到了无平方数n不大于x且有k个素因子使得一个固定的二次方程模n恰好有2^k个解的密度.
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q-Delannoy数的一个Lucas型同余
A Lucas-type congruence for q-Delannoy numbers
证明了q-Delannoy数的一个Lucas型同余。
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包含Apéry-like数的新同余
New congruences involving Apéry-like numbers
本文给出了几类Apéry型序列的同余式。
math.COmath.NT
模数迹的同余关系与Hurwitz-Kronecker类数
Congruences for traces of singular moduli and Hurwitz - Kronecker class numbers
University of Hawaii（夏威夷大学）
本文研究了模数迹与Hurwitz-Kronecker类数之间的同余关系，通过U-算子作用下的模形式同余，揭示了模11下的特殊同余条件。
math.NT
关于Apéry数和Franel数的两个同余
On two congruences involving Apéry and Franel numbers
本文推广了V. J.- W. Guo和J. \cite{gz-jnt-2012}的一个同余式，得到了一个涉及Franel数的同余式，从而证实了Z. Zeng-J. W. Sun \cite [猜想57（ii）]{sun-njdx-2019}.
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