On the Gap-sum and Gap-product Sequences of Integer Sequences
在本文中，我们探讨了与合适的整数序列相关联的两类序列：间隙和序列和间隙积序列。这些是不在原始序列中的连续数的和与积。我们给出了封闭的形式，在原始序列，并在Horadam序列的情况下，我们发现的间隙和序列的生成函数。对于某些初等序列，我们指出了缺口积序列是由Fuss-Catalan-Raney数给出的。
2021-04-07 math.CO math.NT
Sums and Products with Smooth Numbers
在A = S（x，y）的特殊情况下，我们估计了和集A + A和积集A $\cdot$ A的大小，S（x，y）是小于或等于x的正整数n的集合，没有超过y的素因子.
2010-10-16 math.CO math.NT
Sum-product phenomena: p-adic case
研究了$\mathbb{Q}_p$的有限扩张K上的和积现象。结果的主要特点是隐含常数与$p$无关。
2018-02-10 math.CO math.NT
On popular sums and differences of sets with small products
给出了实数子集$A$的小积$AA$，得到了$A$的加性能量的一个新的上界.该证明利用了$A$的特征函数的卷积的水平集与$A$的乘积较小的自然观察。
2019-11-27 math.CO math.NT
Sums, products and dilates on sparse graphs
设$A \subset \mathbb R$和$G \subset A \times A$。我们证明了，对于任何$λ\in \mathbb R \setminus \{-1,0,1\}$，\[ \max \{|A+_G A|, |A+_G λA|, |A\cdot_G A|\} \gg |G|^{6/11}. \]
2020-10-05 math.CO math.NT
Sums and products along sparse graphs
在他们1983年的开创性论文中，Erdés和Szemerédi证明了任何$n$不同的整数都会导致$n^{1+ε}$不同的对和或许多不同的乘积，并证明了$n^{2-o(1)}$的下界。他们进一步提出了这个问题的一个推广，其中和和积是沿着给定图$G$在$n$标记顶点上的边取的。他们为至少有$n^{1+ε}$边的一般图证明了和积定理的一个版本。在这项工作中，我们考虑稀疏图的和积定理，并表明，这个问题已经有重要的后果时，$G$是一个匹配（即，$n/2$不相交边）：任何整数和积的$n^{1/2+δ}$形式的下界都蕴涵着原始Erdens-Szemerédi问题的$n^{1+δ}$的下界。相反，在实数上，匹配的最小和积是$Θ(\sqrt{n})$，因此这种方法有可能实现专门用于整数的下界。我们继续给这个问题在不同的设置的下限和上限。此外，我们提供了紧边界的总和沿扩展。在我们的证明中的一个关键因素是减少从一个匹配的最大数量的整数转换成完满平方的和产品。这个问题最初是由欧拉研究的，我们利用椭圆曲线分析得到了欧拉结果的一个更强形式。
2009-09-08 math.CO math.NT
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
2003-09-03 math.CO math.NT
Partition Inequalities and Applications to Sum-Product Conjectures of Kanade-Russell
我们考虑一个和两个变量的有限产品的差异，并提供某些系数的非负性的组合证明。由于乘积可以被解释为某些整数划分的生成函数，这相当于显示了划分不等式。这扩展了Berkovich-Garvan和McLaughlin的结果。然后，我们应用第一不等式和Andrews的反伸缩方法，给出了一个最近被证明的Kanade-Russell和积恒等式的“Escherapreis问题”的一个解。也就是说，我们提供了一些证据，Kanade-Russell的证明，通过显示非负系数的产品方面的差异，安德鲁斯-巴克斯特和Kadell没有产品方面的罗杰斯-拉马努金身份。
2019-04-18 math.CO math.NT
Sum-product estimates for diagonal matrices
给定$d \in \mathbb{N}$，我们建立了$\mathbb{R}^d$的有限非空子集的和积估计。这等价于对角矩阵集合的和积结果。特别地，令$A$是具有实元素的$d \times d$对角矩阵的有限非空集.然后对于所有的$δ_1 < 1/3 + 5/5277$，我们有\[ |A+A| + |A\cdot A| \gg_{d} |A|^{1 + δ_{1}/d}. \]。在这种情况下，上述估计定量地加强了Chang的结果。
2020-05-27 math.CO math.NT
A sum-division estimate of reals
设$A$是正实数的有限集。我们给出一个和-除估计：|A+A|第^2页|A/A| \geq \frac{|A|^4}{4}。
2009-05-16 math.CO math.NT
Sum-product phenomena in F_p: a brief introduction
这些笔记来自于我在2009年大斋期上的剑桥第三部分加法组合学课程。其目的是了解最简单的证明的Bourgain-Glibichuk-Konyagin界指数和子群。作为一个副产品，人们得到了一个干净的证明Bourgain-Katz-Tao定理的和产品的现象在F_p。参数基本上是从一份文件中提取Bourgain，我受益匪浅，收到未发表的课程笔记Elon Lindenstrauss。没有原创性。
2009-04-14 math.CO math.NT
On higher energy decompositions and the sum-product phenomenon
设$A \subset \mathbb{R}$是有限的。我们定量地改进了Balog-Wooley分解，即$A$可以被划分为$B$和$C$，使得$$\max\{E^+(B) , E^{\times}(C)\} \lesssim |A|^{3 - 7/26}, \ \ \max \{E^+(B,A) , E^{\times}(C, A) \}\lesssim |A|^{3 - 1/4}.$$。我们使用类似的分解来改进各种和积估计。例如，我们展示了$$ |A+A| + |A A| \gtrsim |A|^{4/3 + 5/5277}.$$
2018-06-04 math.CO math.NT
Breaking the 6/5 threshold for sums and products modulo a prime
设$A \subset \mathbb{F}_p$的大小至多为$p^{3/5}$。我们显示了$c = 4/305$的$$|A+A| + |AA| \gtrsim |A|^{6/5 + c},$$。我们的主要工具是Stevens和deZeeuw的笛卡儿积点线关联定理和第二作者发展的高能理论。
2018-06-19 math.CO math.NT
Sums of Products of Bernoulli numbers of the second kind
伯努利数b_0，b_1，b_2，.第二类的定义为\sum_{n=0}^\ infty b_nt^n= \frac{t}{\log(1+t)}。在本文中，我们给出了一个明确的公式的总和\sum_{j_1+j_2+...+j_N=n, j_1,j_2,...,j_N>=0} b_{j_1} b_{j_2}. b_{j_N}。我们还建立了\sum_{k=0}^n的q-类似物b_ kb_{n-k} =-（n-1）b_n-（n-2）b_{n-1}。
2007-09-19 math.CO math.NT
Attaining the exponent $5/4$ for the sum-product problem in finite fields
将有限域和积问题中的指数由$11/9$改进为$5/4$，改进了Rudnev，Shakan和Shkredov的结果.也就是说，我们表明，如果$A\subset \mathbb{F}_p$具有基数$|A|\ll p^{1/2}$，则\[ \max\{|A\pm A|,|AA|\} \gtrsim |A|^\frac54 \]和\[ \max\{|A\pm A|,|A/A|\}\gtrsim |A|^\frac54\,. \]
2021-04-02 math.CO math.NT
Sum-product estimates via directed expanders
设$\F_q$是$q$阶的有限域，$P$是$\F_q[x_1, x_2]$中的多项式.对于集合$A \subset \F_q$，定义$P(A):=\{P(x_1, x_2) | x_i \in A \}$。使用某些结构的扩展，我们的特点是所有多项式$P$，以下持有\vskip2mm \centerline{\it If $|A+A|$ is small, then $|P(A)|$ is large.} \vskip2mm的情况下$P=x_1x_2$对应于著名的和产品的问题。
2007-05-04 math.CO math.NT
A Note on the Sum-Product Problem and the Convex Sumset Problem
Indiana University Bloomington（印第安纳大学布鲁明顿分校）
该文为实数集上的求和-乘积猜想和凸求和集问题提供了新的指数界。
2026-01-29 math.CO math.NT
Sums and Products of Distinct Sets and Distinct Elements in $\mathbb{C}$
设$A$和$B$是$\mathbb{C}$的有限子集，使得$|B|=C|A|$。我们证明了和积现象的以下变体：如果$|AB|<α|A|$和$α\ll \log |A|$，则$|kA+lB|\gg |A|^k|B|^l$。这是一个应用程序的结果Evertse，Schlickewei，和施密特对线性方程的变量取值乘法组的有限秩，结合早先的定理Ruzsa约sumsets在$\mathbb{R}^d$。作为$A=B$情形的一个应用，我们给出了$|A^+|+|A^\times|$的一个下界，其中$A^+$是$A$的相异元素之和的集合，$A^\times$是$A$的相异元素之积的集合.
2010-09-13 math.CO math.NT
Some remarks on the asymmetric sum--product phenomenon
利用与高能有关的一些新的观测结果，当场的有限子集$A,B,C$的大小相差很大时，我们得到了$\max\{|AB|, |A+C| \}$和$\max\{|(A+α)B|, |A+C|\}$，$α\neq 0$的定量下界.
2017-05-26 math.CO math.NT
An improved sum-product estimate for general finite fields
本文改进了Katz和Shen关于阶为非素数的有限域的子集的和积估计。
2011-01-27 math.CO
Szemeredi-Trotter type theorem and sum-product estimate in finite fields
研究了有限域上的Szemerédi-Trotter型定理。然后利用这个定理得到了有限域上的一个改进的和积估计。
2007-11-28 math.CO
Nonstandard proof of combined sum and product structure in IP$^{*}$ sets
V. Bergelson和N. Hindman证明了$IP^{*}$集合包含$\mathbb{N}$中任意序列的和子系统的所有可能的有限和与积。在这篇文章中，我们将证明这一结果使用非标准分析。
2021-10-15 math.CO
Some applications of representation theory to the sum-product phenomenon
本文提出用表示论估计关联的新方法，并将其应用于带乘法特征的和式及数论中的 Zaremba 猜想。
2023-07-06 math.CO math.GR math.NT
A Product Formula for the Normalized Volume of Free Sums of Lattice Polytopes
自由和是凸多胞体之间的一种基本几何运算。本文重点讨论自由和的归一化体积与被加数的归一化体积之间的关系。特别是，我们证明了全维多面体的自由和的归一化体积正好是求和的归一化体积的乘积。
2019-03-13 math.CO
The Sum and Product of Independence Numbers of Graphs and their Line Graphs
图与其补图的色数和与积的界称为Nordhaus-Gaddum不等式。本文研究了图及其线图的独立数之和与积的界。
2014-09-20 math.CO
Sum-product estimates for rational functions
我们建立了几个有限域上的和积估计，涉及多项式和有理函数。第一、|f（A）+f（A）|对于F_p上的任意多项式f，+ |AA|远大于|A|。其次，给出了有理函数f和g的一个特征，其中|f（A）+f（A）|+|g（A，A）|可以小到|A|，对于大的|A|。第三，我们证明了在f上的温和条件下，|f（A，A）|基本上大于|A|，只要|A|大。我们还提出了一个猜想，一般的和产品的结果应该是什么。
2011-04-25 math.AG math.CO math.NT
Discretized sum-product estimates in matrix algebras
本文将Bourgain的离散和积定理推广到矩阵代数。
2017-10-17 math.CO math.DS
The sum-product phenomenon in arbitrary rings
\emph{sum-product phenomenon}预言环$R$中的有限集$A$应该有一个大的和集$A+A$或大的积集$A \cdot A$，除非它在某种意义上“接近”$R$的有限子环。这种现象已被深入分析了各种特定的环，特别是真正的$\R$和循环群$\Z/q\Z$。本文考虑任意环$R$中的问题，它不需要是交换的或包含乘法单位元。当$A$遇到$R$的几个零因子时，我们得到了这种环中和积现象的严格公式。作为应用程序，我们恢复（和推广）已经在文献中的几个和产品定理。
2009-02-23 math.CO
The Sum and Product of Chromatic Numbers of Graphs and their Line Graphs
一个Nordhaus-Gaddum型结果是一个图及其补图的参数之和或乘积的（紧）下界或上界。在本文中，一些变化被认为是。首先，回忆一下他们的定理，该定理给出了一个图的色数与其补图的色数的和与积的界。在本文中，我们提供了另一类图的一个新的特征。
2014-09-20 math.CO
Determinant of a Sum of Certain Kronecker Products
我们计算$\sum_{n=1}^{N} \vec{A}^{(n)} \otimes \vec{B}^{(n)}$的行列式，其中$\vec{A}^{(n)}$是正方形，以及${\vec{B}^{(n)}=\vec{x}^{(n)}{\vec{y}^{(n)}}^T}$，其中$\vec{x}^{(n)}$和$\vec{y}^{(n)}$的长度为$N$。
2020-12-15 math.CO
The permanent and diagonal products on the set of nonnegative matrices with bounded rank
本文给出了秩有界的随机阵集合上的积和对角积的最大值和最大化矩阵的表达式。基于非负矩阵的秩、行和、列和，给出了这些函数的上界的等价公式。特别地，我们猜想奇异非负矩阵的积和式的界是其行和与列和乘积的最小值的1/2倍，奇异非负矩阵的任意对角线元素的乘积的界是其行和与列和乘积的最小值的1/4倍.
2018-07-31 math.CO
Sum-Product Phenomena for Planar Hypercomplex Numbers
研究了平面超复数的和积问题：对偶数和双复数。这些数字系统类似于复数，但事实证明，它们具有非常不同的组合行为。我们确定控制这些问题的行为的参数，并推导出依赖于这些参数的和-积界。对于对偶数，我们暴露了一个范围，其中$\max\{|A+A|,|AA|\}$的最小值既不接近$|A|$也不接近$|A|^2$。为了获得我们的主要和产品界，我们扩展Elekes的和产品技术，依赖于点线的发病率。我们的扩展比原来的证明更复杂，在某种意义上，以自举的方式运行了几次原来的技术。我们还研究了点线的发病率在双平面和双平面，发展类似的Szemeredi-Trotter定理。与和积问题一样，对偶变量和二重变量的行为与复数变量和实数变量的行为不同。
2018-12-22 math.CO
An improved sum-product estimate over finite fields
本文给出了阶为非素数的有限域的子集的一个改进的和积估计。它示出，在一定的条件下，$$\max\{|A+A|,|A\cdot{A}|\}\gg{\frac{|A|^{12/11}}{(\log_2|A|)^{5/11}}}.$$这个新的估计匹配，直到一个对数因子，目前最好的已知的界限上获得的素域域Rudnev（\cite{mishaSP}）。
2011-05-31 math.CO
Two Kinds of Constructions of Directed Strongly Regular Graphs from Partial Sum Families and Semi-direct Products of Groups
本文利用具有局部环的部分和族构造了具有新参数的有向强正则图。得到了16个新的有向强正则图族，并给出了一致部分和族。基于有限域的分圆数，利用群的半直积给出了两类有向强正则Cayley图.
2020-02-23 math.CO
An application of kissing numbers in sum-product estimates
凸体的接吻数的有界性是Hadwiger很早以前就知道的。我们提出了一个应用程序，它的和-积估计$$\max(|\mathcal{A}+\mathcal{A}|,|\mathcal{A}\mathcal{A}|)\gg\dfrac{|\mathcal{A}|^{4/3}}{\lceil\log|\mathcal{A}|\rceil^{1/3}}$$有限集$\mathcal{A}$的四元数和一定家庭的良好条件矩阵。
2017-09-26 math.CO
An improved estimate on sums of product sets
在最近的论文\cite{Gl} A. Glibichuk证明，如果$A,B$是任意有限域$\F_q$的子集，例如$|A||B|>q$，则为$16AB = \F_q$。我们将其改进为$10AB = \F_q.$
2008-05-17 math.CO
An improved sum-product bound for quaternions
证明了存在一个绝对常数$c > 0$，使得对任何四元数的有限集$A$，\[ \max\{|A+A, |AA| \} \gtrsim |A|^{4/3 + c}. \]这推广了Konyagin和Shkredov证明的实数的和积界.
2021-11-10 math.CO
An improved sum-product inequality in fields of prime order
本文将素域和积不等式中最著名的指数1/12（对于小集合）改进为1/11，模为一个对数因子。
2011-04-20 math.CO math.GR
A sum rule for $r$-derangements obtained from the Cauchy product of exponential generating functions
本文提出涉及二项式系数的 $r$-错排求和规则，利用两个指数生成函数的 Cauchy 乘积证明该恒等式，推广了常规错排的已知关系。
2024-08-28 math.CO
Infinite Sum-Product Configurations in Parallel
Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文证明了对于自然数的任意有限划分，存在一个无限序列，其有限和是单色的，且固定因子数的无限多个乘积也是单色的，并应用此技术证明多种复杂无限和积配置在任意有限着色下必为单色。
2026-09-22 math.CO
Sharp bounds for product and sum throttling numbers
本研究提出新技术，为幂支配的和节流与初始成本乘积节流建立图阶数相关的精确上界，同时确定了三类图问题中特定图操作对乘积节流数变化影响的精确界。
2025-01-14 math.CO
Some New Results on Monochromatic Sums and Products in the Rationals
本文的目的是证明，对于任何$k$，其分解子只包含第一个$k$素数的有理数集合存在有限着色，使得没有无限集的有限和与乘积都是单色的.我们实际上证明了一个“统一”的形式：有一个有限着色的理性与财产，没有无限集的扩张器只包含许多素数有其所有的有限总和和产品单色。我们还给出了其他各种结果，包括一个新的短证明旧的结果，有一个有限的着色的自然，这样就没有无限集的所有成对和产品单色。
2023-03-07 math.CO
Multi-fold sums from a set with few products
本文证明了对任何$k\geq2$，存在两个普适常数$C_k,D_k>0$，使得对任何具有$|AA|\leq M|A|$的正实数有限子集$A$，$|kA|\geq \frac{C_k}{M^{D_k}}\cdot|A|^{\log_42k}.$
2011-06-29 math.CO
Sum-Product Type Estimates for Subsets of Finite Valuation Rings
设$R$是$q^r.$阶的有限赋值环，利用$R^3$中的点-平面关联估计，得到了$R$子集的和-积型估计.特别地，我们证明了对于$A\subset R$，$$|AA+A|\gg \min\left\{q^{r}, \frac{|A|^3}{q^{2r-1}}\right\}.$$，我们还证明了，如果$|A+A||A|^{2}>q^{3r-1}$，则$$|A^2+A^2||A+A|\gg q^{\frac{r}{2}}|A|^{\frac{3}{2}}.$$
2017-01-27 math.CO
Monochromatic sums equal to products near zero
Hindman证明了：只要自然数集$\mathbb{N}$是单色的，则方程$a+b=cd$必存在非常数的单色解.本文将这个结果推广到$((0, \infty), +)$的稠密子半群的零附近。
2019-05-02 math.CO
Variations on the Sum-Product Problem
本文考虑了和积问题的各种提法。证明了对于有限集$A\subset{\mathbb{R}}$，$$|A(A+A)|\gg{|A|^{\frac{3}{2}+\frac{1}{178}}},$$部分回答了Bennett的一个猜想.在类似的精神，它建立了$$|A(A+A+A+A)|\gg{\frac{|A|^2}{\log{|A|}}},$$的界限，这是最佳的常数和对数因子。我们还证明了几个新的结果和产品的估计和扩展，例如，显示$$|A(A+a)|\gg{|A|^{3/2}}$$持有$A$的一个典型的元素。
2014-01-08 math.CO
On Sums, Products, and the multidimensional Falconer problem
d维欧几里得空间中的一个集合，当d大于2时，如果它的豪斯多夫维数至少为d/2，则它的距离集的豪斯多夫维数必须严格大于1/2。
2006-07-09 math.CA math.CO
Sum-product estimates in finite fields
我们证明，使用组合数学和Kloosterman和技术，如果$A \subset {\Bbb F}_q$，一个有限域的$q$元素，和$q^{1/2} \lesssim |A| \lesssim q^{7/10}$，那么$\max \{|A+A|, |A \cdot A|\} \gtrsim \frac{{|A|}^{3/2}}{q^{1/4}$。
2006-10-15 math.CA math.CO
A Sum-Product Estimate for Well Spaced Sets
研究了良好间隔集上的$δ$ -离散和积估计。我们的主要结果是：对于固定的$α\in(1,\frac{3}{2}]$，我们证明了对于任何$\sim|A|^{-1}$分离集$A\subset[1,2]$和$δ=|A|^{-α}$，我们有：$\mathcal{N}(A+A, δ)\cdot \mathcal{N}(AA, δ) \gtrsim_ε|A|δ^{-1+ε}$ .
2020-10-03 math.CA math.CO
An Algorithm to Solve the Equal-Sum-Product Problem
本文构造了一个递归算法，求一类与确定正整数的有序n元组问题有关的丢番图方程的所有解，该问题满足和等于积的性质。使用二叉搜索树在实现算法到一个工作程序的检查。此外，应用该算法搜索可能的额外的例外值的等和积问题后，证明这些数字和苏菲热尔曼素数之间的联系进行了探讨。
2013-11-15 cs.DM math.CO
Sum-product phenomena for Ahlfors-regular sets
The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
该研究利用Orponen的成果，得到Ahlfors正则集的和积结果，进而获得Solymosi 4/3界的分形类似结论。
2026-08-20 math.CA math.CO math.MG
Discretized Sum-product and Fourier decay in $\mathbb{R}^n$
本文将Bourgain关于$\mathbb R$上测度乘卷积的傅里叶变换的衰减定理推广到环$\mathbb R^n$上，其中乘法由坐标乘法给出.
2019-08-29 math.CA math.CO
On a $ψ_1$ - norm estimate of sum of dependent random variables using simple random walk on graph
在Rademacher随机变量相依的条件下，得到了Rademacher随机变量和的$ψ_1$估计.
2018-04-27 math.CO math.PR
A note on the sum-product problem for fractal sets
研究分形集的求和-乘积问题，利用几何与离散求和-乘积理论，证明分形集的乘积集或和集的盒维数下界，改进后的差集下界更优。
2026-04-22 math.CA math.CO
