Expanders on matrices over a finite chain ring, I
本文研究了大剩余域的有限链环上矩阵的扩张现象。证明了一个和积估计。证明了$x+yz$是指数为$\frac{n+1}{6}$的$n\times n$矩阵的适度扩张.这些结果推广了谢和葛最近工作中的主要定理。证明使用谱图理论和初等因子理论。
2022-07-17 math.CO
Expanders graphs and sieving in combinatorial structures
我们证明了一个一般的大筛声明的背景下，随机游动的子图的一个给定的图。这可以被看作是先前已知的结果的推广，其中对享有强谱隙性质的组执行随机游动。在这样的背景下，重点是要表现出一个强的一致扩展属性的一个合适的家庭凯莱图的同向。在我们的组合方法中，这是由Alon-Roichman关于随机凯莱图的扩展性质的结果所取代。应用我们所示的一般设置，例如，具有高概率（在强显式意义上）整数的随机着色子集包含和为零的单色（非空）子集，或者完全图的边的随机着色包含单色三角形。
2017-01-06 math.CO math.GR
On three-variable expanders over finite valuation rings
设$\mathcal{R}$是$q^r$阶的有限赋值环.本文证明了：对于任何一元多项式$R, S , T$的形式为$axy+R(x)+S(y)+T(z)$的二次多项式$f(x,y,z) \in \mathcal{R}[x,y,z]$，我们对任何$A, B, C \subset \mathcal{R}$都有\[ |f(A,B,C)| \gg \min\left\{ q^r, \frac{|A||B||C|}{q^{2r-1}}\right\}\].我们还研究了有限赋值环$\mathcal{R}.$上的和积型问题。更精确地说，我们证明了对于任何具有$|A| \gg q^{r-1/3}$的$A \subset \mathcal{R}$，则对于任何一元二次多项式$f$，有$$\max\{ |A \cdot A|, |A^d + A^d|\},\max\{ |A + A|, |A^2 + A^2|\},\max\{|A-A|,|AA+AA|\} \gg |A|^{2/3}q^{r/3},$$和$|f(A) + A| \gg |A|^{2/3}q^{r/3}$。
2020-07-15 math.CO
Two Kinds of Constructions of Directed Strongly Regular Graphs from Partial Sum Families and Semi-direct Products of Groups
本文利用具有局部环的部分和族构造了具有新参数的有向强正则图。得到了16个新的有向强正则图族，并给出了一致部分和族。基于有限域的分圆数，利用群的半直积给出了两类有向强正则Cayley图.
2020-02-23 math.CO
Arithmetic expanders and deviation bounds for random tensors
我们证明超图变种著名的Alon-Roichman定理的频谱扩展的稀疏随机凯莱图。这些变体之一意味着，对于每个素数$p\geq 3$和任何$\varepsilon > 0$，存在大小为$O_{p,\varepsilon}(p^{(1-1/p +o(1))n})$的方向$D\subseteq \mathbb{F}_p^n$的集合，使得对于密度$α$的每个集合$A\subseteq \mathbb{F}_p^n$，具有$D$中的方向的$A$中的线的分数在$A$中的所有线的分数的$\varepsilonα$内。我们的证明使用新的偏差界的独立随机多线性形式的总和采取的Birkhoff多面体的推广价值。我们的偏差界的证明是基于Dudley的积分不等式和概率构造的$\varepsilon$ -网。利用多项式方法，我们证明了一个由上述集合~ $D$生成的边的Cayley超图需要$|D| \geq Ω_p(n^{p-1})$来进行超图的谱展开.
2016-11-16 math.CO math.PR
On Directed Graphs with the Same Sum over Arborescence Weights
Schmid College of Science and Technology, Chapman University（查普曼大学施密德科学与技术学院）；Institute of Quantum Studies, Chapman University（查普曼大学量子研究所在）；Department of Physics and Astronomy, Clemson University（克莱姆森大学物理与天文系）
研究了具有相同顶点集但不同弧集的有向图在生成树权重和上的等价性，并通过矩阵树定理提供行列式分解的图论方法。
2026-03-12 math.CO
Algebraic Cayley Graphs over Finite Fields
利用有限域构造了一个新的代数Cayley图。利用特征和的Weil估计研究了它的连通性和直径界。这些图提供了一个新的扩张图的来源，推广了Chung的经典结果。
2013-04-06 math.CO
Embedding edge-colored graphs in expanders with roll-back
本文提出一种将边染色图嵌入展开图族的方法，推广了既有框架，并应用于证明伪随机图族包含完全图的边染色细分，以及有限向量空间距离图包含近似生成细分。核心贡献在于建立一般嵌入方法并给出两个具体应用。
2026-10-27 math.CO
New quantitative estimates on the incidence geometry and growth of finite sets
本文在几个关联几何和增长问题上建立了新的定量记录。在第1、2和3章的必要背景知识之后，证明了下列结果。第四章给出了由素数阶有限域确定的平面的入射几何的新结果。这些包括一个新的上界的发病率的总数确定的许多点和线，和一个新的估计的数量确定的不同的线由一个有限集的非共线点。第五章给出了扩张函数的新结果。首先，建立了素数阶有限域上二元扩张式a+ab的一个新的界。其次，在三个和四个变量的新的扩展证明了在实数和复数具有更强的增长性能比以前考虑的任何功能。最后，第6章给出了函数域上的第一个定制的和积估计，到目前为止，这类问题在很大程度上还没有探索过。这最后一章是与托马斯·布鲁姆共同完成的。
2013-01-21 math.CO
Convexity, Superquadratic Growth, and Dot Products
设$P \subset \mathbb R^2$是具有基数$N$的点集。我们给出了一个改进的约束$P$确定的点积的数量，证明，\[ |\{ p \cdot q :p,q \in P \}| \gg N^{2/3+c}. \]一个关键的成分，在证明这个界限是一个新的超二次扩展产品和移位。我们证明了，对于任何有限集$X \subset \mathbb R$，存在$z,z' \in X$，使得\[ \left|\frac{(zX+1)^{(2)}(z'X+1)^{(2)}}{(zX+1)^{(2)}(z'X+1)}\right| \gtrsim |X|^{5/2}. \]这是来自一个更一般的结果，关于通过凸性和和集合定义的集合的增长，并可以用来证明其他几个扩展比二次增长。该证明从前两位作者和Misha Rudnev最近的工作中发展了论点，并主要使用了初等方法。
2021-09-29 math.CO math.MG math.NT
Variations on the Sum-Product Problem
本文考虑了和积问题的各种提法。证明了对于有限集$A\subset{\mathbb{R}}$，$$|A(A+A)|\gg{|A|^{\frac{3}{2}+\frac{1}{178}}},$$部分回答了Bennett的一个猜想.在类似的精神，它建立了$$|A(A+A+A+A)|\gg{\frac{|A|^2}{\log{|A|}}},$$的界限，这是最佳的常数和对数因子。我们还证明了几个新的结果和产品的估计和扩展，例如，显示$$|A(A+a)|\gg{|A|^{3/2}}$$持有$A$的一个典型的元素。
2014-01-08 math.CO
Heights in finite projective space, and a problem on directed graphs
令$\F_p = \Z/p\Z$。本文给出了点$\mathbf{a}=(a_1,..., a_d) \in \F_p^d$的\emph{height}为$h_p(\mathbf{a}) = \min \left\{\sum_{i=1}^d (ka_i \mod p) : k=1,...,p-1\right\}.$的显式公式，并给出了高度函数在$d=2,$情形下的估计值，并将这些结果应用于确定有限有向图中必须删除的最少边数问题，使得到的子图是无圈的.
2007-03-14 math.CO math.NT
Tree-optimized directed graphs
对于$\mathbb{R}_{\ge 0}$的可加子幺半群$\mathcal{M}$，一个$\mathcal{M}$ -标号有向图的权是它的所有边标号之和，而内容是这些标号的乘积.有固定的$\mathcal{M}$和有向树$E$，我们证明了一个一般性的结果的形状的有向$\mathcal{M}$标记图$Γ$的重量$N\in \mathcal{M}$最大化的内容之和的所有副本$E\subset Γ$。这专门恢复Hajac和Tobolski的结果的最大数量的长度- $k$路径的有向无环图。它也适用于证明一个猜想由同一作者的最大和的$A^k$为幂零的$\mathbb{R}_{\ge 0}$值的方阵$A$的项目和$N$。最后，我们采用相同的技术，以获得最大数量的恒星与$a$武器在有向图与$N$边缘。
2020-04-22 math.CO
Improved Small Set Expansion in High Dimensional Expanders
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）；The Academic College of Tel Aviv-Yaffo（特拉维夫-亚法学院）
本文改进了高维展开器中小集展开的结果，通过结合不同方法实现了对集合大小的指数级提升。
2026-09-09 cs.CC math.CO
Sums and products along sparse graphs
在他们1983年的开创性论文中，Erdés和Szemerédi证明了任何$n$不同的整数都会导致$n^{1+ε}$不同的对和或许多不同的乘积，并证明了$n^{2-o(1)}$的下界。他们进一步提出了这个问题的一个推广，其中和和积是沿着给定图$G$在$n$标记顶点上的边取的。他们为至少有$n^{1+ε}$边的一般图证明了和积定理的一个版本。在这项工作中，我们考虑稀疏图的和积定理，并表明，这个问题已经有重要的后果时，$G$是一个匹配（即，$n/2$不相交边）：任何整数和积的$n^{1/2+δ}$形式的下界都蕴涵着原始Erdens-Szemerédi问题的$n^{1+δ}$的下界。相反，在实数上，匹配的最小和积是$Θ(\sqrt{n})$，因此这种方法有可能实现专门用于整数的下界。我们继续给这个问题在不同的设置的下限和上限。此外，我们提供了紧边界的总和沿扩展。在我们的证明中的一个关键因素是减少从一个匹配的最大数量的整数转换成完满平方的和产品。这个问题最初是由欧拉研究的，我们利用椭圆曲线分析得到了欧拉结果的一个更强形式。
2009-09-08 math.CO math.NT
Hamiltonian Paths in Cartesian Powers of Directed Cycles
长度为m的有向圈的k次幂的顶点集可以自然地与整数模m的k元组的集合相标识。对于这个图的任意两个顶点v和w，很容易看出，如果存在从v到w的哈密顿路径，则v的坐标之和模m比w的坐标之和大一。我们证明了相反的情况，除非k = 2，m是奇数。
2001-10-05 math.CO
Chebyshev's Sum Inequality and the Zagreb Indices Inequality
在最近的一篇文章中，Nadeem和Siddique利用Chebyshev的和不等式建立了无向图的Zagreb指标不等式$M_1/n\le M_2/m$，其中度序列$(d_i)$和度和序列$(S_i)$是相似排序的。我们表明，这实际上不是一个全新的结果，我们讨论了几个相关的结果，也涵盖了类似的不等式的有向图，以及总和对称矩阵和欧拉有向图。
2022-12-29 math.CO
Premagic and Ideal Flow Matrices
证明了一类行和等于列和的特殊矩阵的几个有趣的性质。预幻矩阵由于其节点的守恒流，可以应用于强连通有向网络图。讨论了有向图上的马尔可夫链、理想流和随机游动之间的关系。
2018-05-06 math.CO
Resistance matrices of balanced directed graphs
设$G$是一个强连通平衡有向图.于是，$G$的拉普拉斯矩阵是矩阵（不一定是对称的）$L:=D-A$，其中$A$是$G$的邻接矩阵，而$D$是对角矩阵，使得$L$的行和与列和等于零。令$L^†=[l^†_{ij}]$为$L$的Moore-Penrose逆。我们定义$G$的任意两个顶点$i$和$j$之间的电阻为$r_{ij}:=l^†_{ii}+l^†_{jj}-2l^†_{ij}$。在本文中，我们得到了一些有趣的性质的电阻和相应的电阻矩阵$[r_{ij}]$。
2019-06-14 math.CO math.FA
A Cheeger type inequality in finite Cayley sum graphs
设$G$是一个有限群，$S$是$G$与$|S| = d$的对称生成集.我们证明了如果无向Cayley和图$C_Σ(G,S)$是一个扩展图并且是非二部图，那么它的规范化邻接算子的谱是有界的，远离$-1$ .我们还建立了这些图的谱的一个显式下界，即正规化邻接算子的非平凡特征值位于区间$\left(-1+\frac{h(G)^{4}}η, 1-\frac{h(G)^{2}}{2d^{2}}\right]$中，其中$h(G)$表示$d$ -正则图$C_Σ(G,S)$和$η= 2^{9}d^{8}$的（顶点）Cheeger常数.此外，我们改进了最近获得的非二部Cayley图$C(G,S)$的规范化邻接算子的非平凡谱上的界。
2019-07-22 math.CO math.GR
A family of partitions of the set of walks on a directed graph
我们提出了一个家庭的分区$W_\mathcal{G}$，一个有向图$\mathcal{G}$上的行走的集合。该族中的每个分区由整数序列$K$标识，该整数序列指定具有特定明确定义的结构的$\mathcal{G}$上的循环的集合。我们称这样的圈为可约的，而不遍历任何这样的圈的游动为$K$-不可约的。对于给定的$K$值，$W_\mathcal{G}$的相应分区由单元的集合组成，每个单元包含单个$K$-不可约行走$i$加上可以通过将一个或多个可编程循环附加到其顶点而从$i$形成的所有行走。通过给出$K$的任意值的$K$-不可约游动和可约圈的结构的显式表达式，我们证明了$W_\mathcal{G}$的整个划分族.我们演示了如何利用这些结果可以重铸的总和在所有的行走上的有向图作为一个总和打扮$K$-不可约的行走，并讨论了应用程序的矩阵计算。
2014-11-17 math.CO
Group With Maximum Undirected Edges in Directed Power Graph Among All Finite Non-Cyclic Nilpotent Groups
在[Curtin and Pourgholi，A group sum inequality and its application to power graphs，J. Algebras Combinatorics，2014]中，证明了在给定阶$ n $的群的所有有向功率图中，阶为$ n $的循环群的有向功率图具有最大数量的无向边。在本文中，我们继续他们的工作，确定了一个奇数阶的非循环幂零群$ n $，它的有向幂图在所有$n$阶的非循环幂零群中具有最多的无向边.接下来，我们确定非循环的$p$ -组，其无向功率图具有最大数量的边缘之间的所有组相同的顺序。
2014-05-14 math.CO
Zero-Sum Cycles in Regular Digraphs
Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究正则有向图中的零和环，证明了零和环存在的阈值，给出了顶点不交与边不交零和环的数量下界，结果渐近最优，相关结论可推广至欧拉有向图，所用技术基于Friedland的行列式-永久式论证。
2026-08-17 math.CO
Pancyclism in the Generalized Sum of Digraphs
一个$n\geq 3$阶的有向图$D=(V,A)$是泛圈的，只要$D$对每个$k\in\{3,...,n\}$包含一个长度为$k$的有向圈;并且D是顶点泛圈的当且仅当对于每个顶点$v\in V$和每个$k\in \{3,...,n\}$，$D$包含一个长度为$k$的有向圈通过$v$。让$D_1$，$D_2$，.，$D_k$是成对顶点不交有向图的集合。广义和（g.s.）$D_1$，$D_2$，.，$D_k$，记作$\oplus_{i=1}^k D_i$或$D_1\oplus D_2 \oplus \cdots \oplus D_k$，是所有满足以下条件的有向图D的集合：（i）$V(D)=\bigcup_{i=1}^k V(D_i)$，（ii）对于$i=1, 2,..., k$为$D\langle V(D_i) \rangle \cong D_i$;以及（iii）对于属于D的不同被加数的每对顶点，它们之间正好有一条弧，具有任意但固定的方向。有向图$D\in \oplus_{i=1}^k D_i$称为广义和（g.s.）$D_1$，$D_2$，.，$D_k$。本文证明了：如果$D_1$和$D_2$是两点不交的Hamilton有向图，且$D\in D_1 \oplus D_2$是强图，则下列断言中至少有一个成立：$D$是点泛圈的，它是泛圈的，或者它是Hamilton的，并且对每个$l\in\…
2021-04-05 math.CO
ZFC independence and subset sum
我们研究了k维非负积分格上与有向图相关的递归定义函数。与这些功能类的某些组合结构的存在被证明是独立的ZFC公理的数学。这些结构以一种自然的方式产生子集和问题的实例集。我们使用这种连接，使一些关于ZFC独立性和子集和问题的意见。
2017-08-28 math.CO math.LO
