Stable skeleton integral equations for general coefficient Helmholtz transmission problems
提出层位势与边界积分算子的新型变分公式，解决了变系数Helmholtz透射问题中Green函数不可用的问题，并基于底层透射问题的稳定性直接推导出积分方程的适定性。
2025-07-01 cs.NA math.AP math.NA
Quasi-Helmholtz Calderón Multiplicative Preconditioning for Higher-Order Global Multi-Trace Integral Equations
Ghent University（根特大学）
本文提出高阶全局多迹积分方程，并采用基于高阶拟亥姆霍兹投影子的 Calderón 乘法预条件，分离螺线管与非螺线管分量，避免病态矩阵求逆，实现低频稳定，迭代求解高效，数值实验验证了其在复合介质体散射问题中的有效性。
2026-09-16 cs.CE cs.NA math.NA
On the recovery of two function-valued coefficients in the Helmholtz equation for inverse scattering problems via neural networks
本文提出两种组合深度神经网络（未压缩与压缩），从两个不同频率的散射数据中重建Helmholtz方程逆散射问题的两个函数值系数，并分析其逼近与泛化能力，数值结果验证了其恢复各向同性非均匀介质及重建各向异性介质各向同性表示的可行性。
2025-01-30 cs.NA math.NA
A sparse grid discontinuous Galerkin method for the high-dimensional Helmholtz equation with variable coefficients
如何利用可管理的计算资源来模拟高维问题是一个长期存在的挑战。在我们最近的一系列工作[25，17，18，24]中，已经制定了一类稀疏网格DG方法用于求解高维中的各种类型的偏微分方程。通过利用稀疏网格上的多小波张量积基与标准DG弱公式相结合，这种新的方法能够显着降低计算和存储成本相比，全网格DG对应，而不损害精度足够光滑的解决方案。在本文中，我们考虑了高维变系数Helmholtz方程，并证明了对于这样的问题，稀疏网格DG方法的效率可以通过探索与多小波基相关的半正交性来进一步提高，受到工作的启发[21，22，19]。详细的收敛性分析表明，改进的稀疏网格DG方法虽然达到了相同的阶精度，但得到的刚度矩阵比原方法稀疏得多，从而节省了计算量。数值试验高达六个维度，以验证分析。
2019-06-25 cs.NA math.NA
Decompositions of high-frequency Helmholtz solutions via functional calculus, and application to the finite element method
在过去十年中，[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]和[Melenk-Parsania-Sauter，2013]将高频亥姆霍兹解分解为“低频”和“高频"分量的结果对亥姆霍兹方程的数值分析产生了很大影响。这些结果已被证明的常系数Helmholtz方程的外部Dirichlet障碍或内部区域与阻抗边界条件。利用Helffer-Sjöstrand谓词演算，证明了散射问题的相似分解符合Sjöstrand-Zworski的黑箱散射框架，从而同时涵盖了变系数Helmholtz问题、不可穿透障碍问题和可穿透障碍问题.这些结果使我们能够证明新的频率显式收敛结果（一）的$hp$ -有限元法应用于变系数亥姆霍兹方程在外部的狄利克雷障碍，当障碍和系数是解析的，和（ii）的$h$ -有限元法应用于亥姆霍兹穿透障碍传输问题。特别地，（i）中的结果表明，应用于该问题的$hp$ -FEM不受污染效应的影响。
2022-08-01 cs.NA math.AP math.NA
The $hp$-FEM does not suffer from the pollution effect for piecewise-smooth Helmholtz problems with Gevrey regularity at boundaries
University College London（伦敦大学学院）；University of Bath（巴斯大学）
研究亥姆霍兹散射问题，在特定条件下（如亥姆霍兹解算子在$k$上多项式有界等），证明当$p\geq 1+\varepsilon \log k$且$hk/p$足够小时，$hp$有限元法是拟最优的，不存在污染效应，推广了相关结果。
2026-07-20 cs.NA math.NA
Recovering coefficients in a system of semilinear Helmholtz equations from internal data
本文研究半线性亥姆霍兹方程组的多系数反问题，利用一阶及高阶线性化证明小边界数据下解的唯一性与稳定性，并通过数值模拟验证含噪数据下的重建效果。
2023-07-03 cs.NA math.AP math.NA
Wavenumber-explicit convergence of the $hp$-FEM for the full-space heterogeneous Helmholtz equation with smooth coefficients
在论文[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]、[Melenk-Parsania-Sauter，2013]中率先提出了应用于各种常系数亥姆霍兹问题的$hp$-FEM的收敛理论。这一理论表明，如果解算子在波数$k$中多项式有界，则Galerkin方法是拟最优的，只要$hk/p \leq C_1$和$p\geq C_2 \log k$满足，其中$C_1$充分小，$C_2$充分大，且两者都独立于$k,h,$和$p$ .该结果的意义在于，如果$hk/p= C_1$和$p=C_2\log k$，则通过与$k^d$成比例的自由度总数实现准最优性;即，$hp$-FEM不受污染影响。本文证明了$\mathbb{R}^d$，$d=2,3$中提出的变系数非均匀Helmholtz方程在无穷远处的Sommerfeld辐射条件和$C^\infty$系数下的类似拟最优性结果.我们还证明了在特定情况下的平面波散射问题的Galerkin解决方案的相对误差的一个界。这是有史以来第一个结果的波数显式收敛的$hp$-FEM的Helmholtz方程的变系数。
2022-03-05 cs.NA math.AP math.NA
A parallel shared-memory implementation of a high-order accurate solution technique for variable coefficient Helmholtz problems
Rice University（莱斯大学）；Total E&P Research & Technology USA（道达尔能源勘探与生产美国研发中心）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出了一种并行共享内存实现的高阶解法，用于高效求解变系数亥姆霍兹问题，克服了传统串行实现的计算限制。
2019-04-26 cs.NA math.NA
Plane Wave Discontinuous Galerkin methods for the Helmholtz equation and Maxwell equations in Anisotropic Media
本文研究了三维各向异性介质中Helmholtz方程和时谐Maxwell方程的平面波间断Galerkin（PWDG）方法，其中方程的系数是矩阵而不是数字。我们首先定义了新的平面波基函数的基础上严格选择的缩放变换和坐标变换。然后在多面体网格形状正则性的新假设下，得到了所得到的近似解关于系数矩阵的条件数的误差估计.数值结果验证了理论结果的正确性，并表明所提出的PWDG方法生成的近似解具有较高的精度。
2020-03-09 cs.NA math.NA
A simple proof that the $hp$-FEM does not suffer from the pollution effect for the constant-coefficient full-space Helmholtz equation
本文用分部积分和 Fourier 变换基本性质给出常系数全空间 Helmholtz 方程高频-低频分解的简单证明，从而说明 $hp$-FEM 不受污染效应影响。
2023-04-11 cs.NA math.NA
Multiscale Petrov-Galerkin Method for High-Frequency Heterogeneous Helmholtz Equations
The University of Nottingham（诺丁汉大学）；Universität Bonn（波恩大学）
本文提出一种多尺度Petrov-Galerkin有限元方法，用于高频非均匀系数的时谐声散射问题，证明该方法在非均匀介质中也具有无污染特性，且在特定光滑非均匀材料系数下满足多项式波数增长假设。
2015-11-30 cs.NA math.NA
Numerical solutions to an inverse problem for a non-linear Helmholtz equation
在这篇文章中，我们构造了一个非线性Helmholtz方程反问题的数值解，该方程定义在两个同心球之间的球壳中，该球壳以原点为中心。假设正问题的值在足够多的点上是已知的，我们想通过其Chebyshev系数来确定方程右侧非线性项的形式。
2023-02-03 cs.NA math.NA
Domain decomposition preconditioners for high-order discretisations of the heterogeneous Helmholtz equation
我们考虑一级添加剂施瓦茨区域分解预条件的Helmholtz方程与变系数（建模波在非均匀介质中的传播），边界条件，包括波散射问题。吸收作为一个参数包括在问题中。这个问题是离散使用$H^1$ -符合节点有限元固定的局部度$p$的网格直径$h = h(k)$，选择，使误差保持有界的增加$k$。一级预条件子的作用包括子域（可以是一般的几何形状）上的问题的并行解，每个子域都配备有阻抗边界条件。我们证明严格的左或右预处理矩阵的值的范数和字段的估计，明确显示如何吸收，系数的异质性和依赖程度进入估计。这些估计严格地证明了，有足够的吸收和足够大的$k$，GMRES是保证收敛的迭代次数是独立的$k,p,$和系数。$k$足够大的理论阈值取决于$p$和子域中系数的局部变化（而不是全局）。广泛的数值实验的吸收和传播的情况下，在后一种情况下，我们调查的例子时，系数是非陷阱，当他们被捕获。这些实验（i）在多项式次数和系数的依赖性方面支持我们的理论;（ii）在所需的吸收水平方面支持我们的值估计的准确性。
2020-10-05 cs.NA math.NA
Convergence analysis of GMRES for the Helmholtz equation via pseudospectrum
Aalto University（阿尔托大学）
本文通过伪谱分析研究GMRES求解非正常系数矩阵的收敛性，分析了亥姆霍兹方程在有吸收边界条件和预处理下的伪谱特性。
2015-05-29 cs.NA math.NA
Dirac Assisted Tree Method for 1D Heterogeneous Helmholtz Equations with Arbitrary Variable Wave Numbers
本文介绍了一种新的方法，称为狄拉克辅助树（DAT）方法，它可以处理具有任意大的可变波数的一维非均匀Helmholtz方程。DAT将一个全局问题分解为多个并行的树状结构的局部小问题，通过求解小的连接问题将这些局部小问题连接在一起形成全局解。为了解决DAT中的局部问题，我们提出了一种紧致有限差分法（FDM），它具有任意高精度阶数和低数值频散，适用于分段光滑系数和变波数。这种紧凑的FDM对于DAT特别有吸引力，因为DAT中的局部问题及其通量可以以高精度计算。具有这种紧凑FDM的DAT可以通过以并行方式求解具有三对角系数矩阵的小线性系（在极端情况下为$4 \times 4$矩阵）来精确地求解具有任意大的可变波数的异质亥姆霍兹方程。通过数值算例说明了用$M=6,8$的$M$阶紧致有限差分法数值求解变波数非均匀Helmholtz方程的有效性。我们还将讨论如何使用DAT求解一些特殊的二维Helmholtz方程。
2021-06-21 cs.NA math.NA
Sharp bounds on Helmholtz impedance-to-impedance maps and application to overlapping domain decomposition
该研究利用半经典亏损测度证明高频Helmholtz方程阻抗-阻抗映射的精确界，结合已有结果分析并行重叠Schwarz区域分解法的波数鲁棒性与收敛性。
2024-02-01 cs.NA math.AP math.NA
On the recovery of two function-valued coefficients in the Helmholtz equation for inverse scattering problems via inverse Born series
本文提出正则化逆 Born 级数，利用双频散射数据同时恢复 Helmholtz 方程的两个函数值系数，并分析其收敛性与误差，数值验证了介质恢复能力。
2025-03-15 cs.NA math-ph math.MP
Spurious Quasi-Resonances in Boundary Integral Equations for the Helmholtz Transmission Problem
考虑了材料系数为分段常数的Helmholtz透射问题，以及标准的相关直接边界积分方程。对于某些系数和几何形状，边界积分算子的逆的范数通过频率的增加序列快速增长，即使这不是传输问题的解算子的情况;我们称这种现象为伪准共振。我们给出了一个严格的解释，为什么以及当寄生准共振发生，并提出修改后的边界积分方程，不受它们的影响。
2022-04-27 cs.NA math.AP math.NA
Efficient $C^1$ Bernstein Quasi-Trefftz Discretization for Heterogeneous High-Frequency Helmholtz Problems
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
针对异构高频亥姆霍兹问题，提出一种基于 Bernstein 拟-Trefftz 的 $C^1$ 离散化方法，通过局部残差约束压缩空间，实现高阶精度与计算成本降低。
2026-09-09 cs.NA math.NA
On the generalization of wavelet diagonal preconditioning to the Helmholtz equation
KdV Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学 KdV 数学研究所）
针对光滑系数多维亥姆霍兹方程，提出一种基于函数框架的预处理方法，利用射线理论构造框架函数分离不同奇异值分量，实现迭代次数与频率无关的最优性能。
2010-10-22 cs.NA math.NA
Low-rank solutions to the stochastic Helmholtz equation
本文考虑了具有随机系数的随机Helmholtz方程解的低秩逼近。采用随机Galerkin有限元法离散Helmholtz问题。当系统矩阵不确定时，建立了低秩逼近的存在性定理。低秩算法不需要构造大的系统矩阵，这导致在CPU时间和存储方面的优势。数值结果表明，当低秩方法中的操作被有效地执行时，与满秩计算相比，在存储和CPU时间方面可以获得优势。我们还提出了一个通用的方法来实现预条件使用低秩格式有效。
2023-02-16 cs.NA math.NA
Suppressing Low-Frequency Cancellation Errors in Far-Field Computation with the MFIE, Müller, and Multitrace Müller Integral Equations
Ghent University（根特大学）
该研究针对MFIE与Müller积分方程的低频抵消误差，结合拟亥姆霍兹投影器与定制重标度程序，提出稳健数值格式，经多类构型实验验证可在宽频率范围实现精确远场预测。
2026-08-11 cs.NA math.NA
Adaptive Nonoverlapping Preconditioners for the Helmholtz Equation
本文针对大波数Helmholtz方程的计算挑战，在NOSAS方法框架内提出了两类纯代数的自适应非重叠预条件子，有效缓解了局部Dirichlet问题的不适定性，数值实验证明其在大波数下具有稳健的收敛率与可扩展性。
2025-05-01 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit stability and convergence analysis of hp finite element discretizations of Helmholtz problems in piecewise smooth media
该研究针对大波数下带分段解析系数的非均匀Helmholtz问题，开展hp有限元方法的波数显式收敛性分析，覆盖多种边界条件与完美匹配层情形。
2024-02-02 cs.NA math.AP math.NA
Convergence of HX Preconditioner for Maxwell's Equations with Jump Coefficients (ii): The Main Results
本文是两篇系列文章的第二篇，其目的是证明HX预条件子（Hiptmair和Xu，2007）对具有跳跃系数的Maxwell方程的收敛性。本文基于第一篇论文（Hu，2017）中的辅助结果，我们建立了三维边有限元函数的一个新的正则Helmholtz分解，该分解关于权函数几乎稳定。利用这种Helmholtz分解，我们给出了HX预条件子在强间断系数情况下的收敛性分析。我们表明，HX预条件子具有快速收敛，这不仅是接近最优的有限元网格步长，但也是独立的系数跨越两个相邻子域之间的接口。
2023-01-30 cs.NA math.NA
A Saddle Point Numerical Method for Helmholtz Equations
Thiel College（锡耶尔学院）
基于Milton、Seppecher和Bouchitte的鞍点变分原理，提出一种求解复杂亥姆霍兹方程的数值方法，生成对称正定方程组并避免求解解的梯度，从而完全基于共轭梯度算法。
2015-01-05 cs.NA math.NA
A high accuracy nonconforming finite element scheme for Helmholtz transmission eigenvalue problem
本文考虑一个三次$H^2$离散有限元格式$B_{h0}^3$，它不对应于具有Ciarlet $'$三元组的局部定义有限元，而是允许一组局部基函数.首次推导并写出了基函数的表达式。与大多数离散有限元法不同的是，具有非常系数$δ>0$的$(δΔ_h\cdot,Δ_h\cdot)$在离散$B_{h0}^3$空间上具有强制性，这使得它对数值离散具有鲁棒性。对于四阶本征值问题，$B_{h0}^3$格式可以提供本征空间在能量范数下的$\mathcal{O}(h^2)$逼近和本征值的$\mathcal{O}(h^4)$逼近.我们在变系数双Laplace源和本征值问题上测试了$B_{h0}^3$格式，并进一步测试了传输本征值问题。最后，数值例子来证明所提出的计划的有效性。
2019-10-02 cs.NA math.NA
Robust Multiscale Methods for Helmholtz equations in high contrast heterogeneous media
本文针对高对比度非均匀介质中的亥姆霍兹方程，提出约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM），建立其 inf-sup 稳定性与先验误差估计，并通过数值实验验证了方法在克服污染效应和捕捉物理现象方面的有效性。
2024-07-08 cs.NA math.NA
Direction-Adaptive Plane-Wave Discontinuous Galerkin Methods for the Helmholtz Equation
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
该研究提出方向自适应平面波间断伽略金方法，通过最小化残差选择传播方向，经数值实验验证其可准确恢复亥姆霍兹方程解的主导相位方向，对低方向复杂度解效果最优。
2026-08-20 cs.NA math.NA
Evanescent Plane Wave Approximation of Helmholtz Solutions in Spherical Domains
该研究将二维倏逝平面波逼近亥姆霍兹解的成果拓展至三维，通过推广Jacobi–Anger恒等式证明球域亥姆霍兹解的倏逝平面波连续叠加表示，结合极值点采样策略实现了高精度与有界系数稳定性。
2023-05-03 cs.NA math.NA
A sparse hierarchical $hp$-finite element method on disks and annuli
提出一种稀疏分层hp有限元方法，用于圆盘/圆环上Helmholtz方程，保持Fourier模态解耦与稀疏矩阵，支持径向不连续和各向异性系数，可高效求解高频及扩展问题。
2025-07-09 cs.NA math.NA
Mortar coupling of $hp$-discontinuous Galerkin and boundary element methods for the Helmholtz equation
本文设计并分析了一种用于求解三维变系数Helmholtz方程的间断Galerkin与边界元耦合方法，通过mortar变量实现耦合，证明了其拟最优性，并引入了新型重构算子作为分析工具。
2021-05-13 cs.NA math.NA
A Fourier-Bessel method with a regularization strategy for the boundary value problems of the Helmholtz equation
School of Mathematics, Jilin University（吉林大学数学学院）；Department of Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学系）
本文提出了一种用于亥姆霍兹方程边界值问题的傅里叶-贝塞尔方法，通过正则化策略提高稳定性与收敛性，通过数值实验验证了方法的有效性。
2018-10-02 cs.NA math.NA
A Trefftz Continuous Galerkin method for Helmholtz problems
Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；Laboratoire Jacques-Louis Lions, LJLL（雅克-路易·利翁斯实验室）；EPC ALPINES（ALPINES联合研究项目）；Laboratoire de Probabilités, Statistique et Modélisation, LPSM（概率、统计与建模实验室）；EPC MEGAVOLT（MEGAVOLT联合研究项目）
本文提出了一种基于衰减平面波的Trefftz连续Galerkin方法，用于解决二维亥姆霍兹问题，实现了高精度且稳定的数值解法。
2025-12-01 cs.NA math.NA
Sweeping Preconditioner for the Helmholtz Equation: Hierarchical Matrix Representation
Department of Mathematics and ICES, University of Texas, Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校数学系与计算与应用工程研究所）
提出一种基于分层矩阵表示的扫掠预条件子，用于高效迭代求解变系数Helmholtz方程，包括高频问题，在二维和三维中均表现出线性复杂度和极快的收敛性。
2010-08-02 cs.NA math.NA
Fourier Method for Approximating Eigenvalues of Indefinite Stekloff Operator
Department of Mathematics, The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学数学系）
本文提出一种高效计算亥姆霍兹方程斯托克斯特征值的方法，利用傅里叶变换和精心设计的扩展限制技术，提高计算效率和清晰度。
2017-11-16 cs.NA math.NA
Multi-parameter determination in the semilinear Helmholtz equation
Hunan University（湖南大学）
本文提出了一种基于贝叶斯推理和数值重建的方法，用于半线性霍尔次方程中多参数的唯一确定。
2026-03-07 cs.NA math.NA stat.CO
Wavenumber-explicit parametric holomorphy of Helmholtz solutions in the context of uncertainty quantification
在偏微分方程的不确定性量化（UQ）理论中，解相对于随机参数的正则性起着至关重要的作用;事实上，人们试图建立的一个关键属性是解相对于参数（的复延拓）是全纯的。在高频亥姆霍兹方程的UQ的上下文中，一个自然的问题是：这种参数全纯性如何依赖于波数$k$？最近的论文[Ganesh，Kuo，Sloan 2021]表明，对于系数对随机参数具有仿射依赖性的特定非捕获变系数Helmholtz问题，解算子可以解析地延续到复平面中的距离$\sim k^{-1}$。本文将[Ganesh，Kuo，Sloan 2021]中关于$k$ -显式参数全纯性的结果推广到更广泛的一类Helmholtz问题，（全纯）依赖于随机参数;我们表明，在所有情况下，参数全纯的区域随着$k$而减小，并显示了$k$的下降率是如何由未扰动的亥姆霍兹问题是陷阱还是非陷阱决定的。然后，我们给出了捕获和非捕获问题的例子，其中参数全纯区域的$k$的下降率的界限是尖锐的，捕获的例子来自[Galkowski，Marchand，Spence 2021]的最近结果。这些结果的直接含义是，[Ganesh，Kuo，Sloan 2021]中对拟蒙特卡罗方法（QMC）方法分析中的随机性施加的$k$相关限制源于$k$较大（而不是次优边界）的亥姆霍兹方程的真正特征。
2022-09-20 cs.NA math.AP math.NA
Convergence of the Waveholtz Iteration on $\mathbb{R}^d$
本文分析Waveholtz时域迭代法在全空间常系数情形下的收敛性，证明迭代与出射解之差满足特定强迫项方程，并以$1/\sqrt{n}$速率收敛。
2025-10-17 cs.NA math.NA
Analysis of a Helmholtz preconditioning problem motivated by uncertainty quantification
本文分析了如下问题：设$\mathbf{A}_j$，$j=1,2,$为非齐次Helmholtz方程$\nabla\cdot (A_j \nabla u_j) + k^2 n_j u_j= -f$ Dirichlet外问题有限元离散所对应的Galerkin矩阵。对于任意大的$k$，要使GMRES应用于$(\mathbf{A}_1)^{-1}\mathbf{A}_2$或$\mathbf{A}_2(\mathbf{A}_1)^{-1}$以$k$独立的迭代次数收敛，$\|A_1 -A_2\|_{L^q}$和$\|{n_1} - {n_2}\|_{L^q}$必须有多小（根据$k$依赖性）？(In换句话说，使$\mathbf{A}_1$成为$\mathbf{A}_2$的好的左预条件子或右预条件子）。我们证明回答这个问题的结果，他们的锋利度的理论证据，并给出支持估计的数值实验。我们解决这个问题的动机来自于计算Helmholtz方程的随机系数$A$和$n$感兴趣的数量。这样的计算可能需要解决许多确定性亥姆霍兹问题，每个问题都具有不同的$A$和$n$，并且对上述问题的回答指示了在何种程度上先前计算的Galerkin矩阵之一的逆可以用作其他Galerkin矩阵的预处理器。
2021-07-12 cs.NA math.NA
Explicit Runge approximation for Helmholtz equation with cylindrical harmonics
Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）；Fudan University（复旦大学）
研究利用柱面调和函数对亥姆霍兹方程进行空间相关定量龙格逼近，推导了三圆配置及一般几何设置下的相关指标，为展开系数提供范数估计，有助于构造谱精确数值逼近。
2026-07-28 cs.NA math.NA
NSNO: Neumann Series Neural Operator for Solving Helmholtz Equations in Inhomogeneous Medium
提出受 Neumann 级数启发并嵌入 U-Net 的 NSNO，学习非均匀介质 Helmholtz 方程解算子，在精度、成本和数据需求上优于 FNO，并可用于逆散射。
2024-01-24 cs.NA math.NA
The $hp$-FEM applied to the Helmholtz equation with PML truncation does not suffer from the pollution effect
本文证明带 PML 截断的变系数外部 Helmholtz 方程在 $hk/p$ 与多项式阶数条件满足时，$hp$-FEM 的 Galerkin 解关于波数 $k$ 拟最优且无污染效应。
2024-01-18 cs.NA math.AP math.NA
Sweeping Preconditioner for the Helmholtz Equation: Moving Perfectly Matched Layers
University of Texas, Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
提出一种基于移动完美匹配层近似Schur补矩阵的扫描预条件子，用于高效求解变系数亥姆霍兹方程，具有线性应用成本且迭代次数与未知数或频率无关。
2010-08-02 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo methods for uncertainty quantification of wave propagation and scattering problems modelled by the Helmholtz equation
本文研究Helmholtz方程随机介质波散射的不确定性量化，提出结合完美匹配层截断与有限元逼近的拟蒙特卡罗方法，并给出了关于维度截断、QMC点数、网格大小及波数的显式误差估计。
2025-11-03 cs.NA math.NA
Method of fundamental solutions for Neumann problems of the modified Helmholtz equation in disk domains
利用基本解方法构造有界区域上一类偏微分方程的近似解。它是通过组合的基本解转移到域外的点，并确定线性和的系数，以满足边界上的有限点的边界条件。本文严格证明了圆盘区域上修正Helmholtz方程Neumann问题的MFS近似解的存在性。给出了该问题存在近似解的充分条件。将Green定理应用于修正的Helmholtz方程的Neumann问题，通过边界积分将近似解与精确解之间的误差限制为边界条件函数与近似解的法向导数之差.利用这个误差估计，我们证明了MFS近似解收敛到指数阶精确解，即$N^2a^N$阶，其中$a$是小于1的正常数，$N$是配置点的个数.此外，还证明了在数值模拟中，随着配置点数目的增加，误差以指数顺序趋于$0$ $N$。
2020-09-29 cs.NA math.NA
Three types of quasi-Trefftz functions for the 3D convected Helmholtz equation: construction and approximation properties
本文针对对流亥姆霍兹方程，定义并构造了三类拟Trefftz函数（两类基于平面波推广，一类为多项式），并分析其逼近性质，其中多项式基避免了波类基的病态条件问题。
2024-07-22 cs.NA math.NA
A matrix-free parallel solution method for the three-dimensional heterogeneous Helmholtz equation
本文提出一种用于三维异质Helmholtz方程的无矩阵并行迭代求解方法，采用CSLP预处理与多重网格技术，有效提升了大规模问题的求解精度、收敛性与并行可扩展性。
2023-08-11 cs.NA math.NA
Adaptive BDDC algorithms for the system arising from plane wave discretization of Helmholtz equations
Xiangtan University（湘潭大学）；Hunan Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering, Xiangtan University（湘潭大学计算与工程科学模拟湖南省重点实验室）
本文提出基于约束的平衡域分解算法，用于高波数亥姆霍兹方程的加权平面波最小二乘离散化，通过自适应主约束和局部技术改进了预处理系统条件数。
2018-06-12 cs.NA math.NA
An iterative solver for the HPS discretization applied to three dimensional Helmholtz problems
本文提出了一种求解三维变系数Helmholtz问题的分层Poincaré-Steklov（HPS）离散化的线性系的有效方法。HPS方法的先前工作将其与直接求解器绑定。这项工作是第一个有效的迭代求解器的线性系，结果从HPS离散。该解决方案的技术利用GMRES加上一个局部均匀化块雅可比预条件。离散化和预条件子的局部性质自然地产生线性系的无矩阵应用。数值结果说明了性能的解决方案技术。这包括一个实验，其中一个问题在每个方向上大约100个波长，需要超过10亿个未知数，以实现大约4位数的精度，需要小于20分钟来解决。
2023-01-16 cs.DC cs.NA math.NA
Wavenumber explicit convergence of a multiscale generalized finite element method for heterogeneous Helmholtz problems
本文系统地研究了求解高频非均匀Helmholtz问题的一种具有最优局部逼近空间的广义有限元法。局部空间是从精心设计的局部本征值问题定义在广义调和空间上的选定特征向量建立的。在连续和离散的水平上，$(i)$波数显式和近指数衰减率的局部和全局近似误差得到没有任何假设的子域的大小; $(ii)$一个准最优收敛的方法是通过假设子域的大小是$O(1/k)$（$k$是波数）。分析暗示了波数和局部空间维度之间对误差随过采样大小衰减的新型共振效应。进一步证明了对于固定维数的局部空间，离散的局部误差以$h\rightarrow 0$（$h$表示网格尺寸）收敛于连续的局部误差.这种方法在连续层上推广了平面波单位单位分解法[I. Babuska和J.M. Melenk，Int. J.\;编号。\;方法工程，40（1997），pp.~ 727--758]，并在离散层次上，给出了一种有效的非迭代区域分解方法，用于求解由标准有限元离散化产生的离散Helmholtz问题。数值结果证实了理论分析和验证所提出的方法。
2022-09-14 cs.NA math.NA
Two-level hybrid Schwarz Preconditioners for The Helmholtz Equation with high wave number
本文提出两种基于LOD粗求解器和局部求解器的两级混合Schwarz预条件子，用于高波数亥姆霍兹方程，理论证明其最优性并通过数值实验验证。
2025-02-25 cs.NA math.NA
High-Resolution Solvers for 3D Helmholtz Scattering Problems Using PFFT and Eigenvector-Based Preconditioning
Idaho State University（爱达荷州立大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出利用PFFT和基于特征向量的预条件技术，结合高阶紧凑格式，解决三维Helmholtz方程的高效求解方法。
2026-02-07 cs.NA math.NA
