Comparing domain decomposition preconditioners for non-conforming Helmholtz discretizations
University of Vienna（维也纳大学）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, INRIA, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国国家信息与自动化研究所，雅克-路易·利翁斯实验室）；Georg-August-Universität Göttingen（哥廷根大学）
该研究比较了无粗网格校正的两类区域分解预条件子，针对三种非协调Helmholtz离散化方法，经数值实验验证其对大规模问题有良好性能。
2026-08-10 cs.NA math.NA
A block-acoustic preconditioner for the elastic Helmholtz equation
Ben-Gurion University（本-古里安大学）
本文提出了一种基于声学亥姆霍兹方程的块预条件器，用于高效求解弹性亥姆霍兹方程，降低了计算成本和内存消耗。
2025-12-06 cs.NA math.NA
Multidirectionnal sweeping preconditioners with non-overlapping checkerboard domain decomposition for Helmholtz problems
本文研究了一类计算域为非重叠棋盘格划分的Helmholtz问题的广义扫描预条件子。区域分解过程依赖于高阶传输条件和交叉点处理，当子域的数量增加时，如果没有有效的预处理技术，则无法缩放。与所提出的方法，现有的扫描预条件，如对称高斯-赛德尔和并行双扫描预条件，可以应用到棋盘分区与不同的扫描方向（例如，水平和对角线）。由于GMRES的灵活版本，可以组合多个方向，从而允许在计算域的不同区域中快速传输信息，然后加速最终迭代求解过程的收敛。几个二维有限元结果提出了研究和比较扫描预条件，并说明性能的情况下，复杂性增加。
2021-12-28 cs.NA math.NA
Two-level hybrid Schwarz Preconditioners for The Helmholtz Equation with high wave number
本文提出两种基于LOD粗求解器和局部求解器的两级混合Schwarz预条件子，用于高波数亥姆霍兹方程，理论证明其最优性并通过数值实验验证。
2025-02-25 cs.NA math.NA
Two-level preconditioners for the Helmholtz equation
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；University of Strathclyde（思克莱德大学）；University of Bath（巴斯大学）；UPMC Univ Paris 06（巴黎第六大学）
本文比较了两种不同粗空间定义用于亥姆霍兹方程的两级域分解预条件子，分别在二维和三维情况下。虽然解决的是纯亥姆霍兹问题而不考虑吸收，但预条件子是基于具有吸收的问题构建的。第一种方法基于在粗网格上离散化具有吸收的问题，网格直径受波数限制。第二种方法则通过求解涉及狄利克雷-诺伊曼（DtN）算子的局部特征值问题来构建粗空间。
2018-02-21 cs.NA math.NA
MatExPre: A matrix exponential preconditioner for the high-frequency Helmholtz equation
本文提出高频 Helmholtz 方程的矩阵指数预条件子 MatExPre，通过类 Schrödinger 重构和不动点迭代建立时域求解器与矩阵指数积分器的联系，实现仅依赖稀疏矩阵-向量乘积的预条件，并在二维和三维地震基准算例上验证其有效性与可扩展性。
2025-06-04 cs.NA math.NA
Sweeping Preconditioner for the Helmholtz Equation: Hierarchical Matrix Representation
Department of Mathematics and ICES, University of Texas, Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校数学系与计算与应用工程研究所）
提出一种基于分层矩阵表示的扫掠预条件子，用于高效迭代求解变系数Helmholtz方程，包括高频问题，在二维和三维中均表现出线性复杂度和极快的收敛性。
2010-08-02 cs.NA math.NA
Additive Sweeping Preconditioner for the Helmholtz Equation
Department of Mathematics, Stanford University（斯坦福大学数学系）；Institute for Computational and Mathematical Engineering, Stanford University（斯坦福大学计算与数学工程研究所）
本文提出基于完美匹配层的加性扫掠预条件器，通过将域划分为薄层并引入新的传输条件，有效近似了解算子的加性分解，与标准GMRES求解器结合后迭代次数与频率无关。
2016-03-16 cs.NA math.NA
Vanka-smoothed shifted Laplacian multigrid preconditioners for the Helmholtz equations
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Houston University（休斯顿大学）
本文提出了一种改进的多重网格预条件器，通过加性Vanka平滑器提升亥姆霍兹方程的可扩展性，优于传统移位拉普拉斯方法。
2026-09-01 cs.NA math.NA
An Overlapping Domain Decomposition Preconditioner for the Helmholtz equation
State Key Laboratory of Scientific and Engineering Computing, Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算数学与科学工程计算重点实验室）；Department of Mathematics, University of South Carolina（南卡罗来纳大学数学系）
本文提出一种重叠域分解预置器，用于高效求解二维高频亥姆霍兹方程，通过同时更新子域局部解避免方向扫描，复杂度为O(N n_iter)，在大规模并行机器上可处理近十亿未知数的问题。
2015-08-12 cs.NA math.NA
On the optimality of shifted Laplacian in the class of expansion preconditioners for the Helmholtz equation
University of Antwerp（安特卫普大学）
本文研究了扩张预置器EX(m)在亥姆霍兹问题中的最优性，指出EX(1)预置器在计算效率上最优，同时探讨了扩展预置器的改进方向。
2016-12-23 cs.NA math.AP math.NA
A Matrix-free Preconditioner for the Helmholtz Equation based on the Fast Multipole Method
快速多极子方法（FMM）最初是为了加速基于粒子的方法的$N$体问题而开发的。然而，FMM不仅仅是一个$N$ -实体求解器。最近的努力，查看FMM作为一个椭圆型偏微分方程（PDE）求解器已经打开了可能性，使用它作为一个预处理器的更广泛的应用。FMM能够以最优的$\mathcal{O}(N \log N)$复杂度求解Helmholtz问题，具有计算受限的内核和高度异步的通信模式。这些功能的组合使得FMM成为未来架构上稀疏求解器的预处理器的有趣候选者。使用FMM作为预条件允许我们使用比作为求解器所需的更低阶的多极展开，因为单个求解不需要精确。这大大减少了计算量和通信量，并使求解时间与最先进的预处理器相比具有竞争力。此外，FMM的高度可扩展性允许其扩展到比基于因子分解的方法和多层方法大得多的核心计数。我们描述了我们的测试在可重复的细节与免费提供的代码。
2016-08-08 cs.NA math.NA
New preconditioners for Laplace and Helmholtz integral equations on open curves: Analytical framework and Numerical results
二维Helmholtz波散射问题可转化为第一类积分方程，离散后可得到病态的线性系。对于弧上满足Dirichlet和Neumann条件的相应问题，我们分别以局部算子的平方根形式引入了两个新的预条件子。他们概括了所谓的“分析”预条件可用于Lipschitz散射。我们引入了一个功能设置适应的奇异性的问题，使这些预条件的分析。几个数值算例证明了该方法的有效性。
2019-12-02 cs.NA math.AP math.NA
A parallel sweeping preconditioner for heterogeneous 3D Helmholtz equations
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Texas Consortium for Computational Seismology（德州计算地震学联盟）
针对无大空腔的三维亥姆霍兹方程，提出并测试了一种并行扫描预条件子，其设置和应用复杂度分别为O(γ^2 N^{4/3})和O(γ N log N)，并通过改进辅助问题的求解实现了数千核上的高效并行。
2013-02-05 cs.NA math.NA
An improved sweeping domain decomposition preconditioner for the Helmholtz equation
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文改进了用于求解离散亥姆霍兹方程的域分解预条件器，引入改进的内部边界传输方法和同时正向反向扫掠，结合外层两网格迭代，显著降低计算时间和内存使用。
2016-07-11 cs.NA math.NA
Theory of two-level Schwarz preconditioners with piecewise-polynomial coarse spaces for the high-frequency Helmholtz equation
University of Bath（巴斯大学）
针对大波数亥姆霍兹方程的有限元离散，分析经典两级加性Schwarz区域分解GMRES预条件子，其中细空间和粗空间均为分段多项式，多项式次数随log k增长，证明迭代次数与k无关。
2026-06-19 cs.NA math.NA
Convergence theory for two-level hybrid Schwarz preconditioners for high-frequency Helmholtz problems
本文提出两级混合Schwarz预条件子的新收敛理论，适用于高频Helmholtz方程，覆盖任意子域和粗空间，并首次给出分段多项式粗空间的严格收敛结果。
2025-09-26 cs.NA math.NA
Sweeping Preconditioner for the Helmholtz Equation: Moving Perfectly Matched Layers
University of Texas, Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
提出一种基于移动完美匹配层近似Schur补矩阵的扫描预条件子，用于高效求解变系数亥姆霍兹方程，具有线性应用成本且迭代次数与未知数或频率无关。
2010-08-02 cs.NA math.NA
A Class of Iterative Solvers for the Helmholtz Equation: Factorizations, Sweeping Preconditioners, Source Transfer, Single Layer Potentials, Polarized Traces, and Optimized Schwarz Methods
University of Geneva（日内瓦大学）；Zhejiang Ocean University（浙江海洋大学）
本文探讨了一类基于优化Schwarz方法的亥姆霍兹方程预条件子，揭示其共同数学原理，并详述其在域分解中的实现方式。
2018-02-21 cs.NA math.NA
The Helmholtz equation with uncertainties in the wavenumber
Institute of Mathematics and Computer Science, Universität Greifswald（格赖夫斯瓦尔德大学数学与计算机科学研究所）
针对波数含不确定性的亥姆霍兹方程，采用空间有限差分离散结合随机Galerkin方法得到高维复对称线性系统，提出两种预处理器提升GMRES迭代求解效率。
2022-09-29 cs.NA math.NA
A Block Jacobi Sweeping Preconditioner for the Helmholtz Equation
针对扫描型算法的顺序特性限制并行化的问题，提出了一种块Jacobi扫描预处理子，通过在子域子集上并行执行部分扫描来改进扫描型预处理子，并通过二维有限元实验验证了其性能。
2023-03-31 cs.NA math.NA
A two-level shifted Laplace preconditioner for Helmholtz problems: Field-of-values analysis and wavenumber-independent convergence
用于求解由亥姆霍兹方程的离散化产生的线性系统的主要工具之一是移位拉普拉斯预条件子，其由扰动亥姆霍兹问题$-Δu - (k^2 + i \varepsilon )u = f$的离散化产生，其中$0 \neq \varepsilon \in \mathbb{R}$是吸收参数。在这项工作中，我们重新审视的想法相结合的移位拉普拉斯预条件与两级紧缩，并将其应用到亥姆霍兹问题离散线性有限元。我们使用的GMRES的收敛理论的价值领域的基础上证明，GMRES应用到两个水平的预处理系统的移位参数$\varepsilon \sim k^2$收敛在一些迭代独立的波数$k$，提供的粗网格尺寸$H$满足形式$Hk^{2} \leq C$的一些恒定的$C$依赖于域，但独立于波数$k$的条件。这种行为与独立的移位拉普拉斯算子截然不同，对于独立的移位拉普拉斯算子，仅在[M. J. Gander，I.G.格雷厄姆和E.A.斯宾思，努默数学，131（2015），567-614]。最后，我们提出的数值证据表明，波数无关的GMRES收敛也适用于无污染网格，其中粗网格尺寸满足$Hk^{3/2} \leq C $，和不精确的粗网格解决。
2020-06-17 cs.NA math.NA
Substructuring the Hiptmair-Xu preconditioner for positive Maxwell problems
针对正定Maxwell问题，提出基于新公式的Hiptmair-Xu预条件子子结构化版本，用全局体积问题逆矩阵表示Schur系统逆。
2023-06-22 cs.NA math.NA
A time-domain preconditioner for the Helmholtz equation
波动方程的时间调和解可以在频域或时域中计算。在频域中，求解离散化的亥姆霍兹方程，而在时域中，例如通过用时间谐波强迫项长时间模拟来寻求离散化的波动方程的周期解。时域方法的缺点是解受时间离散化误差的影响，并且空间离散不能自由选择，因为它是从时域方案继承的。在这项工作中，我们解决这些问题。给定一个满足一定性质的不定线性系，构造一个矩阵递推关系，使得在极限下得到精确离散解。通过迭代大量的有限次数，得到近似解，类似于亥姆霍兹方程的时域方法。为了提高收敛性，该过程被用作GMRES的预处理器，并且时间谐波强迫项乘以平滑窗口函数。该结构适用于一个紧凑的模板有限差分离散的亥姆霍兹方程，以前没有时域求解器。所得求解器的优点是相对简单，小的内存需求和合理的计算时间。
2021-10-25 cs.NA math.NA
Helmholtz preconditioning for the compressible Euler equations using mixed finite elements with Lorenz staggering
本文提出一种基于混合有限元和 Lorenz 网格的可压缩 Euler 方程 Helmholtz 预条件子，通过引入干热力学熵作为辅助变量，在保证能量和位温方差守恒的同时，实现比现有方法更高效稳定的求解。
2024-10-02 cs.NA math.NA
A matrix-free parallel two-level deflation preconditioner for the two-dimensional Helmholtz problems
针对二维Helmholtz问题求解的收敛性与可扩展性难题，提出结合CSLP的无矩阵并行两级放缩预处理器，实现中等波数下波数无关收敛，兼具良好内存效率与并行可扩展性。
2023-08-11 cs.NA math.NA
Two-level hybrid Schwarz preconditioners with preasymptotic piecewise-polynomial coarse spaces for the high-frequency Helmholtz equation
University College London（伦敦大学学院）；University of Bath（巴斯大学）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, INRIA, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国国家信息与自动化研究所，雅克-路易·利翁斯实验室）
该研究针对高频亥姆霍兹方程，提出带预渐近分段多项式粗空间的两级混合Schwarz预条件子，证明其收敛迭代次数最多随logk增长，数值实验验证理论且表明结果尖锐。
2026-10-09 cs.NA math.NA
Multilevel Preconditioner with Stable Coarse Grid Corrections for the Helmholtz Equation
Xiamen University（厦门大学）；Nanjing University（南京大学）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）
本文提出一种稳健的多级预条件器，用于高波数亥姆霍兹方程，通过连续内部惩罚有限元方法构建稳定粗网格修正问题，并基于GMRES平滑进行多级方法预条件，数值结果表明其在合理频率范围内高效且对波数依赖较弱。
2013-04-25 cs.NA math.NA
Sweeping preconditioners for the iterative solution of quasiperiodic Helmholtz transmission problems in layered media
本文提出一种扫掠预条件器，用于周期性分层介质中亥姆霍兹传输问题的迭代求解，通过构造近似DtN算子来改进DDM方法，采用鲁棒边界积分方程构建高阶RtR算子，并利用扫掠预条件器提高求解效率。
2018-09-15 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Preconditioning of a pollution-free discretization of the Helmholtz equation
本文提出一种无污染的一阶系统最小二乘公式及块预处理器，用于高效求解亥姆霍兹方程，并通过子空间校正保证厄米正定，数值实验显示迭代次数随波数线性增长，且引入误差估计避免冗余迭代。
2025-10-23 cs.NA math.NA
Domain Decomposition with local impedance conditions for the Helmholtz equation with absorption
我们考虑一个家庭的Helmholtz问题的吸收和增加波数$k$的一级添加剂施瓦茨预条件。这些问题的离散化使用的Galerkin方法与节点协调有限元的任何（固定）的网格与直径$h = h(k)$，选择保持精度为$k$增加。预条件子的作用要求求解直径$H$和重叠$δ\leq H$的重叠子域上的独立（并行）子问题（具有阻抗边界条件）。这些子问题的解决方案连接在一起使用延长/限制运营商定义使用分区的单位。在数值实验（与$δ\sim H$）的模型内部阻抗问题，我们观察到强大的（即$k-$独立）GMRES收敛$k$增加。这提供了高度并行的$k-$鲁棒的一级区域分解方法。我们通过研究预条件适用于一系列的吸收问题，$k^2\mapsto k^2+ \mathrm{i} \varepsilon$，吸收参数$\varepsilon$。工作在亥姆霍兹“能量”的内积，并使用亥姆霍兹边值问题的基本理论，我们证明了$k-$独立的上界的范数的预处理矩阵，有效的所有$\vert \varepsilon\vert \lesssim k^2$。我们还证明了一个严格的正下界的距离字段的值的预处理矩阵从原点，它持有时，$\varepsilon/k$是常数或增长任意缓慢与$k$。这些结果意味着鲁棒性的预条件为相应的吸收问题k的增加，并给出理论支持所观察到的鲁棒性的预条件为纯亥姆霍兹问题。
2020-05-19 cs.NA math.NA
On Edge Multiscale Space based Hybrid Schwarz Preconditioner for Helmholtz Problems with Large Wavenumbers
针对大波数亥姆霍兹问题，提出基于边多尺度空间的混合Schwarz预条件子EMs-HS，证明其一致收敛性并通过数值实验验证了理论结果与方法有效性。
2024-08-15 cs.NA math.NA
A new interpolated pseudodifferential preconditioner for the Helmholtz equation in heterogeneous media
本研究针对含吸收的非均匀介质Helmholtz方程，提出一种基于波速插值的新型伪微分预处理器，实现对数线性计算复杂度，结合GMRES方法验证了求解有效性，还实现了复值波速吸收层并讨论了局限与拓展方向。
2024-12-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Sparsifying preconditioner for pseudospectral approximations of indefinite systems on periodic structures
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出一种稀疏预条件器，用于周期结构上高不定系统的伪谱近似，通过等价积分改写和特殊设计的稀疏化算子将密集系统近似转换为稀疏系统，利用稀疏线性代数算法高效求解，作为合理准确的预条件器，结合标准迭代方法可显著减少迭代次数。
2014-09-16 cs.NA math.NA
Evolving Generalizable Multigrid-Based Helmholtz Preconditioners with Grammar-Guided Genetic Programming
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡弗里德里希-亚历山大大学）
求解不定Helmholtz方程不仅对理解许多物理现象至关重要，而且也是数值方法成功应用的一个非常困难的基准问题。在这里，我们介绍了一种新的方法，发展高效的预处理迭代求解器亥姆霍兹问题的多目标语法指导遗传编程。我们的方法是基于一种新的上下文无关的语法，这使得建设的多重网格预条件，采用定制的操作序列上的每个离散化水平。为了找到在给定域上很好地推广的求解器，我们提出了一种自定义的连续问题难度自适应方法，在该方法中，我们评估了预处理器对日益病态的问题实例的效率。我们证明了我们的方法的有效性，通过不断发展基于多重网格的预条件的二维不定亥姆霍兹问题，优于几个人类设计的方法，不同的波数高达系统的线性方程与超过一百万个未知数。
2022-04-28 cs.AI cs.MS cs.NA
Domain decomposition preconditioners for high-order discretisations of the heterogeneous Helmholtz equation
我们考虑一级添加剂施瓦茨区域分解预条件的Helmholtz方程与变系数（建模波在非均匀介质中的传播），边界条件，包括波散射问题。吸收作为一个参数包括在问题中。这个问题是离散使用$H^1$ -符合节点有限元固定的局部度$p$的网格直径$h = h(k)$，选择，使误差保持有界的增加$k$。一级预条件子的作用包括子域（可以是一般的几何形状）上的问题的并行解，每个子域都配备有阻抗边界条件。我们证明严格的左或右预处理矩阵的值的范数和字段的估计，明确显示如何吸收，系数的异质性和依赖程度进入估计。这些估计严格地证明了，有足够的吸收和足够大的$k$，GMRES是保证收敛的迭代次数是独立的$k,p,$和系数。$k$足够大的理论阈值取决于$p$和子域中系数的局部变化（而不是全局）。广泛的数值实验的吸收和传播的情况下，在后一种情况下，我们调查的例子时，系数是非陷阱，当他们被捕获。这些实验（i）在多项式次数和系数的依赖性方面支持我们的理论;（ii）在所需的吸收水平方面支持我们的值估计的准确性。
2020-10-05 cs.NA math.NA
L-Sweeps: A scalable, parallel preconditioner for the high-frequency Helmholtz equation
我们提出了第一个快速求解器的高频亥姆霍兹方程，规模最佳并行，为一个单一的右手边。L-扫描方法通过脱离通常的传播模式来实现这种可扩展性，在通常的传播模式中，信息在分层分解中从接口以180度圆锥流动。相反，使用L扫描，信息在由棋盘区域分解（CDD）引起的90度圆锥中传播。我们扩展的概念，准确的传输条件的CDD，并引入了一个新的扫描策略，有效地跟踪波前，因为它们通过CDD传播。新的方法在每个波阵面的子域，使它们可以并行处理，从而产生更好的并行可扩展性比以前在文献中所展示的。对于d维问题的N=n^d全次数自由度、频率w和p=O（n）处理器，该方法的经验运行时间为O（（N/p）log w）。我们介绍了算法，并提供了我们的并行实现的求解器的复杂性分析。我们证实了所有索赔在几个二维和三维数值例子，涉及恒定的，光滑的，不连续的波速。
2019-10-15 cs.NA math.NA
Convergence of HX Preconditioner for Maxwell's Equations with Jump Coefficients (ii): The Main Results
本文是两篇系列文章的第二篇，其目的是证明HX预条件子（Hiptmair和Xu，2007）对具有跳跃系数的Maxwell方程的收敛性。本文基于第一篇论文（Hu，2017）中的辅助结果，我们建立了三维边有限元函数的一个新的正则Helmholtz分解，该分解关于权函数几乎稳定。利用这种Helmholtz分解，我们给出了HX预条件子在强间断系数情况下的收敛性分析。我们表明，HX预条件子具有快速收敛，这不仅是接近最优的有限元网格步长，但也是独立的系数跨越两个相邻子域之间的接口。
2023-01-30 cs.NA math.NA
Parallel block preconditioners for virtual element discretizations of the time-dependent Maxwell equations
本研究的重点是三维麦克斯韦方程组的低阶虚元离散的并行块预处理器的构造和数值验证。虚元法是一种将有限元推广到多面体网格的偏微分方程的数值逼近技术。到目前为止，VEM已被扩展到几个问题所描述的偏微分方程，最近也不定常麦克斯韦方程组。当偏微分方程的时间离散化是隐式执行时，在每个时间步，一个大规模和病态的线性系必须被解决，在麦克斯韦方程的情况下，这是特别具有挑战性的，因为存在H（div）和H（curl）离散空间。在这里，我们提出了一个并行预条件，利用Schur补块分解的线性系矩阵，并包括一个Jacobi预条件的H（div）块和辅助空间预条件的H（卷曲）块。几个并行的数值试验已经进行了研究的鲁棒性的求解器的网格细化，多面体元素的形状，时间步长和VEM稳定参数。
2022-08-04 cs.NA math.NA
Semi matrix-free twogrid shifted Laplacian preconditioner for the Helmholtz equation with near optimal shifts
由于它在波动现象方面的重要性，人们在亥姆霍兹方程的预处理器的设计上投入了相当大的努力。导出预条件子的一个选择是在移位算子上应用多重网格方法。在这样的方法中，波数被移动某个虚值。这一步的动机是观察到，移动的问题可以更有效地处理迭代求解器相比，标准的亥姆霍兹方程。然而，到目前为止，换档参数选择的最佳策略是什么还不明显。众所周知，一个好的位移参数敏感地依赖于波数和离散参数，如阶数和网格尺寸。因此，我们研究了选择一个接近最佳的复杂的移位，使FGMRES求解器收敛较少的迭代。我们的目标是提供一个地图，根据波数和网格大小返回预处理器的接近最优的位移。为了计算这个地图，我们考虑了一种数据驱动的方法：我们首先生成许多样本，然后在第二步中，我们对这些数据进行非线性回归。利用该代表性映射，可以通过简单的评估获得接近最佳的移位。我们的预条件是基于一个twogrid的V-循环应用到移位的问题，使我们能够实现半矩阵的方法。我们的预处理FGMRES求解器的性能说明了在两个和三个空间维度的非均匀波数的几个基准问题。
2021-04-03 cs.CE cs.NA math.NA
Sparsifying preconditioner for the time-harmonic Maxwell's equations
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了一种用于时谐麦克斯韦方程积分形式的稀疏预条件子，将之前针对Lippmann-Schwinger方程的稀疏预条件子方法从标量波情况推广到向量情况，通过最小化积分方程中的非局部相互作用来构建稀疏近似，从而利用稀疏线性求解器降低计算成本，结合标准GMRES求解器，预条件迭代次数保持小且与频率无关，表明采用稀疏预条件子可使求解密集积分系统与求解PDE离散化稀疏系统同样高效。
2018-10-18 cs.NA math.NA
Two-level Restricted Additive Schwarz preconditioner based on Multiscale Spectral Generalized FEM for Heterogeneous Helmholtz Problems
提出一种基于多尺度谱广义有限元方法的两层限制加性Schwarz预条件子用于非均匀Helmholtz问题，证明了其收敛率独立于网格尺寸和子域数且随波数增加而衰减，数值实验验证了其高效性。
2025-03-03 cs.NA math.NA
Preconditioning across parameter space for the parametric Helmholtz equation
Radboud University（拉德堡德大学）
针对参数化线性方程组中矩阵对参数高度敏感的问题，提出在预计算阶段于参数空间部署多个预条件子，并通过位置分配策略优化其布局，结合灰盒高斯过程回归估计GMRES迭代次数，在参数化亥姆霍兹散射问题中实现约一个数量级的运行时间节省。
2026-05-27 cs.NA math.NA
Discrete Edge Multiscale Space based Hybrid Schwarz Preconditioner for High-Frequency Helmholtz Problems
Eastern Institute for Advanced Study, Eastern Institute of Technology（宁波东方理工大学高级研究院）；School of Science and Engineering, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳）理工学院）；Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）；Department of Mathematics, Purdue University（普渡大学数学系）
本研究提出基于边多尺度空间的混合施瓦茨预条件子EMs-HS，首次从理论上分析离散层面的边多尺度空间，证明其对大波数亥姆霍兹问题的固定点迭代一致收敛，并通过数值结果验证方法有效性。
2026-10-15 cs.NA math.NA
GMRES-based multigrid for the complex scaled preconditoner for the indefinite Helmholtz equation
University of Antwerp（安特卫普大学）；Intel Exascience Lab（英特尔超算实验室）
本文探索用GMRES替代标准多重网格中的固定光滑子，构建鲁棒高效的复平移或拉伸亥姆霍兹问题求解器，作为预条件子，并通过理论推导的稳定多项式光滑子比较收敛行为。
2013-05-08 cs.NA math.NA
On the indefinite Helmholtz equation: complex stretched absorbing boundary layers, iterative analysis, and preconditioning
University of Antwerp（安特卫普大学）
本文研究并分析了针对基于复坐标拉伸的吸收边界层亥姆霍兹问题的预处理Krylov求解器，通过引入内部区域复坐标的预处理子实现多重网格可逆性，并基于特征值进行数值分析与实验验证。
2010-06-14 cs.NA math.NA
A two-level domain-decomposition preconditioner for the time-harmonic Maxwell's equations
Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD（蔚蓝海岸大学，法国国家科学研究中心，拉格朗日分析几何实验室）；University of Strathclyde（思克莱德大学）；University of Bath（巴斯大学）；UPMC Univ Paris 06, LJLL（巴黎第六大学皮埃尔和玛丽·居里大学，拉格朗日分析实验室）
本文研究了针对时谐Maxwell方程的双层域分解预条件器，探讨了其在理论和数值上的有效性，以解决中高频下的快速迭代求解问题。
2018-02-21 cs.NA math.NA
Multigrid-augmented deep learning preconditioners for the Helmholtz equation
Ben-Gurion University（本-古里安大学）
在本文中，我们提出了一个数据驱动的方法来迭代求解离散非均匀亥姆霍兹方程在高波数。在我们的方法中，我们将经典的迭代求解器与卷积神经网络（CNN）相结合，形成一个应用于Krylov求解器的预处理器。对于预处理器，我们使用了一个CNN类型的U-Net，结合多网格成分。提出了两种类型的预处理器：1）U-Net作为粗网格求解器，2）U-Net作为具有移位拉普拉斯V-圈的收缩算子。在我们的训练方案和数据增强之后，我们的CNN预处理器可以在残差和一组相对一般的波慢度模型上进行推广。最重要的是，我们还提供了一个编码器-求解器框架，其中“编码器”网络在介质上进行泛化，并将上下文向量发送到另一个“求解器”网络，后者在右侧进行泛化。我们表明，这个选项是更强大和更有效的比独立的变体。最后，我们还提供了一个小型的再训练过程，以改善求解器后，模型是已知的。此选项在求解多个右侧时非常有用，例如在逆问题中。我们证明了我们的方法在各种二维问题的效率和泛化能力。
2022-03-14 cs.CE cs.LG cs.NA
Recent Results on Domain Decomposition Preconditioning for the High-frequency Helmholtz Equation using Absorption
Department of Mathematical Sciences, University of Bath（巴斯大学数学科学系）；Institute of Computer Science, University of Tartu（塔尔图大学计算机科学研究所）
本文综述了高频亥姆霍兹问题离散化中域分解预置条件的发展与分析进展，通过引入吸收项构造预置条件，并展示了高效多级求解器在无吸收情况下的应用，实验显示迭代次数和求解时间与网格尺寸相关。
2016-06-23 cs.NA math.NA
Preconditioners and Their Analyses for Edge Element Saddle-point Systems Arising from Time-harmonic Maxwell Equations
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学数学系）
本文提出并分析了用于时谐Maxwell方程边界元离散化所得边界元鞍点系统的新预处理程序，探讨了波数为零和非零时的求解方法及预处理程序效率。
2016-10-11 cs.NA math.NA
Domain Decomposition preconditioning for high-frequency Helmholtz problems with absorption
University of Bath（巴斯大学）；University of Tartu（塔尔图大学）
本文研究了高频亥姆霍兹问题的域分解预条件技术，提出新的理论分析，证明了吸收参数对预条件矩阵收敛率的影响，并通过数值实验验证了理论结果。
2016-03-25 cs.NA math.NA
A hybrid shifted Laplacian multigrid and domain decomposition preconditioner for the elastic Helmholtz equations
本文提出一种结合移位拉普拉斯与线性弹性方法的混合预条件器，用于求解弹性亥姆霍兹方程，并通过区域分解增强处理大规模问题，在二维和三维非均匀介质中验证了与泊松比无关的收敛效率。
2023-11-19 cs.CE cs.NA math.NA
Schwarz preconditioner with $H_k$-GenEO coarse space for the indefinite Helmholtz problem
本文提出 $H_k$-GenEO 粗空间，通过直接基于不定算子构造广义特征值问题，改进 Schwarz 预条件子在高频 Helmholtz 问题中对波数增加的稳健性，并给出粗空间大小与波数关系的理论估计。
2024-06-10 cs.NA math.NA
A Fully Matrix-Free Three-Grid Preconditioner for the Time-Harmonic Maxwell Equations at Extreme Scale
Eastern Institute of Technology（东方理工学院）
针对时谐麦克斯韦方程的极端规模求解难题，提出带PML和混合求积的完全无矩阵三网格预条件子，可高效求解百亿级未知量的均匀与异质系统，实现高可扩展性。
2026-08-25 cs.NA math.NA
