A Bernoulli Phase-Fitted finite difference method with wavenumber-explicit analysis for the Helmholtz problem
TU Wien（维也纳工业大学）；Soochow University（苏州大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种伯努利相适应有限差分方法，用于求解具有阻抗边界条件的一维亥姆霍兹方程。该方法基于复数化的Scharfetter-Gummel离散化，对亥姆霍兹算子的一向因子分解进行离散化。该方法在内部离散化中具有相适应性，并能精确地闭合离散的阻抗边界条件。对于齐次问题，该方法对平面波是精确的，因此在内部不会引入数值色散，也不在边界处引入人工反射。对于非齐次问题，证明了问题的适定性，推导了波数显式的稳定性估计，并建立了适用于所有kh∉πZ的二阶一致性和收敛性。特别地，在固定分辨率条件kh≤s0（其中0<s0<π）和kL≥π的情况下，误差界中的常数对波数是均匀的，从而在主尼奎斯特域中实现了无污染的收敛理论。数值实验验证了理论分析并显示了与标准和色散修正有限差分方法相比的良好性能。
2026-07-22 cs.NA math.NA
A Neural Multigrid Solver for Helmholtz Equations with High Wavenumber and Heterogeneous Media
本文提出Wave-ADR-NS神经多重网格求解器，通过谱分析分离误差分量，结合多重网格波循环、学习相位函数和ADR循环，高效求解波数超2000的非均匀亥姆霍兹方程。
2025-03-11 cs.NA math.NA
Achieving wavenumber robustness in domain decomposition for heterogeneous Helmholtz equation: an overview of spectral coarse spaces
该综述针对非均匀Helmholtz方程时谐波传播问题，考察比较GenEO型、调和型等支撑两级区域分解的谱粗空间，结合谱信息与多尺度方法分析其优劣，通过实验揭示计算成本、鲁棒性与适用性间的权衡，为基准问题选优提供参考。
2025-09-02 cs.NA math.NA
On Edge Multiscale Space based Hybrid Schwarz Preconditioner for Helmholtz Problems with Large Wavenumbers
针对大波数亥姆霍兹问题，提出基于边多尺度空间的混合Schwarz预条件子EMs-HS，证明其一致收敛性并通过数值实验验证了理论结果与方法有效性。
2024-08-15 cs.NA math.NA
Sixth Order Compact Finite Difference Method for 2D Helmholtz Equations with Singular Sources and Reduced Pollution Effect
由于其高振荡解，亥姆霍兹方程在数值求解上具有挑战性。为了获得合理的解，通常需要小于波数倒数的网格尺寸（称为污染效应）。高阶格式是可取的，因为它们更好地减轻污染的影响。本文对二维Helmholtz方程的奇异源问题提出了一种高阶紧致有限差分法，它也可以处理矩形区域上任意可能的边界条件（Dirichlet，Neumann和阻抗）组合.我们的方法实现了六阶一致性的常数波数，和五阶一致性的分段常数波数。为了减少污染效应，我们提出了一种新的污染最小化策略，是基于平均截断误差的平面波。我们的数值实验表明，我们提出的有限差分格式的优越性，减少污染的影响，几个国家的最先进的有限差分格式，特别是在临界前渐近区域，其中$\textsf{k} h$接近$1$与$\textsf{k}$的波数和$h$的网格步长。
2023-02-17 cs.NA math.NA
Convergence of overlapping domain decomposition methods with PML transmission conditions applied to nontrapping Helmholtz problems
University College London（伦敦大学学院）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳大数据研究院）；University of Bath（巴斯大学）；CNRS and Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR5219（法国国家科学研究中心与图卢兹数学研究所；图卢兹大学）；Université de Toulouse
本文研究Helmholtz方程重叠Schwarz方法，提出PML传输条件，证明在指定迭代次数后误差小于波数任意负幂次，为波数显式收敛性首例。
2026-09-11 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit convergence of the $hp$-FEM for the full-space heterogeneous Helmholtz equation with smooth coefficients
在论文[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]、[Melenk-Parsania-Sauter，2013]中率先提出了应用于各种常系数亥姆霍兹问题的$hp$-FEM的收敛理论。这一理论表明，如果解算子在波数$k$中多项式有界，则Galerkin方法是拟最优的，只要$hk/p \leq C_1$和$p\geq C_2 \log k$满足，其中$C_1$充分小，$C_2$充分大，且两者都独立于$k,h,$和$p$ .该结果的意义在于，如果$hk/p= C_1$和$p=C_2\log k$，则通过与$k^d$成比例的自由度总数实现准最优性;即，$hp$-FEM不受污染影响。本文证明了$\mathbb{R}^d$，$d=2,3$中提出的变系数非均匀Helmholtz方程在无穷远处的Sommerfeld辐射条件和$C^\infty$系数下的类似拟最优性结果.我们还证明了在特定情况下的平面波散射问题的Galerkin解决方案的相对误差的一个界。这是有史以来第一个结果的波数显式收敛的$hp$-FEM的Helmholtz方程的变系数。
2022-03-05 cs.NA math.AP math.NA
Wavenumber-explicit analysis for the Helmholtz $h$-BEM: error estimates and iteration counts for the Dirichlet problem
Stanford University（斯坦福大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了使用标准二阶混合场积分方程求解Helmholtz方程外部Dirichlet问题的h-BEM方法，推导了在障碍物边界解析且曲率严格正时，GMRES迭代次数与波数k增长的关系的新的精确界，并证明了当障碍物非捕获时，h必须随k减小的新的界，以保持k无关的拟最优性。
2019-02-22 cs.NA math.AP math.NA
The spectrum of the Steklov-Helmholtz operator
针对Helmholtz算子提出波数稳健的BIO-MOD方法计算Steklov特征对，通过单层位势和缩减SVD克服近异常波数病态性，实现谱收敛，并用于形状优化和谱几何研究。
2025-09-08 cs.NA math.NA
Adaptive Nonoverlapping Preconditioners for the Helmholtz Equation
本文针对大波数Helmholtz方程的计算挑战，在NOSAS方法框架内提出了两类纯代数的自适应非重叠预条件子，有效缓解了局部Dirichlet问题的不适定性，数值实验证明其在大波数下具有稳健的收敛率与可扩展性。
2025-05-01 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit parametric holomorphy of Helmholtz solutions in the context of uncertainty quantification
在偏微分方程的不确定性量化（UQ）理论中，解相对于随机参数的正则性起着至关重要的作用;事实上，人们试图建立的一个关键属性是解相对于参数（的复延拓）是全纯的。在高频亥姆霍兹方程的UQ的上下文中，一个自然的问题是：这种参数全纯性如何依赖于波数$k$？最近的论文[Ganesh，Kuo，Sloan 2021]表明，对于系数对随机参数具有仿射依赖性的特定非捕获变系数Helmholtz问题，解算子可以解析地延续到复平面中的距离$\sim k^{-1}$。本文将[Ganesh，Kuo，Sloan 2021]中关于$k$ -显式参数全纯性的结果推广到更广泛的一类Helmholtz问题，（全纯）依赖于随机参数;我们表明，在所有情况下，参数全纯的区域随着$k$而减小，并显示了$k$的下降率是如何由未扰动的亥姆霍兹问题是陷阱还是非陷阱决定的。然后，我们给出了捕获和非捕获问题的例子，其中参数全纯区域的$k$的下降率的界限是尖锐的，捕获的例子来自[Galkowski，Marchand，Spence 2021]的最近结果。这些结果的直接含义是，[Ganesh，Kuo，Sloan 2021]中对拟蒙特卡罗方法（QMC）方法分析中的随机性施加的$k$相关限制源于$k$较大（而不是次优边界）的亥姆霍兹方程的真正特征。
2022-09-20 cs.NA math.AP math.NA
Hyperbolic model for Helmholtz equation with impedance boundary conditions
Ivane Javakhishvili Tbilisi State University（伊万·贾瓦赫什维利第比利斯国立大学）；Institute of Energy and Climate research 8: Troposphere, Research Center Jülich（于利希研究中心能源与气候研究所8：对流层）
本文提出双曲模型用于求解具有阻抗边界条件的亥姆霍兹方程，通过稳态解在有限时间内达到，解决了大波数下高精度计算的问题。
2018-06-15 cs.NA math.NA
A discontinuous least squares finite element method for Helmholtz equations
本文提出一种求解Helmholtz方程的间断最小二乘有限元法。该方法是基于L2范数最小二乘功能与弱施加的连续性，以及边界条件的内部面。我们在不连续的多项式空间上极小化泛函来寻求数值解。建立了该方法的波数显式误差估计。对于固定波数，在能量范数下得到了最优的收敛速度。最小二乘泛函可以自然地用作h-自适应过程中的后验估计器。由于采用了不连续单元，便于程序实现。二维和三维的数值结果验证了误差估计。
2021-05-05 cs.NA math.NA
An optimal convergence analysis of the hybrid Raviart-Thomas mixed discontinuous Galerkin method for the Helmholtz equation
提出了求解Helmholtz方程的Raviart-Thomas混合间断Galerkin（HRTMDG）方法。在一个新的能量范数下，证明了HRTMDG方法的存在唯一性，并给出了收敛性分析。相应的误差估计表明，HRTMDG方法具有最佳的$L^2$ -范数收敛精度，且与波数无关。
2020-09-03 cs.NA math.NA
The geometric error is less than the pollution error when solving the high-frequency Helmholtz equation with high-order FEM on curved domains
本文证明在弯曲域上用高阶有限元求解高频亥姆霍兹方程时，几何误差为kh阶，小于污染误差k(kh)^{2p}，并给出数值验证及强捕获情形下的推广。
2025-03-27 cs.NA math.NA
Analysis of the $hp$-version of a first order system least squares method for the Helmholtz equation
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文研究了Helmholtz方程一阶系统最小二乘法的$hp$版本，在分析边界为解析的情况下，获得了在网格尺寸$h$和多项式次数$p$下的改进收敛率，条件是尺度分辨率条件$hk/p$足够小且$p/\log k$足够大。
2019-06-05 cs.NA math.NA
On the Efficient Evaluation of the Azimuthal Fourier Components of the Green's Function for Helmholtz's Equation in Cylindrical Coordinates
在这篇手稿中，我们开发了一个有效的算法来评估方位角傅立叶分量的格林函数的亥姆霍兹方程在柱面坐标。用于该模态格林函数的计算有效算法对于求解来自旋转体的电磁散射（例如，雷达截面、天线）。当源和目标接近或波数较大时，当前评估该模态格林函数的算法在计算上变得棘手。此外，大多数现有技术的方法不能容易地并行化。在这篇手稿中，我们提出了一种算法，用于评估模态格林函数，具有独立的源-目标接近度和波数的性能，其成本增长为$O(m)$，其中$m$是傅立叶模式。此外，我们的算法是非常并行化。
2021-04-25 cs.NA math.NA
FEM-BEM coupling for the high-frequency Helmholtz problem
本文对高频 Helmholtz 问题的 FEM-BEM 耦合方法进行波数显式分析，证明在 $kh/p$ 足够小且 $\log(k)/p$ 有界条件下，协调方法和间断 Galerkin 方法均具有拟最优性，并建立了三场耦合形式的 $k$-显式正则性理论。
2024-07-05 cs.NA math.NA
Stable skeleton integral equations for general coefficient Helmholtz transmission problems
提出层位势与边界积分算子的新型变分公式，解决了变系数Helmholtz透射问题中Green函数不可用的问题，并基于底层透射问题的稳定性直接推导出积分方程的适定性。
2025-07-01 cs.NA math.AP math.NA
Sharp bounds on Helmholtz impedance-to-impedance maps and application to overlapping domain decomposition
该研究利用半经典亏损测度证明高频Helmholtz方程阻抗-阻抗映射的精确界，结合已有结果分析并行重叠Schwarz区域分解法的波数鲁棒性与收敛性。
2024-02-01 cs.NA math.AP math.NA
A matrix-free parallel two-level deflation preconditioner for the two-dimensional Helmholtz problems
针对二维Helmholtz问题求解的收敛性与可扩展性难题，提出结合CSLP的无矩阵并行两级放缩预处理器，实现中等波数下波数无关收敛，兼具良好内存效率与并行可扩展性。
2023-08-11 cs.NA math.NA
Semi matrix-free twogrid shifted Laplacian preconditioner for the Helmholtz equation with near optimal shifts
由于它在波动现象方面的重要性，人们在亥姆霍兹方程的预处理器的设计上投入了相当大的努力。导出预条件子的一个选择是在移位算子上应用多重网格方法。在这样的方法中，波数被移动某个虚值。这一步的动机是观察到，移动的问题可以更有效地处理迭代求解器相比，标准的亥姆霍兹方程。然而，到目前为止，换档参数选择的最佳策略是什么还不明显。众所周知，一个好的位移参数敏感地依赖于波数和离散参数，如阶数和网格尺寸。因此，我们研究了选择一个接近最佳的复杂的移位，使FGMRES求解器收敛较少的迭代。我们的目标是提供一个地图，根据波数和网格大小返回预处理器的接近最优的位移。为了计算这个地图，我们考虑了一种数据驱动的方法：我们首先生成许多样本，然后在第二步中，我们对这些数据进行非线性回归。利用该代表性映射，可以通过简单的评估获得接近最佳的移位。我们的预条件是基于一个twogrid的V-循环应用到移位的问题，使我们能够实现半矩阵的方法。我们的预处理FGMRES求解器的性能说明了在两个和三个空间维度的非均匀波数的几个基准问题。
2021-04-03 cs.CE cs.NA math.NA
Error Analysis of an HDG Method with Impedance Traces for the Helmholtz Equation
本文针对亥姆霍兹方程提出一种带阻抗迹线的HDG方法误差分析，证明其无需分辨率条件即可唯一可解并具有最优收敛速率，且适用于静态凝聚和迭代求解。
2023-07-07 cs.NA math.NA
Schwarz methods with PMLs for Helmholtz problems: fast convergence at high frequency
本文通过实验扩展带 PML 的重叠 Schwarz 方法理论，考察重叠与 PML 宽度随波数缩小时的高频表现，发现一个波长宽的 PML 可使其保持稳健快速收敛。
2025-10-20 cs.NA math.NA
A new Heterogeneous Multiscale Method for the Helmholtz equation with high contrast
Institut für Analysis und Numerik, Westfälische Wilhelms-Universität Münster（明斯特大学分析与数值计算研究所）；Westfälische Wilhelms-Universität Münster（明斯特大学）
本文提出了一种新的异质多尺度方法用于高对比度亥姆霍兹方程，分析了多尺度解的稳定性，并通过数值实验验证了理论收敛性及分辨率条件。
2016-12-20 cs.NA math.NA
NSNO: Neumann Series Neural Operator for Solving Helmholtz Equations in Inhomogeneous Medium
提出受 Neumann 级数启发并嵌入 U-Net 的 NSNO，学习非均匀介质 Helmholtz 方程解算子，在精度、成本和数据需求上优于 FNO，并可用于逆散射。
2024-01-24 cs.NA math.NA
On the discontinuous Galerkin method for solving boundary value problems for the Helmholtz equation: A priori and a posteriori error analyses
Universidad Católica de la Santísima Concepción（天主圣神天主教大学）；Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）；Universidad Pública de Navarra（纳瓦拉公立大学）
本文研究了不连续伽辽金方法在二维多边形域中求解亥姆霍兹方程混合边界值问题的先验和后验误差分析，证明了离散方案的稳定性与收敛性，并给出了数值实验验证理论结果。
2013-10-10 cs.NA math.NA
A pure source transfer domain decomposition method for Helmholtz equations in 3D unbounded domain
Nanjing University（南京大学）；Xiangtan University（湘潭大学）
该研究针对三维无界区域亥姆霍兹方程，扩展二维纯源转移区域分解方法，建立波数显式收敛估计，数值实验验证其作为直接求解器和GMRES预条件子的有效性。
2026-11-03 cs.NA math.NA
Non-iterative domain decomposition for the Helmholtz equation using the method of difference potentials
本文采用差分势法（MDP）求解了Helmholtz方程的非重叠区域分解公式。MDP将每个子域上的Helmholtz方程简化为在其边界上投影的Calderon边界方程。卡尔德龙方程的未知数是狄利克雷和诺依曼数据。相邻子域之间的耦合是通过将它们各自的Calderon方程应用于公共界面处的相同数据来呈现的。使用简单的直接求解器同时计算各个子域的解。我们提供的数值例子表明，我们的方法是不敏感的内部交叉点和混合边界条件，以及大跳跃的波数传输问题，这是已知的许多其他区域分解方法的问题。
2021-03-22 cs.NA math.NA
Two-level preconditioners for the Helmholtz equation
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；University of Strathclyde（思克莱德大学）；University of Bath（巴斯大学）；UPMC Univ Paris 06（巴黎第六大学）
本文比较了两种不同粗空间定义用于亥姆霍兹方程的两级域分解预条件子，分别在二维和三维情况下。虽然解决的是纯亥姆霍兹问题而不考虑吸收，但预条件子是基于具有吸收的问题构建的。第一种方法基于在粗网格上离散化具有吸收的问题，网格直径受波数限制。第二种方法则通过求解涉及狄利克雷-诺伊曼（DtN）算子的局部特征值问题来构建粗空间。
2018-02-21 cs.NA math.NA
Exponentially convergent multiscale methods for high frequency heterogeneous Helmholtz equations
在本文中，我们提出了一个多尺度框架求解Helmholtz方程在非均匀介质中没有尺度分离，在高频区的波数$k$可以很大。主要的创新是，我们的方法实现了近指数收敛速率相对于计算的自由度，使用粗网格的网格步长$O(1/k)$，而不遭受众所周知的污染效应。其关键思想是一个非重叠的区域分解及其相关的粗-细尺度分解的解决方案空间，适应介质的属性和波数，这种分解的灵感来自多尺度有限元法（MsFEM）。我们表明，粗的部分是\textit{low complexity}的意义上说，它可以近似通过局部基函数的收敛速率接近指数，由于紧凑的限制算子，映射亥姆霍兹调和函数，他们的插值残留的边缘，而精细的部分是\textit{local}，它可以有效地计算使用的局部信息的右手边。这两个部分的组合产生了我们的多尺度方法的总体接近指数的收敛速率。我们的方法在文献中，我们将详细评论多尺度方法绘制了许多连接。我们证明了我们的方法的有效性，理论和数值;指数收敛速率一致观察和确认。此外，我们观察到我们的方法的鲁棒性，在媒体数值上的高对比度。在我们的论述中，我们特别关注2D问题，因为在这种情况下，非重叠区域分解的几何形状最容易解释;最后将概述3D的推广。
2022-10-20 cs.NA math.NA
Embedded Trefftz DG method for the Helmholtz equation
University of Vienna（维也纳大学）
本文提出一种嵌入式 Trefftz 不连续 Galerkin 方法用于亥姆霍兹方程，通过局部约束强制 Trefftz 性质，结合对称内罚项实现全局耦合，利用 T- coercivity 和 Schatz 型对偶技术证明稳定性，获得波数显式稳定性及收敛性估计。
2026-03-13 cs.NA math.NA
Fourier analysis of the CGMN method for solving the Helmholtz equation
Centrum Wiskunde & Informatica（数学与计算机科学中心）
针对亥姆霍兹方程，研究加速Kaczmarz方法（CGMN）的迭代矩阵表达式，通过傅里叶分析给出松弛参数的最优选择，并数值验证。
2013-09-20 cs.NA math.NA
Fast Evaluation of the Azimuthal Fourier Modes of the 3D Helmholtz Green's Function and Their Derivatives
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
本文提出一种O(M)算法，用于快速计算三维霍普沃尔茨格林函数的方位傅里叶模及其导数，具有高相对精度和线性标度特性，适用于轴对称声散射的模边界积分方程求解。
2026-10-06 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A generalized optimal fourth-order finite difference scheme for a 2D Helmholtz equation with the perfectly matched layer boundary condition
一个成功的波传播相关的反问题的关键部分是一个有效的和准确的数值方法来解决地震波方程。特别是，数值解的多维亥姆霍兹方程可以是麻烦时，完全匹配层（PML）边界条件的实施。本文提出了一种基于点加权策略构造二维区域上具有PML的Helmholtz方程的四阶差分格式的一般方法。特别地，我们发展了两个最优四阶差分格式，最优点加权25p和最优点加权17p。结果表明，这两种格式与具有PML的Helmholtz方程是一致的。此外，还对精确波数的数值逼近进行了误差分析。基于最小化数值色散的思想，实现了优化参数的精细选择策略，提出了精细点加权25p和精细点加权17p差分格式。最后，通过三个数值算例说明了新方法在减小数值色散方面的准确性和有效性。
2019-08-20 cs.NA math.NA
On the derivation of guaranteed and p-robust a posteriori error estimates for the Helmholtz equation
我们提出了一种新的后验误差估计符合有限元离散的二维和三维亥姆霍兹问题。该估计器是基于一个平衡通量，通过求解分片混合有限元问题计算。我们表明，估计是可靠的前因子，往往与网格细化或多项式的程度增加。我们还推导出一个完全可计算的上界的前因子的几个常见的设置域和边界条件。这导致了一个保证的估计没有任何假设的网格步长或多项式的次数，虽然所获得的保证范围可能会导致大的误差高估。接下来，我们证明了估计是局部有效的，在所有政权的多项式的次数，和渐近稳定的波数。最后，我们提出的数值实验，说明我们的分析，并表明我们的理论结果是尖锐的。
2021-05-04 cs.NA math.NA
Theory of two-level Schwarz preconditioners with piecewise-polynomial coarse spaces for the high-frequency Helmholtz equation
University of Bath（巴斯大学）
针对大波数亥姆霍兹方程的有限元离散，分析经典两级加性Schwarz区域分解GMRES预条件子，其中细空间和粗空间均为分段多项式，多项式次数随log k增长，证明迭代次数与k无关。
2026-06-19 cs.NA math.NA
Dispersive and dissipative errors in the DPG method with scaled norms for Helmholtz equation
Portland State University（波特兰州立大学）；Pontificia Universidad Católica de Valparaíso（天主教瓦尔帕莱索宗座大学）
研究DPG方法在亥姆霍兹方程中的应用，发现缩放参数接近极限值时性能更优，通过分散分析揭示了方法中复离散波数导致的数值耗散，对比了非标准最小二乘 Galerkin 方法与标准方法的性能。
2013-04-28 cs.NA math.NA
Variational Principles for the Helmholtz equation: application to Finite Element and Neural Network approximations
University of Crete（克里特大学）；IACM-FORTH（基础与应用数学研究所-希腊技术研究中心）；University of Sussex（萨塞克斯大学）；University of West Attica（西阿提卡大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究阻抗边界条件下亥姆霍兹方程的变分原理，通过构造强正定增广泛函，提出基于有限元和神经网络的数值方法。
2026-07-01 cs.NA math.NA
On stability of discretizations of the Helmholtz equation (extended version)
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本文综述了高波数下亥姆霍兹方程多种离散化的稳定性，针对多边形模型问题发展了完整的k显式稳定性与高阶有限元方法的收敛理论，并分析了使用齐次亥姆霍兹方程分片解的两类数值格式的稳定性。
2011-07-31 cs.NA math.NA
A Filon-Clenshaw-Curtis-Smolyak rule for multi-dimensional oscillatory integrals with application to a UQ problem for the Helmholtz equation
本文提出Filon-Clenshaw-Curtis-Smolyak规则计算多维振荡积分，结合Smolyak插值与FCC规则，误差随波数负幂衰减，并应用于Helmholtz方程不确定性量化，数值验证精度随波数和阶数提高。
2024-02-09 cs.NA math.NA
Discrete Edge Multiscale Space based Hybrid Schwarz Preconditioner for High-Frequency Helmholtz Problems
Eastern Institute for Advanced Study, Eastern Institute of Technology（宁波东方理工大学高级研究院）；School of Science and Engineering, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳）理工学院）；Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）；Department of Mathematics, Purdue University（普渡大学数学系）
本研究提出基于边多尺度空间的混合施瓦茨预条件子EMs-HS，首次从理论上分析离散层面的边多尺度空间，证明其对大波数亥姆霍兹问题的固定点迭代一致收敛，并通过数值结果验证方法有效性。
2026-10-15 cs.NA math.NA
Scalable Multigrid Solver for the Helmholtz Equation: Real-Shifted Coarse Grid Correction
Institute for Interdisciplinary Computational Science, the Stein Faculty of Computer and Information Science, Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学斯坦计算机与信息科学学院跨学科计算科学研究所）
本文提出一种可扩展的多网格求解器，通过实移粗网格的伽辽金算子修正数值色散，实现高频率亥姆霍兹方程的高效求解。
2026-04-21 cs.NA math.NA
Dispersion-corrected compact finite difference discretizations for the elastic Helmholtz equation in two and three dimensions
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
我们提出广义MAC紧致离散框架及弹性色散校正过程，用于求解弹性亥姆霍兹方程，实现二阶精度并显著降低色散误差，优于现有紧致格式。
2026-10-06 cs.NA math.NA
A matrix-free parallel solution method for the three-dimensional heterogeneous Helmholtz equation
本文提出一种用于三维异质Helmholtz方程的无矩阵并行迭代求解方法，采用CSLP预处理与多重网格技术，有效提升了大规模问题的求解精度、收敛性与并行可扩展性。
2023-08-11 cs.NA math.NA
Domain Decomposition with local impedance conditions for the Helmholtz equation with absorption
我们考虑一个家庭的Helmholtz问题的吸收和增加波数$k$的一级添加剂施瓦茨预条件。这些问题的离散化使用的Galerkin方法与节点协调有限元的任何（固定）的网格与直径$h = h(k)$，选择保持精度为$k$增加。预条件子的作用要求求解直径$H$和重叠$δ\leq H$的重叠子域上的独立（并行）子问题（具有阻抗边界条件）。这些子问题的解决方案连接在一起使用延长/限制运营商定义使用分区的单位。在数值实验（与$δ\sim H$）的模型内部阻抗问题，我们观察到强大的（即$k-$独立）GMRES收敛$k$增加。这提供了高度并行的$k-$鲁棒的一级区域分解方法。我们通过研究预条件适用于一系列的吸收问题，$k^2\mapsto k^2+ \mathrm{i} \varepsilon$，吸收参数$\varepsilon$。工作在亥姆霍兹“能量”的内积，并使用亥姆霍兹边值问题的基本理论，我们证明了$k-$独立的上界的范数的预处理矩阵，有效的所有$\vert \varepsilon\vert \lesssim k^2$。我们还证明了一个严格的正下界的距离字段的值的预处理矩阵从原点，它持有时，$\varepsilon/k$是常数或增长任意缓慢与$k$。这些结果意味着鲁棒性的预条件为相应的吸收问题k的增加，并给出理论支持所观察到的鲁棒性的预条件为纯亥姆霍兹问题。
2020-05-19 cs.NA math.NA
Recent Results on Domain Decomposition Preconditioning for the High-frequency Helmholtz Equation using Absorption
Department of Mathematical Sciences, University of Bath（巴斯大学数学科学系）；Institute of Computer Science, University of Tartu（塔尔图大学计算机科学研究所）
本文综述了高频亥姆霍兹问题离散化中域分解预置条件的发展与分析进展，通过引入吸收项构造预置条件，并展示了高效多级求解器在无吸收情况下的应用，实验显示迭代次数和求解时间与网格尺寸相关。
2016-06-23 cs.NA math.NA
Frequency extraction for BEM-matrices arising from the 3D scalar Helmholtz equation
标量Helmholtz方程的边界积分方程的离散化导致大的稠密线性系。有效的边界元方法，如快速多极子方法和基于$\Hmat$的方法，集中于这些系统中的子块的结构化低秩近似。已知这些子块的秩随着波数线性增加。我们探索的数据稀疏表示的边界元法矩阵有效的频率范围内，基于提取的格林函数的已知相位。在代数上，这导致频率矩阵与$\Hmat$的Hadamard乘积。我们表明，这个$\Hmat$的频率依赖性可以确定使用少量的频率样本，即使是几何复杂的三维散射障碍。我们描述了一个有效的建设的表示相结合的自适应交叉近似与自适应有理逼近在连续的频率维度。我们表明，我们的数据稀疏表示允许在任何给定的频率有效地采样完整的BEM矩阵，因此，它可能是有用的一部分，一个有效的扫描例程。
2022-05-03 cs.MS cs.NA math.NA
Wavelet Galerkin Method for an Electromagnetic Scattering Problem
针对可变波数亥姆霍兹方程的污染效应难题，提出基于优化样条双正交小波的高阶小波伽辽金方法，其系数矩阵条件数一致有界，迭代次数远少于有限元法且与矩阵规模无关，实现便捷。
2025-03-23 cs.NA math.NA
An inverse random diffraction grating problem for the Helmholtz equation
针对含制造缺陷与磨损的随机衍射光栅逆散射问题，提出基于Wiener过程离散化的随机表面建模框架，并用RPSS结合Monte Carlo采样与波数延拓反演其关键统计量。
2025-07-26 cs.NA math.NA
A quasilinear complexity algorithm for the numerical simulation of scattering from a two-dimensional radially symmetric potential
二维空间中变系数亥姆霍兹方程的标准求解器具有随波数$k$二次增长的运行时间。在这里，我们描述了一个求解器，仅适用于当散射势是径向对称的，但其运行时间是$\mathcal{O}\left(k \log(k) \right)$在典型情况下。我们还提出了数值实验的结果，证明我们的求解器的属性，代码是公开的。
2019-09-06 cs.NA math.NA
Evolving Generalizable Multigrid-Based Helmholtz Preconditioners with Grammar-Guided Genetic Programming
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡弗里德里希-亚历山大大学）
求解不定Helmholtz方程不仅对理解许多物理现象至关重要，而且也是数值方法成功应用的一个非常困难的基准问题。在这里，我们介绍了一种新的方法，发展高效的预处理迭代求解器亥姆霍兹问题的多目标语法指导遗传编程。我们的方法是基于一种新的上下文无关的语法，这使得建设的多重网格预条件，采用定制的操作序列上的每个离散化水平。为了找到在给定域上很好地推广的求解器，我们提出了一种自定义的连续问题难度自适应方法，在该方法中，我们评估了预处理器对日益病态的问题实例的效率。我们证明了我们的方法的有效性，通过不断发展基于多重网格的预条件的二维不定亥姆霍兹问题，优于几个人类设计的方法，不同的波数高达系统的线性方程与超过一百万个未知数。
2022-04-28 cs.AI cs.MS cs.NA
A Physics-Driven Multiscale Method for High-Frequency Helmholtz Equations
Xiamen University（厦门大学）；Eastern Institute of Technology（宁波东方理工大学）
提出一种物理驱动的多尺度方法，通过局部波响应和特征值选择构建降阶空间，在高频亥姆霍兹方程中实现稳定、准最优的逼近，并在二维和三维实验中显著降低计算成本。
2026-10-05 cs.NA math.NA
The Adaptive Solution of High-Frequency Helmholtz Equations via Multi-Grade Deep Learning
Jilin University（吉林大学）；Shandong Normal University（山东师范大学）；Old Dominion University（老道明大学）
本文提出FD-MGDL框架，结合有限差分与多级深度学习，高效求解高频亥姆霍兹方程，显著优于传统方法。
2026-08-31 cs.NA math.NA
