Canonical Height Functions For Monomial Maps
Jan-Li Lin, Chi-Hao Wang
我们证明了Silverman定义的正则高度函数一般不具有Northcott有限性。我们发展了一个新的单项式映射的典范高度函数。在某些情况下，这个新的正则高度函数具有很好的性质。
We show that the canonical height function defined by Silverman does not have the Northcott finiteness property in general. We develop a new canonical height function for monomial maps. In certain cases, this new canonical height function has nice properties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Canonical Heights and Monomial Maps: On Effective Lower Bounds for Points with Dense Orbit
对于由Silverman [15]定义的单式映射的标准高度，证明了具有实Jordan型矩阵诱导的自同态的情形，具有Zebraki稠密轨道的点的高度的有效下界的存在性.
On the Arithmetic Dynamics of Monomial Maps
推广了单项映射算术动力学的几个结果，包括Silverman关于高度增长的猜想，动力学Mordell-Lang猜想和动力学Manin-Mumford猜想。这些结果最初是已知的代数环面上的单项映射。我们将结果推广到任意复曲面簇。
Lower bounds on the canonical height associated to the morphism ϕ(z)= z^d+c
在与态射$ϕ(z)=z^d+c$相关联的规范高度上获得某些下界。
Canonical heights and entropy in arithmetic dynamics
变换系与椭圆曲线上的有理点相关联。序列熵与正则高度有关，在某些情况下，存在正则定义的商系统，其熵是正则高度，并且其纤维熵由坏约化的素数处的局部高来解释。证明使用超越理论和西格尔定理的强形式。我们继续把这些想法延伸到Call和Goldstine的形态高度。
A lower bound on the canonical height for polynomials
证明了数域上多项式在无穷远轨道点上的正则高的一个下界。下界仅取决于多项式的次数、数域的次数和坏约化的位数。
Computing the Canonical Height of a Point in Projective Space
本文给出了一个不需要整数分解的算法来计算$\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$中一点相对于$d \geq 2$度态射$ϕ: \mathbb{P}_{\mathbb{Q}}^1 \rightarrow \mathbb{P}_{\mathbb{Q}}^1$的标准高度。
On the Canonical Height Gap for Polynomial Maps and Portraits of Preperiodic Points of Polynomials with Height $0$
研究\(\mathbb{P}^{1}\)上多项式映射的典范高度与朴素高度差，建立与次数\(d\)无关的精确界，以此确定\(\mathbb{Q}\)上高度为0的多项式映射的有理预周期点集并分类其画像。
Stochastic Canonical Heights
我们构造高度函数定义stochemical配备自同态的投射品种，我们证明了这些功能满足类似物的典型高度的通常性质。此外，我们给出了这些随机高度函数的核的动力学解释，并在投影线的情况下，我们将这个核的大小与原始映射的朱利亚集。最后，作为应用，我们建立了整体域上某些广义Zsigmondy集的有限性。
Canonical heights for plane polynomial maps of small topological degree
研究了小拓扑度平面多项式映射的标准高度。特别地，我们证明了，对于典型的高度为零的点，算术度是有界的拓扑度，因此严格小于的第一动力度。证明使用的存在，证明了法弗尔和第一作者，某些紧化的平面适应的动态。
Variation of the canonical height in a family of polarized dynamical systems
Call和Silverman引入了与极化动力系统相关的正则高度，也就是说，一个射影簇的自同态和一个拉回到自身的张量幂幂的充足线丛。他们还提出了一个渐近的变化，这个高度在一个家庭在一个一维基地的高度方面的通用纤维和高度的参数。在这里，我们改进了这个渐近，节省了功率的误差项。作为推论，我们给出了在射影直线上的射影空间的自同态的情况下，动力系统专门化到有限轨道的参数高度的一个明确的界。
Canonical Heights, Transfinite Diameters, and Polynomial Dynamics
设phi（z）是一个系数在数域K中的至少2次多项式。迭代phi会产生一个动力系统和一个相应的正则高度函数，如Call和Silverman所定义的。本文证明了一个简单的乘积公式，它与φ的填充朱利亚集在K的各种完备化上的超限直径有关，并应用这个公式给出了标准高度趋于零的点列的Bilu等分布定理的一个推广.
Dynamical canonical heights for Jordan blocks, arithmetic degrees of orbits, and nef canonical heights on abelian varieties
设f：X --> X是定义在整体域K上的正规投射簇的自同态，设D_0，D_1，D_2，.是形成Jordan块的因子类，其特征值为b，f^* 作用在Pic（X）上，张量为C。我们构造了适当的归一化正则高度h_0，h_1，h_2，.关联到D_0、D_1、D_2、.满足Jordan变换公式h_k（f（x））= bh_k（x）+ h_{k-1}（x）.作为应用，我们证明了对于X中的每个x，算术次数a_f（x）存在，是一个代数整数，并且当x在X上变化时只取20个值。进一步，若X是定义在数域上的阿贝尔簇，D是非零的nef因子，我们刻画了满足h_D（x）=0的点，并利用这个刻画证明了：若x的f轨道在X中是Zebriki稠密的，则a_f（x）等于f的动力学次数.
Variation of the canonical height for a family of polynomials
泰特的一个定理断言，对于定义在数域k上的椭圆曲面E/X，以及E的一个部分P，X上存在一个除数D，使得P到t以上纤维的特化的正则高度与t相对于D的高度至多相差一个有界的量。我们证明了一个单参数族多项式动力系统的类似声明。此外，我们比较，在每一个地方的k，当地的正则高度与当地的贡献相对于D的高度，并表明，差异是解析附近的支持D，这是一个结果类似于结果Silverman在椭圆表面的上下文中。
Canonical heights for Henon maps
本文考虑定义在数域和函数域上的Henon映射f（x，y）=（ay，x+f（y））的算术，通常有a=1的限制.本文证明了Henon映射族中Kawaguchi正则高度变化的一个结果，并由此导出一个特殊化定理，证明了使给定的非周期点成为周期点的参数集是一个有界高度集.要证明这一点，需要证明函数域上Henon映射的正则高度为零的点只有那些是周期性的（在非等平凡的情况下）。在二次Henon映射f（x，y）=（y，x+y^2+b）的情况下，我们得到了一个更强的结果，一旦坏约化的位置数固定，则用一个在b的高度中线性增长的量来限制下面的标准高度。最后，我们提出了关于定义在有理数上的二次Henon映射的有理周期点的一个猜想，即它们只能有周期1，2，3，4，6，或8。我们检查这个猜想的第一个百万值的参数b，按高度排序。
A Bogomolov property for the canonical height of maps with superattracting periodic points
证明了若$f$是数域$K$上具有有限超吸引周期点和非阿基米德坏约化位置的多项式，则存在一个$ε>0$，使得关于$f$，只有1000个$P\in K^{\text{ab}}$的正则高度小于$ε$.关键因素是填充Julia集在坏约化的地方的几何。我们还证明了一个条件一致的有界性结果的$K$ -有理预周期点的多项式，以及一个统一的下界的典范高度的非预周期点的$K$。我们进一步证明了这些结果在函数域设置的无条件类似物。
Canonical heights and the arithmetic complexity of morphisms on projective space
设F和G是定义在Q的代数闭包上的从P^N到P^N的至少2次态射。我们定义F和G之间的算术距离d（F，G）为所有代数点P的上确界，|h_F（P）-h_G（P）|，其中h_F和h_G分别是与态射F和G相关的典范高度。我们证明了d（F，G）与更朴素的高度函数之间的比较定理，并证明了对于一个固定的G，满足d（F，G）< B的F的集合是一个有界高度的集合.特别是，在任何给定的数域上，只有200个这样的F被定义。
Dynamical Degrees, Arithmetic Degrees, and Canonical Heights for Dominant Rational Self-Maps of Projective Space
设F：P^N --> P^N是支配有理映射. F的动力学度是量d_F = lim（deg F^n）^（1/n）。当F定义在数域上时，我们定义代数点P的算术次数为a_F（P）= limsup h（F^n（P））^（1/n），对于适当选择的整数k = k_F，P的标准高为h_F（P）= limsup h（F^n（P））/n^k d_F^n。本文证明了d_F，a_F（P），h_F（P）之间的一些初等关系，并对它们作了深入的讨论。我们证明了单项式映射的性质。
Heights and preperiodic points of polynomials over function fields
设K是任意域F上的单变量函数域。给定K（z）中一个次数至少为2的有理函数f（z），Call和Silverman定义了射影直线上的相关标准高度。f的预周期点都具有典范高度零;反之，如果F是有限域，则典范高度零的每个点都是预周期的。然而，如果F是一个无限域，则可能存在正则高度为零的非预周期点。本文证明了对于多项式f，只有当f是等平凡的时，才存在这样的点。事实上，这样的K-有理点存在，只有当f被定义在K的常量域上，经过K-有理坐标变换。
Variation of canonical height and equidistribution
令$π: E\to B$是定义在数域$K$上的椭圆曲面，其中$B$是光滑的射影曲线，并且令$P: B \to E$是定义在$K$上的具有规范高度$\hat{h}_E(P)\not=0$的截面。本文证明了$B(\overline{K})$上的函数$t \mapsto \hat{h}_{E_t}(P_t)$是$B$上具有非负曲率的远距离度量化线丛诱导的高度。应用Thuillier和Yuan的定理，我们得到了点$t \in B(\overline{K})$的等分布，其中$P_t$是挠率，并给出了$B(\mathbb{C})$上极限分布的一个明确描述.最后，结合Masser和Zannier的结果，我们证明了在排除多个点$t \in B$后，对于一族可分裂为椭圆曲线乘积的交换簇$A \to B$的任意“非特殊”截面$P$，高度$\hat{h}_{A_t}(P_t)$存在正下界.
Explicit canonical heights for divisors relative to endomorphisms of $\mathbb{P}^N$
给定射影空间的一个自同态f，我们给出了因子的朴素高度与其相对于f的标准高度之差的明确界。
The canonical heights for Jordan blocks of small eigenvalues, preperiodic points, and the arithmetic degrees
对于数域上光滑射影簇上自同态的小特征值Jordan块，我们引入了一个新的正则高度函数。我们证明了在模数值等价的因子群上自同态的特征值的假设下，在一个有理点的算术次数等于1当且仅当它在自同态下是预周期的.
Canonical heights for correspondences
由Call和Silverman构造的投射簇的极化自同态的正则高度在动力系统的算术理论中起着重要的作用，它推广了极化阿贝尔簇上的Néron-Tate高度。我们推广这种建设极化对应，证明各种基本性质，并显示如何全球的典型高度分解为一个整体的局部高的绝对值空间上的代数闭包的字段的定义。
Variation of Canonical Height for Fatou points on $\mathbb{P}^1$
令$f: \mathbb{P}^1\to \mathbb{P}^1$是定义在函数域$k = K(X)$上的度$>1$的映射，其中$K$是数域，$X$是$K$上的投影曲线。对于满足动力学稳定性条件的每个点$a \in \mathbb{P}^1(k)$，我们证明了对于有限集之外的$t \in X(\bar{\mathbb{Q}})$，在点$a_t$处的专门化$f_t$的Call-Silverman正则高度在曲线$X$上诱导Weil高度;即，我们证明了$\mathbb{Q}$ -除数$D = D_{f,a}$在$X$上的存在性，使得函数$t\mapsto \hat{h}_{f_t}(a_t) - h_D(t)$对于与$D$相关联的Weil高度的任何选择在$X(\bar{\mathbb{Q}})$上有界。我们还证明了一个本地版本，当地的典型高度$t\mapsto \hatλ_{f_t, v}(a_t)$不同的一个Weil函数的$D$由一个连续的功能$X(\mathbb{C}_v)$，在每个地方$v$的数域$K$。这些结果是已知的多项式映射$f$和所有点$a \in \mathbb{P}^1(k)$没有稳定性假设，并为地图$f$是自同态的椭圆曲线$E$在$k$。最后，我们用$K$上的诱导映射$\tilde{f}: X\times \mathbb{P}^1 \rightarrow X\time…
On variation of dynamical canonical heights, and Intersection numbers
我们研究家庭的品种赋予极化典型的本征系统的几个地图，诱导典型的高度上的主导品种以及家庭的“好”纤维。我们明确地显示出依赖于参数的整体和局部的典型高度定义的川口纤维变化时，扩展以前的工作J.西尔弗曼和其他人。最后，在给定一个绝对值$v \in K$和一个变量$V/K$的条件下，只要偏振系统$(V,\mathcal{Q})$在Spec $(\mathcal{O}_v)$上具有一定的弱Néron模型，并且在某些条件下依赖于特定的光纤，我们将Kawaguchi正则局部高$\hatλ_{V,E,\mathcal{Q},}(.,v)$描述为一个相交数.有了这一点，我们扩大Néron的工作加强西尔弗曼的结果，这是系统只有一个地图。
Ample canonical heights for endomorphisms on projective varieties
我们定义了一个“充足的典范高度”的自同态上的投射品种，这基本上是一个推广的典范高度极化自同态引入呼叫-西尔弗曼。我们制定了一个动力学模拟的Northcott有限性定理充分的典型高度作为一个猜想，并证明它的自同态品种的小皮卡德数，阿贝尔簇，和表面。作为应用，对于满足猜想的自同态，我们证明了定数域上预周期点集的非稠密性，并得到了关于公共簇上两个自同态的两个Zapriki稠密轨道相交的动力学Mordell-Lang型结果.
Variation of the canonical height for polynomials in several variables
设K是数域，X/K是曲线，f/X是射影N-空间的自同态族.它遵循的结果调用和西尔弗曼的规范高度相关联的家庭f，评估沿一节，不同于韦尔高度的基础上由little-o的韦尔高度。在F是一个家庭的情况下，一个不变的超平面，其限制这个不变的超平面是isotrevival的，我们改善这一点，表明规范的高度沿一个部分不同于一个韦尔高度的基础上的有界量。
Rationality of dynamical canonical height
我们提出了一个动力学证明的众所周知的事实，即Neron-Tate正则高度（和它的本地对应）采取合理的值在椭圆曲线的点上的超越度为1的函数域k上的代数闭域K的特征0。更一般地说，我们调查的机制，其中的局部正则高度为一个有理函数f定义在k上可以采取无理值（在一个本地完成的k点），提供的例子在所有程度大于1。基于Kiwi对二次映射的非阿基米德朱利亚集的分类，我们给出了2度的完整答案，刻画了具有无理局部正则高度的点的存在性.作为结果的应用，我们证明了：如果两个点a和b在两个有理函数f和g（定义在k上）作用下的标准高度是正有理数，且f和g的次数是乘法独立的，则a在f下的轨道与b在g下的轨道相交的点不超过100个，补充了Ghioca-Tucker-Zieve的结果.
Canonical heights for random iterations in certain varieties
证明了有界态射序列的子簇的典范高的存在性，并给出了一些应用。
Lower bounds of the canonical height on quadratic twists of elliptic curves
本文计算了某些椭圆曲线二次扭曲的标准高度的一个下界。同时给出了一种构造具有明确有理点的二次扭族的简单方法。%的多项式。利用上述下界，我们证明了显式有理点作为Mordell-Weil群的元素是本原的。
Dynamical Degrees, Arithmetic Degrees, and Canonical Heights: History, Conjectures, and Future Directions
本文综述衡量代数动力系统复杂性的动力学次数、算术次数与标准高度，并梳理相关历史、开放猜想及未来研究方向。
A finiteness theorem for canonical heights attached to rational maps over function fields
设K是一个函数域，f是定义在K上的d次至少为2的有理函数，且f不是等平凡的.本文证明了P^1（Kbar）中的点P具有f-正则高度零当且仅当P对于f是预周期的。这肯定地回答了一个问题的Szpiro和塔克，并概括了最近的结果Benedetto从多项式的有理函数。我们实际上证明了以下更强的结果，这是Northcott有限性原理的一个变体：存在n> 0使得P^1（K）中f-典型高度至多为n的点集P是有限的。我们的证明本质上是解析的，利用Berkovich空间上的位势论，证明了关于在K的每一个位置v上附着在f上的动力学格林函数g_v（x，y）的一些新结果。例如，我们证明了f的每个共轭在v处都有坏约化当且仅当对K_v的代数闭包的完备化上的Berkovich射影线上的所有x，g_v（x，x）> 0。在附录中，我们说明了如何用类似的方法给出K上椭圆曲线的Mordell-Weil定理的一个新的证明。
Variation of the canonical height in a family of rational maps
令$d\ge 2$是一个整数，令$c(t)$是任意有理映射，令$f_t(z) := (z^d+t)/z$是一族由t索引的有理映射。对于每个代数数$t$，我们令$h_{f_t}(c(t))$是$c(t)$关于有理映射$f_t$的标准高度。证明了映射$H(t):=h_{f_t}(c(t))$（当$t$在代数数之间变化时）是Weil高度.
Canonical local heights and Berkovich skeleta
本文从Berkovich解析空间视角研究非阿基米德域上阿贝尔簇的典范局部高度，细化了Néron关于其与相交重数关系的经典结果，并将Tate的显式公式推广到高维。
Specialization of canonical heights on abelian varieties
给定全局域上的拟射影平滑曲线$T^0$上的一簇阿贝尔簇和类属纤维上的一点$P$，证明了$P_t$沿每个纤维的Néron-Tate正则高度$h_{X_t}(P_t)$恰好等于包含$T^0$的唯一光滑射影曲线$T$上的一个椭圆度量化线丛$\overline M$给出的Weil高度$h_{\overline M}(t)$.因此，我们表明，张的猜想上的有限性小高度专业化的$P$是相当于$\overline M$是大的。
A statistical view on the conjecture of Lang about the canonical height on elliptic curves
我们采用一个统计的观点对朗猜想预测的一个下界的非挠有理点的椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$上的典范高度。更具体地说，我们证明了在家庭的所有椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$和具有正秩，有一个密度为1的曲线族，满足一个强形式的郎猜想。
On the number of points with bounded dynamical canonical height
本文研究具有有界动力学典范高度的点的数量，利用 Hsia 的动力学高度 zeta 函数，给出特殊情形下的显式公式，并推导出点数的渐近行为。
Computing Canonical Heights on Elliptic Curves in Quasi-Linear Time
本文介绍了一种计算有理数域上椭圆曲线上点在准线性时间内的标准高的算法。在大多数以前的算法，我们分解成阿基米德和非阿基米德项的典型和天真的高度之间的差异。我们的主要贡献是一个算法的非阿基米德项的计算，不需要整数分解和运行在准线性时间。
Canonical heights on elliptic curves in characteristic p
本文在整体函数域上的椭圆曲线的有理点上定义了一个新的标准高度对，它取函数域的一个完备的乘法群中的值。这个高度可以作为经典的Neron-Tate高度和解析的p-adic高度的类比。我们的主要结果是，在一些一般的假设下，这种配对是非简并的。
The canonical arithmetic height of subvarieties of an abelian variety over a finitely generated field
本文是我们的论文的续集“算术高度函数在非线性生成的领域”（比照。math.NT/9809016).本文定义了Q上的广义生成域上的阿贝尔簇的子簇的典范高。我们还证明了一个子簇的典范高度为零当且仅当它是一个阿贝尔子簇的挠点平移。
Canonical heights on hyper-Kähler varieties and the Kawaguchi-Silverman conjecture
Kawaguchi-Silverman猜想预言，如果$f\colon X \dashrightarrow X$是$\overline{\mathbb{Q}}$上的投射簇的支配有理自映射，且$P$是$X$的一个具有Zakiki稠密轨道的$\overline{\mathbb{Q}}$ -点，则$f$的动力学次数和算术次数一致：$λ_1(f) = α_f(P)$。我们证明了这一猜想在几个高维设置，包括所有的自同态的非uniruled光滑射影三重度大于$1$，和所有的自同态的hyper-Kähler品种在任何维度。在后一种情况下，我们构造了一个典型的高度函数与任何自同构$f\colon X \to X$的超Kähler品种定义在$\overline{\mathbb{Q}}$。
Canonical heights, invariant currents, and dynamical systems of morphisms associated with line bundles
本文构造了数域上与线丛相关联的多态射动力系统的子簇的标准高度，并研究了它们的一些性质。我们还构造了此类系统在$\mathbb{C}$上的不变电流。
Lower Bounds for the Canonical Height of a Unicritical Polynomial and Capacity
在最近的一次突破中，迪米特洛夫解决了Schinzel-Zassenhaus猜想。我们遵循他的方法，并将其适用于某些动力系统所产生的多项式的形式$T^p+c$其中$p$是一个素数和轨道的$0$是有限的。例如，如果$p=2$，和$0$是周期性的$T^2+c$与$c\in\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$，我们证明了一个下界的本地正则高度的游荡代数整数，是成反比的领域的程度。由此，我们能够推导出一个游荡点的正则高度的下限，该点的衰减速度与场度的平方成反比。
Linear relations among the values of canonical heights from the existence of non-trivial endomorphisms
研究数域$k$上交换阿贝尔簇$A$的正则高度与自同态之间的相互作用.特别是，我们表明，只要环上定义的$k$严格大于$\Z$将有$\Q$ -线性关系之间的值的一个典型的高度对评估在一个基础上模扭转$A(k)$。
Canonical heights and division polynomials
讨论了数域上超椭圆雅可比矩阵上代数点的标准高的一种新的计算方法。该方法不需要任何几何模型，既不需要$p$ -adic也不需要复杂的解析模型。在亏格2的情况下，我们也提出了一个版本，根本不需要因式分解。该方法是基于递归关系的“司多项式”相关的超椭圆雅可比，和一个丢番图逼近的结果，由于Faltings。
Height inequalities and canonical class inequalities
关于题目主题之间的类比的简短演讲。1997年12月在韩国高等研究院数论国际会议上发表。
Canonical heights for abelian group actions of maximal dynamical rank
针对正熵自由阿贝尔群作用，构造满足Northcott性质的典范高度函数，证明Kawaguchi-Silverman猜想并确定非周期点高度计数。
On lower bounds for canonical heights of the map $ϕ(X,Y)=(Y,X+Y^D+b)$
研究\(D>2\)时亨农映射非周期点典范高度下界，通过扩展\(D = 2\)时的工作得出相关结论。
Variation of canonical heights of subvarieties for polarized endomorphisms
本文将Call和Silverman关于极化自同态下点的典范高度在族中变化的收敛结果，推广到了任意相对维数的子簇族的情形，证明了对应的等价命题。
A lower bound for the canonical height associated to a Drinfeld module
丹尼斯关联到每个Drinfeld模块M在一个全球性的功能功能领域L的一个典型的高度功能，它起到了类似的作用，在椭圆曲线的背景下的Neron-Tate高度。证明了存在常数ε>0和C，仅取决于M有坏约化的位置数，使得M中的x是有界阶的扭点，或者x的正则高在εmax{h（j_M），deg（D_M）}之下有界，其中j_M是M的同构类的某个不变量，D_M是M的最小判别式.作为应用，我们对单参数Drinfeld模族的特化作了一些观察。
A dynamical pairing between two rational maps
给定两个有理映射$φ$和$ψ$在次数至少为2的$\PP^1$上，我们研究了一个对称的非负实值对$<φ,ψ>$，它与这些映射的正则高度函数$h_φ$和$h_ψ$密切相关.我们的主要结果表明，$<φ,ψ>$的值和规范的高度的点是小的至少一个的两个地图$φ$和$ψ$之间的强连接。给出了$<φ,ψ>$为零的几个充要条件。给出了正则高度$h_ψ$与标准高度$h_\st$之差的上界，其中$σ(x)=x^2$表示平方映射.对$<σ,ψ>$计算或近似几个家庭的有理映射$ψ$。
A Lower Bound for the Canonical Height on Abelian Varieties over Abelian Extensions
设A是数域K上的一个阿贝尔簇，考虑A上的对称充线丛L的标准高度函数.本文证明了定义在K的极大阿贝尔扩张K^ab上的A上的非挠点的标准高度存在正的下界C（依赖于A，K和L）.
Computing canonical heights using arithmetic intersection theory
对于阿贝尔簇的算术中的几个应用，计算正则高是很重要的。继Faltings和Hriljac之后，我们展示了如何在实践中使用规则曲线模型上的算术相交理论来计算光滑射影曲线的雅可比矩阵上的正则高度。在超椭圆曲线的情况下，我们提出了一个完整的算法，已实施的岩浆。计算了几个例子，并讨论了运行时间的行为。
Dynamical Canonical Heights and Finite Trees
本文针对素数幂次的特定多项式，基于Dimitrov的思路，通过构建有限树并结合核心熵分析，建立了游荡点典范高度的平方级衰减下界。
Canonical height functions on the affine plane associated with polynomial automorphisms
设$f: \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^2$是数域$K$上动力次数为$δ\geq 2$的多项式自同构. (This等价于说$f$是不可三角化的多项式自同构。）然后，我们构造了与$f$相关的定义在$\mathbb{A}^2(\bar{K})$上的正则高度函数。这些函数满足Northcott有限性，并且$\mathbb{A}^2(\bar{K})$上的$\bar{K}$值点是$f$-周期的当且仅当它的高度为零.作为正则高度函数的一个应用，我们给出了无限$f$-轨道上有界高度点的个数的一个估计。
A lower bound for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions
设E/K是数域上的椭圆曲线，h是E上的标准高，K^ab是K的极大阿贝尔扩张. M. Baker，我们证明了存在一个正常数C（E/K）使得E（K^ab）中的每个非挠点P满足h（P）> C（E/K）.
On the Average Value of the Canonical Height in Higher Dimensional Families of Elliptic curves
给定函数域K=Q（T_1，.，.）上的椭圆曲线E，T_n），研究了特殊椭圆曲线E_w的标准高度^h_（E_w）关于w在Q^n中的高度的行为.本文证明了对所有非挠P，E（K）中的商^h_（E_w）（P_w）/h（w）的平均值存在一致的非零下界.
Quantitative Equidistribution of Small Points for Canonical Heights
该研究在阿基米德位下证明了极化自同态典范高度小点均匀分布的定量版本，给出曲面周期点收敛速率与扩域次数下界，并得到阿贝尔簇上满足次数与高度条件的点所在超曲面的最小次数上界。
Canonical vector heights on K3 surfaces with Picard number three -- addendum
在第一作者的早期论文中，基于一个未被证明具有Picard数3的显式曲面，给出了Picard数3的K3曲面上不存在正则向量高度的论证。在本文中，我们填补了空白的论点重做计算另一个明确的表面，我们证明了皮卡德数等于3。结论保持不变。
Local heights on Galois covers of the projective line
设X是数域K上正亏格的光滑射影曲线。设给定一个从X到K上射影线的伽罗瓦覆叠映射x和K的一个位置v。本文在X的K_v值点集上引入一个局部正则高度，作为一个带对数被积函数的积分，推广了椭圆曲线上的Tate局部Neron函数.由此产生的全局高度可以被视为与x相关联的“马勒测度”。我们证明了局部正则高度可以通过对X上的高阶Weierstrass点的因子求平均并取极限而得到。这推广了Everest-ni Fhlathuin和Szpiro-Tucker以前的结果。我们构造的局部正则高度是位势论在正则测度存在下对Berkovich曲线的应用。
Local and global canonical height functions for affine space regular automorphisms
设f：A^N \to A^N是数域K上的正则多项式自同构.对于K的每一个位置v，我们构造v-adic格林函数G_{f,v}和G_{f^{-1}，v}（即，v-adic正则高度函数）对于f和f^{-1}。接下来，我们介绍了f的概念，好约化在v，并使用这个概念，我们表明，总和的v-adic格林函数在所有v产生一个典型的高度函数f，满足Northcott型有限性。利用以前的结果，我们恢复了f-周期点和非f-周期点的算术性质的结果。我们还得到了在f和f^{-1}下高度增长的估计，这是Lee用不同的方法独立得到的。
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