Not every object in the derived category of a ring is Bousfield equivalent to a module
F. Luke Wolcott
考虑了一类特殊的非诺特环Λ的导出范畴，证明了D（Λ）中存在不与任何模Bousfield等价的对象.这回答了Dwyer和Palmieri提出的一个问题。
We consider the derived category of a specific non-Noetherian ring Λ, and show that there are objects in D(Λ) that are not Bousfield equivalent to any module. This answers a question posed by Dwyer and Palmieri.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Variations of the telescope conjecture and Bousfield lattices for localized categories of spectra
我们调查了几个版本的望远镜猜想的本地化类别的光谱，它们之间的影响。推广的“有限本地化”建设，我们表明，在这样的类别，本地化远离一组强对偶对象是粉碎。我们对调和范畴、HFp-局部范畴和I-局部范畴上的所有粉碎局部化进行分类，其中I是球谱的Brown-Comenetz对偶;所有这些局部化都远离强可对偶对象，尽管这些范畴没有非零紧对象。本文描述了调和范畴、E（n）-局部范畴、K（n）-局部范畴、HFp-局部范畴和I-局部范畴的Bousfield格，以及它们之间的格映射。一个结果是，在这些范畴中，没有一个非零的物体平方为零。另一个是HFp-局部范畴有非Bousfield类的局部化子范畴。
Comonadic Coalgebras and Bousfield Localization
本文证明余单子余代数范畴与左Bousfield局部化可交换，给出左诱导模型结构的存在性及保持性的等价刻画，并在链复形、谱、稳定模和单纯集等场景中展示应用。
Bousfield lattices of non-Noetherian rings: some quotients and products
第三节在一个良好生成的张量三角范畴的背景下，研究了商的Bousfield格与其商的Bousfield格之间的关系。第四节利用标量扩张诱导的导出函子，建立了一个研究交换或分次交换环的导出范畴的Bousfield格的一般框架。第5节应用这一工作将Dwyer和Palmieri [DP 08]的结果推广到新的非诺特环。
Left Bousfield localization without left properness
该研究针对不满足左 proper 性的模型范畴无法进行左 Bousfield 局部化的问题，利用 Jeff Smith 结果的半模型范畴版本，证明了组合半模型范畴左 Bousfield 局部化的存在性，并给出了多领域的应用实例。
Right Bousfield Localization and Operadic Algebras
众所周知，在一定的条件下，右Bousfield局部化是存在的.我们提供了一般条件下，右Bousfield本地化产生一个monoidal模型类别。然后，我们解决的问题时，这个monoidal模型结构的右Bousfield本地化诱导模型结构的代数范畴上的有色运算符，当一个右Bousfield本地化保持有色运算代数。我们给了许多应用，拓扑空间，等变空间，链复形，稳定模范畴，和范畴的小范畴。我们恢复了广泛的经典结果作为我们的理论的特殊情况下，并证明了几个新的保存结果。
Left and right Bousfield localization on lattices
该研究探讨格上模型结构关联的传递系统受左右布斯菲尔德局部化的影响，提供了导致模型结构变化的极小态射生成系统，为偏序集模型范畴的一般行为带来新见解。
Cofibrance and Completion
对于一个cofibrantly生成的Quillen模型范畴，我们证明了使用小对象参数构造的cofibrantreplacement函子允许一个cotriple结构。如果所有的非循环上纤维化都是单态的，则使用小对象变元构造的置换函子允许一个三元结构。对于基范畴中的三元组，相关的余单分解不一定是同伦不变量。然而，使用混合的三元组与coherant替换cotriple，我们构建了一个'同伦正确'版本的余单决议的三元组。这使我们能够构建一个Bousfield-Kan完成函子相对于一个三元组，并指出cofibrantly生成的模型类别的Bousfield-Kan谱序列，计算相对同伦群的Bousfield-Kan完成的对象。这是我的博士论文的文本，在海恩斯·米勒教授的指导下工作，于1999年2月在麻省理工学院提交。
Bousfield localization in quotients of module categories
本文研究了有限群模范畴的各种三角剖分。我们证明，这些都不是由简单的模块生成的companies，并提出了修改Rickard的幂等模块建设，占这一点。当局部化的子范畴是足够好的，我们给出了明确的描述对象的Bousfield三角形的模块是直接限制的序列的有限维模块的同伦colimits。
Realizable homotopy colimits
本文证明了对于任何模型范畴，同伦上极限的Bousfield-Kan构造是上极限的绝对左导出函子.这是通过表明，Bousfield-Kan同伦上极限是一个可实现的同伦上极限，通过一个合适的2-范畴的相对范畴定义。此外，在精确余积的情况下，我们的特征在于可实现的同伦余极限，满足一个共尾性的性质，由一个公式下面的模式Bousfield-Kan建设：他们是一个“几何实现”与单纯替换的组合物。
Semi-Bousfield classes and nonmonotone perversities
本文在刚性紧生成张量三角范畴中引入半Bousfield类，证明其统一了Bousfield类和紧生成张量兼容t-结构，并应用于Noetherian方案的无界导出范畴，将分层双射扩展至非单调perversities。
Brown representability does not come for free
我们证明了一个既有乘积又有余积的三角范畴T和一个既有局部化又有余局部化的三角子范畴S，其中既不存在Bousfield局部化也不存在余局部化.因此，范畴S及其对偶都不满足布朗可表示性。我们的示例涉及一个阿贝尔范畴，其导出范畴没有小Hom-set。
Derived categories of absolutely flat rings
设S是具有拓扑Noether谱的交换环，R是S的绝对平坦逼近.我们证明了R的谱的子集参数化D（R）的局部化子范畴。此外，我们证明了望远镜猜想对D（R）成立。我们还考虑无界导出范畴的绝对平坦的环是不是半artinian和展示的一个例子，上同调Bousfield类，不是一个Bousfield类。
A conjecture on the composition of localizations on a stratified tensor triangulated category
本文研究分层张量三角范畴上 Bousfield 局部化的复合，提出其行为由 Balmer 素包含链决定的猜想，并在有限或低维 Balmer 谱情形予以证明。
Cellularization of structures in stable homotopy categories
本文描述了三角化范畴中细胞化函子的形式性质，并研究了在Hovey，Palmieri和Strickland意义下的稳定同伦范畴（如谱的同伦范畴或交换环的导出范畴）中这些函子下的环和模结构的保持性.我们证明了Cellularization函子保持连接环上的模，但它们一般不保持环（即使环是连接的或Cellularization函子是三角形的）。作为这些结果的应用，我们描述了Eilenberg-Mac Lane谱的胞元化，并计算了积分Eilenberg-Mac Lane谱在Bousfield意义下的所有非循环化.
Transfer of algebras over operads along derived Quillen adjunctions
设V是上纤维生成的monoidal模型范畴，M是monoidal V-模型范畴。给定V中的一个C-色余算子P，给出了M^C中的C-色余置换函子和C-色余置换函子保持P-代数结构的充分条件.特别是，我们展示了如何P-代数结构可以转移沿导出的Quillen算子的monoidal V-模型范畴，我们应用这一结果的Quillen算子定义的丰富Bousfield本地化和共本地化的M。作为应用，我们证明了在对称谱范畴中，对任意整数n，n-连通覆盖函子在连通环谱上保持A_{\infty}和E_{\infty}模谱.
Constructing model categories with prescribed fibrant objects
本文给出了J.H.史密斯我们用它把一个模型范畴结构的范畴上的小范畴丰富的一个合适的monoidal单纯模型范畴。证明使用了模型结构的一部分，由于小单纯范畴J.伯格纳。我们给出了Smith结果的弱形式在一个合适的monoidal模型范畴中的左Bousfield局部化的应用。
Frobenius and the derived centers of algebraic theories
我们证明了在每个代数理论上的单纯代数范畴的导出中心是同伦离散的，其交换幺半群的分量同构于离散代数范畴的中心。例如，在特征为$p$的交换代数的情况下，这个中心由Frobenius自由生成。我们的证明涉及计算同伦相干中心的类的单纯预层以及Bousfield本地化。许多其他类别的例子进行了讨论。
Support and vanishing for non-Noetherian rings and tensor triangulated categories
本文定义了非诺特环上复形的小支集，并证明了模的一个消灭定理.我们的支集定义对于任何严格紧生成的张量三角范畴都是有意义的。在这种普遍性的工作，我们建立基本的支持和调查时，它检测消失。我们使用无意义的拓扑关系的支持，拓扑的巴耳末谱，和结构的幂等Bousfield格。
(Co)Simplicial Descent Categories
本文研究了如何将一个固定范畴D中的单纯对象范畴sD的同伦结构转移到D中的问题。为此，我们使用一种同伦余极限s：sD --> D，我们称之为简单函子。例如，在一个Quillen单纯模型范畴中的Bousfield-Kan同伦余极限就是简单函子的一个例子。作为一个显着的例子以外的设置Quillen模型，我们包括德利涅简单的混合霍奇复杂。我们证明了简单函子在相应的局部范畴上诱导一个等价。我们还描述了sD上凝聚对象的Brown范畴的一种自然结构。我们使用这些事实，以产生cofiber序列上的局部化范畴D的E，从而产生一个自然的Verdier三角结构的稳定的情况下。
On compactly generated torsion pairs and the classification of co-t-structures for commutative noetherian rings
本文对交换诺特环的导出范畴上的紧生成余t-结构进行了分类。为了实现这一目标，我们开发了一种类似于Bousfield局部化理论的三角化类别中紧生成的Hom正交对（在文献中也称为扭转对）的理论。最后，我们证明了连通交换诺特环上的完全复形范畴只允许平凡的余t-结构和正则余t-结构的（去）悬置，并用它来描述范畴中的所有可积对象.
The generating hypothesis in the derived category of a ring
证明了Freyd在代数拓扑学中引入的生成假设的强形式（完全忠实的版本）在环R的导出范畴中成立当且仅当R是von Neumann正则的.这推广了第二作者的结果。我们还刻画了生成假设的原始形式（忠实版本）在R的导出范畴中成立的环。这些必须接近冯诺依曼正则在一个精确的意义上，并给予任何数量的有限性假设，必须是冯诺依曼正则。然而，我们构造了一个这样的环的例子，它不是冯诺依曼正则的，因此不满足生成假设的强形式。
Derived decompositions of abelian categories I
引入阿贝尔范畴的导分解在阿贝尔子范畴的内部项中，以构造阿贝尔范畴的各种导出范畴中的半正交分解（或Bousfield局部化，或遗传扭对）.我们给出了任意阿贝尔范畴具有这种导分解的一个充分条件，并证明了具有足够投射和内射的阿贝尔范畴也必须具有这种导分解。对于有界导出范畴，我们描述了哪些半正交分解是由导出分解决定的。然后将该充要条件应用于环的模范畴：局部化子范畴，同调环满态，交换诺特环和非奇异环.此外，对于克鲁尔维数至多为$1$的交换诺特环，建立了其模范畴的一个导层.
Ideal categories of rings and ring of cones
本文将环R的理想范畴刻画为预加真范畴。进一步证明了这类锥是具有适当加法和乘法的环。
Change of rings and singularity categories
研究了Gorenstein投射模沿环的态射的奇异范畴和稳定范畴的行为。解决这个问题的自然背景是通过环的变化，即模范畴之间的经典伴随三元组。特别是，我们确定的变化环的条件，以诱导函子之间的两个奇异类别或两个稳定类别的Gorenstein投射模。此外，我们在Krause意义下的“大奇点范畴”水平上研究这个问题。一路上，我们建立了一个明确的结构之间的某些同伦范畴的右伴随函子。这是通过在三角范畴中引入0-余紧对象的概念并证明Bousfield局部化引理的对偶版本来实现的。我们提供的应用程序和例子说明我们的主要结果。
Descent in the dual category of ternary rings
本文证明三元环簇中融合自由积元素具有唯一正规形式且满足强融合性质，据此刻画有效共下降态射，并比较了交换结合酉环范畴与三元环范畴中有效共下降态射类，证明前者严格包含于后者。
Differential Bundles in Commutative Algebra and Algebraic Geometry
本文在切范畴框架下刻画交换代数与代数几何场景中的微分丛，证明交换环、仿射概形、概形上的微分丛范畴分别对应模、模反范畴、拟凝聚模层反范畴，拓展了微分丛的理论适用范围。
Ring extension problem, Shukla cohomology and Ann-category theory
$A$的每一个环扩张都诱导出一对保乘的群同态$\mathcal{L}^{*}:R\to End_\Z(A)/L(A);\mathcal{R}^{*}:R\to End_\Z(A)/R(A),$，满足一定的条件.这样的4元组$(R,A,\mathcal{L}^{*},\mathcal{R}^{*})$称为环预扩展。每个环预扩张在环$A,$的双中心$K_A$上诱导出一个$R$ -双模结构，并诱导出一个阻塞$k,$，它是$\Z$ -代数$R,$的一个3-上圈，系数在$R$ -双模$K_A$中，在Shukla意义下.每个障碍$k$在这个意义上诱导一个结构的正则Ann-范畴的类型$(R,K_A).$这一结果给我们的第一个应用Ann-范畴的扩张问题的代数结构，以及在上同调理论。
The Relation between Ann-Categories and Ring Categories
{ \it环}的定义有不同的分类，例如{ \it Ann-类别}（参见N. T. Quang [6]），{ \it环类}（见M. Kapranov and V.Voevodsky [2]），.本文的主要结果是证明了在没有公理$x_{0}=y_{0},$的情况下，{ \it环范畴}定义的每一个公理都可以从{ \it Ann-范畴}的公理系统中导出。
Relaxed multi category structure of a global category of rings and modules
在本文中，我们描述了如何给一个特定的整体范畴的环和模的结构的一个松弛的多范畴，我们描述了一个代数在这个松弛的多范畴，使顶点代数出现这样的代数。
The stable category of a left hereditary ring
研究了结合环的（投射）稳定模范畴的（余）完备性问题。刻画了这类范畴中的（正规）单态和（正规）满态。作为应用，我们给出了左遗传环的稳定范畴是交换范畴的一个判别准则。通过Colby-Rutter的结构定理，这导致了所有这样的环的明确描述。
$c$-structures and trace methods beyond connective rings
本文提出由连通环谱控制的$c$-范畴概念，证明其幂零扩张诱导截断不变量同构，并将Dundas--Goodwillie--McCarthy定理推广到完美复形范畴为$c$-范畴的栈上。
Ideal category of a Noetherian ring
本文定义了带1的Noetherian环$R$的左[右]理想范畴$\mathbb{L}_R$ [$\mathbb{R}_R$]，证明其为带零对象的预加性范畴及$R$-模范畴的满子范畴，并满足子对象与态射分解性质。
Separable commutative rings in the stable module category of cyclic groups
本文刻画有限循环 p-群稳定模范畴中的可分交换环对象，并给出任意有限群两类范畴中 Kelly 根的张量闭包。
On the derived category of a graded commutative noetherian ring
对于任何分次交换诺特环，其中分次群是交换的，并且交换性在相当一般的意义上是允许的，我们建立了一方面，导出范畴的扭闭局部化子范畴，另一方面，环的素理想的齐次谱的子集之间的包含保持双射。我们提供了一个应用加权射影概形。
A Nilpotence Theorem for Rational Rigid 2-Rings of Moderate Growth
本文证明了一个关于有理刚性2-环的一般幂零定理，该环的所有对象满足由张量范畴理论启发的“适度增长条件”，并应用于有理E_∞-环上的模范畴、特征零的超级Tannakian范畴的导出范畴，以及猜想中的Voevodsky有理混合动机范畴DM_Q。
The $Q$-shaped derived category of a ring
对于任何环$A$和一个小的，预加的，Hom-finite，局部有界的范畴$Q$，有一个Serre函子，并满足（强）收缩性质，我们证明了从$Q$到（左）$A$ -模范畴的加函子范畴具有投射和内射模型结构。这些模型结构具有相同的平凡对象和弱等价，在大多数情况下，可以自然地用本文引入的某些（上）同调函子来刻画。被三角化的相关同伦范畴称为$A$的$Q$形导出范畴. $A$的通常的导出范畴就是一个例子;更一般的例子是把$Q$当作一个适当好的稳定平移范畴的网格范畴。本文建立在，并概括了，伊诺克，埃斯特拉达和加西亚-罗萨斯和戴尔'安布罗吉奥，史蒂文森和斯托维切克的作品。
The Gorenstein defect category
研究了诺特环上投射模复形的同伦范畴。零度截断诱导了一个完全忠实的三角函子从完全无圈复形到稳定的导出范畴。我们证明了如果环是Artin或交换Noether局部的，则函子是稠密的当且仅当环是Gorenstein的。出于这一动机，我们定义的Gorenstein缺陷类别的环，一类在某种意义上衡量有多远的环是从Gorenstein。
Gorenstein homological aspects of monomorphism categories via Morita rings
对任意环R，单态范畴是R上态范畴的一个满子范畴，其中态范畴等价于元素在环R上的三角形矩阵环的模范畴。本文将单态范畴看作是模范畴的一个满子范畴，其所有元素都在环R上，且双模同态为零。这种方法提供了一个有趣的联系森田环和单态范畴。本文的目的有两个方面。首先，我们构造了具有零双模同态的Morita环上的Gorenstein-投射模，并给出了这类环是GorensteinArtin代数的充分条件。这是我们工作的第一部分，它与单态范畴密切相关。在第二部分中，我们研究了整环具有有限投射维数的单态。特别是，我们表明，后者的范畴是Gorenstein子范畴的单态范畴的Gorenstein代数。最后，我们考虑范畴的连贯函子的稳定范畴的Gorenstein子范畴，并表明，它进行了一个结构的Gorenstein阿贝尔范畴。
The singularity category via the stabilization
本文给出环的奇点范畴与其稳定模范畴的稳定化三角等价这一基础结论的详细证明，该结论可导出不同性质环间的奇点等价，还利用Leavitt环描述了阿廷环的奇点范畴。
The Rouquier dimension of the category of perfect complexes over a regular ring
本文证明了正则环上完美复形范畴的 Rouquier 维数恰好等于环的 Krull 维数，并指出正则序列的最大长度为其提供下界，解决了正则局部环情形下下界未知的问题。
The derived category of a locally complete intersection ring
本文通过证明局部环$R$是完全交当且仅当每个$R$ -模的复形都是代理小的，回答了Dwyer，Greenlees和Iyengar的一个问题.此外，我们还证明了交换诺特环$R$是局部完全交的充要条件是每一个具有同调生成的$R$ -模的复形都是虚小的.
The derived category of a graded Gorenstein ring
给出了分次Gorenstein环上Orlov定理的一个阐述和推广。证明了该定理对非负分次环是Gorenstein环且其零度分量是任意非交换右诺特环的有限整体维数.一个简短的治疗的一些基础局部上同调和Grothendieck对偶在这一水平的一般性是为了证明定理。作为应用，我们给出了环上交换完全交的导出范畴与分次矩阵分解的同伦范畴的等价性。
A classification of nullity classes in the derived category of a ring
对于有限克鲁尔维数的交换诺特环$R$，研究了$D^c_{fg}(R)$中的零类，$D^c_{fg}(R)$是导出范畴$D(R)$的完全三角化子范畴$D^c_{fg}(R)$，它由可由每一次生成的余度对象表示的对象组成.利用素谱$\mathrm{Spec} R$上的反常函数，证明了$D^c_{fg}(R)$中存在零类的完全不变量，从而也存在通道（或等价的$t$ -结构）的完全不变量.
The $Q$-shaped derived category of a ring -- compact and perfect objects
在以前的工作中，我们构造了任何环$A$的$Q$形导出范畴，对于任何适当的好范畴$Q$。$A$的$Q$形导出范畴，记作$\mathcal{D}_{Q}(A)$，是普通导出范畴的推广.本文证明了$A$的$Q$形导出范畴是一个紧生成的三角范畴.我们还定义完美的对象在$\mathcal{D}_{Q}(A)$和证明，这些构成一个三角形的子类，$\mathcal{D}^\mathrm{perf}_{Q}(A)$，类$\mathcal{D}_{Q}(A)^\mathrm{c}$的紧凑对象的$Q$形导出范畴。子类别$\mathcal{D}^\mathrm{perf}_{Q}(A)$和$\mathcal{D}_{Q}(A)^\mathrm{c}$一致当且仅当前者是粗的。
The stable module category of a general ring
对于任何环R，我们构造两个三角范畴，每个范畴都允许R-模的函子使投射模和内射模为0。当R是拟Frobenius或Gorenstein环时，这些三角范畴彼此一致，并与通常的稳定模范畴一致。我们的稳定模范畴是R-模范畴上Quillen模型结构的同伦范畴。这些模型范畴涉及Gorenstein投射和内射模的推广，我们通过用FP-无穷型的模来替换非线性表示的模而得到。在此过程中，我们通过考虑较弱的内射性和平坦性的概念，将在诺特环上保持的内射左模和平坦右模之间的完美对偶扩展到一般环。
Locally-finite extensive categories, their semi-rings, and decomposition to connected objects
设$\mathcal C$是有限图范畴。Lovàsz证明了$\mathcal C$的同构类的半环（余积为和，积为乘）嵌入到自然数的半环的直积中。我们的目标是把这个结果推广到其他范畴。对于这一点，一个关键的性质是，每个对象分解为连接对象的有限余积。我们证明了一个局部有限的扩张范畴满足这个条件。相反，任何对象被分解成一个有限的连接对象的余积的类别是广泛的。尸体的腐烂程度很独特。利用这些结果，我们给出了局部有限范畴的同构类的半环（环）嵌入自然数（分别为整数）直积的若干充分条件。这样一种由范畴构造环的方法是Burnside环和Grothendieck环的最基本形式。
Hereditary QF-$3^{+}$ rings
本文利用挠性理论方法，得到遗传QF-3⁺环的若干性质与刻画，证明其最大稳定子模根与内射包可交换，且存在到半单左/右阿廷环的双态射。
Centers of categorified endomorphism rings
我们证明了对于一大类行为良好的余完备范畴$\mathcal C$，$\mathcal{C}$的余连续内函子的幺半范畴$\mathcal{E}$的弱和强Drinfeld中心重合.这推广了文献中的类似结果，其中$\mathcal{C}$是环$A$上的模范畴，因此$\mathcal{E}$是$A$ -双模范畴。
The Ringel--Hall Lie algebra of a spherical object
对于整数$w$，令$\cs_w$是由$w$ -球形对象生成的代数三角化范畴。我们确定了$\cs_w$的Picard群，证明了$\cs_w$的每个轨道范畴都是三角形的，并且三角形等价于标准管的有界导出范畴的某个轨道范畴.当$n=2$时，轨道范畴$\cs_w/Σ^2$是2-周期三角化的，我们在Peng和Xiao意义下刻画了相应的Ringel-Hall李代数.
Sheaves that fail to represent matrix rings
用层表示非交换环有两个基本的障碍。第一，在包含大Zubalki站点中的所有覆盖族的环范畴的对立面上没有亚正则覆盖。第二，不存在从环范畴到环范畴的反变函子F，其与整体瓣函子的合成自然同构于单位元，使得F限制于交换环范畴上的Zebriki谱函子Spec（以与自然同构相容的方式）.这两个不去的结果证明了限制注意矩阵环。
Neural category
本文构造了由神经码与码映射组成的$\mathfrak{C}$范畴及由神经环与神经环同态组成的神经范畴$\mathfrak{N}$，刻画了其各类范畴性质，并证明两者对偶等价。
The degenerate Heisenberg category and its Grothendieck ring
本研究证明了Khovanov提出的k=-1情形下退化Heisenberg范畴的加法Karoubi包的Grothendieck环与对应Heisenberg李代数泛包络代数的ℤ-形式同构的猜想，并将其推广到任意整数中心荷，还给出了余乘法的范畴化方法。
Entropy in the category of perfect complexes with cohomology of finite length
与有限长度的自同态相关的局部和范畴理论熵（即，具有零维闭纤维）的交换Noether局部环的性质进行了比较.局部熵被证明是小于或等于范畴理论熵。当环是正则环时，这两个熵相等，并且对于正特征的完全局部环的Frobenius自同态也是如此。进一步，给出了Cohen-Macaulay局部环的平坦态射，并证明了局部熵是“可加的”.最后，在正则局部环的同态像上，给出了局部熵的渐近部分欧拉示性数公式。
Cokernels in the stable category of a left hereditary ring
证明了若环是左遗传、左完全、右凝聚的，则稳定范畴有上核。此外，我们还证明了环是左完全和右凝聚的条件也是稳定范畴有上核的必要条件，只要环是左遗传的，并满足其上没有非平凡投射内射左模的附加条件（例如，满足整环）。这特别意味着，对于戴德金整环，稳定范畴有上核当且仅当该整环是左完全的。得到了左遗传环是左完全右凝聚环的几个新的充要条件，其中一个条件是投射模的满子范畴在模范畴中是反射的.另一个条件是任何模同构于稳定范畴中的稳定模。在本文中发现的另一个等价条件要求，对于任何模块$M$，在具有投射$P$的所有表示$M=K\oplus P$中，应该存在具有最小$K$的表示。为了实现这些目标，著名的Freyd的伴随函子定理的一个版本，其中的解集条件被删除的一些额外的条件下的范畴，给出。
Matlis category equivalences for a ring epimorphism
在适当的假设下，我们构造了结合环满态$u\colon R\to U$的两个Matlis加法范畴等价.假设环满射是平坦/投射维数$1$的同调，讨论了$u$ -余模和$u$ -逆模的阿贝尔范畴范畴，构造了$R$ -模、$U$ -模和$R$-模与$u$ -余/逆模上同调的复形的无界导出范畴的等价.进一步的假设允许描述的第三个范畴的元素作为无界导出范畴的交换范畴的$u$ -余模和$u$ -逆模。对于交换环，我们还证明了投射维数$1$的任何同调满射都是平坦的。映射$u$的内射性不是必需的。
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