The non-existence of centre-of-mass and linear-momentum integrals in the curved N-body problem
Florin Diacu
我们提供了一类在弯曲的N体问题的轨道，没有点，可以发挥的作用，质量中心是固定的或移动均匀沿测地线。这证明了运动方程缺少质心和线动量积分。
We provide a class of orbits in the curved N-body problem for which no point that could play the role of the centre of mass is fixed or moves uniformly along a geodesic. This proves that the equations of motion lack centre-of-mass and linear-momentum integrals.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bifurcations of the Lagrangian orbits from the classical to the curved 3-body problem
我们考虑天体力学的三体问题，在欧几里德，椭圆和双曲空间，并研究如何拉格朗日（等边）相对平衡点的分歧时，高斯曲率的变化。因此，我们证明了存在新的轨道类。特别是，我们发现了一些家庭的等腰三角形，这发生在椭圆空间。
On the singularities of the curved n-body problem
我们研究了常曲率空间中的n体问题的奇异性，并推广了Painleve，Weierstrass和Sundman的某些结果。对于正曲率，我们的一些证明使用原系统的总碰撞解决方案和它们的正交投影之间的对应关系-在这种特殊情况下，提供了一种新的方法来处理这个问题的属性。
Secular dynamics for curved two-body problems
考虑常曲率表面上两个质点的动力学，它们受到类似牛顿平方反比定律的吸引力。当物体之间的距离足够小时，简化的运动简化方程可以看作是一个可积系统的扰动。我们定义合适的作用角坐标平均这些扰动项，并观察动力学效应的曲率上的两个机构的运动。
All the Lagrangian relative equilibria of the curved 3-body problem have equal masses
我们考虑在非零常数高斯曲率的三维空间中的三体问题，并研究拉格朗日相对平衡点的质量之间的关系，这些相对平衡点是始终形成刚性旋转的等边三角形的轨道。在具有常非零曲率的三维空间中有三类拉格朗日相对平衡点：3-球面上的正椭圆和正椭圆-椭圆，以及双曲3-球面上的负椭圆。我们证明，所有这些拉格朗日相对平衡只存在相等的质量值。
An intrinsic approach in the curved n-body problem: the negative curvature case
研究了具有负常高斯曲率的二维双曲球上正质量的n个点粒子在引力作用下的运动。利用球极平面投影，我们导出了Poincaré圆盘中的曲n体问题的运动方程，并研究了椭圆相对平衡点。为了分析双曲型和抛物型的相对平衡，我们得到了Poincaré上半平面中的运动方程。利用黎曼几何的技巧，我们刻画了上述每一类周期轨道。对于n=2和n=3，我们恢复一些以前已知的结果，并找到新的定性结果的相对平衡，不明显的外在设置。
Central configurations of the curved $N$-body problem
在非零常曲率空间中考虑天体力学的$N$ -体问题。使用锁定惯性张量的概念，我们计算系统的转动惯量球和双曲球，并表明，我们可以恢复在欧几里德的情况下的经典定义。在证明了相对平衡存在的一些准则之后，我们找到了一种自然的方法来使用惯性矩定义弯曲空间中的中心构型的概念，并表明我们的定义在形式上类似于支配经典问题的定义。我们开发的中心配置的存在性准则帮助我们提供了几个例子，并证明，对于任何给定的点质量的领域和双曲球，中心配置总是存在的。我们结束我们的文件的结果有关的中心配置的数量，躺在同一测地线，从而延长著名的莫尔顿定理双曲球，并指出，它没有直接推广到领域，其中计数变得复杂，即使在情况$N=2$。
Polygonal Homographic Orbits of the Curved n-Body Problem
在常曲率空间$κ\ne 0$中的$2$维$n$体问题$n\ge 3$中，我们研究了多边形单应解.我们首先提供这些轨道存在的充要条件，然后考虑正多边形的情况。我们进一步使用这个准则表明，对于任何$n\ge 3$，正则$n$ -gon是多边形单应轨道当且仅当所有的质量是相等的。在不等边三角形情形下，证明了$n=3$在曲率球$κ>0$上非等质量相对平衡的存在性.这样的三角形相对平衡只发生在固定的测地线上，并且是从球体的不动点产生的。最后，通过对等腰情况的分类，证明了任何三个质量都不能形成三角形的相对平衡。
On the stability of tetrahedral relative equilibria in the positively curved 4-body problem
我们考虑由牛顿引力到常正曲率空间的自然扩张给出的点质量的运动。我们的目标是探索相应的4体问题在2维情况下，一种情况下，可以减少到研究单位球上的机构的运动的四面体轨道的谱稳定性。我们首先进行了一些广泛的和高度精确的数值实验，以找到可能的稳定和不稳定的区域，相对于质量的值和纬度的位置，三个相等的质量。然后，我们支持的数值证据与严格的分析证明附近的一些极限情况下，某些质量是非常大的或可以忽略不计，或纬度接近零。
Existence of a lower bound for the distance between point masses of relative equilibria for generalised quasi-homogeneous $n$-body problems and the curved $n$-body problem
我们证明，如果相对平衡的解决方案的广义准齐次$n$体问题的质量和旋转，那么最小的点之间的距离这样一个相对平衡的质量有一个普遍的下界，不等于零。我们进一步证明了这样的相对平衡集是紧的，并证明了在常高斯曲率空间中的$n$ -体问题的相关结果。
Homographic solutions of the curved 3-body problem
在二维曲面三体问题中，我们证明了拉格朗日和欧拉单应轨道的存在性，并给出了它们在质量相等情况下的完全分类。我们还表明，唯一的非位似双曲欧拉解决方案是双曲欧拉相对平衡，证明其不稳定的结果。
Polygonal negative hyperbolic rotopulsators of the curved $n$-body problem
对于负常高斯曲率空间中的$n$ -体问题，我们证明了对于一类负双曲型旋转脉冲器，如果该类旋转脉冲器存在，且旋转脉冲器不是相对平衡的，则这些旋转脉冲器的点质量的位形必须是正多边形.此外，我们证明了如果旋转脉冲器是相对平衡，最多存在一个这样的解决方案。
Relative equilibria for the positive curved $n-$body problem
本文考虑定义在常正曲率曲面上的$n$体问题。对于共线对称构型的5体和7体问题，我们得到了导致相对平衡的初始位置。我们明确地给出了质量值与初始位置的关系。对于存在相对平衡的位置，有无穷多个质量值产生这样的解。对于5体和7体问题，导致相对平衡的参数集（质量和位置）具有正的勒贝格测度。
Compactness and index of ordinary central configurations for the curved n-body problem
对于弯曲的n体问题，我们证明了普通中心构型的集合远离H^3中的大多数奇异构型，并且远离S^3中的奇异构型的子集。我们还表明，每个n！/ 2的测地普通中心构型的Morse指数为n-2。然后我们得到一个直接推论，至少有（3 n-4）（n-1）！/ 2个普通中心组态，如果这些质量的所有普通中心组态都是非简并的。
On the non-existence of hyperbolic polygonal relative equilibria for the negative curved $n$--body problem with equal masses
本文考虑常负曲率曲面上的$n$ -体问题。对于$n$ --质量相等的情形，我们证明了不存在具有正多边形形状的双曲相对平衡。特别是拉格朗日（三个相等的距离）双曲相对平衡不存在。我们还证明了常负曲率曲面上的五体问题的一类新的双曲共线相对平衡点的存在性。
Rectangular orbits of the curved 4-body problem
我们考虑常曲率空间中的四体问题，研究球面和双曲矩形解的存在性，即球面和双曲球面上的等角四边形运动。我们专注于相对平衡（保持恒定相互距离的轨道）和旋转脉冲器（旋转和改变大小，但保持等角的配置）。我们证明了，当这样的轨道存在时，它们必然是球面或双曲平方，即等角等边四边形。
Regularization of the restricted $(n+1)$-body problem on curved spaces
我们考虑在具有常高斯曲率$κ$的空间中，$(n+1)$物体在它们的相互引力吸引下运动。在该系统中，质量相等的$n$主天体形成一个相对平衡解，其构形为正多边形，其余质量可忽略的天体不影响其它天体的运动。我们表明，由于可以忽略的质量和原色之间的二进制碰撞的奇异性，可以通过适当的坐标变化（列维-Civita和Birkhoff型变换）的本地和全球正规化。
Möbius solutions of the curved $n$--body problem for positive curvature
我们用$\mathbb{M}^2_R$表示具有常正高斯曲率的二维空间。利用Riemman球面$\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{M}_R^2 \cup \{\infty\}$的自同构的Möbius群${\rm \bf Mob}_2 \, (\hat{\mathbb{C}})$的分类，利用Möbius几何的方法，给出了$\hat{\mathbb{C}}$上Möbius解存在的代数条件，得到了它们的完全分类.我们展示了几个家庭的这种解决方案。
Polygonal rotopulsators of the curved $n$-body problem
本文重新讨论了在$\mathbb{H}^{3}$和$\mathbb{S}^{3}$中$n$ -体问题的多边形正椭圆旋转脉冲器解和多边形负椭圆旋转脉冲器解，证明了这些解的存在性，证明了当旋转脉冲器的尺寸为非常数时，这些旋转脉冲器的质量必须相等，并证明了这类负椭圆相对平衡点的个数是有限的，如果对相对均衡的大小施加上界，则正椭圆相对均衡的数目也是如此。此外，我们证明了一类负双曲型旋转脉冲器实际上是多边形负椭圆型旋转脉冲器的子类。
The classical N-body problem in the context of curved space
我们给出了将天体力学的牛顿N体问题推广到常高斯曲率k空间的微分方程，其中k为实数。在以前的研究中，运动方程只有在k不为零的情况下才有意义。这里导出的系统不仅仅包括k趋于0时的欧几里得极限情况：它恢复了k = 0时的经典方程。这种新的运动定律的表达允许在常曲率空间的背景下研究N体问题，从而提供了一个自然的推广牛顿方程，包括经典的情况。最后，我们对首次积分的分支作了一些评论。
Rotopulsators of the curved N-body problem
本文考虑常曲率空间中的N体问题，并研究其旋转脉冲器，即解决方案，其中身体的配置在运动期间旋转并改变大小。根据旋转的性质和数量，以及它们是否出现在正曲率或负曲率的空间中，旋转超声器自然分为五类：正椭圆、正椭圆-椭圆、负椭圆、负双曲和负椭圆-双曲。在得到每种类型的旋转脉冲器的存在准则后，我们导出了它们的守恒律。我们进一步处理的存在性和唯一性的一些类的旋转脉冲在2-和3-体的情况下，证明了两个一般性的结果的定性行为的旋转脉冲。更确切地说，对于正曲率，我们表明，没有叶理的3-球与克利福德环面，使每个机构的运动被限制在一些克利福德环面。对于负曲率，证明了一个类似的结果相对于双曲球面的叶理与双曲柱面。
Relative equilibria in the 3-dimensional curved n-body problem
本文在常高斯曲率空间$κ\ne 0$中考虑三维引力$n$ -体问题$n\ge 2$，即在球面${\mathbb S}_κ^3$上，对于$κ>0$，在双曲流形${\mathbb H}_κ^3$上，对于$κ<0$。我们的目标是定义和研究相对平衡，这是轨道的相互距离保持不变的时间。我们还简要讨论了奇点的问题，以避免不可能的配置。我们推导出的运动方程，并定义了六类相对平衡，这自然遵循的几何性质的${\mathbb S}_κ^3$和${\mathbb H}_κ^3$。然后，我们证明了几个标准，每一个表达的条件存在的某一类相对平衡，其中一些有一个简单的旋转，而其他人进行双重旋转，我们描述了他们的定性行为。特别是，我们表明，在${\mathbb S}_κ^3$的机构移动的圆或Clifford环面，而在${\mathbb H}_κ^3$，他们移动的圆或双曲柱面。然后，我们为前面描述的每一类相对均衡构造具体的例子，从而证明这些类不是空的。我们提出了一些令人惊讶的轨道的证据，如一组机构保持固定在一个大的${\mathbb S}_κ^3$球体的大圆，而其他机构在另一个大球体的互补大圆上均匀旋转，以及一个大类的准周期相对平衡，第一个这样的非周期轨道中发现的三维$n$体的问题。最后，我们简要讨论了其他研究方向和未来的前景，根据我们在这里提出的结果。
Symbolic dynamics: from the $N$-centre to the $(N+1)$-body problem, a preliminary study
本文考虑一个具有$N \geq 3$和次齐次势$-\a<0$，$\a \in [1,2)$的约束$(N+1)$ -体问题.我们证明了存在无穷多个无碰撞周期解的负和小雅可比常数和小值的角速度，任何初始配置的中心。本文将引入一个莫佩屠斯型变分原理，以便应用在“N. Soave和S.泰拉奇尼负能量下$N$ -中心问题的符号动力学。离散和连续动力系统A，32（2012）"。主要的困难来自这样一个事实，即与经典的雅可比长度，相关的功能不来自Riemaniann结构，但从Finslerian之一。我们的存在性结果使我们能够表征相关的动力系统与符号动力学，其中的符号是给定的分区的中心在两个非空集。
Stability of fixed points and associated relative equilibria of the $3$-body problem on $\mathbb S^1$ and $\mathbb S^2$
我们证明了当解被限制在$\mathbb S^1$中时，弯曲三体问题的不动点及其相关平衡点是Lyapunov稳定的，而当物体被考虑在$\mathbb S^2$中时，不动点及其相关平衡点是不稳定的.
Loose ends in a strong force 3-body problem
直到对称性，三个相等质量的轨道在具有零角动量和恒定转动惯量的逆立方体力下可以重新参数化为一条裤子上的完整的、负弯曲的度量的测地线。裤子的两端代表二元碰撞。在这里，我们将检查这样的负曲面的可见性属性，允许在这个三体问题的二元碰撞开始或结束的轨道的描述。
Stability interchanges in a curved Sitnikov problem
我们考虑一个弯曲的Sitnikov问题，其中一个无穷小的粒子在一个圆上运动的引力影响下的两个相等的质量在开普勒运动在一个平面内垂直于该圆。有两个平衡点，我们研究它们的稳定性。我们表明，其中一个平衡点进行稳定的交换作为半长轴的开普勒椭圆接近该圆的直径。为了得到这个结果，我们首先制定和证明稳定性交换的一般定理，然后我们将其应用到我们的模型。我们的模型的动机与常曲率空间中的$n$体问题有关。
A new analysis of the three--body problem
在最近的文献[18]、[5]中，分别证明了近日点关于某些平衡点的周期振荡运动的存在性和拓扑马蹄形的起始。这些结果是用所谓的双中心（或{ \it Euler}）问题作为相邻可积系统，并在~[16]，~[17]中提出的一个适当的正则设置下得到的。在这里，我们回顾这样的结果。
The $N$-Body Problem in Spaces with Uniformly Varying Curvature
我们将曲$N$ -体问题推广到曲率$κ$随时间变化的球和双曲球。与曲率为常数的特殊情况不同，运动方程是非自治的。我们首先简要地考虑类似的开普勒问题，然后调查单应轨道的任何数量的机构，证明存在的几个这样的类解决方案的领域。当$κ$满足哈勃定律时，在弯曲的$N$ -物体问题的背景下，允许曲率随时间变化提供了对膨胀宇宙的影响的一些见解。对这些方程的研究也开启了在经典力学和广义相对论之间寻找新联系的可能性。
The n-Centre Problem of Celestial Mechanics for Large Energies
考虑经典的三维运动，势是$n$吸引或排斥库仑势之和。假设一个非共线配置的$n$中心，我们发现一个普遍的行为，所有的能量$E$以上的正阈值。然而对于$n=1$没有有界轨道，对于$n=2$只有一个闭合轨道，对于$n\geq 3$有界轨道形成一个康托集。我们分析了这个双曲集的符号动力学，估计了它的豪斯多夫维数和拓扑熵.然后建立了散射理论，包括散射轨道的符号动力学和微分截面估计。该理论包括天体力学的$n$ -中心问题，并为几何理解一类限制性$n$ -{ \em体}问题作了准备。为了允许在半经典分子散射中的应用，我们包括一个额外的光滑（电子）的潜力，这是任意的，除了它的库仑衰变在无穷远。直到1/E阶的（最佳）相对误差，所有估计都与该电位无关，但仅取决于中心的相对位置和强度。最后，我们表明，不同的，非普遍的，现象发生共线配置。
Exponential stability of Euler integral in the three--body problem
证明了两中心问题的第一积分特征是三体问题的近似积分（在NN Nekhorossev的意义上），至少在质量非常不同并且粒子被约束在同一平面上的情况下是这样。证明使用一个新的正规形式的结果，精心设计的退化问题，和一个新的研究的未扰动问题的相图。应用程序之间的碰撞预测两个次要机构。
Euler integral and perihelion librations
我们讨论动力学方面的分析的两个中心的问题开始在[15]。我们的方法的微扰性质，使我们能够预见应用程序的三体问题。
Existence of a lower bound for the distance between point masses of relative equilibria in spaces of constant curvature
我们证明了，如果弯曲$n$体问题的质量是给定的，该问题的一个特定类型的相对平衡解的点质量之间的最小距离有一个普遍的下界，不等于零。我们还证明了所有这样的相对平衡点的集合是紧的。这类相对平衡包括弯曲$n$ -体问题在$\mathbb{S}^{2}$、$\mathbb{H}^{2}$中的所有相对平衡以及$\mathbb{S}^{3}$和$\mathbb{H}^{3}$的相对平衡的重要子集。
Continuation of relative equilibria in the $n$--body problem to spaces of constant curvature
证明了平面牛顿$n$ -体问题的所有非退化相对平衡点都可以延拓到常曲率空间$κ$，无论是正曲率还是负曲率，只要这个参数足够小。我们还计算了一些经典的相对平衡曲线空间使用数值延拓。特别地，我们将具有不同质量的拉格朗日三角形构型推广到正曲率空间和负曲率空间。
Existence of a Center Manifold in a Practical Domain around L1 in the Restricted Three Body Problem
本文证明了具有运动积分的系统在大区域内存在中心流形。证明是基于拓扑工具，正规形式和严格的计算机辅助计算的组合。我们应用我们的方法得到一个明确的区域，我们证明存在的中心流形在平面限制三体问题。
Regions without invariant tori of given class for the planar circular restricted three-body problem
本文将一种建立相空间区域的方法应用于平面圆形限制三体问题，该相空间区域中不存在横交于给定方向场的不变环面。推导出了双星周围行星稳定轨道位置的影响。预计从这个问题中吸取的经验教训将是有用的应用程序的方法，如磁通表面的磁场，引导中心运动的磁场，和经典的化学反应动力学模型的其他情况下。
Equivalence of Rigid Motions and Relative Equilibria in the N-Body Problem on the Two-Sphere
本文证明了二维球面 S2 上 N 体系统的刚体运动必为相对平衡，并将该结论推广到 R3 中的引力系统，深化了对弯曲曲面上 N 体动力学的理解。
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