Deterministic continutation of stochastic metastable equilibria via Lyapunov equations and ellipsoids
Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）
本文通过结合概率论、动力系统、数值分析、优化和控制理论的方法，将确定性延拓算法扩展到随机微分方程的亚稳态平衡点跟踪，利用椭球定义样本路径的高集中区域，并通过迭代方法高效计算椭球及其距离。
2012-01-09 cs.NA math.DS math.NA
Relative equilibria for the positive curved $n-$body problem
本文考虑定义在常正曲率曲面上的$n$体问题。对于共线对称构型的5体和7体问题，我们得到了导致相对平衡的初始位置。我们明确地给出了质量值与初始位置的关系。对于存在相对平衡的位置，有无穷多个质量值产生这样的解。对于5体和7体问题，导致相对平衡的参数集（质量和位置）具有正的勒贝格测度。
2019-01-25 math.DS
Existence of a lower bound for the distance between point masses of relative equilibria for generalised quasi-homogeneous $n$-body problems and the curved $n$-body problem
我们证明，如果相对平衡的解决方案的广义准齐次$n$体问题的质量和旋转，那么最小的点之间的距离这样一个相对平衡的质量有一个普遍的下界，不等于零。我们进一步证明了这样的相对平衡集是紧的，并证明了在常高斯曲率空间中的$n$ -体问题的相关结果。
2015-03-07 math.DS
All the Lagrangian relative equilibria of the curved 3-body problem have equal masses
我们考虑在非零常数高斯曲率的三维空间中的三体问题，并研究拉格朗日相对平衡点的质量之间的关系，这些相对平衡点是始终形成刚性旋转的等边三角形的轨道。在具有常非零曲率的三维空间中有三类拉格朗日相对平衡点：3-球面上的正椭圆和正椭圆-椭圆，以及双曲3-球面上的负椭圆。我们证明，所有这些拉格朗日相对平衡只存在相等的质量值。
2014-09-17 math-ph math.DS math.MP
Reduction and relative equilibria for the 2-body problem in spaces of constant curvature
考虑常曲率曲面上的二体问题，对相对平衡点及其稳定性进行了分类。在双曲平面上，对于每个q>0，我们证明存在两个相对平衡，其中质量被距离q分开。其中之一是几何椭圆型和其他双曲型。双曲型的总是不稳定的，而椭圆型的是稳定的，当足够接近，但不稳定时，远离。在正曲率球面上，如果质量不同，除了π/2之外，每个角距都有唯一的相对平衡。当角为锐角时，RE为椭圆形，当角为钝角时，RE可以是椭圆形或线性不稳定的。我们表明，使用KAM参数，急性的几乎总是非线性稳定的。如果质量相等，则存在两类相对平衡：一类是质量与旋转轴成相等角度（“等腰RE”），另一类是两个质量在球心处对向成直角。如果粒子对着的角是锐角，等腰RE是椭圆形的，如果是钝角，等腰RE是不稳定的。在π/2处，两个家族相遇，并发生干草叉分叉。直角RE在远离分叉点的地方是椭圆形的。在两个几何设置中的每一个，我们使用一个全球减少，以消除组的对称性和分析所产生的减少方程，生活在一个5维相空间，并拥有一个Casimir函数。
2018-02-13 math-ph math.DS math.MP
A Fast and High-Accuracy Finite-Time Sliding-Mode Algorithm for Computing Local Stackelberg Equilibria in Nonlinear Bilevel Games
City St George’s University of London（伦敦城市圣乔治大学）
本文提出SSMA算法，将斯塔克尔伯格均衡计算转化为流形稳定问题，在500次非凸蒙特卡洛试验中实现100%成功率，迭代效率远优于基线，可快速高精度求解非线性双层博弈的局部斯塔克尔伯格均衡。
2026-10-09 math.DS math.OC
Continuation of Hamiltonian dynamics from the plane to constant-curvature surfaces
研究从欧几里得平面到二维常曲率表面的对称性变形及哈密顿系统局部动力学的延续，证明非退化相对平衡和相对周期轨道在平坦到曲面间的持续性，并应用于牛顿n体问题。
2026-07-20 math-ph math.DS math.MP
An intrinsic approach in the curved n-body problem: the negative curvature case
研究了具有负常高斯曲率的二维双曲球上正质量的n个点粒子在引力作用下的运动。利用球极平面投影，我们导出了Poincaré圆盘中的曲n体问题的运动方程，并研究了椭圆相对平衡点。为了分析双曲型和抛物型的相对平衡，我们得到了Poincaré上半平面中的运动方程。利用黎曼几何的技巧，我们刻画了上述每一类周期轨道。对于n=2和n=3，我们恢复一些以前已知的结果，并找到新的定性结果的相对平衡，不明显的外在设置。
2011-09-13 math-ph math.DS math.MP
Polygonal negative hyperbolic rotopulsators of the curved $n$-body problem
对于负常高斯曲率空间中的$n$ -体问题，我们证明了对于一类负双曲型旋转脉冲器，如果该类旋转脉冲器存在，且旋转脉冲器不是相对平衡的，则这些旋转脉冲器的点质量的位形必须是正多边形.此外，我们证明了如果旋转脉冲器是相对平衡，最多存在一个这样的解决方案。
2016-08-29 math.DS
Attracting and repelling 2-body problems on a family of surfaces of constant curvature
研究常曲率面上二体问题中吸引力与排斥力的相互作用及其稳定性，通过曲率变化分析相对平衡态的存在与稳定性。
2019-06-03 math-ph math.DS math.MP
The n-body problem in spaces of constant curvature
我们将牛顿n体问题推广到曲率k =常数的空间，并研究了二维情形下的运动。当k> 0时，运动方程遇到非碰撞奇点，这发生在两个物体对映时。这种现象导致，一方面，混合解决方案奇点少至3个机构，其相应的轨道最终在碰撞对映配置在有限的时间;另一方面，它产生非奇异碰撞，其特点是有限的速度和力量在碰撞瞬间。我们还指出了几类相对平衡的存在性，包括k <0时的双曲旋转。最后，我们证明了当物体在椭圆或双曲旋转的测地线上时的Saari猜想。我们还强调，不动点是特定的情况下k> 0，双曲相对平衡k <0，和拉格朗日轨道的任意质量k = 0-结果，提供了新的标准，对理解大尺度几何的物理空间。
2008-08-22 math-ph math.DS math.MP
Differential Geometry Perspective of Shape Coherence and Curvature Evolution by Finite-Time Non-hyperbolic Splitting
混合和相干是理解流体动力学和其他非自治动力系统中的传输的核心的基本问题。最近，相干的概念已经得到了更严格的基础，特别是在非自治动力系统的有限时间研究的最新进展。在这里，我们定义形状相干集作为一种手段来强调的直观概念的合奏“保持在一起”的一段时间，我们对比这一概念的其他最近的观点的一致性，特别是“相干对”，同样也是材料线的测地线理论。我们将通过匹配曲率将形状一致性与曲线全等的微分几何概念联系起来。我们表明，在相空间中的点，有一个稳定和非稳定流形之间的零分裂局部对应的曲率将演变缓慢的时间点。然后利用隐函数定理的延拓方法，得到了零角点的曲线，即非双曲分裂曲线。从这下面一个简单的常微分方程描述的边界的形状连贯集。我们将用流行的基准示例来说明我们的方法，并进一步研究叶理几何的复杂结构。
2014-05-06 math.DS
On the stability of tetrahedral relative equilibria in the positively curved 4-body problem
我们考虑由牛顿引力到常正曲率空间的自然扩张给出的点质量的运动。我们的目标是探索相应的4体问题在2维情况下，一种情况下，可以减少到研究单位球上的机构的运动的四面体轨道的谱稳定性。我们首先进行了一些广泛的和高度精确的数值实验，以找到可能的稳定和不稳定的区域，相对于质量的值和纬度的位置，三个相等的质量。然后，我们支持的数值证据与严格的分析证明附近的一些极限情况下，某些质量是非常大的或可以忽略不计，或纬度接近零。
2012-04-25 math-ph math.DS math.MP
Rectangular orbits of the curved 4-body problem
我们考虑常曲率空间中的四体问题，研究球面和双曲矩形解的存在性，即球面和双曲球面上的等角四边形运动。我们专注于相对平衡（保持恒定相互距离的轨道）和旋转脉冲器（旋转和改变大小，但保持等角的配置）。我们证明了，当这样的轨道存在时，它们必然是球面或双曲平方，即等角等边四边形。
2013-10-01 math.DS
Polygonal Homographic Orbits of the Curved n-Body Problem
在常曲率空间$κ\ne 0$中的$2$维$n$体问题$n\ge 3$中，我们研究了多边形单应解.我们首先提供这些轨道存在的充要条件，然后考虑正多边形的情况。我们进一步使用这个准则表明，对于任何$n\ge 3$，正则$n$ -gon是多边形单应轨道当且仅当所有的质量是相等的。在不等边三角形情形下，证明了$n=3$在曲率球$κ>0$上非等质量相对平衡的存在性.这样的三角形相对平衡只发生在固定的测地线上，并且是从球体的不动点产生的。最后，通过对等腰情况的分类，证明了任何三个质量都不能形成三角形的相对平衡。
2011-02-09 math-ph math.DS math.MP
Relative equilibria in the 3-dimensional curved n-body problem
本文在常高斯曲率空间$κ\ne 0$中考虑三维引力$n$ -体问题$n\ge 2$，即在球面${\mathbb S}_κ^3$上，对于$κ>0$，在双曲流形${\mathbb H}_κ^3$上，对于$κ<0$。我们的目标是定义和研究相对平衡，这是轨道的相互距离保持不变的时间。我们还简要讨论了奇点的问题，以避免不可能的配置。我们推导出的运动方程，并定义了六类相对平衡，这自然遵循的几何性质的${\mathbb S}_κ^3$和${\mathbb H}_κ^3$。然后，我们证明了几个标准，每一个表达的条件存在的某一类相对平衡，其中一些有一个简单的旋转，而其他人进行双重旋转，我们描述了他们的定性行为。特别是，我们表明，在${\mathbb S}_κ^3$的机构移动的圆或Clifford环面，而在${\mathbb H}_κ^3$，他们移动的圆或双曲柱面。然后，我们为前面描述的每一类相对均衡构造具体的例子，从而证明这些类不是空的。我们提出了一些令人惊讶的轨道的证据，如一组机构保持固定在一个大的${\mathbb S}_κ^3$球体的大圆，而其他机构在另一个大球体的互补大圆上均匀旋转，以及一个大类的准周期相对平衡，第一个这样的非周期轨道中发现的三维$n$体的问题。最后，我们简要讨论了其他研究方向和未来的前景，根据我们在这里提出的结果。
2012-06-13 math-ph math.DS math.MP
Bifurcations of the Lagrangian orbits from the classical to the curved 3-body problem
我们考虑天体力学的三体问题，在欧几里德，椭圆和双曲空间，并研究如何拉格朗日（等边）相对平衡点的分歧时，高斯曲率的变化。因此，我们证明了存在新的轨道类。特别是，我们发现了一些家庭的等腰三角形，这发生在椭圆空间。
2015-08-25 math-ph math.DS math.MP
