Minimizing the regularity of maximal regular antichains of 2- and 3-sets
设$n\geqslant 3$为自然数。我们研究这个问题，以找到最小的$r$，使得存在$[n]=\{1,2,...,n\}$的2-子集和3-子集的$\mathcal{A}$族，具有以下性质：（2）$\mathcal{A}$是最大的，即对于每个$X\in 2^{[n]}\setminus\mathcal A$，存在具有$X\subseteq A$或$A\subseteq X$的$A\in\mathcal A$，以及（3）$\mathcal A$是$r$ -正则的，即每个点$x\in[n]$恰好包含在$\mathcal A$的$r$成员中。我们证明了$r$的下界，我们描述了建设经常最大的反链与小的正则性。
2014-03-02 math.CO
Maximal antichains of minimum size
令$n\geqslant 4$为自然数，且令$K$为集合$K\subseteq [n]:={1,2,...,n}$。我们研究该问题以找到$[n]$子集的最大家族$\mathcal{A}$的最小可能大小，使得$\mathcal{A}$仅包含大小在$K$中的集合，并且$A\not\subseteq B$用于所有${A,B}\subseteq\mathcal{A}$，即$\mathcal{A}$是反链。我们提出了一个一般的建设，这样的反链$K$集包含2，但不是1。如果$3\in K$，我们的构造渐近地产生这样的族的最小可能大小，直到$o(n^2)$误差。我们猜想我们的建设也是渐近最优的$3\not\in K$，我们证明了一个较弱的情况下，$K={2,4}$。我们的渐近结果是直接的应用程序的图删除引理的极值图论中的问题，这是有趣的，在其本身的权利的一个等价的重新表述。
2013-03-09 math.CO
Sizes of flat maximal antichains of subsets
本文研究布尔格中极大反链大小的取值问题，提出一种替代构造方法，证明几乎所有大小的极大反链均可由仅包含 $l$-集和 $(l+1)$-集的反链构成。
2024-06-28 cs.DM math.CO
Maximal antichains of subsets II: Constructions
这是第二次在一个序列的三篇论文调查的问题，其中正整数$m$存在一个最大的反链的大小$m$在布尔格$B_n$（权力集的$[n]:=\{1,2,\dots,n\}$，有序的包含）。在前面的文章中，我们描述了那些在$\binom{n}{\lceil n/2\rceil}-\lceil n/2\rceil^2$和最大尺寸$\binom{n}{\lceil n/2 \rceil}$之间的$m$，它们不是最大反链的尺寸。本文证明了所有较小的$m$都是极大反链的大小。
2022-10-20 cs.DM math.CO
The bounds for the number of linear extensions via chain and antichain coverings
设$(\mathcal{P},\leqslant)$是有限偏序集.定义数字$a_1,a_2,\ldots$（分别为$c_1,c_2,\ldots$），使得$a_1+\ldots+a_k$（分别为$c_1+\ldots+c_k$）是可被$k$反链（分别为$k$链）覆盖的$\mathcal{P}$的最大元素数。则偏序集$\mathcal{P}$的线性扩张的个数$e(\mathcal{P})$不小于$\prod a_i!$且不大于$n!/\prod c_i!$ .一个推论：如果$\mathcal{P}$被分割成大小为$b_1,b_2, \ldots$的不相交反链，则为$e(\mathcal{P})\geqslant \prod b_i!$。
2020-01-10 math.CO
Is the Symmetric Group Sperner?
偏序集$\mathcal{P}$中的反链$\mathcal{A}$是$\mathcal{P}$的子集，其中没有两个元素是可比较的。Sperner证明了布尔格中的最大反链$\mathcal{B}_n = \left\{ 0 < 1 \right\}^n$是最大秩（大小为$\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$）。这种类型的问题已经被推广，一个分次偏序集$\mathcal{P}$称为Sperner，如果$\mathcal{P}$的最大秩是它的最大反链。在本文中，我们将证明对称群$S_n$，通过加细（或等价地通过绝对序）部分排序，是Sperner。
2019-01-03 math.CO
Supersaturation in Posets and Applications Involving the Container Method
我们考虑以下形式的偏序集（偏序集）中的“过饱和”问题。给定一个有限偏序集$P$和一个大于$P$中最大反链的基数的整数$m$，在$m$的基数的$P$子集中可比较对的最小数目是多少？我们提供了一个框架，以获得这个数量的下界计数可比对相对于随机链的基础上，并应用此框架获得过饱和结果的三个经典偏序集：布尔格，集合的子空间的$\mathbb{F}_q^n$有序的集合包含和集合的因子的平方下的平方无整数的“除”的关系。我们得到的布尔格的上界可以看作是Kleitman的一个已知定理的近似形式。此外，我们应用我们的过饱和结果，以获得（a）上界的反链在这些偏序集中的数量和（b）的基数上的最大的反链在$p$ -随机子集的这些偏序集，持有高概率（$p$在一定范围内）的渐近界。这些结果的证明依赖于偏序集的一个“容器型”引理，它推广了Balogh，Mycroft和Treglown的一个结果。我们还指出了一些公开的问题，关于过饱和偏序集和计数反链。
2017-08-27 math.CO
Maximal independent sets, variants of chain/antichain principle and cofinal subsets without AC
本文在无选择公理的集合论中研究了极大独立集、链/反链原理变体及共尾子集等命题与弱选择原理之间的新关系，揭示了这些组合与序结构命题在缺乏AC时的逻辑强度。
2021-02-12 math.CO math.GR math.LO
Sperner's problem for G-independent families
给定一个图G，设Q（G）表示G中所有独立（无边）顶点集的集合。本文研究了Q（G）中最大反链的大小问题。当G是无边图时，这个问题由Sperner定理解决。本文主要研究了G是长为n-1的路的情形，证明了Q（G）的最大反链的大小与最大层的大小是同阶的.
2013-10-07 math.CO
Bounds on Decorated Sweep Covers in Tree Posets
University of Cambridge（剑桥大学）
研究树偏序集中装饰扫覆盖的计数问题，推导生成函数、Schur-凸性结果及系数上界，应用于分布式系统、物流无人机路由和蒙特卡洛树搜索。
2026-04-10 math.CO
Counting Unlabelled Chord Diagrams of Maximal Genus
最大弦图的所有同构枚举。计数公式是基于局部可定向曲面上有根单顶点单面映射与某类对称弦图之间的双射。这个结果扩展了科里和马库斯关于最大弦图枚举旋转。
2018-05-13 math.CO
Applications of graph containers in the Boolean lattice
我们应用图容器方法证明了布尔格$\mathcal P(n)$的一些计数结果。特别是，我们：（i）部分回答了Sapozhenko估计$\mathcal P(n)$中$t$纠错码个数的问题，并给出了运输码个数的一个上界;（ii）给出了Kleitman关于$\mathcal P(n)$中反链个数定理的另一种证明，并给出了一个双色类比;（iii）给出了$\mathcal P(n)$中$(p,q)$ -倾斜Sperner族个数的渐近公式;（iv）证明了Katona的$t$ -交定理的一个随机形式。在每种情况下，应用容器方法，我们首先证明相应的过饱和结果。我们还给出了一个构造，它否定了Ilinca和Kahn关于布尔格中极大独立集和反链的两个定理。还提出了一些开放性问题。
2018-02-14 math.CO
Counting weighted maximal chains in the circular Bruhat order
完全非负格拉斯曼$\mathrm{Gr}(k,n)_{\geq0}$是实格拉斯曼$\mathrm{Gr}(k,n)$的子集，由具有所有非负Plücker坐标的点组成。圆Bruhat序是与A的面偏序集同构的偏序集。Postnikov（2005）$\mathrm{Gr}(k,n)_{\geq0}$的正向胞腔剖分。我们在J.Stembridge（2002）的精神下，给出了其加权链之和的一个闭公式。
2021-08-07 math.CO
Exponential functions of finite posets and the number of extensions with a fixed set of minimal points
我们建立了有限偏序集P的所有下集（或等价地，所有反链）的个数的公式.然后，利用这些个数，我们递归地和显式地确定了具有一个固定的极小点集并在非极小点上导出偏序集P的所有偏序集的个数.事实证明，这些计数函数与某些子集的下集数的集合密切相关。由于任何这类函数都是指数和（以极小点的数目作为指数），我们称之为偏序集的指数函数。推导了计数函数的线性方程、整除关系、上下界和渐近等式。一个列表中的所有这样的指数函数的偏序集多达五个点的文件结束。
2018-02-05 math.CO
A generalization of a theorem of Erné
设$X$是一个有限集，$Z \subseteq X$和$y \notin X$。Marcel Erné在1981年证明了$X$上包含$Z$作为反链的偏序集的个数等于$X \cup \{ y \}$上的偏序集$R$的个数，其中$Z \cup \{ y \}$的点恰好是$R$的极大点。证明了如下推广：对于每个带有载体$Z$的偏序集$Q$，$X$上包含$Q$作为诱导子偏序集的偏序集的个数等于$X \cup \{ y \}$上包含$Q^d + A_y$作为诱导子偏序集的偏序集$R$的个数，其中$Q^d + A_y$的极大点恰是$R$的极大点.这里，$Q^d$是$Q$的对偶，$A_y$是$y$上的单偶偏序集，而$Q^d + A_y$表示$Q^d$和$A_y$的直和。
2021-05-03 math.CO
Poset Ramsey number $R(P,Q_n)$. III. Chain Compositions and Antichains
本文研究偏序集 Ramsey 数 $R(P,Q_n)$，为链的平行复合和细分 $Q_2$ 两类偏序集给出上界，从而完成至多4元素偏序集的结果确定，并证明反链情形 $R(A_t,Q_n)=n+3$ 对 $3\le t\le \log\log n$ 成立。
2023-07-05 math.CO
The saturation spectrum for antichains of subsets
本文推广Sperner定理，刻画布尔格中极大反链的可能大小，并研究Kruskal-Katona定理的扩展问题，给出t≤k+1时阴影大小的完整刻画及最大不可达阴影大小的渐近公式。
2022-10-20 cs.DM math.CO
Perfect graphs of arbitrarily large clique-chromatic number
本文证明了存在具有任意大团色数的完美图，这些图可通过沿团反复粘合二部补图得到，从而负面回答了Duffus等人提出的问题。
2015-06-30 math.CO
Approximately counting maximal independent set is equivalent to #SAT
本文研究最大独立集近似计数的复杂性，首次证明一般图上的#MIS问题与#SAT问题AP可互归约，为相关计数问题的复杂度研究提供了关键结论。
2024-09-13 cs.CC math.CO
A generating function approach to counting theorems for square-free polynomials and maximal tori
Church，Ellenberg和Farb最近的一篇论文利用拓扑学和对称群的表示论证明了关于F_q的代数闭包上的一般线性群的无平方多项式和F-稳定极大环面的计数结果。本文利用生成函数给出了一些结果的初等证明和推广。
2014-10-14 math.AT math.CO math.RT
The expected jaggedness of order ideals
阶理想I在偏序集P中的锯齿性等于I中的极大元的个数加上P中不在I中的极小元的个数。P的阶理想集合上的概率分布是触发对称的，如果对于P中的每个p，p在I中最大的概率等于p不在I中最小的概率。本文证明了当P是斜Young图中盒的偏序集时，P的阶理想在任意切换对称概率分布下的期望锯齿性的一个公式.我们的结果扩展了Chan-López-Pflueger-Teixidor的主要组合定理，他使用期望锯齿计算作为关键成分来证明代数几何公式;并且它在Propp-Roby意义下应用于半序集上阶理想的反链基数统计量的同态。
2015-07-01 math.CO
Counting maximal near perfect matchings in quasirandom and dense graphs
最大$\varepsilon$ -接近完美匹配是覆盖至少$(1-\varepsilon)|V(G)|$顶点的最大匹配。本文研究了广义拟随机图和广义稠密图中极大近完美匹配的个数。本文给出了广义拟随机图中$\varepsilon$ -近完美匹配个数的上、下界.此外，基于这些结果，我们提供了一个确定性的多项式时间算法，对于给定的稠密图$G$的顺序$n$和一个实数$\varepsilon>0$，返回的结论，$G$没有$\varepsilon$ -近完美匹配，或一个积极的非平凡数$\ell$，使最大的$\varepsilon$ -近完美匹配的$G$的数量至少是$n^{\ell n}$。我们的算法使用算法版本的Szemerédi正则引理，并具有$O(f(\varepsilon)n^{5/2})$时间复杂度。这里，$f(\cdot)$是一个仅依赖于$\varepsilon$的显式函数。
2019-02-05 cs.DM math.CO
Independent Sets from an Algebraic Perspective
本文从代数的角度研究了图中独立集的计数问题，特别是有限偏序集中反链的计数问题。证明了除非P= P，否则二部Cohen-Macaulay图的独立多项式和根零维完全交理想的初始理想的Hilbert级数都不能在多项式时间内求出.此外，我们给出了一个与有限偏序集P相关联的根零维完全交理想族J_P，并给出了它的泛Gröbner基.这意味着用Gröbner方法计算J_P商的维数（即J_P的零点个数）的瓶颈在于对标准单项式的描述。
2011-05-03 cs.CC math.AC math.CO
Counting non-isomorphic maximal independent sets of the n-cycle graph
已知n圈图Cn的极大独立集的个数是Perrin序列的第n项。C_n的自同构群在这些极大独立集的族上的作用将这个族划分成不相交的轨道，这些轨道表示非同构的（即，定义为旋转和反射）最大独立集。我们提供了精确的公式的总数的轨道和轨道的数量具有一定数量的同构代表。我们还提供了未标记（即，定义为旋转）的最大独立集和具有给定数量的同构代表的未标记的最大独立集的数量。事实证明，这些公式涉及Perrin和Padovan序列。
2008-12-15 cs.DM math.CO math.GR
Counting Phylogenetic Networks with Few Reticulation Vertices: Galled and Reticulation-Visible Networks
本文利用组件图方法和生成函数技术，给出了具有少量网状化顶点的 galled 网络和网状化可见网络的精确及渐近计数，并在附录中推导了最大网状化情形下的数量。
2024-04-19 math.CO
Counting derangements and Nash equilibria
McKelvey和McLennan证明了多人博弈中完全混合Nash均衡的最大个数等于区组乱序个数，而乱序个数的计数是一个很好的研究问题。这些数字被确定为拉盖尔多项式的线性化系数。麦克马洪推导出一个生成函数，他们作为一个应用他的主定理。本文涉及的代数，组合和博弈论的问题，以前没有连接。导出了新的递推关系、超几何公式和无序计数的渐近性。给出了所有纳什均衡点总数的一个上界。
2016-05-13 math.CO
Counting faces of nestohedra
给出了一个新的嵌套面数的代数公式。将与建筑集$B$相关的多面体$P_B$的法扇的极大锥内部正格点的计数函数$F(P_B)$描述为建筑集的某个组合霍普夫代数到拟对称函数的态射.我们定义了$q$ -类似物$F_q(P_B)$，并推导出它的决定性递归关系.多面体$P_B$的$f$ -多项式表现为拟对称函数$F_q(P_B)$的主要特化。
2017-10-22 math.CO
Maximal Independent Sets in Polygonal Cacti
计算图的最大独立集的个数是在$50$多年前由Erdens和Mooser开始的。这个问题一直在不断地研究，有许多变化。有趣的是，当去除独立集的极大条件时，这样的概念给出了分子图的拓扑指数之一，即所谓的Merrifield-Simmons指数。本文应用二元母函数的概念，建立了正则$n$ -仙人掌当$3 \leq n \leq 6$时，其极大独立集个数的递推关系.利用亚纯函数和幂级数系数增长性的思想，建立了这些递推关系通过简单函数的渐近性态。
2022-05-20 math.CO
Counting paths in directed graphs
Instytut Matematyczny, Polska Akademia Nauk（波兰科学院数学研究所）；Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski（华沙大学物理学院）
研究有向图中长度为k的路径数量最大化的图结构，并探讨其在半环中的推广问题
2026-03-23 math.CO
Estimates on the number of partially ordered sets
（k，n）型偏序集是这样的集合：a）每个集合的基数为n，b）每个集合的维数为2，c）每个集合中的最大反链的长度为k。设α_k（n）是（k，n）型偏序集的个数.我们证明了α_k（n）<min{k^{2n}/（（k！）^ 2），（n-k+1）^{2n}/（n-k）！）^ 2）}。记S_n中使其最大降链长度为k的置换的个数为k_k（n）。我们证明了：k_k（n）<k^{2n}/（k-1）！）^ 2）。我们调查之间的联系对的线性秩序，对杨图，二维阵列的正整数和矩阵的非负整数。这项调查是基于论文的申斯特和克努特。我们给出了n_k（n）的生成函数。Gessen于1990年获得。
2013-09-26 math.CO math.RA
Counting Condorcet Domains
孔多塞域是满足非循环多数关系的线性阶的集合。在本文中，我们将域描述为有向Hamilton路的集合。我们证明，虽然黑色的单峰域定义的极值路径，箭头的单峰域没有。我们还介绍了域收缩和域扩张以及自配对域，并描述了这些的一些性质。本文给出了Arrow单峰整环的同构类个数与自配对整环个数的关系式，并给出了该同构类个数的上界和下界.我们还列举了$|A|=5,6,7, 8$的不同的最大阿罗的单峰域。最后，我们证明了本文中的所有观测结果都可以转化为单浸入域，即具有完全“never-top”条件的Condorcet域。
2020-04-02 math.CO
Twisted cohomology of configuration spaces and spaces of maximal tori via point-counting
我们考虑两个家庭的代数簇$Y_n$索引的自然数$n$：配置空间的无序$n$ -元组的不同点的$\mathbb{C}$，和空间的无序$n$ -元组的线性无关的线在$\mathbb{C}^n$。设$W_n$是由特征多项式给出的任意虚$S_n$ -表示序列，我们用二重生成函数计算所有$i$和所有$n$的$H^i(Y_n; W_n)$.计算的结果之一是一个新的递归现象：稳定的扭曲Betti数$\lim_{n\to\infty}\dim H^i(Y_n; W_n)$在$i$中是线性递归的.我们的方法是计算某些代数簇的$F_q$ -点上的扭点数，然后通过Grothendieck-Lefschetz不动点公式来证明拓扑上的结果.我们还推广了Church-Ellenberg-Farb关于仿射线的位形空间的一个结果到一般光滑簇的位形空间。
2016-03-12 math.AG math.AT math.CO
Counting orientations of graphs with no strongly connected tournaments
设$S_k(n)$是$n$ -顶点图$G$的最大方向数，其中没有$K_k$的副本是强连通的.对于所有整数$n$，$k\geq 4$，其中$n\geq 5$或$k\geq 5$，我们证明了$S_k(n) = 2^{t_{k-1}(n)}$，其中$t_{k-1}(n)$是$n$ -顶点$(k-1)$ -分图$T_{k-1}(n)$的边数，并且$T_{k-1}(n)$是唯一具有此方向数的$n$ -顶点图。此外，$S_4(4) = 40$和这种最大化是唯一实现的$K_4$。
2021-01-29 cs.DM math.CO
The Kirchhoff's Matrix-Tree Theorem revisited: counting spanning trees with the quantum relative entropy
通过重新讨论Kirchhoff矩阵树定理，我们给出了一个图的生成树个数的精确公式，它是由图的最大混合态与另一个态之间的量子相对熵来表示的.我们使用量子相对熵的性质来证明紧边界的基本参数，如度和顶点数的生成树的数量。
2011-02-11 cs.IT math.CO math.IT
Number of $A+B\ne C$ solutions in abelian groups and application to counting independent sets in hypergraphs
本文研究了一个可加组合数学问题。设${\mathbf G}$是阶为$N$的有限阿贝尔群.我们证明了子集的数目是$A,B,C\subset {\mathbf G}$的三倍，使得对于任何$x\in A$，$y\in B$和$z\in C$，对于某个绝对常数$c_*>0$，$x+y\ne z$等于$$ 3\cdot 4^N+N3^{N+1} + O((3-c_*)^N) $$。这为一类特殊的3-一致线性超图中独立集的个数提供了一个严格的估计，并支持了关于$n$顶点上超图中独立集的最大可能个数的自然猜想.
2020-12-24 math.CO math.NT
Counting embeddings of rooted trees into families of rooted trees
偏序集$S$在偏序集$T$中的嵌入数是$T$同构于$S$的子集的个数。如果两个，$S$和$T$，只有一个唯一的极大元，我们定义好的嵌入，其中的极大元的$S$和$T$重叠。我们研究了根偏序集$S$在$n$元素上的所有二叉树族中的好嵌入和所有嵌入的数量，考虑了两种情况：平面（当后代的顺序很重要时）和非平面。此外，我们还研究了根偏序集$S$在所有种植的大小为$n$的平面树族中的嵌入数。我们推导出的渐近行为良好的和所有的嵌入在所有情况下，我们证明了良好的嵌入的比例，所有的顺序是$Θ(1/\sqrt{n})$在所有情况下，我们提供了确切的常数。此外，我们表明，这个比率是非递减的$S$在平面二进制的情况下，和渐近非递减的$S$在非平面二进制的情况下，在种植平面的情况下。最后，我们评论的情况下，当$S$断开。
2021-09-29 cs.DM math.CO math.PR
Counting Cylinders on Z-covers of Genus 2 Square-tiled Surfaces
Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）；Universidad de Chile（智利大学）
本文研究亏格2平铺曲面零全纯Z-覆盖上的极大圆柱计数，获得二次渐近式，并证明Siegel-Veech常数可由大亏格近似恢复，适用于无限阶梯族，且首次给出圆柱数次二次增长的无限族例子。
2026-10-06 math.CO math.DS
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
Log-Concave Polynomials II: High-Dimensional Walks and an FPRAS for Counting Bases of a Matroid
我们设计了一个FPRAS来计算由独立集预言机给出的任意拟阵的基的个数，并估计任意拟阵在$0<q<1$的区域内的随机簇模型的配分函数。因此，我们可以在一个图中随机抽样生成森林，并（近似）计算任何拟阵的可靠性多项式。我们还证明了30年前Mihail和Vazirani的猜想，即任何拟阵的基交换图至少有1的扩张。我们的一个关键观察是纯单纯复形和多仿射齐次多项式之间的密切联系。具体地说，如果$X$是一个纯单纯复形，其最大面上的权值为正，我们可以将$X$与一个多仿射齐次多项式$p_{X}$相关联，使得$X$上的局部随机游动的特征值对应于$p_{X}$的导数的Hessian的特征值。
2019-01-18 cs.DM cs.DS math.CO
