Lp estimates for the wave equation associated to the Grushin operator
K. Jotsaroop, S. Thangavelu
本文证明了当$|1/p- 1/2 | < 1/n+2$满足一定条件时，与Grushin算子$ G = -Δ+|x|^2 \partial_t^2 $相关的波动方程的解在$ L^p(R^{n+1})(1 < p < \infty)$上有界.
We prove that the solution of the wave equation as- sociated to the Grushin operator $ G = -Δ+|x|^2 \partial_t^2 $ is bounded on $ L^p(R^{n+1})(1 < p < \infty)$, when $|1/p- 1/2 | < 1/n+2$ .
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The kernel space of linear operator on a class of Grushin equation
该研究针对一类Grushin方程的线性算子核空间展开，分析了一般情形的核空间，给出特殊情形核空间的精确表达式，并证明奇异摄动Grushin方程相关线性算子在近似核空间补集上可逆。
On the Grushin operator and hyperbolic symmetry
研究了具有混合齐次性的微分算子的几何对称性的复杂性。利用双曲对称性和共形几何计算了低维Grushin算子的Sobolev估计.
Blowup solutions of Grushin's operator
本文考虑Grushin算子的爆破现象。利用概率论的知识，首先得到了Grushin算子的热核的表达式.然后利用热核的性质和适当的辅助函数，得到解在有限时间内爆破。
Regularity of solutions to elliptic equations with Grushin's operator
本文研究了具有Grushin算子的椭圆型方程解的正则性.首先利用Feynman-Kac公式得到热核的表达式，然后利用热核的性质得到解的最优正则性。本文的新颖之处在于Grushin算子是一个退化算子。
Sharp spectral multipliers for a new class of Grushin type operators
给出了一类新的Grushin型算子的加权Plancherel估计和Hebisch-Müller-Stein型谱乘子结果.我们还讨论了最佳指数的Bochner-Riesz求和在此设置。
Hardy's Inequality for the fractional powers of Grushin operator
证明了广义次拉普拉斯算子的分数幂和Grushin算子的分数幂的Hardy不等式。我们还找到了广义次拉普拉斯算子的分数幂的整表示和基态表示。
Global existence and blow-up of solutions to porous medium equation for Baouendi-Grushin operator
本文研究Baouendi-Grushin算子多孔介质方程正解的全局存在性与爆破，利用凹性论证和Poincaré不等式给出证明。
Global existence and blow-up of solutions to pseudo-parabolic equation for Baouendi-Grushin operator
本文利用凹性论证和与 Baouendi-Grushin 算子相关的 Poincaré 不等式，研究非线性拟抛物方程初边值问题正解的全局存在性与爆破。
Carleman estimates for Baouendi-Grushin operators with applications to quantitative uniqueness and strong unique continuation
本文建立了Baouendi-Grushin算子$\mathscr{B}_γ$的一些新的$L^{2}-L^{2}$ Carleman估计，见（1.1）.我们应用这样的估计得到：（i）Bourgain-Kenig数量唯一连续性的一个推广;（ii）某些退化次线性方程的强唯一连续性。
A note on critical problems involving the $p$-Grushin Operator: existence of infinitely many solutions
本文研究了涉及$p$-Grushin算子的临界问题，通过截断论证和Krasnoselskii泛数理论，证明了该问题存在无限多个解。
Strichartz Estimates for a Class of Baouendi-Grushin Operators
该研究证明了作用于欧几里得空间或特定乘积空间的一类Baouendi-Grushin算子的Strichartz估计，并将其应用于相关薛定谔方程的柯西理论。
Nonvariational and singular double phase problems for the Baouendi-Grushin operator
本文引入了一个新的双相变系数Baouendi-Grushin型算子。给出了相应函数空间的基本性质，并证明了一个紧性结果。在第二部分中，我们利用拓扑学的方法证明了含有这种新算子的一类非变分问题的弱解的存在性。本文扩展和补充了我们以前的一些贡献有关双相各向异性变分积分。
Quantitative uniqueness for zero-order perturbations of generalized Baouendi-Grushin operators
基于Almgren频率函数方法的一个变体，我们建立了与一类变系数次椭圆方程相关的定常薛定谔方程解的消失阶的最优界，该方程的模型是所谓的Baouendi-Grushin算子.这样的界限提供了一个定量形式的强唯一的延续，可以被认为是一个类似的最近的结果巴克里和朱的标准拉普拉斯算子。
Weighted Plancherel estimates and sharp spectral multipliers for the Grushin operators
研究了作用在$\R^{d_1}_{x'}\times \R^{d_2}_{x"}$上的Grushin算子，并由公式\[ L=-\sum_{\jone=1}^{d_1}\partial_{x'_\jone}^2 - (\sum_{\jone=1}^{d_1}|x'_\jone|^2) \sum_{\jtwo=1}^{d_2}\partial_{x"_\jtwo}^2. \]定义，得到了所考虑算子的加权Plancherel估计.作为结果，我们证明了$L^p$谱乘子的结果和Bochner-Riesz求和的Grushin算子。如果是$d_1 \ge d_2$，则这些乘数结果是尖锐的。我们还讨论了一个有趣的现象，加权Plancherel估计$d_1 <d_2$。所描述的谱乘子定理是D. Müller和E.M. Stein和W.赫比施
Lie group approach to Grushin operators
本文考虑完备向量场有限系统$\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$作用在光滑流形$M$上，流形上具有光滑正测度。我们假设系统满足Hörmander条件并生成一个（R）型有限维李代数.我们调查的平方和的向量场运营商对应于这个系统，可以被看作是一个推广的概念Grushin运营商。在这种情况下，我们证明了Poincaré不等式和Li-Yau估计相应的热核，以及由系统定义的最优控制度量的加倍条件。我们讨论了一个令人惊讶的广泛类的例子所描述的设置。
Inverse source problem and null controllability for multidimensional parabolic operators of Grushin type
Imanuvilov和Yamamoto于1998年提出的基于Carleman估计的一致抛物型方程Lipschitz稳定性方法似乎很难适用于本文感兴趣的Grushin型算子的情况。事实上，这样的估计仍然缺少抛物算子退化的内部空间域。尽管如此，我们能够证明Lipschitz稳定性结果的逆源问题，这样的运营商，在任意空间维度的局部分布的测量。为此，我们遵循一个混合策略，它结合了由于勒博和Robbiano的apraoch，依赖于傅立叶分解，与Carleman不等式的热方程的非光滑系数（解决的傅立叶模式）。作为推论，我们得到了多维Grushin型抛物型方程的可观测性的一个直接证明，它等价于具有局部分布控制的零能控性.
On the Heat equation involving a Grushin operator in Marcinkiewcz spaces
该研究针对含Grushin型算子的热方程，推导了其在Marcinkiewicz空间中解的存在唯一性及正、对称、自相似解存在的充分条件，丰富了退化抛物方程的泛函空间解理论。
A Berestycki-Lions type result for a class of degenerate elliptic problems involving the Grushin Operator
本文研究了一类半线性退化椭圆型方程$$ -Δ_γ u + a(z)u = f(u) ~~ \mbox{in} ~~ \mathbb{R}^{N}, $$非平凡解的存在性，其中$Δ_γ$称为{ \it Grushin算子}，$z:=(x,y)\in\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}^{k}$和$m+k=N\geq 3$，$f$和$a$是满足某些技术条件的连续函数.为了克服涉及这类算子的一些困难，我们证明了一些紧性结果，这些结果在我们的主要结果的证明中至关重要。对于$a=1$，我们给出了Berestycki-Lions型结果。
Asymptotic behaviour for operators of Grushin type: invariant measure and singular perturbations
本文研究奇异扰动问题，其中快变量的动力学在整个空间中按照一个算子演化，该算子的无穷小生成元由一个Grushin型二阶部分和一个Ornstein-Uhlenbeck一阶部分构成.我们证明了快速变量的动力学承认一个不变测度和相关的遍历问题有一个黏性解，这也是经常性的，并在无穷大的对数增长。这些性质发挥了至关重要的作用，在主要定理，建立的值函数的起始扰动问题收敛到一个有效的问题，其运营商和初始数据的解决方案，在相关的不变测度。
Hardy and Rellich identities and inequalities for Baouendi-Grushin operators via spherical vector fields
本研究针对Baouendi-Grushin向量场，结合Bessel对抽象恒等式、球谐函数与构造的球面向量场，证明了带最优常数和显式余项的Hardy、Rellich类恒等式与不等式，推导了新的不确定性原理与对称化原理。
Weighted restriction type estimates for grushin operators and application to spectral multipliers and bochner-riesz summability
我们证明了Grushin算子的加权限制型估计。这些估计，然后证明尖锐的谱乘子定理，以及Bochner-Riesz求和结果与尖锐的指数。
Liouville Theorem for Lane Emden Equation of Baouendi Grushin operators
本文证明了对 Baouendi Grushin 算子的 Lane Emden 方程，当 p 小于 Joseph-Lundgren 指数且不同于 Sobolev 指数时，紧集外稳定的解只有零解，扩展了 Farina 的结果。
Null controllability of Grushin-type operators in dimension two
研究了在矩形$Ω=(-1,1)\times(0,1)$上的Grushin型算子$A=\partial_x^2+|x|^{2γ}\partial_y^2\,, (γ>0),$所对应的抛物型方程在条形$ω=(a,b)\times(0,1)\,, (0<a,b<1)$支持的可加控制下的零能控性.我们证明了方程在任何正时间内对$γ<1$是零能控的，而对$γ>1$则不是零能控的.在过渡制度$γ=1$，我们表明，这两种行为生活在一起：一个积极的最小时间是零可控性所需的。我们的方法是基于这样一个事实，由于特定的几何配置，零可控性是等价的傅立叶分量的伴随系统的解决方案一致的频率的可观测性。
On Sobolev spaces for the Grushin operator
该研究针对Grushin算子定义带/不带漂移项的Sobolev空间，明确其范数等价性、嵌入与代数性质，证明Riesz变换在这些空间上有界。
Pohozaev identities and Kelvin transformation of semilinear Grushin equation
该文研究半线性Grushin方程的Pohozaev恒等式与Kelvin变换，建立了平移、缩放生成的Pohozaev恒等式并用于解的集中点定位、非平凡解不存在性证明，还推导了Kelvin变换下Grushin算子的变化及临界方程解的无穷远衰减率。
Bilinear Bochner-Riesz Means for Grushin Operators
本文研究 Grushin 算子关联的双线性 Bochner-Riesz 平均的 $L^{p_1}\ imes L^{p_2}\ o L^p$ 有界性，证明其阈值基本对应欧氏情形，但以底空间拓扑维数替代欧氏维数。
On the classification of solutions to a weighted elliptic system involving the Grushin operator
本文研究了下列加权退化椭圆型方程组\begin{align*} -Δ_{s} u = \Big(1+\|\mathbf{x}\|^{2(s+1)}\Big)^{\fracα{2(s+1)}} v^p, \quad -Δ_{s} v = \Big(1+\|\mathbf{x}\|^{2(s+1)}\Big)^{\fracα{2(s+1)}}u^θ, \quad u,v>0\quad\mbox{in }\; \mathbb{R}^N:=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}. \end{align*}其中$Δ_{s}=Δ_{x}+|x|^{2s}Δ_{y},$是Grushin算子，$s \geq 0,$ $α\geq 0$和$1<p\leqθ.$这里$$\|\mathbf{x}\|=\Big(|x|^{2(s+1)}+|y|^2\Big)^{\frac{1}{2(s+1)}}, \;\mbox{and}\;\; \mathbf{x}:=(x, y)\in \mathbb{R}^N:=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}.$$特别地，我们建立了关于该方程组稳定解的几个新的Liouville型定理，这些定理恢复和改进了已知的结果\cite{cow, Hfh, HU, Fa, DP} .因此，我们得到了加权Gr…
Local Behavior of Fractional Equations in Grushin-type Spaces
本文在Grushin型空间中建立了由非局部退化算子驱动的非线性方程的De Giorgi-Nash-Moser理论，证明了弱解的有界性和Hölder连续性，并给出了分数阶Caccioppoli型估计和对数型界。
On a class of Nonlinear Grushin equations
本文研究了两类包含Grushin算子的非线性退化椭圆方程，通过移动平面方法和积分不等式证明了解的径向对称性与衰减率，并利用吹胀分析和拓扑度方法得到更一般类型方程正解的存在性。
On solutions to a class of degenerate equations with the Grushin operator
本文研究了带有 Grushin 算子的退化椭圆方程的弱解，利用 Almgren 型单调性公式确定了解在退化点上的精确渐近爆破轮廓，并由此推导出解的强唯一延拓性质。
Liouville type theorems for stable solutions of elliptic system involving the Grushin operator
本文研究退化椭圆方程组$$-Δ_{s} u = v^p, \quad -Δ_{s} v= u^θ, \quad u,v>0 \quad\mbox{in }\; \mathbb{R}^N=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}, \quad\mbox{where }\;\;\;\; s \geq 0\;\; \mbox{and} \;\;p,θ>0.$$，证明了在$p,θ>0$和$N_s< 2 + α+ β,$条件下，该方程组不存在光滑稳定解，其中$$α= \frac{2(p+1)}{pθ- 1} \quad\mbox{and} \quad β= \frac{2(θ+1)}{pθ- 1}.$$是\cite{ MY}中某些结果的推广.特别地，我们建立了$u$和$v$的一个新的积分估计（见命题1.1），这对于处理$0 < p < 1.$的情形是至关重要的
A spectral condition for the control of eigenfunctions of Baouendi-Grushin type operators
本文针对圆柱或环面上的 Baouendi-Grushin 算子，借助变量分离与 Albert-Uhlenbeck 理论，证明谱重数条件可保证特征函数集中不等式，且该条件对次椭圆算子一般成立。
On Besov and Triebel-Lizorkin spaces associated with the Grushin operator
本文针对Grushin算子（含或不含漂移）定义经典与非经典Besov和Triebel-Lizorkin空间，建立其多种刻画，并研究复插值、嵌入性质及分数阶Leibniz法则。
Weighted Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities related to Grushin type operators
考虑$\mathbb{R}^{d}_x \times \mathbb{R}^{k}_y$上的Grushin型算子，其形式为\begin{equation*} G_μ=\overset{d}{\underset{i=1}{\sum}}\partial_{x_i}^2+\left(\overset{d}{\underset{i=1}{\sum}}x_i^2\right)^{2μ}\overset{k}{\underset{j=1}{\sum}}\partial_{y_j}^2. \end{equation*}，得到了与$G_μ$有关的加权Hardy-Sobolev型不等式和加权Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式.
A note on nonlinear critical problems involving the Grushin Subelliptic Operator: bifurcation and multiplicity results
本文研究有界区域上带Grushin次椭圆算子的非线性临界边值问题，证明了其多重性与分岔结果，推广了Cerami、Fortunato、Struwe及Fiscella、Molica Bisci、Servadei等人的工作。
Control of the Grushin equation: non-rectangular control region and minimal time
本文研究Grushin方程的内部零能控性。我们确定了一类非矩形控制区域的最小能控时间。我们建立了积极的结果感谢虚拟控制方法和负的解释相关的可观测性不等式作为一个$L^2$估计复多项式。
Bifurcation and multiplicity results for critical problems involving the $p$-Grushin operator
本文推广了涉及退化非线性算子 $\Delta_\gamma^p$ 的临界问题的分支与多重性结果至一般 $p>1$，利用基于伪指标的新抽象临界点定理，并提供了集中紧性原理的版本。
Inverse coefficient problem for Grushin-type parabolic operators
Imanuvilov和Yamamoto在1998年提出的基于Carleman估计的一致抛物型方程的Lipschitz稳定性方法，似乎很难应用于本文所研究的Grushin型算子的情形.事实上，这样的估计仍然缺少抛物算子退化的内部空间域。然而，我们能够证明Lipschitz稳定性结果的反系数问题，这样的运营商，在任意空间维度的局部分布的测量。为此，我们遵循的策略，结合傅立叶分解和Carleman不等式的某些热方程的非光滑系数（解决的傅立叶模式）。
Bifurcation and multiplicity results for critical Grushin-Choquard problems
本文研究了涉及Grushin算子的非局部Brézis-Nirenberg型临界Choquard问题，证明了在Dirichlet边界条件下，从任一特征值λ*的分支存在性，并展示了在λ*左侧邻域内非平凡解的数目至少为λ*的多重性的两倍。
Riesz transforms associated with the Grushin operator with drift
本文研究了具有漂移的Grushin算子的Riesz变换，探讨了其在强型(p,p)和弱型(1,1)下的有界性。
On the semilinear heat equation with the Grushin operator
本文研究Grushin算子的热方程，给出热核表达式并证明其衰减性与恒等逼近性质，进而估计热半群，并证明非线性Cauchy问题温和解的存在唯一性、连续依赖及爆破替代，还给出全局存在性结果。
Sparse bounds for pseudo-multipliers associated to Grushin operators, I
本文利用稀疏算子的逐点控制方法，证明了满足Hörmander条件的Grushin伪乘子的尖锐定量加权$L^p$估计。
Carleman estimates for higher step Grushin operators
本文针对在子流形上退化的高阶Grushin算子，利用Gegenbauer多项式加法公式推导加权$L^p-L^q$估计以建立Carleman型不等式，并由此证明了Schrödinger算子在退化点处的强唯一延拓性质。
Local and global solvability of the Grushin heat equation with mixed nonlinear memory and reaction terms
本文研究含Grushin算子和混合非线性记忆反应项的热方程，建立局部适定性，并利用比较原理给出依赖非线性强度的全局存在充分条件，揭示记忆项对全局可解性的影响。
On local dispersive and Strichartz estimates for the Grushin operator
本文针对 Grushin 算子，利用适当定义域上的核建立局部色散估计，进而获得局部 Strichartz 估计，并通过缩放 Hermite-Fourier 变换的限制定理推导出各向异性 Strichartz 估计。
Probabilistic local well-posedness for the Schrödinger equation posed for the Grushin Laplacian
研究了随机初值下与Grushin算子相关的非线性薛定谔方程的局部适定性.据我们所知，没有适定性结果是已知的索伯列夫空间$H^k$时，$k \leq \frac{3}{2}$。在这篇文章中，我们证明了存在一个大的家庭的初始数据，使得在$H^k$，$k \in (1,\frac{3}{2}]$，几乎肯定的地方适定性持有适当的随机化。证明依赖于双线性和三线性估计。
Sparse bounds for pseudo-multipliers associated to Grushin operators, II
本文作为前期研究的延续，建立了对应多种符号类的Grushin伪乘子的逐点稀疏控制结果，并由此推导出这些伪乘子的定量加权估计。
On some operator-valued Fourier pseudo-multipliers associated to Grushin operators
本文延续先前对Grushin伪乘子稀疏控制和定量加权估计的研究，进一步将分析扩展到与Grushin算子相关的一族算子值Fourier伪乘子的类似估计。
A sharp multiplier theorem for Grushin operators in arbitrary dimensions
在A. Martini和A. Sikora（arXiv：1204.1159），在$d_1 \geq d_2$的情形下，得到了Grushin算子作用于$R^{d_1} \times R^{d_2}$的尖锐L^p谱乘子定理.在这里，我们通过证明$d_1 < d_2$情形中的尖锐结果来完成这幅图画。我们的方法利用了L^2加权估计，其“额外权重”仅取决于$R^{d_1} \times R^{d_2}$的第二个因子（与上述工作相反，其中“额外权重”取决于第一个因子），并给出了一个新的统一证明，不受维数的限制。
Weighted spectral cluster bounds and a sharp multiplier theorem for ultraspherical Grushin operators
本文研究d维球面上在k维球面处奇异的Grushin型退化椭圆算子，通过建立加权谱簇界和超球多项式精确估计，证明了在2k≤d时最优的Mihlin-Hörmander型谱乘子定理及Bochner-Riesz可求和性结果。
Multiple solutions for Grushin operator without odd nonlinearity
我们分别讨论了非齐次和齐次方程\begin{eqnarray*} (P_g)\quad - Δ_λ u + V(x) u = f(x,u)+g(x),\;\mbox{ in } \R^N,\; \end{eqnarray*}和\begin{eqnarray*} (P_0)\quad - Δ_λ u + V(x) u = K(x)f(x,u),\;\mbox{ in } \R^N,\; \end{eqnarray*}的解的存在性和多解性，其中$Δ_λ$是强退化算子，$V(x)$允许变号，$K\in C(\R^N,\R)$，$g:\R^N\to\R$是扰动，非线性项$f(x,u)$是不满足Ambrosetti-Rabinowitz超二次条件的连续函数（简称$(AR)$）.首先，利用山路引理和Ekeland变分原理，当$f$满足超线性增长条件时，得到了$(P_g)$两个不同解的存在性.此外，我们证明了存在无穷多个解的$(P_0)$，如果$f$是奇数$u$感谢克拉克定理附近的起源。因此，我们的主要结果大大改善了文献中出现的结果。
Nonexistence of global solutions to the Grushin heat equation with nonlocal and local nonlinearities
本文研究Grushin热方程带非局部和局部非线性项的全局解不存在性，通过测试函数方法得到尖锐结果并确定Fujita型临界指数。
Strong unique continuation property for fourth order Baouendi-Grushin type subelliptic operators with strongly singular potential
本文针对具有强奇异势的四阶 Baouendi-Grushin 型次椭圆方程，通过引入 Almgren 型频率函数并证明其单调性，结合带边界项的 Hardy-Rellich 型不等式，建立了强唯一延拓性。
Uniform heat kernel asymptotics for the Grushin operator
采用 \cite{li2021carnotcaratheodory, LZ2025} 中的方法，研究 Grushin 算子 $Δ_G = Δ_x + |x|^2 Δ_u$ 在 $\mathbb{R}_x^n imes \mathbb{R}_u^{n'}$ 上热核的无穷远渐近行为，并建立其空间导数的尖锐界，同时给出热核的精确估计和小时间渐近行为。
Bochner-Riesz commutators for Grushin Operators
本文研究 Grushin 算子相关的 Bochner-Riesz 交换子的有界性与紧性，给出了 BMO 和 CMO 函数条件下的 L^q 有界性及紧性结果。
Sharp Riesz and reverse Riesz inequalities for degenerate elliptic operators of Grushin type
研究Grushin型退化椭圆算子的Riesz变换\(L^p\)有界性及反向Riesz不等式，通过显式构造泊松核、格林核及调和湮灭方法，证明其在不同退化情形下的有界性，阐明相关现象机制并得出精确不等式。
Quantitative unique continuation property for fourth-order Baouendi-Grushin type subelliptic operators with a potential
本文研究了四阶Baouendi-Grushin型亚椭圆算子带势函数的定量化唯一延续性质，通过建立频率函数的单调性公式，得出了相关解的唯一延续结果。
Mountain Pass Solutions for an entire semipositone problem involving the Grushin Subelliptic Operator
针对 Grushin 次椭圆算子驱动的半正问题，在参数 a 的不同范围内，证明了 D_γ(R^N) 中正山路解的存在性。
Existence and regularity for an entire Grushin-Choquard equation
研究Grushin算子下的Choquard方程，证明在合适参数范围内存在山峰解，并建立解在L^q和Hölder连续中的正则性，同时推导出非存在性结果。
On $L^2$-boundedness of pseudo-multipliers associated to the Grushin operator
本文利用谱分解定义与 Grushin 算子联合泛函演算相关的伪微分算子类似物，并研究其 Calderón--Vaillancourt 型定理。
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