On the Diophantine equation F_{n}-F_{m}=2^{a}
本文对非负整数m、n和a中的丢番图方程进行了全面求解。为了证明我们的结果，我们使用下界的线性型在图和一个版本的Baker-Davenport减少方法在丢番图逼近。
2017-12-29 math.NT
On the Exponential Diophantine Equation $(a^2-2)(b^2-2)=x^2$
本文考虑方程$(a^n-2^{m})(b^n-2^{m})=x^2$。在假定abc猜想成立的条件下，Luca和Walsh在[8]中给出了一个定理，即当a和b是不同的固定正整数时，上述方程只有2个解$n,x$。当$m=1$和$(a,b)=(2,10),(4,100),(10,58),(3,45)$。此外，我们证明了$(a^2-2)(b^2-2)=x^2$没有解n，x，如果2| n和gcd $(a,b)=1$。我们还提出了一个猜想，即方程$(2^2-2)((2P_k)^n-2)=x^2$只有解$(n,x)=(2,Q_k)$，其中$k>3$是奇数，$P_k,Q_k$分别是Pell和Pell Lucas数.我们还猜想，如果方程$(a^2-2)(b^2-2)=x^2$有解$n,x$，则$n<7$，其中$2<a<b$ .
2018-01-15 math.NT
Infinite families of solutions for $A^3 + B^3 = C^3 + D^3$ and $A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4 = F^4$
本文基于拉马努金的恒等式，为两个丢番图方程构造了无穷多个解族，推广了欧拉方程的解集。
2023-09-01 math.NT
An implementation of Runge's method for Diophantine equations
本文给出了求解满足Runge条件的丢番图方程的Runge方法的一个实现。在这个实现中，我们避免使用Puiironx系列和代数系数。
2005-12-17 math.NT
On a diophantine equation of M. J. Karama
对每一个正整数$n$，构造了丢番图方程$x^n - y^n = z^{n+1}$的无穷多个正整数解.
2017-02-08 math.NT
Quantitative indicators of the solutions of Diophantine equations and systems in the domain of the natural numbers
本文证明了丢番图方程或自然数组解的渐近密度为0。给出了在自然数域上的一阶、二阶和高阶二元代数方程、非代数丢番图方程和丢番图方程组的解的k元组$<x_1,...x_k>$的个数、密度和概率的估计.本文用几何方法证明了二元、三元或多元二阶丢番图方程正整数解的个数估计。证明了在自然数域上高阶代数丢番图方程的解的个数的一个论断。给出了丢番图方程和方程组在自然数域上定量解的渐近性态估计。
2014-11-18 math.NT
Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation
我们首先回忆一下这种联系，回到A。因此，代数数的有理逼近与某些丢番图方程的整数解之间存在着联系。其次，我们回顾几个有限性结果之间的等价性各种丢番图方程。我们也给出了许多等价的声明马勒的推广的基本定理的图厄。特别是，我们表明，度$3$的Thue-马勒定理意味着定理的Thue-马勒任意度$\ge3$，我们与西格尔定理的合理的积分点的投影线$¶^1(K)$减去$3$点。最后，我们将我们的研究扩展到高维空间与施密特的子空间定理。
2013-12-27 math.NT
A new diophantine equation involving fifth powers
本文给出了迄今未解的丢番图方程$(x_1^5+x_2^5)(x_3^5+x_4^5)=(y_1^5+y_2^5)(y_3^5+y_4^5)$的参数解。此外，我们表明，使用椭圆曲线，存在无穷多个参数解的上述丢番图方程，它们可以有效地计算。
2021-04-13 math.NT
On a Kind of Nonlinear Diophantine Equation
本文给出了线性丢番图方程a1 x1 + a2 x2 +.+ anxn=d .本文讨论了非线性丢番图方程的解|A X| =+-d，推广了线性方程，并给出了其可解性的一个充要条件.我们展示了如何线性方程可以被认为是一个特殊的情况下的非线性方程。
2016-07-07 math.NT
Integer conversions and estimation of the number of integer solutions of algebraic Diophantine equations
讨论了次数为$n \geq 2$且变量个数为$k > 2$的代数丢番图-图对角方程和显式变量方程在系数为反号时的整数解的个数.在将代数丢番图方程转化为对角形式的情况下，发现了保持代数丢番图方程整数解个数渐近性态的整数转化.本文研究了几类非对角型代数丢番图方程的整数解的个数估计。
2017-01-31 math.NT
On the Diophantine equations f (x) = g(y)
丢番图方程整数解的有限性或无穷性的研究一直被认为是文献中的标准问题。本文对Z[x]-幺半群中的f（x）和q1，…，qm的条件下，研究了丢番图方程（y + q1）（y + q2）…（y + qm）= f（x）有n个整数解。在ABC猜想的假设下，研究了丢番图方程f（x）= g（y）整数解有限的条件.
2019-02-11 math.NT
Note on the diophantine equation X^t+Y^t=BZ^t
本文得到了丢番图方程X^t+Y^t=BZ^t对有理数B和素数t的整数解X，Y，Z的新结果，验证了文中所解释的一些条件.
2010-03-16 math.NT
On the Diophantine Equation $p^x + p^y = z^{2n}$
在早期的论文中，Tatong和Suvarnamani探讨了丢番图方程$p^x + p^y = z^2$对于素数$p$。在那篇论文中，他们找到了$p=2, 3$方程的一些解。在本文中，我们看看这个方程的一般版本，并完全解决它。
2017-09-06 math.NT
A diophantine equation for sums of consecutive like powers
证明了丢番图方程$n^\ell+(n+1)^\ell + ...+ (n+k)^\ell=(n+k+1)^\ell+ ...+ (n+2k)^\ell$对所有的$\ell \ge 3$在正整数$k,n \ge 1$中无解.
2015-03-02 math.NT
About the Diophantine Equation $x^{4}-q^{4}=py^{r}$
本文证明了关于丢番图方程$x^{4}-q^{4}=py^{r}$的整数解的一个定理，推广了K.Gy \H理论，F.Luca和A.Togbe以及作者的工作.
2009-07-06 math.NT
Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue-Nagell equation
我们完全求解了勒贝格-纳格尔方程x^2+D=y^n，其中x、y、n>2为整数，D在1 =< D =< 100范围内。
2004-05-12 math.NT
On solutions of the Diophantine equation $\mathcal{P}_m-L_n=c$
\noindent在这篇文章中，我们确定所有的整数$c$至少有两个表示之间的差异两个线性递归序列。这是皮莱方程的一个变体。这个方程是一个指数丢番图方程。我们的主要定理的证明使用了线性型的下界，连分数的性质，以及丢番图逼近中的Baker-Davenport约化方法。
2022-08-11 math.NT
On the Diophantine equation $f(x)=2f(y)$
设$f(x)=x^{2}(x^{2}-1)(x^{2}-2)(x^{2}-3).$我们证明了丢番图方程$ f(x)=2f(y)$除了$(x, y)=(1, 1)$之外，在正整数$x$和$y$中没有解.
2018-11-04 math.NT
Diophantine equations in two variables
这是一个简短的演讲的主题的标题发表在公园-IAS数学研究所在普林斯顿（2000年7月）。
2002-10-21 math.NT
On the Diophantine equation cy^l=(x^p-1)/(x-1)
设p，c是不同的奇素数，l \ge 2是整数.我们找到了丢番图方程cy^l=（x^p-1）/（x-1）无整数解的充分条件
2012-06-03 math.NT
The modular approach to Diophantine equations over totally real fields
本文综述了将Wiles证明Fermat大定理的模方法推广至全实数域上丢番图方程时所面临的新障碍，并调查了该领域现有的方法与结果。
2024-01-06 math.NT
A Hasse-type principle for exponential diophantine equations and its applications
本文提出了一个关于指数型丢番图方程的Hasse型原理的猜想，类似于Skolem猜想.我们证明，在某种意义上的原则是有效的“几乎所有”的方程。在此基础上，提出了求解指数型丢番图方程的一般方法。利用推广的Erdés，Pomerance和Schmutz关于Carmichael的$λ$功能的结果，我们可以使我们的搜索系统的方法中所需的某些模。
2014-07-24 math.NT
A quartic diophantine equation inspired by Brahmagupta's identity
本文给出了四次丢番图方程$(x_1^4+x_2^4)(y_1^4+y_2^4)=z_1^4+z_2^4$的几种参数解。我们还展示了如何无限多参数解这个方程可以通过使用椭圆曲线。
2020-10-16 math.NT
On the Exponential Diophantine Equation $(F_{m+1}^{(k)})^x-(F_{m-1}^{(k)})^x = F_n^{(k)}$
本文利用代数中线性型的下界和连分数的性质，明确地求出了标题为丢番图方程的所有解。此外，我们在丢番图逼近中使用了一个版本的Baker-Davenport约化方法，这是由于Dujella和Pethö。本文推广了\cite{Patel}以前的工作。
2022-05-26 math.NT
An equivalent condition for the Markov triples and the Diophantine equation $a^2+b^2+c^2=abcf(a,b,c)$
本文提出了H.基本上是拉德马赫。作为应用，我们研究了丢番图方程$a^2+b^2+c^2=abcf(a,b,c)$的可解性。
2020-08-03 math.NT
Functional composition of polynomials: indecomposability, Diophantine equations and lacunary polynomials
本文从Ritt的经典定理出发，综述了多项式泛函分解的结果及其在丢番图方程中的应用。这包括多项式不可分解的充分条件、缺项多项式分解的研究和f（x）= g（y）型方程的有限性准则。
2015-03-18 math.NT
Estimating of the number of integer (natural) solutions of inhomogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
利用Hardy和Littlewood的圆方法，研究了无自由元的非齐次代数丢番图对角型方程的整数（自然）解个数的上界.本文给出了显式变元非齐次代数丢番图对角方程自然解个数的上界。他在论文中开发了一种方法，该方法允许您对具有整数系数的代数丢番图方程的自然（整数）解的数量进行低估计。作者用这种方法得到了几类任意变量的非齐次代数丢番图对角方程（包括图厄方程）的整数（自然）解个数的下估计.
2016-08-12 math.NT
A Mean Value Theorem for the Diophantine Equation $axy-x-y=n$
本文证明了丢番图方程$axy-x-y=n$的平均解数的一个渐近公式，其中$a$是固定的，而$n$是变化的.
2011-08-14 math.NT
On the Diophantine Equation X2+19M=YN
本文考虑方程x^2+19^{m}=y^n，n>2，m>0.我们不仅找到了2 \mid m的解，而且找到了2 \notdividesm的解.
2012-02-01 math.NT
On the Diophantine equation in the form that a sum of cubes equals a sum of quintics
我们证明了某些$5th$幂的和可以写成某些三次数的和
2017-03-30 math.NT
An exponential Diophantine equation related to the difference between powers of two consecutive Balancing numbers
本文给出了指数型丢番图方程$B_{n+1}^x-B_n^x=B_m$在正整数变量$(m, n, x)$中的所有解，其中$B_k$是Balancing序列的第$k$项.
2018-11-02 math.NT
The Diophantine Equation x^{2}+11^{m}=y^{n}
本文给出了丢番图方程x^2+11^m=y^n;在m>1且n ≥ 3的情况下，关于正整数x，y的所有解的一个新的证明.
2011-12-27 math.NT
A Note on the Quartic Diophantine Equation $A^4+hB^4=C^4+hD^4$
丢番图方程$A^4+hB^4=C^4+hD^4$的整数解对于$h < 1000$的所有正整数值都是已知的。虽然对于$h$的任意正整数值的上述丢番图方程的解是未知的，但Gerardin和Piezas发现了当$h$分别由5次和2次多项式给出时该方程的解。本文给出了当$h$由$2,\;3$和4次多项式给出时该方程的几种新解。
2016-08-19 math.NT
Converting of algebraic Diophantine equations to a diagonal form with the help of an integer non-orthogonal transformation, maintaining the asymptotic behavior of the number of its integer solutions
本文证明了任何二阶齐次代数丢番图方程都可以通过一个整数非正交变换转化为对角形式，并保持其整数解个数的渐近性态。本文研究了一类更广泛的二阶代数丢番图方程的对角化问题，并讨论了高阶代数丢番图方程的对角化条件.给出了变量数大于2的奇数次对角Thue方程整数解个数的渐近估计，并给出了其它类型对角代数丢番图方程整数解个数的渐近估计.
2017-08-04 math.NT
A Survey on the Ternary Purely Exponential Diophantine Equation $a^x + b^y = c^z$
设$a$，$b$，$c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文研究了三元纯指数丢番图方程$a^x + b^y = c^z$的正整数解$(x,y,z)$的一些未解决的问题及相关工作。
2018-11-09 math.NT
On an infinite number of solutions to the Diophantine equation $ x^{n}+y^{p}=z^{q}$ over the square integer matrices
本文利用Cayley-Hamilton定理的某些推广来寻找一类满足非线性丢番图方程$ x^{n}+y^{p}=z^{q}$的整数元矩阵，其中$n,p$和$q$是任意的正整数.
2018-08-29 math.NT
On the Diophantine equation $pq=x^2+ny^2$
令$n$为正整数。讨论了不整除$n$的奇素数对$p$和$q$，使得丢番图方程$pq=x^2+ny^2$在$x$和$y$中有整数解.作为它的例子，我们分类所有这样的对$p$和$q$时，$n=5$和$14$。
2014-04-17 math.NT
A p-adic look at the Diophantine equation x^{2}+11^{2k}=y^{n}
我们求出了丢番图方程x^{2}+11 ^2k} = y^{n}的所有解，其中x>=1，y>=1，n>=3，k为自然数.我们给出了这个方程的p-adic解释。
2011-12-27 math.NT
Estimating of the number of natural solutions of homogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
与Hardy和Littlewood（CM）的圆方法不同，本文提出了一种方法，它可以对整系数代数丢番图方程的自然（整数）解的个数进行较低的估计。利用该方法得到了任意变量数的整系数对角型齐次代数丢番图方程自然解个数的下估计.利用CM方法得到了一类齐次丢番图方程的自然解个数的上界，其中$k \geq \log_2 s$为方程的次数，$s$为变量个数.还得到了整数系数的齐次代数丢番图方程的自然解个数的上界。研究了整系数对角型齐次丢番图方程自然解个数的上下估计之间的关系。
2016-04-27 math.NT
Random diophantine equations of additive type
使用圆方法结合格点计数参数，我们证明了几乎所有的齐次丢番图方程的加法型和次数$k$在多个$4k$变量，局部-整体原理成立。此外，我们的方法表明，几乎所有这样的方程有一个非平凡的整数解有一个非常小的这样的解决方案，界接近最好的可能。
2010-04-30 math.NT
A Note on Quartic Diophantine equation $X^4-Y^4=R^2-S^2$
本文研究四次丢番图方程 $X^4-Y^4=R^2-S^2$，主要贡献是构造并证明了该方程具有无穷多个整数解。
2024-02-23 math.NT
Integral solutions of certain Diophantine equation in quadratic fields
设$K= \mathbf{Q}(\sqrt{d})$是二次域，$\mathcal{O}_{K}$是它的整数环.研究了丢番图方程$r + s + t = rst = 2$在$\mathcal{O}_{K}$中的可解性.证明了除$d= -7, -1, 17$和$101$外，该系统在其它二次域的整数环中不可解。
2022-05-29 math.NT
On the Diophantine equation $f(x)f(y)=f(z)^n$ involving Laurent polynomials
利用椭圆曲线理论研究了丢番图方程$f(x)f(y)=f(z)^n$的非平凡有理参数解，其中$n=1,2$和$f(X)$是简单的Laurent多项式.
2018-02-04 math.NT
On the Diophantine equations $z^2=f(x)^2 \pm g(y)^2$ concerning Laurent polynomials
利用椭圆曲线理论，研究了丢番图方程$z^2=f(x)^2 \pm g(y)^2$的非平凡有理参数解和有理解，其中涉及到简单的Laurent多项式$f$和$g$ .
2017-06-08 math.NT
On the Diophantine equation X^{2N} + 2^{2 alpha} 5^{2 beta} p^{2 gamma} = Z^5
证明了对任意奇素数p，正整数α，非负整数β和γ，丢番图方程X^{2 N} + 2^{2 alpha} 5^{2 beta} p^{2 gamma} = Z ^5，当X，Z，N在Z^+中，N > 1且gcd（X，Z）= 1时，无解.
2014-09-08 math.NT
Generalized fruit Diophantine equation and super elliptic curves
SRM University AP（SRM大学安得拉邦分校）
本文研究特定超椭圆曲线上的有理点，通过广义水果丢番图方程探讨其解的存在性与结构。
2026-05-31 math.NT
On the Non-negative Integer Solutions to Diophantine Equations $F_n - F_m = 7^a$ and $F_n - F_m = 13^a$
本文研究了方程$F_n-F_m=p^a$的解，其中$p$是$7$或$13$，以及$n>m\geqslant 0$，$a\geqslant 2$ .我们证实了Erduvan和Keskin的猜想，证明了这个丢番图方程没有解。我们将使用的线性形式的下界在矩阵（贝克的理论）和一个版本的贝克-达文波特约化方法丢番图近似。
2023-02-14 math.NT
Solving Quadratic and Cubic Diophantine Equations using 2-adic Valuation Trees
对于固定整数$D \geq 0$和$c \geq 3$，我们演示了如何使用序列的$2$ -adic赋值树来分析$x^2+D=2^cy$和$x^3+D=2^cy$形式的丢番图方程，对于$y$奇数。此外，我们显示什么值$D \in \mathbb{Z}^+$，数字$x^3+D$将产生无限的估值树，导致无限的解决方案，上述丢番图方程。
2021-05-07 math.NT
On the Diophantine equations $z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$ involving Laurent polynomials
利用椭圆曲线理论，研究了丢番图方程$z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$的非平凡有理参数解和有理解，其中$z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$是简单的Laurent多项式。
2018-02-04 math.NT
On the divisibility of class numbers of quadratic fields and the solvability of Diophantine equations
本文给出了丢番图方程$x^2+D=y^n$不可解的判别准则。然后，该结果用于确定二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$的类数。我们还确定了二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$的类数整除的一些准则，并利用这个结果讨论了丢番图方程$x^2+D=y^n$的可解性.
2017-10-26 math.NT
An Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations II
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文通过分析三元纯指数丢番图方程$a^x+b^y=c^z$解的间隙法则，证明了若$\max\{a,b,c\}\geq 10^{62}$，则方程至多有两个正整数解$(x,y,z)$ .
2018-08-19 math.NT
Equal values of certain partition functions via Diophantine equations
令$A\subset \N_{+}$和by $P_{A}(n)$表示整数$n$从集合$A$分割成部分的数目。本文证明了$P_{A}(x)=P_{B}(y)$形式的丢番图方程整数解的存在性的几个结果，其中$A, B$是某些有限集.
2021-09-24 math.NT
Diophantine approximation and the equation (a^2 c x^k - 1)(b^2 c y^k - 1) = (abc z^k - 1)^2
证明了丢番图方程（a^2 cx ^k - 1）（b^2 cy ^k-1）=（abcz ^k -1）^2在正整数中无解，其中x，y，z > 1，k \geq 7，a^2 x ^k \neq b^2 y ^k.
2014-11-07 math.NT
An exponential Diophantine equation related to the difference of powers of two Fibonacci numbers
本文证明了不存在x>=4使得两个连续斐波那契数的x次幂之差大于0是Lucas数.
2020-02-10 math.NT
