On the Diophantine equation $f(x)f(y)=f(z)^n$ involving Laurent polynomials
Yong Zhang
利用椭圆曲线理论研究了丢番图方程$f(x)f(y)=f(z)^n$的非平凡有理参数解，其中$n=1,2$和$f(X)$是简单的Laurent多项式.
By the theory of elliptic curves, we investigate the nontrivial rational parametric solutions of the Diophantine equation $f(x)f(y)=f(z)^n$, where $n=1,2$ and $f(X)$ are some simple Laurent polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Diophantine equations $z^2=f(x)^2 \pm g(y)^2$ concerning Laurent polynomials
利用椭圆曲线理论，研究了丢番图方程$z^2=f(x)^2 \pm g(y)^2$的非平凡有理参数解和有理解，其中涉及到简单的Laurent多项式$f$和$g$ .
On the Diophantine equations $z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$ involving Laurent polynomials
利用椭圆曲线理论，研究了丢番图方程$z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$的非平凡有理参数解和有理解，其中$z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$是简单的Laurent多项式。
On Diophantine exponents for Laurent series over a finite field
本文研究了有限域上洛朗级数的丢番图指数$w_n$和$w_n^{*}$的性质。证明了对整数$n\geq 1$和有理数$w>2n-1$，存在严格递增的正整数序列$(k_j)_{j\geq 1}$和代数洛朗级数$(ξ_j)_{j\geq 1}$序列，使得对任意$j\geq 1$都有deg $ξ_j=p^{k_j}+1$和\begin{equation} w_1(ξ_j)=w_1 ^{*}(ξ_j)=\ldots =w_n(ξ_j)=w_n ^{*}(ξ_j)=w \end{equation}.对于每个$n\geq 2$，我们给出了明确的例子，洛朗级数$ξ$的$w_n(ξ)$和$w_n^{*}(ξ)$是不同的。
Diophantine non-integrability of a third order recurrence with the Laurent property
考虑一类单参数三阶非线性递推关系族。这个族的每个成员都满足奇点限制检验，具有守恒量，并且具有Laurent性质：所有的迭代都是Laurent多项式。然而，我们发现，这些递归不是丢番图可积的定义提出的Halburd。对于一个特殊的初始数据的选择，迭代的高度的渐近增长的显式界。作为我们分析的一个副产品，无穷多个解决方案被发现为某个家庭的丢番图方程，研究莫德尔，其中包括马尔可夫方程。
Optimality of two inequalities for exponents of Diophantine approximation
研究了Bugeaud和Laurent的两个不等式，每个不等式都涉及与$\ux\in\mathbb{R}^n$相关的丢番图逼近的经典指数的三重数.我们提供了一个完整的描述，承认适合$\ux$，这是相当令人惊讶的平等的参数三元组。对于$n=2$，我们的结果与Laurent的结果一致.此外，我们还建立了所涉及的$\ux$的Hausdorff维数和packing维数的下界，在特殊情况下，我们可以证明它们是尖锐的。证明是基于参数数的几何中的变分原理，我们附上了相关的组合图（模板）的草图，其中等式是可行的。我们的结构的扭曲提供了各自的指数三元组的联合频谱上的细化信息。
Markov and Lagrange Spectra for Laurent series in 1/T with rational coefficients
形式洛朗级数的领域是实数的自然模拟，数学家们一直在将关于有理逼近的著名结果翻译到该设置。在有理数幂级数的框架下，定义并研究了与无理数的丢番图逼近有关的Lagrange谱和与不定二元二次型表示有关的Markov谱.我们计算这两个光谱明确，并表明，他们一致，并没有表现出差距，相反，发生在现实。
The approach of cluster symmetry to Diophantine equations
本文通过聚类对称性方法，提出了一种求解特定丢番图方程的新框架，并解决了多个相关数学问题。
Diophantine Equations Involving the Euler Totient Function
我们处理各种丢番图方程涉及欧拉函数和各种序列的数字，包括因子，权力，和斐波那契序列。
Report on some recent advances in Diophantine approximation
丢番图逼近的一个基本问题是对单个实数的有理逼近的研究，这是本文讨论的第一个问题。其次，我们考虑代数或多项式逼近到一个单一的复数，以及同时逼近的权力，一个实数的有理数与相同的分母。最后，我们研究概括这些问题，以更高的维度。B. Adamczewski，Y. Bugeaud，S. Fischler，M. Laurent，T. Rivoal，D.罗伊和W.M.施密特，还有其他人。我们回顾其中的一些作品。
A new diophantine equation involving fifth powers
本文给出了迄今未解的丢番图方程$(x_1^5+x_2^5)(x_3^5+x_4^5)=(y_1^5+y_2^5)(y_3^5+y_4^5)$的参数解。此外，我们表明，使用椭圆曲线，存在无穷多个参数解的上述丢番图方程，它们可以有效地计算。
On the Diophantine system involving pairs of triangles with the same area and the same perimeter
许多作者研究了等面积等周长的有理三角形对（三角形-三角形对）的问题。他们调查了这个问题，解决合理的解决方案，相应的丢番图方程。本文利用直角坐标系中的仿射变换对这一问题作了统一的描述。根据两个等面积、等周长的三角形确定一个仿射变换的事实，该问题可归结为求解一个特定的丢番图系统。此外，我们将给出一些合理的解决方案，这个丢番图系统。
General Solution of the Diophantine equation involving Mersenne Prime
该研究针对含梅森素数的指数丢番图方程$M_p^{x} + (M_q + 1)^{y}= (lz)^2$展开求解，给出了方程的解的相关示例与无解的情形，丰富了梅森素数相关丢番图方程的研究成果。
On Diophantine equations involving sums of Fibonacci numbers and powers of $2$
本文完全求解了丢番图方程$F_{n_1} + F_{n_2} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3}$和$ F_{m_1} + F_{m_2} + F_{m_3} =2^{t_1} + 2^{t_2} $，其中$F_k$表示第$k$个Fibonacci数.特别地，我们证明了$\max \{n_1, n_2, a_1, a_2, a_3 \}\leq 18$和$\max \{ m_1, m_2, m_3, t_1, t_2 \}\leq 16$ .
Positive Integer Solutions of Certain Diophantine Equations Involving Lucas-Balancing numbers
本文考虑$x^{2}-8C_{n}xy+ 16y^{2}=\pm2^{r}$，$x^{4}-8C_{n}x^{2}y+ 16y^{2}=\pm2^{r}$和$x^{2}-8C_{n}xy^{2}+ 16y^{4}=\pm2^{r}$形式的丢番图方程，研究其任意正整数解的存在性.此外，解决方案体现在平衡，佩尔和卢卡斯-佩尔数。
A symmetric diophantine equation involving biquadrates
本文研究了丢番图方程$\sum_{i=1}^na_ix_i^4= \sum_{i=1}^na_iy_i^4$，其中$n \geq 3$和$a_i,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,n$是任意整数.虽然最近已经给出了一种方法来获得这样的方程的数值解，它似乎是一个明确的参数，这个丢番图方程尚未公布。对于任意的$a_i$值和任意的正整数$n \geq 3$，我们得到了该方程的多参数解，并推导出当$n=3$和$n=4$ .这样得到的数值解比以前得到的这类方程的整数解小小于得多。
A note on Diophantine systems involving three symmetric polynomials
设$\bar{X}_{n}=(x_{1},\ldots,x_{n})$和$σ_{i}(\bar{X}_{n})=\sum x_{k_{1}}\ldots x_{k_{i}}$是$i$阶初等对称多项式.本文证明了存在无穷多个整数三元组$a, b, c$，使得对每个$1\leq i\leq n$，丢番图方程组\begin{equation*} σ_{i}(\bar{X}_{2n})=a, \quad σ_{2n-i}(\bar{X}_{2n})=b, \quad σ_{2n}(\bar{X}_{2n})=c \end{equation*}有无穷多个有理解.这一结果推广了Zhang和Cai以及作者的近期结果.此外，我们还考虑了一些涉及幂和的丢番图系统。特别是，我们证明，对于每个$k$至少有$k$ $n$ -元组的整数相同的总和$i$ -th权力$i=1,2,3$。对于$i=1,2,4$和$i=-1,1,2$证明了类似的结果。
On the Shorey-Tijdeman Diophantine equation involving terms of Lucas sequences
令$r\ge 1$为整数，${\bf U}:=\{U_n\}_{n\ge 0}$为$U_0=0,~U_1=1$给出的Lucas序列，$U_{n+2}=rU_{n+1}+U_n$为$n\ge 0$。本文介绍了如何求丢番图方程$AU_{n}+BU_{m}=CU_{n_1}+DU_{m_1}$的整数解$r\ge 1$，$0\le m<n,~0\le m_1<n_1$，$AU_n\ne CU_{n_1}$，其中$A,B,C,D$是给定的整数，$A\ne 0,~B\ne 0$，$m,n,m_1,n_1$是非负整数未知数，$r$也是未知数.
Diophantine equations involving Euler's totient function
本文研究了含有Euler函数$ϕ$和Lucas型序列的方程.特别地，我们证明了方程$ϕ(x^m-y^m)=x^n-y^n$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a+1, a, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a$是正整数，方程$ϕ((x^m-y^m)/(x-y))=(x^n-y^n)/(x-y)$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a, b, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a, b$是具有$a>b\ge 1$的整数.
On the Diophantine Equation Involving Elementary Symmetric Polynomials and the Decomposition of Unity
本文研究了初等对称多项式值相等的丢番图方程，证明了在特定条件下解的数量有限或趋于无穷。
Diophantine equations involving powers of factorials
本文受Alzer和Luca关于阶乘幂丢番图方程整数解工作的启发，研究了两类推广的阶乘幂方程，并证明了类似的整数解结论。
Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
On a Diophantine Equation Involving Lucas Numbers
本文研究了涉及卢卡斯数的丢番图方程，证明了在特定条件下该方程无解，采用了因式分解、数论引理和计算机辅助计算等方法。
On a Diophantine inequality involving a prime and an almost-prime
证明了当$r=3,$、$τ=\frac1{118}$和$λ_0$为任意实数时，$$ |λ_0+λ_1p+λ_2P_r|<p^{-τ}, $$有无穷多个解，且$λ_1,λ_2\in\BR$、$λ_2\neq0$和$0>\frac{λ_1}{λ_2}$不在$\mathbb{Q}$中.这改进了Harman的一个结果。此外，我们还证明了对于某个正整数$n$，可以要求素数$p$的形式为$\floor{n^c}$，即$p$是Piatetski-Shapiro素数，$r=13$和$τ=ρ(c),$是由$\left(1, 1+\frac1{149}\right].$中支持的$c$显式确定的常数
Some Diophantine equations involving arithmetic functions and Bhargava factorials
本文将 Luca 关于阶乘与 Euler 函数、除数和及除数计数函数的丢番图方程有限解结论，推广到多阶乘乘积和除数 k 次幂和函数，并扩展至 Bhargava 阶乘。
Diophantine equations involving Euler function
本文证明了方程$φ(|x^{m}-y^{m}|)=|x^{n}-y^{n}|$在整数$x,y,m,n$中没有非平凡解，除了解$xy\neq0, m>0, n>0$，其中$t$是整数，$t\geq 2.$。方程$φ(|\frac{x^{m}-y^{m}}{x-y}|)=|\frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}|$在整数$x,y,m,n$中没有非平凡解，除了解$(x,y,m,n)=(a\pm1, -a, 1, 2), (a\pm i, -a, 2, 1),$，其中$a$是整数，$i=1,2.$
Diophantine equations involving double factorials
受Alzer与Luca关于阶乘丢番图方程解的结果启发，本文研究双阶乘形式的同类丢番图方程及其变体的所有整数解，并证明在ABC猜想下一类含双阶乘的有理多项式方程仅有有限个整数解。
On some Diophantine systems involving symmetric polynomials
设$σ_{i}(x_{1},\ldots, x_{n})=\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{i}\leq n}x_{k_{1}}\ldots x_{k_{i}}$是第$i$个初等对称多项式.本文推广和推广了Zhang和Cai \cite{ZC,ZC2}最近工作中的结果。更精确地说，我们证明了，对于每个$n\geq 4$和有理数$a, b$与$ab\neq 0$，丢番图方程组\begin{equation*} σ_{1}(x_{1},\ldots, x_{n})=a, \quad σ_{n}(x_{1},\ldots, x_{n})=b, \end{equation*}有无穷多个解依赖于$n-3$自由参数。对于具有$n\geq 4$和$2\leq i< n$的系统\begin{equation*} σ_{i}(x_{1},\ldots, x_{n})=a, \quad σ_{n}(x_{1},\ldots, x_{n})=b, \end{equation*}证明了类似的结果。在这里，$a, b$是具有$b\neq 0$的有理数。我们也给出了关于一般系统的形式\begin{equation*} σ_{i}(x_{1},\ldots, x_{n})=a, \quad σ_{j}(x_{1},\ldots, x_{n})=b, \end{equation…
Laurent Polynomials and Superintegrable Maps
这篇文章是献给瓦季姆库兹涅佐夫的记忆，并开始与一些作者对他的回忆。此后，提供了一个简短的评论Somos序列，特别关注Somos-4递归的可积结构，并在Laurent属性。随后考虑了一族具有Laurent性质的四阶递归映射，它们等价于四维Poisson映射。其中有两个映射是超可积的，它们的迭代可消除某些相关的四次丢番图方程的无穷多个解。
A Diophantine inequality involving different powers of primes of the form $[n^c]$
研究在素数形式[n^c]下，不同幂的素数满足的丢番图不等式，证明存在无限多个素数三元组满足特定不等式条件。
On a binary Diophantine inequality involving primes of a special type
本文研究了涉及特殊类型素数的丢番图不等式可解性问题，证明了二元与四元情形下，满足对应素因子个数上界条件的素数解的存在性，给出了素因子数的具体上界公式。
Quadratic approximation in $\mathbb{F}_q ((T^{-1}))$
本文研究了有限域上洛朗级数的丢番图指数$w_n$和$w_n ^{*}$.特别地，我们处理的情况$n=2$，即二次逼近。首先证明了函数$w_2-w_2 ^{*}$的值域恰好是闭区间$[0,1]$。接下来，我们估计了具有低复杂度部分连续项的连分数的指数$w_2$的上界。
A Pair of Diophantine Equations Involving the Fibonacci Numbers
本文针对互素正整数对为斐波那契数平方、立方对的情形，推导了一类丢番图方程唯一非负整数解的显式公式，并构造了存在唯一正整数解的新方程对，得到相关斐波那契数恒等式。
Certain Diophantine equations and new parity results for $21$-regular partitions
对于正整数$t\geq 2$，令$b_{t}(n)$表示非负整数$n$的$t$ -正则分区的数量。在最近的一篇论文中，Keith和Zanello研究了$t\leq 28$时$b_{t}(n)$的奇偶性。他们发现了新的无限家庭拉马努金型同余模2 $b_{21}(n)$涉及每一个总理$p$与$p\equiv 13, 17, 19, 23 \pmod{24}$。本文研究了素数$p$与$p\equiv 1, 5, 7, 11 \pmod{24}$的$b_{21}(n)$的奇偶性.证明了包含奇素数$p$的$b_{21}(n)$的Ramanujan型模2同余的新的无限族，其中丢番图方程$8x^2+27y^2=jp$对某些$j\in\left\lbrace1,4,8\right\rbrace$有本原解，并且证明了这类素数的Dirichlet密度等于$1/6$ .最近，Yao在Newman结果的基础上给出了$b_{3}(n)$的模$2$同余的新的无穷族，并且这些同余涉及每一个素数$p\geq 5$.按照类似的方法，我们证明了新的无穷族的同余模$2$为$b_{21}(n)$，这些同余意味着，$b_{21}(n)$是奇数无限经常。
On some Diophantine and Ergodic properties of the Schneider map over function fields
该论文研究函数域上Schneider映射定义的连分数，证明其Laurent级数域元素的连分数展开存在唯一，确立相关丢番图逼近与遍历性质，确定最难逼近元素集的Hausdorff维数，为函数域数论与动力系统提供新结果。
On Diophantine equations involving intersection of Thabit and Williams numbers base $b$ and some ternary recurrent sequences
本文研究了 Padovan 数、Perrin 数和 Narayana's cows 数与基 $b$ 下 Thabit 数及 Williams 数相关的丢番图方程，确定了符合条件的数，并求出了 $2 \leq b \leq 10$ 范围内的所有解。
A New Diophantine Approximation Inequality on Surfaces and Its Applications
本文证明了曲面上闭子概形的丢番图逼近不等式，推广了Ru-Vojta和Heier-Levin的近期结果，并应用于仿射曲面上的整点退化、最大公因数不等式及S-单位方程，同时在复分析背景下建立了第二主定理型不等式。
Rational solutions of certain Diophantine equations involving norms
本文给出了由方程\begin{equation*} N_{K/k}(X_{1}+αX_{2}+α^2 X_{3})=f(t), \end{equation*}给出的代数簇$\cal{S}_{f}$的单合理性的一些结果，其中$k$是数域，$K=k(α)$，$α$是不可约多项式$h(x)=x^3+ax+b\in k[x]$的根，$f\in k[t]$ .我们主要对纯三次扩张的情况感兴趣，即$a=0$和$b\in k\setminus k^{3}$。证明了如果$\op{deg}f=4$和簇$\cal{S}_{f}$包含一个$k$ -有理点$(x_{0},y_{0},z_{0},t_{0})$，且点$f(t_{0})\neq 0$，则$\cal{S}_{f}$是$k$ -单有理的.一个类似的结果证明了一个广泛的家庭五次多项式$f$满足一些温和的条件（例如，这个家庭包含所有不可约多项式）。此外，对于任何6次多项式$f$，证明了$\cal{S}_{f}$（具有非平凡的$k$ -有理点）的单有理性，其中$f$不等价于满足条件$h(t)\neq h(ζ_{3}t)$的多项式$h$，其中$ζ_{3}$是本原三次单位根.对于多项式$h(x)=x^3+ax+b\in k[x]$的根生成的3次扩张，只要$f(t)=t^6+a_{4}t^4+a_{1}t+a_{0}\in k[t]$具有$a_{1}a_{4…
Diophantine Equation with Arithmetic functions and Binary recurrent sequences
本文主要研究含算术函数的二元递归数列的丢番图方程。研究了各种丢番图问题，得到了一些新的结果。首先，我们研究了两类非退化二元递归序列之间的交的几个问题，并尽可能地给出了这类交的最大成员的有效界。本文主要研究$φ(|au_n |)=|bv_m|,$形式的丢番图方程，其中$φ$是欧拉函数，$\{u_n\}_{n\geq 0}$和$\{v_m\}_{m\geq 0}$是两个非退化的二元递归序列，$a,b$是正整数.更确切地说，我们研究的问题涉及成员的经常性序列是代表数字，莱默数，其欧拉函数保持在同一序列。我们特别研究了当$\{u_n\}_{n\geq 0}$是Fibonacci序列$\{F_n\}_{n\geq 0}$、Lucas序列$\{L_n\}_{n\geq 0}$或Pell序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$及其伴随序列$\{Q_n\}_{n\geq 0}$时的情况。其次，我们研究了一些递归序列上的Lehmer猜想.回想一下，如果$φ(N)\mid N-1$，则复合数$N$被称为Lehmer。本文证明了Lucas序列$\{L_n\}_{n\geq 0}$和Pell序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$都不存在Lehmer数.本文使用的主要工具是代数数论中线性形式的下界、所谓的Baker-Davenport约化方法、连分式、素数理论的初等估计和筛法。
Diophantine inequalities of fractional degree
研究了分数阶$ θ,$对角丢番图不等式，其中$ θ>2$为实非整数.对于固定的非零实数$ λ_i $不都是相同的符号我们写\begin{equation*} \mathcal F (\textbf{x}) = λ_1 x_1^θ+ \cdots + λ_s x_s^θ. \end{equation*}对于固定的正实数$ τ$我们给出不等式$ | \mathcal F (\textbf{x}) | < τ$在边长为$P.$的盒子内的正整数解的个数的渐近公式此外，我们还研究了用上述形状的正定广义多项式表示大的正实数的问题。在我们的方法中的一个关键结果是一个本质上最优的平均值估计的指数和整数的分数幂。
On a Diophantine Equation with Jacobsthal and Fibonacci Numbers
研究含雅各布斯塔尔数和斐波那契数的丢番图方程，核心方法是对数线性形式技术，主要贡献是确定\(2<k<l<m\)时，丢番图方程\(F_kF_lF_m = J_n\)唯一解为\((k,l,m,n)=(5,7,8,12)\)。
Splitting transference inequalities with the help of Wolfgang Schmidt's parametric geometry of numbers
本文是我们上一篇论文arXiv：1105.1554的续篇，在这篇论文中，我们定义了两种类型的中间丢番图指数，将它们连接到Schmidt指数，并将Dyson的转移不等式分解为一系列中间指数的不等式。在这里，我们提出了一些其他的迁移不等式的分裂，涉及正则和一致丢番图指数。
An Ancient Diophantine Equation with applications to Numerical Curios and Geometric Series
本文研究丢番图方程$x^k-y^k=x-y$，其中$k$是正整数$\geq 2$，并考虑它的应用.虽然方程$x^k-y^k=x-y$在正有理数下的完全解在$k=2$或$3$时已经是已知的，但到目前为止，在$k=4$时仅发表了方程在正有理数下的一个数值解，并且在$k \geq 5$时不知道非平凡解。我们描述了当$k=4$ .我们使用正有理解的方程与$k=2,\, 3$或4产生的数值好奇，涉及平方根，立方根和四分之一根，作为这些解决方案的另一个应用，我们展示了如何构建的例子等比级数与一个有趣的性质。
Parity of 3-regular partition numbers and Diophantine equations
令$b_3(n)$为$3$的数目-$n$的常规分区。最近，W. J. Keith和F. Zanello发现了无穷族的Ramanujan型同余模$2$的$b_3(2n)$涉及每个素数$p$与$p \equiv 13, 17, 19, 23 \pmod {24}$，和O。X. M. Yao给出了涉及每个素数$p\geqslant 5$的$b_3(2n)$的模$2$的Ramanujan型同余的新的无穷族.本文引入了$b_3(2n)$的模$2$的无限Ramanujan型同余.它们自然地补充了Keith-Zanello和Yao的结果，并涉及$\mathcal P=\{p \text{ prime } : \exists \, j\in \{1,4,8\},\, x, y \in \mathbb Z,\, \gcd(x,y)=1 \text { with } x^2+216y^2=jp\}$中Dirichlet密度为$1/6$的素数。作为一个关键因素，在我们的证明中，我们表明，原始解决方案的$x^2+216y^2=pm$，$p \in \mathcal P$，$p\nmid m$和$pm\equiv 1\pmod{24}$的数量，是由$8$整除。这里，困难来自于$216$不是idoneal的事实。我们还给出了这个丢番图方程的解的个数的一个代数精确公式。在文章的第二部分，我们研究了欧拉型恒等式的…
On a problem of Pillai involving S-units and Lucas numbers
本文研究卢卡斯数与S-单位之差构成的指数丢番图方程，分别对c为正整数、负整数和零的情形分类讨论，并完整确定了使方程至少有三个解的所有整数c。
Elliptic logarithms, diophantine approximation and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
大多数，如果不是全部，无条件的结果对abc猜想最终依赖于经典贝克的方法。在这篇文章中，我们把我们的注意力转向它的椭圆模拟。利用椭圆Baker方法，我们最近得到了椭圆曲线上S-积分点高度的一个新的上界.这个界限依赖于与曲线的Mordell-Weil群有关的一些参数。我们推断在这里的约束依赖于猜想的伯奇和Swinnerton-Dyer，涉及经典的，更易于管理的数量。然后，我们研究的abc型不等式可以从这个椭圆的方法。
Solution of the Diophantine equation $x^2 + p^k=y^n$
本文旨在求解特定条件下的丢番图方程 $x^2 + p^k=y^n$，提出了一种基于素数分解和类数的新方法，有别于传统的同余数论证。
On products of disjoint blocks of arithmetic progressions and related equations
在本文中，我们处理的丢番图方程涉及产品的连续整数，启发问题的Erdens和格雷厄姆。
Diophantine approximation with perfect squares and the solvability of an inhomogeneous wave equation
一个特殊的一组周期的豪斯多夫维数的一个非齐次波动方程在n空间和一个时间维的形式解的收敛是有问题的，确定与条件的周期必须满足，以确保可解性的非齐次波动方程的光滑周期函数。为了得到这些信息，一个完整的度量理论的相关的完全非线性丢番图逼近问题，涉及完满平方建立。
Diophantus Equations and Partially Ordered Sets
文[1]证明了丢番图方程$(k!)^n+k^n=(n!)^k+n^k$只有平凡解$n=k$，而$(k!)^n-k^n=(n!)^k-n^k$只有解$n=k$，$(n, k)=(1, 2),$和$(2, 1)$ .在这篇文章中，我们找到丢番图方程$a_1!a_2!\cdots a_n! \pm a_1a_2 \cdots a_n = b_1!b_2! \cdots b_k! \pm b_1b_2 \cdots b_k$的所有解，其中$a_i$优化$b_i$。此外，我们找到了一个关于函数$f:N\to R^+$的充分条件，以保证$f$给出所有有限自然数序列的POSET上的单调函数。然后我们用它来求解其他含因子的丢番图方程，推广了[2]的结果。我们还探讨了类似的丢番图方程的斐波那契序列和其他序列的自然数给出的线性递归的形式$A_{n+2}=aA_{n+1}+bA_{n}$。
Deformation Quantization and Irrational Numbers
丢番图逼近是用有理数逼近实数的问题。我们提出了一个版本，其中的分子是近似相关的Laurent多项式的recruitors。我们的定义是由构造辛流形的严格变形量子化问题所激发的。我们表明，这种类型的近似存在于任何实数，也调查会发生什么，如果数量是合理的或二次无理。
Rational points close to non-singular algebraic curves
该研究聚焦于非奇异三元型对应的丢番图不等式解的密度问题，等价探讨接近非奇异平面代数曲线的有理点密度，为数论相关领域的有理点分布研究提供方向。
On the abc conjecture and diophantine approximation by rational points
本文证明了作者关于簇上有理点的丢番图逼近的一个猜想蕴含了Masser和Oestell'e的"abc图“。事实上，前一个猜想的弱形式是足够的，涉及一个额外的假设，即品种和除数承认一个忠实的群作用的某种类型。在特征为零的分裂函数域和全纯曲线（Nevanlinna理论）的情况下，证明了这个较弱猜想的类似物。后者的证明涉及到一个几何推广的经典引理的对数导数，由于麦克奎伦。这个引理可能是独立的利益。
Values of pairs involving one quadratic and one linear form at S-integral points
证明了满足一定算术几何条件的包含一个二次型和一个线性型的对偶（Q，L）的联立丢番图不等式的S-整解的存在性.证明使用强逼近代数群和拉特纳的拓扑刚性的幂单作用在齐性空间。
Undecidability on Diophantine equations over $\mathbb Z[i]$ with $20$ unknowns
本文证明含20个未知数的整系数多项式方程在Gauss整数环上的可解性不存在判定算法，将此前52个变量的不可判定性纪录改进至20个。
Revisiting the number of simple $K_4$-groups
本文通过求解包含单$K_4$ -群的丢番图方程，指出证明单$K_4$ -群的无穷大性是不容易的.这个问题远远超出了目前已知的迪克森猜想。
Solutions to a Pillai-type equation involving Tribonacci numbers and S-units
本文研究了涉及 Tribonacci 数与 S-单位 的指数 Diophantine 方程 $T_n-2^x3^y=c$，并证明了不存在具有至少六种此类表示形式的整数 $c$。
On Pillai's Problem involving Lucas sequences of the second kind
本文研究第二类Lucas序列与完全幂之差的Pillai型丢番图方程，证明在至少存在三个解时，解的大小和特征多项式系数均有上界。
Computing bounded solutions to linear Diophantine equations with the sum of divisors
本文提出了一种高效方法，用于计算线性丢番图方程的有界解，并应用于发现超完美数等领域的新型解。
S-unit equations in modules and linear-exponential Diophantine equations
本文研究洛朗多项式环上有限表示模中的S-单位方程，证明其解集在素数幂情形下有效p-正规，在一般情形下与线性指数丢番图方程组的可解性图灵等价，并给出至多两个素因子时的可判定性结果。
Integrals Involving Rudin-Shapiro Polynomials and Sketch of a Proof of Saffari's Conjecture
从2004年开始，我们继续Christophe Doche和Laurent Habsieger的开创性工作，开发了计算机代数算法，在Maple中实现，用于找到Rudin-Shapiro多项式的任何积的积分（特别是矩）的生成函数。我们产生了大量的输出，并再次证实了萨法里的猜想的渐近小（和不那么小）的权力。我们还证实，对于小的权力，一个相关的，更一般的，猜想，休蒙哥马利。最后，我们概述了证明萨法里的充分猜想，我们相信可以变成一个充分的证明。[In这个版本，我们报告说，布拉德罗杰斯已经独立地发现了一个（完整！）Saffari猜想的证明http：//arxiv.org/abs/1606.01637]。
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