Matching Book Embedding of the Cartesian Product of a Complete Graph and a Cycle
图$G$的$book$ $embedding$是将$G$的顶点放在书脊上，并将边绘制到页面上，以便同一页面中的边不会彼此交叉。如果页面具有最大程度的$1$，则图书嵌入为$matching$。$matching$ $book$ $thickness$是可以嵌入匹配图书的图形的最小页数。本文证明了完全图$K_p$与圈$C_q$的笛卡儿积$K_p\Box C_q$的匹配书厚等于$Δ(K_p\Box C_q)+1$ .
2020-02-02 math.CO
Hamiltonicity after reversing the directed edges at a vertex of a Cartesian product
令$\vec C_m$和$\vec C_n$是长度为$m$和$n$的有向圈，其中$m,n \ge 3$，并且令$P(\vec C_m \mathbin{\Box} \vec C_n)$是通过选择顶点$v$并反转与$v$关联的所有四条有向边的方向从笛卡儿积$\vec C_m \mathbin{\Box} \vec C_n$获得的有向图。(This操作称为在顶点$v$“推”。）本文应用S.X.Wu未发表的工作的一个特例，得到了$P(\vec C_m \mathbin{\Box} \vec C_n)$中存在Hamilton圈的初等数论充要条件.结果是，如果$P(\vec C_m \mathbin{\Box} \vec C_n)$是哈密顿的，则$\gcd(m,n) = 1$，这意味着$\vec C_m \mathbin{\Box} \vec C_n$不是哈密顿的。这一结论验证了J.B.Klerlein和E.C.Car的一个猜想。
2022-04-05 math.CO
Cartesian product graphs and $k$-tuple total domination
图$G$的$k$ -元组全控制集（$k$ TDS）是顶点的集合$S$，其中$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻; $k$ TDS的最小大小记为$γ_{\times k,t}(G)$ .本文给出了笛卡儿积图的一个类Vizing不等式，即当填充数为$γ_{\times k,t}(G) \leq 2kρ(G)$时，图的填充数为$γ_{\times k,t}(G) γ_{\times k,t}(H) \leq 2k γ_{\times k,t}(G \Box H)$.我们还给出了$γ_{\times k,t}(G \Box H)$的（开）包装数的界，并考虑了$γ_{\times k,t}(K_n \Box K_m)$的极值情况，即，Rook图，给出了$γ_{\times 2, t}(K_n \Box K_m)$的一个通式的构造性证明.
2016-10-04 math.CO
Mixed connectivity of Cartesian graph products and bundles
混合连通度是点连通度和边连通度的推广。一个图是$(p,0)$ -连通的，$p>0$，如果图在删除任何$p-1$顶点后仍然是连通的。一个图是$(p,q)$ -连通的，$p\geq 0$，$q>0$，如果它在删除任何$p$顶点和任何$q-1$边后仍然是连通的。笛卡尔图丛是覆盖图和笛卡尔图积的推广图。证明了如果图$F$是$(p_{F},q_{F})$ -连通的，而图$B$是$(p_{B},q_{B})$ -连通的，则基图$B$上带有纤维$F$的笛卡尔图丛$G$是$(p_{F}+p_{B},q_{F}+q_{B})$ -连通的.此外，如果是$q_{F},q_{B}>0$，则$G$也是$(p_{F}+p_{B}+1,q_{F}+q_{B}-1)$连接的。最后，设图$G_i, i=1,...,n,$是$(p_i,q_i)$ -连通的，$k$是具有$q_i>0$的图的个数。笛卡尔图积$G=G_1\Box G_2\Box ... \Box G_n$是$(\sum p_i,\sum q_i)$ -连通的，对于$ k\geq 1$，它也是$(\sum p_i+k-1,\sum q_i-k+1)$ -连通的.
2010-02-12 math.CO
Cartesian Product and Acyclic Edge Colouring
图$G$的非循环色指数，记为$a'(G)$，是指在图$G$的任意适当边着色中使用的最小颜色数，使得任意两个颜色类的并集不包含圈，即形成森林。我们证明了对于任意两个图$G$和$H$，使得$max\{a'(G), a'(H)\} > 1$，有$a'(G\Box H)\le a'(G) + a'(H)$。在此，$G \Box H$表示$G$和$H$的笛卡儿积。这推广了文[15]的一个结果，文[15]中对一类可表示为若干路和圈的笛卡儿积的格状图给出了$a'(G)$的紧的构造性界.
2015-08-06 math.CO
On minimum identifying codes in some Cartesian product graphs
图中的标识码是支配集，支配集还具有图中每个顶点的闭邻域与集合具有不同的交集的性质。图$G$中的标识码或ID码的最小基数称为$G$的ID码号，并表示为$\gid(G)$。本文给出了图的棱柱的ID码数的上、下界，即$G\Box K_2$。特别是，我们表明，$\gid(G \Box K_2) \ge \gid(G)$，我们表明，这个界限是尖锐的。给出了格图ID码数的上、下界和$\gid(G\Box K_2)$的一般上界。
2016-02-12 math.CO
Power domination in cubic graphs and Cartesian products
功率控制问题的重点是寻找相位测量单元（PMU）的最佳位置来监控电力网络。在图的上下文中，图$G$的幂控制数，表示为$γ_P(G)$，是根据特定的观察规则集观察图中每个顶点所需的最小顶点数。在\cite{ZKC_cubic}中，Zhao等人证明了：如果$G$是$n$阶的连通无爪三次图，则$γ_P(G) \leq n/4$ .本文证明了：如果$G$是$n$阶的无爪无钻石三次图，则有$γ_P(G) \le n/6$，并且这个界是尖锐的.我们还提供了新的界限$γ_P(G \Box H)$，其中$G\Box H$是图$G$和$H$的笛卡尔积。在$G$和$H$是幂控制数和控制数相等的树的特殊情况下，证明了类Vizing不等式成立和$γ_P(G \Box H) \ge γ_P(G)γ_P(H)$成立.
2022-09-08 math.CO
On total domination in the Cartesian product of graphs
Ho在[A note on the total dominance number，Util.Math. 77（2008）97- 100]中证明了任意两个没有孤立点的图的笛卡儿积的总控制数至少是它们的总控制数之积的一半。本文推广了Lu和Hou在[图与$K_2$或$C_n$的笛卡儿积的全控制，Util. Math.83（2010）313- 322]，通过表征图对$G$和$H$，其中$γ_t(G\Box H)=\frac{1}{2}γ_t(G) γ_t(H)\,$，无论何时$γ_t(H)=2$。此外，我们还得到了一类具有$γ_t(G_n)=2n$的图$G_n$，它们渐近地逼近$γ_t(G_n\Box G_n)\ge \frac{1}{2}γ_t(G_n)^2$中的等式.
2016-12-28 math.CO
First-Fit coloring of Cartesian product graphs and its defining sets
本文研究笛卡尔积图在准字典序下的 First-Fit 着色，引入 descent 给出颜色数相等的充分条件，并证明不同准字典序下贪心定义集一致，还给出其最小基数的上下界。
2016-06-17 math.CO
A Note on Integer Domination of Cartesian Product Graphs
给定一个图$G$，支配集$D$是一组顶点，使得$G$中的任何顶点在$D$中至少有一个邻居（或可能是它自己）。一个${k}$ -支配多重集$D_k$是一个顶点的多重集，使得$G$中的任何顶点在重数下都至少有来自$D_k$中闭邻域的$k$顶点。本文利用Clark和Suen（2000）提出的方法和二元矩阵的性质，证明了图$G,H$和笛卡儿积图$G \Box H$的最小${k}$ -支配多集的一个“Vizing式”不等式。具体地说，我们用$γ_{k}(G)$表示最小${k}$支配集的大小，证明了$γ_{k}(G) γ_{k}(H) \leq 2k γ_{k}(G \Box H)$ .
2012-09-09 math.CO
Hamiltonicity of Cartesian products of graphs
本文针对Kao和Weng提出的关于图笛卡尔积哈密顿性的猜想，证明了对任意最大度Δ≥3，存在含路径因子的Δ度图G，使得所有n<4Δ-2的偶数对应的G与Pₙ的笛卡尔积均非哈密顿图。
2024-08-13 math.CO
The stabilizing index and cyclic index of coalescence and Cartesian product of uniform hypergraphs
设$G$是连通一致超图，$\mathcal{A}(G)$是$G$的邻接张量. $G$的稳定化指数是与谱半径相关的$\mathcal{A}(G)$的特征向量的数目，并且$G$的循环指数是具有等于谱半径的模的$\mathcal{A}(G)$的特征值的数目。设$G_1 \odot G_2$和$G_1 \Box G_2$分别是连通的$m$ -一致超图$G_1$和$G_2$的合并和笛卡儿积.本文给出了$G_1 \odot G_2$和$G_1 \Box G_2$的稳定指数和循环指数的显式表达式，它们分别对应于$\mathbb{Z}_m$上的$G_1$和$G_2$的稳定指数和循环指数或它们的关联矩阵的不变因子.
2020-02-26 math.CO
Hamiltonicity of Cartesian products of trees with odd paths
University of Maribor, FME（马里博尔大学，FME）；IMFM（斯洛文尼亚数学与物理研究所）
研究树与奇数路径笛卡尔积的哈密顿性问题，通过构造最大度为\(4\)且有\(\{P_2,P_3\}\)-因子的树\(T\)，证明对于奇数\(n\)，\(T\Box P_n\)不是哈密顿图，反驳了Kao和Weng的猜想。
2026-07-13 math.CO
Outer Independent Roman Domination Number of Cartesian Product of Paths and Cycles
本文研究路径与圈的笛卡尔积的外独立罗马控制数，确定了部分参数下的精确值，并给出了n≥4、m≥4时的上界，丰富了图的罗马控制理论相关结果。
2024-10-09 math.CO
The generalized 3-connectivity of Cartesian product graphs
图的广义连通性是最近由Chartrand等人提出的，是顶点连通性概念的推广。设$S$是$G$的一个非空顶点集，$G$中的树的集合$\{T_1,T_2,...,T_r\}$称为连接$S$的内部不交树，如果对于任何一对不同的整数$i,j$，有$E(T_i)\cap E(T_j)=\emptyset$和$V(T_i)\cap V(T_j)=S$，其中$1\leq i,j\leq r$ .对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，$G$的$k$ -连通性$κ_k(G)$是最大正整数$r$，对于该最大正整数，$G$至少包含连接$S$的$S$的$k$顶点的任何集合的$S$的$r$内部不相交树。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的连通性。Sabidussi证明了对任意两个连通图$G$和$H$都有$κ(G\Box H) \geq κ(G)+κ(H)$.本文首先研究了图$G$和树$T$的笛卡儿积的3-连通性，证明了$(i)$如果$κ_3(G)=κ(G)\geq 1$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)$ ; $(ii)$如果$1\leq κ_3(G)< κ(G)$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)+1$ .此外，对于任何两个连通图$G$和$H$，如果$κ(G)>κ_3(G)$，则$κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)$ ;如果…
2011-05-03 math.CO
Graphs which satisfy a Vizing-like bound for power domination of Cartesian products
权力支配是一个两步的观察过程，用于监测电力网络，可以被视为支配和零强迫的组合。给定一个图$G$，一个子集$S\subseteq V(G)$，它可以观察到$G$的所有顶点使用这个过程被称为$G$的一个功率控制集，和$G$的功率控制数，$γ_P(G)$，是在一个功率控制集中的顶点的最小数目。我们在图的顶点上引入一种新的划分，从而给出了幂控制数的一个下界。我们还考虑了两个图的笛卡儿积$G \Box H$的幂控制数，并证明了某些图满足关于幂控制数的类Vizing界。特别地，我们证明了对于任意两棵树$T_1$和$T_2$，$γ_P(T_1)γ_P(T_2) \leq γ_P(T_1 \Box T_2)$ .
2022-09-08 math.CO
An upper bound for Cubicity in terms of Boxicity
轴平行的b维盒是笛卡尔积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_b$，其中每个$R_i$（对于$1 \leq i \leq b$）是实直线上形式为$[a_i,b_i]$的闭区间。任意图$G$的盒度，box（G）是使G可表示为轴平行b维盒的交图的最小正整数b。b维立方体是笛卡尔积$R_1 \times R_2\times ... \times R_b$，其中每个$R_i$（对于$1 \leq i \leq b$）是实直线上形式为[ $a_i$，$a_i$ +1]的闭区间。当盒子被限制为b维的平行轴立方体时，表示图所需的最小维数b称为图的立方度（用cub（G）表示）。本文证明了$cub(G)\leq \lceil \log n \rceil \boxi(G)$ }，其中n是图的顶点数。这个上界是紧的。
2006-05-17 math.CO
Strong subgraph 2-arc-connectivity and arc-strong connectivity of Cartesian product of digraphs
设$D=(V,A)$是一个阶为$n$的有向图，$S$是$V$的一个子集，其大小为$k$和$2\le k\leq n$ . $D$的一个强子图$H$称为$S$ -强子图，如果$S\subseteq V(H)$ .一对$S$ -强子图$D_1$和$D_2$称为弧不交的，如果$A(D_1)\cap A(D_2)=\emptyset$ .设$λ_S(D)$是$D$中弧不交$S$ -强子图的最大个数.定义强子图$k$ -弧连通度为$$λ_k(D)=\min\{λ_S(D)\mid S\subseteq V(D), |S|=k\}.$$。参数$λ_k(D)$可以看作是无向图的经典边连通度的推广。本文首先给出了两个有向图$G$和$H$的笛卡儿积$λ(G\Box H)$的弧连通度公式，推广了徐和杨（2006）给出的两个无向图的笛卡儿积的边连通度公式.研究了笛卡儿积$λ_2(G\Box H)$的强子图2-弧连通性，证明了$ \min\left \{ λ\left ( G \right ) \left | H \right | , λ\left ( H \right ) \left |G \right |,δ^{+ } \left ( G \right )+ δ^{+ } \left ( H \right ),δ^{- } \left ( G \right )+ δ^{- } \left ( H \r…
2022-04-04 cs.DM math.CO
Total $k$-domination in Cartesian product of complete graphs
设$G=(V,E)$是一个有限无向图. $V$中的顶点的集合$S$被称为全$k$ -支配的，如果$V$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻。全$k$ -控制数，$γ_{kt}(G)$，是$G$中全$k$ -控制集的最小基数.本文研究了两个完全图的笛卡儿积的$k$ -控制数，它是两个图的笛卡儿积的$k$ -控制数的一个下界.得到了两个完全图的笛卡儿积的$k$ -控制数的新的上下界.特别地，我们得到了阶至少为$n$的图$G,H$的$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\frac{γ_{kt}(G\Box H)}{n}\leq 2\,\left(\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil^{-1}+\left\lfloor\frac{k+4}{2}\right\rfloor^{-1}\right)^{-1}$.我们还证明了当且仅当$k$是偶数时，等式才成立。当$G,H$都同构于具有$n$顶点的完全图$K_n$时，等式成立。进一步，我们得到了两个任意阶的完全图的笛卡儿积的全$2$ -控制数的封闭公式.此外，我们还证明了对于$k=3$，上述不等式可改进为$\displaystyle\liminf_{n\to\infty} γ_{3t}(K_n\Box K_n)/n \leq 11/5$ .
2022-05-10 math.CO
On well-edge-dominated graphs
如果一个图的所有最小边控制集都是最小的，则称该图是良边控制图。已知每个良边支配图$G$也是等匹配的，这意味着$G$中的每个最大匹配是最大的。本文证明了：如果$G$是连通的、无三角形的、非二部的、良边控制的图，则$G$是三个图之一.我们还刻画了良边控制分裂图和笛卡儿积图。特别地，我们证明了连通笛卡儿积$G\Box H$是良边支配的，其中$G$和$H$的阶至少为$2$，当且仅当$G\Box H = K_2 \Box K_2$。
2021-10-14 math.CO
A Note on Total and Paired Domination of Cartesian Product Graphs
图$G$的控制集$D$是$V(G)$的子集，使得不在$D$中的任何顶点在$D$中至少有一个邻居。控制数$γ(G)$是$G$中最小控制集的大小。Vizing的猜想从1968年指出，对于图$G$和$H$的笛卡儿积，$γ(G) γ(H) \leq γ(G \Box H)$，以及Clark和Suen（2000）证明了$γ(G) γ(H) \leq 2γ(G \Box H)$。本文改进了Clark和Suen的方法，证明了与全控制和成对控制有关的一系列相似的上界，并将这些上界推广到图$A^1$到图$A^n$的$n$ -笛卡儿积.
2011-09-09 cs.DM math.CO
The palette index of the Cartesian product of paths, cycles and regular graphs
本文研究图笛卡尔积的调色板指数，针对因子图含路径或环的情形给出结果，并对含正则图或第1类近正则图的乘积建立精确值与界。
2025-01-11 math.CO
Sunlet factors for Cartesian products of cycles
本文研究二部环面网格图 $C_{2n} \Box C_{2n}$ 的 sunlet 因子分解，利用 sunlet 拷贝不交并的边双射同态，构造了 $s=1,n,n^2$ 时的分解。
2025-10-20 math.CO
Partitioning the vertex set of $G$ to make $G\,\Box\, H$ an efficient open domination graph
本文刻画了当 $H$ 为完全图（阶数≥3）或完全二部图时，笛卡尔积 $G\Box H$ 为高效开支配图的图 $G$，基于弱划分给出构造性刻画，并推广至 $H$ 为 4-圈或 5-圈的情形。
2016-06-01 math.CO
Graph Sensitivity of Cartesian Products with Matched Bridges
Anhui University of Finance & Economics（安徽财经大学）
该论文将 Huang 定理从超立方体推广到带匹配桥的二分图笛卡尔积，证明树积的灵敏度等于根号 k 的上取整，并确定路径积的灵敏度，解决偶数路径情形，同时给出超立方体 f_2 的精确值。
2026-10-08 math.CO
Boxicity and Cubicity of Product Graphs
图G的“盒度”（“立方度”）是使G可表示为$R^k$中平行轴矩形盒（平行轴单位立方体）的交图的最小自然数k。本文利用分支图的不变量给出了图的笛卡尔积、强积和直积的盒性和立方性的估计。特别是，我们研究的增长，作为一个功能的$d$，boxicity和立方的$d$ -th权力的一个图的三个产品。其中，我们给出了一个令人惊讶的结果：任意给定的有限图的$d$次笛卡尔方幂的盒度和立方度分别在$O(\log d / \log\log d)$和$θ(d / \log d)$中.另一方面，我们证明了一般图关于强积和直积的幂的盒性增长不存在任何次线性界。
2013-05-22 cs.DM math.CO
Arc-disjoint hamiltonian paths in Cartesian products of directed cycles
我们证明了，如果$C_1$和$C_2$是有向圈（长度至少为2），那么笛卡儿积$C_1 \Box C_2$有两条弧不相交的哈密顿路径。(This回答了JA提出的问题Gallian（1985年）同样的结论也适用于任何四个或更多个有向圈（长度至少为2）的笛卡儿积，但某些情况下对三个有向圈的笛卡儿积仍然开放。我们还讨论了（有限或无限）阿贝尔群上$2$生成的Cayley有向图中弧不交的Hamilton路的存在性.
2022-03-22 math.CO math.GR
Optimal radio labeling for the Cartesian product of square mesh networks and stars
本文将通信网络信道分配问题转化为图标号问题，通过构造笛卡尔积研究了方形网格网络与星图的拓扑结构，并获得了 $G=P(m,m)\Box K_{1,n}$（$m\geq 2$）最优无线电标号的 lower bound 和精确值。
2024-06-28 math.CO
A sufficient condition for a graph with boxicity at most its chromatic number
欧几里得$k$ -空间中的盒是实直线上$k$闭区间的笛卡儿积。图$G$的盒度，记为$\text{box}(G)$，是使$G$同构于欧氏$k$ -空间中盒族的交图的最小非负整数$k$.本文给出了图$G$为$\text{box}(G)\leq χ(G)$的一个充分条件，其中$χ(G)$表示图$G$的色数. Bhowmick和Reynran（2010）证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对没有星状三元组的图$G$成立。我们证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对一类特殊的具有星状三元组的循环图族中的图$G$成立。
2018-04-19 math.CO
Gallai's path decomposition conjecture for cartesian product of graphs (\uppercase\expandafter{\romannumeral 2})
本文证明了 Gallai 路径分解猜想对任意图与单圈图或双圈图的笛卡尔积成立，即连通图的路径数不超过顶点数的一半上取整。
2023-10-18 math.CO
Cubicity, Boxicity and Vertex Cover
一个$k$ -维盒是卡氏积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是实直线上的一个闭区间.图$G$的{ \it boxicity}表示为$box(G)$，是最小整数$k$，使得$G$是$k$维盒的集合的交集图。$k$维空间中的单位立方体或$k$ -立方体被定义为笛卡尔积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是$[a_i, a_{i}+1]$形式的实直线上的闭区间。$G$的{ \it cubicity}表示为$cub(G)$，是最小$k$，使得$G$是$k$ -立方体集合的交集图。本文证明了$G$的最小顶点覆盖的基数为$cub(G) \leq t + \left \lceil \log (n - t)\right\rceil - 1$，$box(G) \leq \left \lfloor\frac{t}{2}\right\rfloor + 1$为$box(G) \leq \left \lfloor\frac{t}{2}\right\rfloor + 1$，$n$为$G$的顶点数.我们还显示了这些上界的紧密性。F. S.罗伯茨在他关于盒性和立方性的开创性论文中证明了，对于一个图$G$，$box(G) \leq \left \lfloor\frac{n}{2} \right …
2007-12-17 math.CO
Boxicity of Halin Graphs
一个k维盒子是笛卡儿积R_1 x R_2 x.其中每个R_i是实直线上的一个闭区间。图G的盒度（box（G））是指G是k维盒集合的交图的最小整数k。Halin图是指取一棵没有2度顶点的树，然后将其叶子连接成一个圈，使得图有一个平面嵌入。证明了：若G是一个与K_4不同构的Halin图，则box（G）=2.事实上，我们证明了更强的结果：如果G是一个由任意树的叶子连接成一个简单圈的可平面图，则box（G）=2，除非G同构于K_4（此时它的盒度为1）。
2007-11-09 math.CO
Constructing edge-disjoint Steiner trees in Cartesian product networks
Xidian University（西安电子科技大学）；Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）；Qinghai Normal University（青海师范大学）；China Jiliang University（中国计量大学）；Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文针对笛卡尔积网络$G\Box H$，给出其广义$k$-边连通度$\lambda_k(G\Box H)$的精确上下界，丰富了边不相交斯坦纳树相关的网络连通性研究成果。
2026-08-24 math.CO
On L(2,1)-labelings of some products of oriented cycles
本文改进了Jiang，Shao和Vanguard关于两个有向圈的强积和Cartesian圈的$L(2,1)$ -标号数$λ$的两个结果.对于笛卡儿积，我们计算$m$，$n \geq 40$的$λ(\overrightarrow{C_m} \square \overrightarrow{C_n})$的精确值;在强积的情况下，我们或者计算精确值，或者为$m$，$n \geq 48$的$λ(\overrightarrow{C_m} \boxtimes \overrightarrow{C_n})$建立大小为1的间隙。
2020-07-01 math.CO
Gallai's path decomposition conjecture for Cartesian product of graphs
本文证明连通图的笛卡尔积满足Gallai路径分解猜想的上界，并给出三类图（树、路径与树的笛卡尔积、路径与偶图的笛卡尔积）达到精确值$p(G)=n_o(G)/2$的条件。
2023-10-17 math.CO
Fool's Solitaire on Joins and Cartesian Products of Graphs
Peg Solitaire是Beeler和Hoilman在连通图上推广的一个博弈。在游戏中，除了一个顶点之外，所有的顶点都被钉上。如果$xyz$形成一个3顶点路径，并且$x$和$y$都有一个peg，但$z$没有，那么我们可以删除$x$和$y$处的peg，并在$z$处放置一个peg。通过与原始游戏中的动作类比，这被称为跳跃。图上的挂钩纸牌游戏的目标是找到将图上的挂钩数量减少到1的跳跃。Beeler和Rodriguez提出了一个变体，当不能再进行跳跃时，我们希望最大化剩余的钉住数。在单个孔的所有初始位置上最大化，当没有跳跃剩余时，图$G$上剩余的最大钉数是傻瓜纸牌数$F(G)$。我们确定了任何图$G$和$H$的连接的傻瓜纸牌数。对于carbohydrate产品，我们确定$F(G \Box K_k)$时，$k \ge 3$和$G$是连接的，并显示为什么我们的论点失败时，$k=2$。最后给出了图$G$和$H$隐含$F(G \Box H) \ge F(G) F(H)$的条件.
2014-02-27 cs.DM math.CO
Adjunctions, Box Products, and Forcing Families
Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文通过建立图替换算子的伴随恒等式，证明了平衡膨胀、细分、笛卡尔积和强积的Sidorenko猜想及强制猜想，刻画了拟随机图。
2026-09-22 math.CO
Local boxicity
一个盒子是实区间的笛卡儿积，它们要么有界要么等于$\mathbb{R}$。如果至多$d$的区间是有界的，则称盒是$d$ -局部的。本文研究了最近引入的图$G$的局部盒性，它是使$G$可表示为某些维上$d$ -局部盒的交的最小$d$.证明了所有最大度$Δ$图都具有局部盒性$O(Δ)$，而几乎所有最大度$Δ$图都具有局部盒性$Ω(Δ)$，改进了已知的上界和下界.我们还给出了改进的边界上的局部boxicity的边缘数或属的函数。最后，我们通过色图理论的透镜研究了局部盒性。证明了局部盒度不大于2的图族是$χ$ -有界的，这意味着这类图的色数可以由其团数的函数有界.这扩展了经典的结果，图的盒度至多为2。
2021-11-19 math.CO
On dispersability of some products of cycles
本文证明了两个奇长圈图的笛卡儿积的匹配书厚为5，如果其中至少有一个圈的长度为3或5。
2021-08-26 math.CO
A note on Vizing's conjecture
设$γ(G)$表示图$G$的控制数.设$G$和$H$是图，$G\Box H$是它们的笛卡尔积。对于$h\in V(H)$，定义$G_h=\{(g,h)\,|\,g\in V(G)\}$，并将此集合称为$G\Box H$的$G$层。我们证明了以下Vizing猜想的特殊情况。设$D$是$G\Box H$的控制集.若存在$G$的最小控制集$D_1$和$D_2$，使得对于每个$h\in V(H)$，$D\cap G_h$到$G$的投影包含在$D_1$或$D_2$中，则有$|D|\geq γ(G)γ(H)$ .
2022-12-19 math.CO
List-Distinguishing Cartesian Products of Cliques
图$G$的区别数，记作$D(G)$，是使$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得每个非平凡同构交换不同颜色的顶点。图$G$上的列表分配$L$是一个函数，它为$G$的每个顶点分配一组颜色。$G$的$L$着色是其中每个顶点用来自$L(v)$的颜色着色的着色。表示为$D_{\ell}(G)$的$G$的列表区分数是最小$k$，使得将大小至少为$k$的列表分配给每个顶点的每个列表分配$L$允许区分$L$着色。本文证明了当和$n$足够大时，$K_n\Box K_m$的可区别数和列表可区别数对几乎所有的$m>n$都是一致的，否则至多相差1.作为我们的证明的一部分，我们给（据我们所知）的第一个应用程序的组合Nullstellenetrance的图形区分问题，也证明了一个不等式的二项分布，可能是独立的利益。
2017-07-06 math.CO
Cubicity of interval graphs and the claw number
设$G(V,E)$是一个简单的无向图，其中$V$是顶点集，$E$是边集。$b$维立方体是笛卡尔积$I_1\times I_2\times...\times I_b$，其中每个$I_i$是实数线上单位长度的闭区间. $G$的\emph{cubicity}，用$\cub(G)$表示，是最小正整数$b$，使得$G$中的顶点可以以这样的方式映射到轴平行的$b$维立方体，即当且仅当它们所分配的立方体相交时，两个顶点在$G$中相邻。假设$S(m)$表示$m+1$节点上的星图。定义图的\emph{claw number} $ψ(G)$为最大正整数$m$，使得$S(m)$是$G$的导出子图.可以很容易地证明任何图的立方度至少是$\ceil{\log_2ψ(G)}$。在本文中，我们证明了，对于一个区间图$G$ $\ceil{\log_2ψ(G)}\le\cub(G)\le\ceil{\log_2ψ(G)}+2$。到目前为止，我们无法找到任何区间图与$\cub(G)>\ceil{\log_2ψ(G)}$。我们还证明了，对于一个区间图$G$，$\cub(G)\le\ceil{\log_2α}$，其中$α$是$G$的独立数。因此，在$ψ(G)=α$的特殊情况下，$\cub(G)$就是$\ceil{\log_2α}$。立方体的概念可以通过考虑盒子而不是立方体来推广。$b$维盒是笛卡尔积$I_1\times …
2009-03-06 math.CO
Isolation number: Cartesian and lexicographic products and generalized Sierpiński graphs
本文研究隔离数在笛卡尔积、字典序积和广义谢尔宾斯基图等图运算下的行为，证明多个上下界，并得到超立方体棱柱及经典谢尔宾斯基图的精确隔离数值。
2025-08-22 math.CO
Optimal $L(d,1)$-labeling of certain direct graph bundles cycles over cycles and Cartesian graph bundles cycles over cycles
本文研究环上环构成的直积图丛与笛卡尔图丛的 $L(d,1)$-标号问题，证明其最优标号数满足 $λ^d_1(X)\leq 2d+2$，并在 $1\leq d\leq 4$ 时达到等号。
2024-09-02 math.CO
Boxicity of Circulant Graph $G_k^d$
图$G$的盒度，记为$box(G)$，是使$G$同构于欧氏$\ell$ -空间中盒族的交图的最小正整数$\ell$，其中欧氏$\ell$ -空间中的盒是实直线上$\ell$闭区间的笛卡尔积。设$k$和$d$是两个正整数，且具有$k\geq 2d$。循环图$G_k^d$是顶点集$V(G_k^d)=\{a_0, a_1,\ldots, a_{k-1}\}$和边集$E(G_k^d)=\{a_i a_j | \ d\leq |i-j|\leq k-d\}$的图。图$G$的色数记为$χ(G)$。在\cite{Aki}中，Akira Kamibeppu证明了$box(G_k^d)\leq χ(G_k^d)$对某些循环图类$G_k^d$成立，并提出了同样的结果对所有循环图成立的问题。在这篇短文中，我们证明了对于所有的$k$和具有$k\geq 2d$的$d$，$box(G_k^d)\leq χ(G_k^d)$。这包括所有循环图$G_k^d$。我们的证明非常简单和简短。这回答了上述问题。
2020-03-21 math.CO
On the Boxicity of Kneser Graphs and Complements of Line Graphs
轴平行$d$维盒是笛卡尔积$I_1\times I_2\times \dots \times I_b$，其中$I_i$是实直线的封闭子区间。对于图$G = (V,E)$，$boxicity \ of \ G$，记作$\text{box}(G)$，是最小维数$d$，使得$G$是$\mathbb R^d$中$d$维盒族$(B_v)_{v\in V}$的交图.令$k$和$n$是两个正整数，使得$n\geq 2k+1$。$Kneser \ graph$ $Kn(k,n)$是顶点集由大小为$k$的$\{1,2,\dots,n\}$的所有子集给出的图，其中两个顶点相邻，如果它们对应的$k$ -集不相交。在本文中，我们导出了$\text{box}(Kn(k,n))$的一般上界，以及在$n\ge 2k^3-2k^2+1$情况下的下界，该下界与$Θ(k^2)$的加性因子的上界相匹配。我们的第二个贡献是提供上界和下界的boxicity的补充线图的任何图$G$，并作为一个推论，我们得出，$\text{box}(Kn(2,n))\in \{n-3, n-2\}$的每一个$n\ge 5$。
2021-05-06 math.CO
Lower Bounds for Boxicity
轴平行$b$维盒是笛卡尔积$R_1\times R_2\times...\times R_b$，其中$R_i$是实数线上形式为$[a_i,b_i]$的闭区间。对于图$G$，它的\emph{boxicity} box（G）是$b$的最小维数，使得$G$可表示为$b$维空间中box的交图.虽然盒度在1969年被引入并得到了广泛的研究，但对于盒度的下界还没有显著的结果。在本文中，我们开发了两个一般的方法来推导下界。应用这些方法，我们得到了以下几个结果：（1）不含泛点且最小度$δ$的$n$顶点图的盒度至少为$n/2(n-δ-1)$。(2)考虑随机图的$\mathcal{G}(n,p)$模型。令$ p \le 1- \frac{40 \log n}{n^2}$。那么，对于$G \in \mathcal{G}(n,p)$，几乎肯定是$box(G)=Ω(np(1-p))$。在设置$p=1/2$时，我们立即推断出几乎所有的图都具有盒性$Ω(n)$。(3)$k$ -正则图盒度的谱下界。(4)随机$k$ -正则图在$n$顶点上（其中$k$是固定的）的盒度是$Ω(k/\log k)$ . (5)存在一个正常数$c$使得几乎所有在$2n$顶点上具有恰好$m$边的平衡二部图的盒度至少为$c m/n$，对于$ m\le c' n^2/3$，对于任何正常数$c' < 1$ .
2012-05-04 math.CO
Constructing Internally Disjoint Pendant Steiner Trees in Cartesian Product Networks
Hager在1985年提出了树连通性的概念。对于图$G=(V,E)$和至少两个顶点的集合$S\subseteq V(G)$，\emph{an $S$-Steiner tree}或\emph{a Steiner tree connecting $S$}（或简称\emph{an $S$-tree}）是$G$的这样的子图$T=(V',E')$，其是具有$S\subseteq V'$的树。对于$S$ -Steiner树，如果$S$中每个顶点的度都等于1，则此树称为\emph{pedant $S$-Steiner tree}。两个pedant $S$-Steiner树$T$和$T'$被称为\emph{internally disjoint}，如果$E(T)\cap E(T')=\varnothing$和$V(T)\cap V(T')=S$ .对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，\emph{local pedant tree-connectivity} $τ_G(S)$是$G$中内部不相交的$S$-Steiner树的最大数目.对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，\emph{pedant tree $k$-connectivity}定义为$τ_k(G)=\min\{τ_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$。本文证明了对任意…
2015-08-28 math.CO
The Turán number of the Cartesian product of trees via star-flip
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；ECOPRO, Institute for Basic Science（基础科学研究所 ECOPRO）；School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences（中国地质大学数理学院）
该研究证明了两棵非平凡树笛卡尔积的Turán数量级猜想，引入r-星翻转图类并推导其Turán数上界，还通过该框架给出Füredi定理的新证明。
2026-08-05 math.CO
The Brush Number of the Two-Dimensional Torus
在本文中，我们感兴趣的刷数的一个图-一个概念介绍了麦克尔和Messinger，Nowakowski和Pralat。本文的主要目的是确定二维环面的刷数。这回答了Bonato和Messinger的一个问题。我们还找到了带路团的笛卡儿积的刷数，它与Bonato和Messinger的盒清洗猜想有关。
2010-12-21 math.CO
Boxicity of Circular Arc Graphs
一个$k$ -维盒是卡氏积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是实直线上的一个闭区间.图$G$的{ \it boxicity}，记为$box(G)$，是最小整数$k$，使得$G$可以表示为$k$维盒集合的交集图：即两个顶点相邻当且仅当它们对应的盒相交。圆弧图是可以表示为圆上的弧的交图的图。设$G$是具有最大度$Δ$的圆弧图.证明了如果$Δ<\lfloor \frac{n(α-1)}{2α}\rfloor$，$α\in \mathbb{N}$，$α\geq 2$，则$box(G) \leq α$ .我们还演示了一个图与boxicity $> α$，但与$Δ=n\frac{(α-1)}{2α}+\frac{n}{2α(α+1)}+(α+2)$。因此，当$α$较大时，结果不能得到实质性改善。令$r_{inf}$是相对于$G$的某个圆弧表示通过圆上任何点的弧的最小数目。我们还证明了对任意圆弧图$G$，$box(G) \leq r_{inf} + 1$，这个界是紧的.给定圆上的弧族$F$，圆覆盖数$L(F)$是$F$的最小子集$F'$的基数，使得$F'$中的弧可以覆盖圆。最大圆形覆盖数$L_{max}(G)$定义为在所有可能的弧族$F$上获得的$L(F)$的最大值，所述弧族$F$可以表示$G$。我们将证明，如果$G$是一个圆弧图与$…
2008-12-04 math.CO
Fractional Helly theorem for Cartesian products of convex sets
该论文将 Eckhoff 关于轴对齐盒子的最优分数 Helly 定理推广到任意维度凸集的笛卡尔积，证明了一个最优定量界，并构造了极值例子，表明附加 (p,d+1)-条件对改善界无实质影响，且最优界是稳定的。
2021-08-30 math.CO
Transitive path decompositions of Cartesian products of complete graphs
The University of Notre Dame Australia（澳大利亚圣母大学）；The University of Western Australia（西澳大学）
本文研究完全图笛卡尔积 $K_n \Box K_n$ 的传递路径分解，当 $n$ 为奇素数时构造了路径长度相对于顶点数较大的分解，支持了 Gallai 猜想和 Ringel 猜想的扩展版本。
2024-09-05 math.CO math.GR
On the isolation numbers in graph products
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Furman University（弗曼大学）
本文在前期笛卡尔积、字典积隔离数研究基础上，研究四类图乘积的隔离数与$\boldsymbol{\textit{F}}$-隔离数，推导相关上下界并确定多族图乘积的精确值，扩展了笛卡尔积的对应研究结果。
2026-08-27 math.CO
