The generalized 3-connectivity of burnt pancake graphs and godan graphs
图$G$的广义$k$ -连通度，记作$κ_k(G)$，是对任何$S\subseteq V(G)$和$|S|=k$，内部边不相交的$S$ -树的最小数目.广义$k$ -连通性是经典连通性的自然推广，在现代互连网络的相关应用中起着重要作用。焦饼图$BP_n$和Godan图$EA_n$是两类Cayley图，它们具有许多令人满意的性质.本文研究了$BP_n$和$EA_n$的广义3-连通性.我们证明了$κ_3(BP_n)=n-1$和$κ_3(EA_n)=n-1$ .
2022-11-10 math.CO
Average connectivity of minimally 2-connected graphs and average edge-connectivity of minimally 2-edge-connected graphs
设$G$是一个阶为$n$的（多）图，$u,v$是$G$的顶点。$G$中内部不相交的$u$ - $v$路径的最大数目由$κ_G(u,v)$表示，并且$G$中边缘不相交的$u$ - $v$路径的最大数目由$λ_G (u,v)$表示。$G$的平均连通度由$\overlineκ(G)=\sum_{\{u,v\}\subseteq V(G)} κ_G(u,v)/\tbinom{n}{2},$定义，而$G$的平均边连通度由$\overlineλ(G)=\sum_{\{u,v\}\subseteq V(G)} λ_G(u,v)/\tbinom{n}{2}$定义。一个图$G$称为理想连通的，如果对$G$的所有顶点对$\{u,v\}$，都有$κ_G(u,v)=\min\{\mathrm{deg}(u),\mathrm{deg}(v)\}$.本文证明了每一个平均连通度最大的$n$阶极小$2$ -连通图都是二部图，其度为$2$的顶点集和度至少为$3$的顶点集都是二部图.我们利用这个结构证明了对于任何极小$2$ -连通图$G$，都有$\overlineκ(G)<\tfrac{9}{4}$.这个界是渐近紧的，我们证明了每一个极图的顺序$n$是从一些理想连通的几乎正则图的粗略$n/4$顶点和$3n/4$边细分的每一个边缘。我们还证明了对任何极小$2$ -边连通图$G$，都有$\overlineλ(G)<\tf…
2018-10-23 math.CO
On the generalized (edge-)connectivity of graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$是由Chartrand等人在1984年提出的.引入广义$k$ -边缘连通性$λ_k(G)$的概念是很自然的。对于一般的$k$，得到了完全图的广义$k$ -边连通度。对于$k\geq 3$，给出了$κ_k(G)$和$λ_k(G)$的紧上界和下界，即对于$n$阶连通图$G$，给出了$1\leq κ_k(G)\leq n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$和$1\leq λ_k(G)\leq n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$ .阶$n$的图，使得分别表征$κ_k(G)=n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$和$λ_k(G)=n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$。Nordhaus-Gaddum型结果也得到了广义$k$ -连通性。对于$k=3$，我们研究了图的边连通度与广义3-边连通度之间的关系。利用图$G$的边连通度$λ$，得到了图$G$的$λ_3(G)$的上、下界，即$\frac{3λ-2}{4}\leq λ_3(G)\leq λ$，并给出了两个图类，证明了上、下界是紧的.从这些界出发，我们得到了当$G$是连通平面图时的$λ(G)-1\leq λ_3(G)\leq λ(G)$，以及图与线图的广义3-连通度与广义3-边连通度之间的关系。
2013-05-14 math.CO
The generalized 3-connectivity of the folded hypercube $FQ_n$
图$G$的广义$k$ -连通度记为$κ_k(G)$，是传统连通度的推广.众所周知，广义$k$ -连通度是衡量互连网络容错性和可靠性的重要指标。$n$维折叠超立方体$FQ_n$是由$n$维超立方体$Q_n$通过在具有互补地址的任何一对顶点之间添加一条边而获得的。本文证明了$κ_3(FQ_n)=n$ for $n\ge 2$，即对于$FQ_n$中的任意三个顶点，存在连接它们的$n$内部不交树.
2021-04-23 math.CO
The minimal size of graphs with given pendant-tree connectivity
图$G$的悬挂树$k$ -连通度$τ_k(G)$的概念是由Hager在1985年提出的，它是经典顶点连通度的推广。设$f(n,k,\ell)$是$n$阶图$G$的最小边数，其中有$τ_k(G)=\ell \ (1\leq \ell\leq n-k)$ .本文给出了参数$f(n,k,\ell)$的一些精确值或精确界。
2016-04-23 math.CO
The generalized 3-connectivity of Lexicographic product graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$，由Chartrand等人引入，是（顶点）连通性概念的自然和良好的推广。本文证明了对任意两个连通图$G$和$H$，$κ_3(G\circ H)\geq κ_3(G)|V(H)|$ .给出了$κ_3(G\Box H)$和$κ_3(G\circ H)$的上界.此外，所有的边界都是尖锐的。
2013-08-12 math.CO
On the relation between connectivity, independence and generalized caterpillars
生成广义毛毛虫是指所有度大于2的顶点都在一条路上的生成树.本文讨论了生成广义毛毛虫的存在性与图的独立性和连通数之间的关系.本文还指出了L。Gargano等人在离散数学（2004）中的一个定理，并找出了另一个定理与生成广义毛虫的存在性之间的关系。
2013-02-20 math.CO
The generalized 4-connectivity of godan graphs
本文研究作为Cayley图的godan图$EA_n$的广义4-连通度，证明了当$n\ge 3$时其广义4-连通度$κ_4(EA_n)=n-1$，为互联网络相关应用提供了图论参数支撑。
2024-08-18 math.CO
The Minimal (Edge) Connectivity of Some Graphs of Finite Groups
本文分类了所有有限群G，使得其交换图、阶和图、非逆图为最小边连通或最小连通图，还分类了部分群的互质图为最小边连通图，以及所有互质图为最小连通图的有限群G。
2024-11-28 math.CO
The generalized 3-connectivity of random graphs
图$G$的广义连通度是由Chartrand等人提出的，设$S$是$G$的一个非空顶点集，$κ(S)$定义为$G$中连接$S$的最大内部不交树数$T_1, T_2, \cdots, T_k$.则对于具有$2 \leq r \leq n$的整数$r$，$G$的{ \it广义$r$ -连通性} $κ_r(G)$是$S$在$G$的顶点集的所有$r$ -子集上运行的最小$κ(S)$。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的顶点连通度，因此广义连通度是顶点连通度的自然推广。类似地，令$λ(S)$表示连接$G$中的$S$的成对边不相交树$T_1, T_2, \ldots, T_k$的最大数目$k$。然后定义$G$的{ \it广义$r$ -边连通度} $λ_r(G)$为$S$遍历$G$顶点集的所有$r$ -子集的最小$λ(S)$。很明显，是$λ_2(G) = λ(G)$。本文研究了随机图的广义3-连通度，证明了对任意固定整数$k\geq 1$，$$p=\frac{\log n+(k+1)\log \log n -\log \log \log n}{n}$$是$κ_3(G(n, p)) \geq k$性质的一个锐阈值函数，它可以看作是Bollobás和Pastason关于点连通度的结果的对应.此外，我们还得到了$δ(G(n,p)) - 1 = λ(G(n,p)) - 1 = κ(G(n,p)) -…
2013-03-21 math.CO
The generalized $4$-connectivity of bubble-sort graphs
对于具有$|S|\ge 2$的$S\subseteq V(G)$，令$κ_G (S)$表示连接$G$中的$S$的内部不相交树的最大数量。对于$2\le k\le n$，定义$n$ -点连通图$G$的广义$k$ -连通度$κ_k(G)$为$κ_k(G)=\min \{κ_G(S): S\in V(G) \mbox{ and } |S|=k\}$ .广义$k$ -连通度可以用来度量互连网络的容错性. $n\ge 2$的冒泡排序图$B_n$是$[n]$上的对称置换群上的Cayley图，该对称置换群由集合$\{[1,2],[2,3],\dots, [n-1,n]\}$的转置生成。在本文中，我们证明了泡沫排序图$B_n$与$n\ge 3$，$κ_4(B_n)=n-2$。
2023-03-24 math.CO
Generalized Connectivity of Star Graphs
本文证明了：对于任意整数$n$和$k$，若有$0\leqslant k \leqslant n-2$，则必须从一个$n$维星图中去掉至少$(k+1)!(n-k-1)$点或边，使其不连通且没有度小于$k$的点.这一结果肯定地回答了Wan和Zhang提出的猜想[应用数学快报，22（2009），264-267].
2013-01-28 math.CO
The generalized connectivity of $(n,k)$-bubble-sort graphs
令$S\subseteq V(G)$和$κ_{G}(S)$表示$G$中边不相交树$T_1, T_2, \cdots, T_r$的最大数目$r$，使得对于任何$i, j \in \{1, 2, \cdots, r\}$和$i\neq j$，$V(T_i)\bigcap V(T_{j})=S$。对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，图$G$的{ \em广义$k$ -连通度}定义为$κ_{k}(G)= min\{κ_{G}(S)|S\subseteq V(G)$和$|S|=k\}$。广义$k$ -连通性是传统连通性的推广.本文研究了$2\leq k\leq n-1$的$(n,k)$ -泡排序图$B_{n,k}$的广义$3$ -连通性。通过提出一种在$B_{n-1,k-1}$中构造$n-1$内部不相交路径的算法，我们证明了$κ_{3}(B_{n,k})=n-2$ for $2\leq k\leq n-1$，这推广了Li $et$ $al.$给出的关于泡排序图$B_{n}$的已知结果[ Applied Mathematics and Computation 274（2016）41-46]，因为泡排序图$B_{n}$是$k=n-1$的特殊$(n,k)$ -泡排序图。
2018-05-07 math.CO
The generalized 3-connectivity of a family regular networks
本文研究由同构子图加匹配构成的正则网络 $H_n$，确定其广义3-连通度，并直接推出 $HS_n$、$HCN_n$ 和 $HFQ_n$ 等两层互连网络的结果。
2022-11-01 math.CO
The generalized connectivity of some regular graphs
图$G$的广义$k$ -连通度$κ_{k}(G)$是一个度量网络$G$连接$G$中任意$k$顶点的可靠性的参数，对于一般图$G$，它被证明是NP-完全的.令$S\subseteq V(G)$和$κ_{G}(S)$表示$G$中边不相交树$T_{1}, T_{2}, \cdots, T_{r}$的最大数目$r$，使得对于任何$i, j \in \{1, 2, \cdots, r\}$和$i\neq j$，$V(T_{i})\bigcap V(T_{j})=S$。对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，图$G$的{ \em广义$k$ -连通度}定义为$κ_{k}(G)= min\{κ_{G}(S)|S\subseteq V(G)$和$|S|=k\}$。本文研究了递归构造的一般$m$ -正则和$m$ -连通图$G_{n}$的广义$3$ -连通性，得到了$κ_{3}(G_{n})=m-1$，它达到了Li { \em et al.}[Discrete Mathematics 310（2010）2147-2163]给出的$κ_{3}(G)$的上界.关于$G=G_{n}$作为主要结果的应用，可以直接得到交替群图$AG_{n}$、$k$ -元$n$ -立方体$Q_{n}^{k}$、分裂星形网络$S_{n}^{2}$和泡排序星形图$BS_{n}$等著名网络的广义$3$ -连通性.
2018-08-30 math.CO
The generalized 4-connectivity of burnt pancake graphs
本文研究烧焦煎饼图$BP_n$的广义4-连通性，通过引入包含树并分析结构性质，证明$κ_4(BP_n)=n-1$，即任意四个顶点间存在$n-1$棵内部边不相交的树，从而评估其可靠性。
2023-10-14 math.CO
A survey on the generalized connectivity of graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$是由Hager在1985年以前提出的.作为它的自然对应物，我们最近引入了广义边连通度$λ_k(G)$的概念。本文总结了广义连通度和广义边连通度的已知结果。经过一个介绍性的部分，本文然后分为九个部分：广义（边）连接的一些图类，算法和计算复杂性，尖锐的界限$κ_k(G)$和$λ_k(G)$，图与大型广义（边）连接，Nordhaus-Gaddum型的结果，图操作，极值问题，以及一些结果随机图和多重图。同时也提出了一些有待进一步研究的问题。
2015-08-31 cs.DM math.CO
The minimal size of a graph with generalized connectivity $κ_3 = 2$
设$G$是一个阶为$n$的非平凡连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$ - $connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取在$V(G)$的所有$k$ -子集$S$上。因此是$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。本文主要研究具有$κ_{3}(G)= 2$的图$G$的最小边数问题。对于阶为$v(G)$、大小为$e(G)$且具有$κ_{3}(G)= 2$的图$G$，我们得到了$e(G)\geq 6/5v(G)$，并且通过给出一类达到下界的例子，证明了下界是尖锐的.
2011-06-09 math.CO
Note on the minimal size of a graph with generalized connectivity kappa_3= 2
图$G$的广义$k$ -连通度$κ_{k}(G)$的概念是由Chartrand等人近年来提出的.在我们早期的论文中，开始了这个图参数的极值理论。我们确定了具有$κ_{3}= 2$的$n$阶图的最小边数，即，对于阶为$n$、大小为$e(G)$且具有$κ_{3}(G)= 2$的图$G$，通过构造一类图证明了$e(G)\geq (6/5)n$，且下界是尖锐的，仅对$n\equiv 0 \ (mod \ 5)$和$n\neq 10$ .在本文中，我们改进的下界$\lceil(6/5)n\rceil$。此外，我们表明，对于所有的$n\geq 4$，但$n= 9, 10$，总是存在一个图的顺序$n$与$κ_{3}= 2$的大小达到下界$\lceil(6/5)n\rceil$。而对于$n= 9, 10$，我们给出例子来表明$\lceil(6/5)n\rceil+1$是最好的可能下界。这给出了一个清晰的图片上的最小尺寸的顺序$n$与广义连通$κ_{3}= 2$。
2011-06-22 math.CO
On structural properties of trees with minimal atom-bond connectivity index
{ \em原子-键连接性（ABC）指数}是一种基于度的分子描述符，发现了化学应用。众所周知，在所有连通图中，具有最小ABC指数的图是树。具有最小$ABC$指标的树的完全刻画仍然是一个未解决的问题。本文给出了具有最小ABC指标的树的新的结构性质。我们的主要结果表明，树与最小的ABC指数不包含所谓的{ \em $B_k$ -分支}，与$k \geq 5$，他们不超过四个$B_4$ -分支。
2014-01-01 cs.DM math.CO
Graphs with large generalized 3-connectivity
设$S$是连通图$G$的一个非空顶点集. $G$中树的集合$T_1,..., T_\ell$被称为连接$S$的内部不相交树，如果对于任何一对不同整数$i, j$，$E(T_i)\cap E(T_j)= \emptyset$和$V(T_i)\cap V(T_j)=S$，其中$1 \leq i, j \leq r$。对于具有$2 \leq k \leq n$的整数$k$，$G$的广义$k$连通性$κ_k(G)$是最大正整数$r$，使得对于$G$的$k$顶点的任何集合$S$，$G$至少包含连接$S$的$r$内部不相交树。显然，$κ_2(G)$是$G$的连通性。本文对$n$阶连通图$G$，即$1 \leq κ_3(G) \leq n - 2$，给出了$κ_3(G)$的精确上、下界.阶$n$的图，使得分别表征$κ_3(G) = n - 2, n - 3$。
2012-01-14 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type results for the generalized edge-connectivity of graphs
设$G$是一个图，$S$是$G$的顶点集，$λ(S)$是$G$中两两边不交树$T_1, T_2,..., T_{\ell}$的最大个数$\ell$，使得对每个$1\leq i\leq \ell$都有$S\subseteq V(T_i)$.定义$G$的广义$k$ -边连通度$λ_k(G)$为$λ_k(G)= min\{λ(S) | S\subseteq V(G) \ and \ |S|=k\}$。因此是$λ_2(G)=λ(G)$。本文考虑了参数$λ_k(G)$的Nordhaus-Gaddum型结果.我们确定了$n$阶图$G$和$m$阶图$n$和$m$大小图的$λ_k(G)+λ_k(\bar{G})$和$λ_k(G)... λ_k(\bar{G})$的上下界.文中还给出了一些达到这些界的图类。
2012-12-30 math.CO
Extremal results for directed tree connectivity
对于一个有向图$D=(V(D), A(D))$，以及一个包含$r\in S$和$|S|\geq 2$的集合$S\subseteq V(D)$，$(S, r)$ -树是一个以$r$为根的外树$T$，其中包含$S\subseteq V(T)$。如果$A(T_1)\cap A(T_2)=\emptyset$，则两个$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为弧不相交。如果$V(T_1)\cap V(T_2)=S$，则两个弧不相交的$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为内部不相交。令$κ_{S,r}(D)$和$λ_{S,r}(D)$分别是$D$中内部不相交和弧不相交的$(S, r)$ -树的最大数目。$D$的广义$k$ -点强连通度定义为$$κ_k(D)= \min \{κ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。同样地，$D$的广义$k$ -弧强连通度定义为$$λ_k(D)= \min \{λ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。广义$k$ -点强连通度和广义$k$ -弧强连通度也称为有向树连通度，可以看作是经典有向图连通度的推广。一个有向图$D=(V(D), A(D))$称为极小广义$(k, \ell)$ -顶点（分别，弧）-强连通，如果$κ_k(D)\geq \e…
2020-12-12 math.CO
Two kinds of generalized connectivity of dual cubes
令$S\subseteq V(G)$和$κ_{G}(S)$表示$G$中边不相交树$T_{1}, T_{2}, \cdots, T_{k}$的最大数目$k$，使得对于任何$i, j \in \{1, 2, \cdots, k\}$和$i\neq j$，$V(T_{i})\bigcap V(T_{j})=S$。对于具有$2\leq r\leq n$的整数$r$，图$G$的{ \em广义$r$ -连通度}定义为$κ_{r}(G)= min\{κ_{G}(S)|S\subseteq V(G)$和$|S|=r\}$。不完全图$G$的$r$ -分量连通度$cκ_{r}(G)$是删除其导致至少具有$r$分量的图的顶点的最小数目。这两个参数都是传统连通性的推广。除了超立方体和完全二部图之外，几乎所有已知的PDMATHBNA都是关于PDMATHBNB的。本文重点研究了双立方体$D_{n}$的$κ_{4}(D_{n})$。我们首先表明，$κ_{4}(D_{n})=n-1$为$n\geq 4$。作为推论，我们得到了$n\geq 4$的$κ_{3}(D_{n})=n-1$。此外，我们表明，$cκ_{r+1}(D_{n})=rn-\frac{r(r+1)}{2}+1$的$n\geq 2$和$1\leq r \leq n-1$。
2018-03-28 math.CO
Connectivity and other invariants of generalized products of graphs
Figueroa-Centeno等人引入了以下有向图的积：设$D$是有向图，$Γ$是一族有向图，使得对每个$F\in Γ$都有$V(F)=V$。考虑任何函数$h:E(D)\longrightarrowΓ$。则积$D\otimes_{h} Γ$是顶点集为$V(D)\times V$和$((a,x),(b,y))\in E(D\otimes_hΓ)$的有向图当且仅当$(a,b)\in E(D)$和$(x,y)\in E(h (a,b))$ .在本文中，我们介绍了无向版本的$\otimes_h$ -产品，这是一个推广的经典直积的图，并在它的动机，我们也恢复了推广的经典字典积的图，是由Sabidussi en 1961年推出。我们研究的连通性和其他不变量的因素。我们还提出了一个新的交叉图，出现在我们的$\otimes_h$ -产品的图的连通性的特点。
2013-05-13 math.CO
All minor-minimal apex obstructions with connectivity two
一个图是顶点图，如果它包含一个顶点，其删除留下一个可平面图。顶点图族是次闭的，因此它的特征在于有限的次极小非成员列表。确定这种有限的顶点障碍物列表的长期存在的问题仍然是开放的。本文确定了133个连通度为2的次极小非顶点图。
2021-11-25 cs.DM math.CO
Obstructions of Connectivity 2 for Embedding Graphs into the Torus
将图嵌入到环面中的最小障碍的完整集合仍然没有确定。在本文中，我们提出了所有的障碍，环面的连通性2。此外，我们描述了任何可定向曲面的连通性障碍2的积木。
2012-07-25 math.CO
On the Average (Edge-)Connectivity of Minimally $k$-(Edge-)Connected Graphs
设$G$是一个阶为$n$的图，$u,v$是$G$的顶点。令$κ_G(u,v)$表示$G$中内部不相交的$u$-$v$路径的最大数目。则$G$的平均连通度$\overlineκ(G)$被定义为$ \overlineκ(G)=\sum_{\{u,v\}\subseteq V(G)} κ_G(u,v)/\tbinom{n}{2}. $如果$k \ge 1$是整数，则$G$是最小$k$ -连通的，如果$κ(G)=k$和$κ(G-e) < k$对于$G$的每条边$e$。我们称$G$是最优的极小$k$连通图，如果$G$在所有阶为$n$的极小$k$连通图中具有最大平均连通度.基于最近关于极小2-连通图的一个结构结果，我们猜想：对任意整数$k \ge3$，若$G$是$n\geq 2k+1$阶的最优极小$k$ -连通图，则$G$是二部图，其部集是度为$k$的顶点集和度超过$k$的顶点集.我们证明了，如果这个猜想成立，那么对每个极小$k$ -连通图$G$，有$\overlineκ(G)< 9k/8$.对于每一个$k \ge 3$，我们描述了一个无穷族的极小$k$ -连通图，其平均连通度是渐近$9k/8$的.对于极小$k$ -边连通图的平均边连通度也得到了类似的结果。
2021-07-22 cs.DM math.CO
On structural properties of trees with minimal atom-bond connectivity index II
{ \em原子-键连接性（ABC）指数}是一种基于度的图拓扑指数，在化学领域有着广泛的应用。具有最小$ABC$指标的树的完全刻画问题至今仍是一个未解决的问题。在~ \cite{d-sptmabci-2014}中，证明了具有最小ABC指数的树不包含所谓的{ \em $B_k$ -分支}，具有$k \geq 5$，并且它们不具有多于四个的$B_4$ -分支。我们的主要结果揭示了$B_1$和$B_2$ -分支的数目也是由小的固定常数从上到下有界的。也就是说，我们表明，最小ABC指数的树不包含超过四个$B_1$ -分支和超过11个$B_2$ -分支。
2015-01-23 cs.DM math.CO
Sharp bounds for the generalized connectivity $κ_3(G)$
设$G$是一个非平凡的$n$阶连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。具有此属性的$G$中树的集合$\{T_1,T_2,...,T_\ell\}$称为连接$S$的树的内部不相交集。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$-$connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取$V(G)$的所有$k$-子集$S$。因此是$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。一般来说，$κ_k(G)$的研究非常困难。因此，本文主要对$κ_3(G)$进行研究。研究了图的连通度与3-连通度之间的关系。首先给出了一般图$G$的$κ_3(G)$的精确上、下界，并构造了两类分别达到上、下界的图。然后证明了如果$G$是连通平面图，则$κ(G)-1 \leq κ_3(G)\leq κ(G)$，并给出了达到这一界的几类图。最后证明了平面图$G$的$κ(G)=κ_3(G)$是否能在多项式时间内求解的问题。
2009-06-17 math.CO
Directed Steiner tree packing and directed tree connectivity
对于一个有向图$D=(V(D), A(D))$，以及一个包含$r\in S$和$|S|\geq 2$的集合$S\subseteq V(D)$，$(S, r)$ -树是一个以$r$为根的外树$T$，其中包含$S\subseteq V(T)$。如果$A(T_1)\cap A(T_2)=\emptyset$，则两个$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为弧不相交。如果$V(T_1)\cap V(T_2)=S$，则两个弧不相交的$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为内部不相交。令$κ_{S,r}(D)$和$λ_{S,r}(D)$分别是$D$中内部不相交和弧不相交的$(S, r)$ -树的最大数目。$D$的广义$k$ -顶点强连通性被定义为$$κ_k(D)= \min \{κ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。类似地，定义$D$的广义$k$ -弧强连通性为$$λ_k(D)= \min \{λ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。广义$k$ -顶点强连通性和广义$k$ -弧强连通性也称为有向树连通性，它扩展了$D$的良连通性，建立了无向图到有向图的树连通性，可以看作是有向图的经典连通性的推广。本文完全确定了一般有向图、对称有向图和欧拉有向图上的$κ_{S, r}(…
2020-11-09 math.CO
Characterizations of minimal graphs with equal edge connectivity and spanning tree packing number
由于图被认为是许多网络设计问题的自然模型，图$G$的边连通度$κ'(G)$和边不相交生成树的最大数量$τ(G)$已经被用作对建模为图$G$的通信网络中的可靠性和强度的度量（参见\cite{Cunn85, Matula87}等）。Mader \cite{Mader71}和Matula \cite{Matula72}引入了最大子图边连通度$\overline{κ'}(G)=\max \{κ'(H): H \mbox{ is a subgraph of } G \}$。基于它们在网络设计中的应用和已建立的不等式\[ \overline{κ'}(G)\ge κ'(G) \ge τ(G), \]，本文给出了以下结果：（i）对于每个整数$k>0$，给出了具有$\overline{κ'}(G) \le k$性质的图$G$的一个特征，但对于任何不在$G$中的边$e$，$\overline{κ'}(G+e)\ge k+1$ . (ii)对任意整数$n > 0$，给出了具有$|V(G)| = n$的图$G$使得具有$|E(G)|$的$κ'(G) = τ(G)$最小化的一个刻划.
2014-10-20 math.CO
Extremal properties and bounds for the generalized algebraic connectivity of graphs in Euclidean spaces
Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）；CONICET-Universidad de Buenos Aires, INTECIN（阿根廷国家科学研究委员会-布宜诺斯艾利斯大学，智能通信研究所）；Universidad de San Andrés（圣安德烈斯大学）；CONICET（阿根廷国家科学研究委员会）
本文研究了欧几里得空间中图的广义代数连通性，提出了d-刚性比作为衡量刚性的指标，并改进了相关上界。
2026-09-07 math.CO math.OC
Efficient computation of trees with minimal atom-bond connectivity index
\em原子-键连接性（ABC）指数是最近研究最多的基于度的分子结构描述符之一，在化学中具有应用。对于图$G$，ABC指标定义为$\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{\frac{(d(u) +d(v)-2)}{d(u)d(v)}}$，其中$d(u)$是$G$中顶点$u$的度，$E(G)$是$G$的边的集合。尽管在过去的几年里，它仍然是一个开放的问题，以最小$ABC$指数的树的特征。本文通过考虑树的度序列和具有最小$ABC$指标的图的一些已知性质，给出了一种计算具有最小ABC指标的树的有效方法.所得结果反驳了现有的一些公式，并提出了新的公式。
2013-10-04 cs.DM math.CO
Strong Subgraph $k$-connectivity
由Hager（1985）提出的广义连通度在无向图中得到了广泛的研究，并成为无向图理论中的一个成熟领域。对于连通性问题，有向图可以被认为是无向图的推广。通过用强连通度代替连通度，将无向图的广义$k$ -连通度自然地推广到有向图（我们称之为强子图$k$ -连通度）.我们证明了NP-完全性结果和多项式算法的存在性。我们证明了强子图$k$ -连通性在某种意义上比广义$k$ -连通性更难计算。而对于半完全有向图和对称有向图，强子图$k$ -连通度可以在多项式时间内计算.我们也给出了强子图$k$ -连通性的精确界，并提出了一些开放的问题。
2018-03-01 cs.DM math.CO
The generalized 3-connectivity of Cartesian product graphs
图的广义连通性是最近由Chartrand等人提出的，是顶点连通性概念的推广。设$S$是$G$的一个非空顶点集，$G$中的树的集合$\{T_1,T_2,...,T_r\}$称为连接$S$的内部不交树，如果对于任何一对不同的整数$i,j$，有$E(T_i)\cap E(T_j)=\emptyset$和$V(T_i)\cap V(T_j)=S$，其中$1\leq i,j\leq r$ .对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，$G$的$k$ -连通性$κ_k(G)$是最大正整数$r$，对于该最大正整数，$G$至少包含连接$S$的$S$的$k$顶点的任何集合的$S$的$r$内部不相交树。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的连通性。Sabidussi证明了对任意两个连通图$G$和$H$都有$κ(G\Box H) \geq κ(G)+κ(H)$.本文首先研究了图$G$和树$T$的笛卡儿积的3-连通性，证明了$(i)$如果$κ_3(G)=κ(G)\geq 1$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)$ ; $(ii)$如果$1\leq κ_3(G)< κ(G)$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)+1$ .此外，对于任何两个连通图$G$和$H$，如果$κ(G)>κ_3(G)$，则$κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)$ ;如果…
2011-05-03 math.CO
Higher dimensional connectivity and minimal degree of random graphs with an eye towards minimal free resolutions
本文定义并研究了图的不变量，将顶点的最大度和顶点连通度推广到高维（我们的$0$ -维情形）。这些都是已知的重合几乎肯定在任何制度的Erdoes-Renyi随机图。我们在一维的情况下显示相同的中密度政权，并显示在同一政权的所有维度更容易的不等式。本文的出发点来自于对交换代数中图的团复形的Stanley-Reisner环的最小自由分解的研究，在这种情况下，高维点连通度决定了链的长度。通过我们的结果，我们的目标是取代（渐近）顶点连接一个更简单的不变量。
2019-04-17 math.AC math.AT math.CO
The generalized connectivity of complete bipartite graphs
设$G$是一个阶为$n$的非平凡连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$-$connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取$V(G)$的所有$k$ -子集$S$。因此，$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。此外，$κ_{n}(G)$是$G$的边不相交生成树的最大数目。本文主要研究了完全二部图PDMATHBNF的PDMATHBMO-连通性.首先，我们得到了$K_{a,b}$的边不交生成树的个数，即$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$，并具体给出了$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$边不交生成树。在此基础上，我们得到了所有$2\leq k \leq a+b$的$K_{a,b}$的$k$连通性.即，如果$k>b-a+2$和$a-b+k$是奇数，则$κ_{k}(K_{a,b})=\frac{a+b-k…
2010-12-28 math.CO
On the minimal (edge) connectivity of graphs and its applications to power graphs of finite groups
本文给出任意图最小边连通的充要条件，并据此分别刻画了增强幂图和阶超幂图为最小边连通的有限群，还证明了相关群类与初等阿贝尔2-群、p-群及幂零群的等价关系。
2024-08-20 math.CO math.GR
Completely independent Steiner trees and corresponding tree connectivity
School of Applied Sciences, Taiyuan University of Science and Technology（太原科技大学应用科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Shanxi University（山西大学数学与统计学院）
本文提出完全独立的Steiner树及其广义k*连通性概念，研究了其在完全图和完全二分图中的性质及下界。
2025-12-23 math.CO
A Tight Bound for Minimal Connectivity
对于$n$顶点上的极小$k$ -连通图，Mader证明了度为$k$的顶点数$|V_k|$依赖于$n$和$k$的一个紧下界. Oxley在1981年观察到，在许多情况下，如果使用$m := |E|$作为附加参数，即依赖于$m$、$n$和$k$，可以给出更好的界限。这是留给开放，以确定是否奥克斯利的界限是最好的可能。我们表明，这是不是这样的情况下，但提出了一个密切相关的界限，偏离奥克斯利的长期存在的一个只有小值的$m$。我们证明这个新的界限是最好的可能。该界包含作为特例的Mader界。
2016-03-30 cs.DM math.CO
On extremal graphs with at most $\ell$ internally disjoint Steiner trees connecting any n-1 vertices
图的最大局部连通度$\bar κ$的概念是由Bollobás提出的。其中一个问题是确定局部连通度至多为$\ell$的$n$阶图的最大边数$f(n;\barκ\leq \ell)$。我们考虑上述概念和问题的推广。对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，\emph{generalized local connectivity} $κ(S)$是连接$G$中的$S$的内部不相交树的最大数量。参数$\barκ_k(G)=max\{κ(S)|S\subseteq V(G),|S|=k\}$称为$G$的\emph{maximum generalized local connectivity}。本文研究了$n$阶图的最大广义局部连通度至多为$\ell$的边的最大个数$f(n;\barκ_k\leq \ell)$问题。确定了$k=n,n-1$的$f(n;\barκ_k\leq \ell)$的精确值。对于一般的$k$，我们构造了一个图，以获得一个尖锐的下界。
2013-04-13 math.CO
Shellability and higher Cohen-Macaulay connectivity of generalized cluster complexes
设$Φ$是秩为$n$的有限根系，$m$是非负整数.广义簇合物$Δ^m (Φ)$是由S. Fomin和N.阅读这些作者证实了$Δ^m (Φ)$是可壳的，V. Reiner证实了它是$(m+1)$ -Cohen-Macaulay，在Baclawski的意义上。本文证明了这些说法。对于$Δ^m (Φ)$的正部分$Δ^m_+ (Φ)$，类似的陈述也成立。本文给出了$Δ^m_+ (Φ)$与广义非交叉划分偏序集之间的同伦等价性。阿姆斯特朗
2007-03-15 math.CO math.RT
Flip-connectivity of triangulations of the product of a tetrahedron and simplex
翻转是多面体的两个三角剖分之间的最小移动。一个悬而未决的问题是，两个单形的乘积的任何两个三角剖分是否可以通过一系列翻转连接。Santos在2005年证明了这一点，其中一个单形是三角形。在本文中，我们扩展到当其中一个单纯形是一个四面体。
2016-01-22 math.CO
On the edge connectivity of direct products with dense graphs
令$κ'(G)$是$G$的边连通度，而$G\times H$是$G$和$H$的直积。设$H$是一个具有最小度$δ(H)>|H|/2$的任意稠密图.证明了对任意图$G$，$κ'(G\times H)=\textup{min}\{2κ'(G)e(H),δ(G)δ(H)\}$，其中$e(H)$表示$H$中边的个数.此外，还描述了最小割边的结构。作为应用，我们给出了$G\times K_n(n\ge3)$是超边连通的一个充要条件.
2011-02-25 math.CO
Enumeration of minimal acyclic automata via generalized parking functions
给出了极小无循环确定有限自动机的一个精确计数公式。这个公式是由一类广义停车函数与无环自动机的转移函数之间的双射得到的。
2015-05-06 math.CO
Hardness results on generalized connectivity
设$G$是一个非平凡的$n$阶连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。具有此属性的$G$中树的集合$\{T_1,T_2,...,T_\ell\}$称为连接$S$的树的内部不相交集。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$ - $connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取在$V(G)$的所有$k$ -子集$S$上。因此，$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性，有多项式时间算法来解决它。首先，我们证明了对于两个固定的正整数$k_1$和$k_2$，给定一个图$G$和$V(G)$的一个$k_1$ -子集$S$，判定$G$是否包含连接$S$的$k_2$内部不交树的问题可以用一个多项式时间算法来解决.然后，我们表明，当$k_1$是一个固定的整数至少为4，但$k_2$是不是一个固定的整数，问题原来是NP-完全的。另一方面，当$k_2$是一个固定的整数至少为2，但$k_1$不是一个固定的整数，我们表明…
2010-05-04 cs.DM math.CO
Algebraic Connectivity and Degree Sequences of Trees
我们调查的结构的树，具有最小的代数连接之间的所有树与一个给定的度序列。我们表明，这样的树是毛毛虫和顶点度是非减少的非悬垂顶点的特征集的Fiedler向量开始的每一条路径上。
2008-10-06 math.CO math.SP
Connectivity, toughness, spanning trees of bounded degree, and the spectrum of regular graphs
本文给出了正则图的谱与其广义连通度、坚韧度以及有界度支撑树的存在性之间的关系的一些新结果。
2016-02-18 cs.DM math.CO
Excluded minors for the Klein Bottle I. Low connectivity case
图是关键的（最小排除未成年人）在表面的嵌入性进行了研究。在第一部分中，我们考虑的结构图与2-顶点割是关键方面的欧拉亏格。给出了描述积木块的一般定理。这些成分，称为料斗和级联，分类的情况下，欧拉属小。因此，得到了将图嵌入到克莱因瓶中的连通性2的障碍的完整列表。这是第一个完整的结果关于障碍的可嵌入性的图在克莱因瓶，结果是有点令人惊讶的意义上说，有相当少的排除未成年人比预期的。
2020-02-01 math.CO
Extremality and Sharp Bounds for the $k$-edge-connectivity of Graphs
Boesch和Chen（SIAM J. Appl. Math.，1978）提出了广义边连通度的一个截断版本，称为$k$ -边连通度。对于具有$2\leq k\leq n$的任何整数$k$，由$λ_k(G)$表示的图$G$的{ \em $k$ -边连通性}被定义为从$G$移除其产生具有至少$k$分量的图的边的最小数目。本文首先利用$n$和$k$计算了$λ_k(G)$的一些精确值和锐界。然后讨论了$λ_k(G)$与其他广义连通性之间的关系。在$\mathcal{O}(n^2)$时间将提供一个算法，使我们可以得到一个尖锐的上限方面的最大程度。在我们的结果中，我们还计算了函数$f(n,k,t)$的一些精确值和锐界，该函数定义为具有阶$n$和$λ_k(G)=t$的连通图$G$的最小尺寸。
2019-01-18 cs.DM math.CO
On the Connectivity of Bipartite Distance-Balanced Graphs
一个连通图$\G$称为{ \it距离平衡}，只要对于$\G$的任意一对相邻顶点$u,v$，距离$u$比距离$v$近的顶点数等于距离$v$比距离$u$近的顶点数。在[具有平衡$(a,b)$ -划分的二部图中，{ \em Ars Combin.} { \bf 51}（1999），113-119]汉达问是否每个二部距离平衡图，这不是一个循环，是3-连通的。在本文中，汉达的问题是在否定的回答。此外，我们证明了一个最小的二部距离平衡图，这不是一个循环，不是3-连通，有18个顶点，是唯一的。此外，我们还给出了2-割中两点间的最小距离为3的非3-连通二部距离平衡图的一个完全分类。所有这样的图都是正则的，并且对于每一个$k \geq 3$，都存在一个无限族这样的图是$k$ -正则的。此外，我们确定了一些结构性质，一个二部距离平衡图，这是不是3-连通，必须有。作为应用，我们对二部强距离平衡图的子族的汉达问题给出了肯定的回答。
2011-02-01 math.CO
Strong subgraph $k$-connectivity bounds
设$D=(V,A)$是一个阶为$n$的有向图，$S$是$V$的一个子集，其大小为$k$和$2\le k\leq n$ .如果对所有$1\le i<j\le p$都有$V(D_i)\cap V(D_j)=S$和$A(D_i)\cap A(D_j)=\emptyset$，则称包含$S$的强子图$D_1, \dots , D_p$是内部不交的。设$κ_S(D)$是$D$中包含$S$的内部不交强有向图的最大个数。有向图$D=(V, A)$称为极小强子图$(k,\ell)$-连通，如果$κ_k(D)\geq \ell$，但对于任意弧$e\in A$，$κ_k(D-e)\leq \ell-1$ .本文首先给出参数$κ_k(D)$的一个精确上界，然后研究极小强子图$(k,\ell)$ -连通有向图。
2018-03-01 cs.DM math.CO
The Farey graph is uniquely determined by its connectivity
我们证明，在次等价的情况下，Farey图是唯一的次最小图，它是无限边连通的，但每两个顶点可以有限分离。
2021-06-22 math.AG math.CO math.DS
