On the generalized (edge-)connectivity of graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$是由Chartrand等人在1984年提出的.引入广义$k$ -边缘连通性$λ_k(G)$的概念是很自然的。对于一般的$k$，得到了完全图的广义$k$ -边连通度。对于$k\geq 3$，给出了$κ_k(G)$和$λ_k(G)$的紧上界和下界，即对于$n$阶连通图$G$，给出了$1\leq κ_k(G)\leq n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$和$1\leq λ_k(G)\leq n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$ .阶$n$的图，使得分别表征$κ_k(G)=n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$和$λ_k(G)=n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$。Nordhaus-Gaddum型结果也得到了广义$k$ -连通性。对于$k=3$，我们研究了图的边连通度与广义3-边连通度之间的关系。利用图$G$的边连通度$λ$，得到了图$G$的$λ_3(G)$的上、下界，即$\frac{3λ-2}{4}\leq λ_3(G)\leq λ$，并给出了两个图类，证明了上、下界是紧的.从这些界出发，我们得到了当$G$是连通平面图时的$λ(G)-1\leq λ_3(G)\leq λ(G)$，以及图与线图的广义3-连通度与广义3-边连通度之间的关系。
2013-05-14 math.CO
The generalized 3-connectivity of the folded hypercube $FQ_n$
图$G$的广义$k$ -连通度记为$κ_k(G)$，是传统连通度的推广.众所周知，广义$k$ -连通度是衡量互连网络容错性和可靠性的重要指标。$n$维折叠超立方体$FQ_n$是由$n$维超立方体$Q_n$通过在具有互补地址的任何一对顶点之间添加一条边而获得的。本文证明了$κ_3(FQ_n)=n$ for $n\ge 2$，即对于$FQ_n$中的任意三个顶点，存在连接它们的$n$内部不交树.
2021-04-23 math.CO
The generalized 3-connectivity of Lexicographic product graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$，由Chartrand等人引入，是（顶点）连通性概念的自然和良好的推广。本文证明了对任意两个连通图$G$和$H$，$κ_3(G\circ H)\geq κ_3(G)|V(H)|$ .给出了$κ_3(G\Box H)$和$κ_3(G\circ H)$的上界.此外，所有的边界都是尖锐的。
2013-08-12 math.CO
On the relation between connectivity, independence and generalized caterpillars
生成广义毛毛虫是指所有度大于2的顶点都在一条路上的生成树.本文讨论了生成广义毛毛虫的存在性与图的独立性和连通数之间的关系.本文还指出了L。Gargano等人在离散数学（2004）中的一个定理，并找出了另一个定理与生成广义毛虫的存在性之间的关系。
2013-02-20 math.CO
The generalized 4-connectivity of godan graphs
本文研究作为Cayley图的godan图$EA_n$的广义4-连通度，证明了当$n\ge 3$时其广义4-连通度$κ_4(EA_n)=n-1$，为互联网络相关应用提供了图论参数支撑。
2024-08-18 math.CO
The generalized 3-connectivity of random graphs
图$G$的广义连通度是由Chartrand等人提出的，设$S$是$G$的一个非空顶点集，$κ(S)$定义为$G$中连接$S$的最大内部不交树数$T_1, T_2, \cdots, T_k$.则对于具有$2 \leq r \leq n$的整数$r$，$G$的{ \it广义$r$ -连通性} $κ_r(G)$是$S$在$G$的顶点集的所有$r$ -子集上运行的最小$κ(S)$。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的顶点连通度，因此广义连通度是顶点连通度的自然推广。类似地，令$λ(S)$表示连接$G$中的$S$的成对边不相交树$T_1, T_2, \ldots, T_k$的最大数目$k$。然后定义$G$的{ \it广义$r$ -边连通度} $λ_r(G)$为$S$遍历$G$顶点集的所有$r$ -子集的最小$λ(S)$。很明显，是$λ_2(G) = λ(G)$。本文研究了随机图的广义3-连通度，证明了对任意固定整数$k\geq 1$，$$p=\frac{\log n+(k+1)\log \log n -\log \log \log n}{n}$$是$κ_3(G(n, p)) \geq k$性质的一个锐阈值函数，它可以看作是Bollobás和Pastason关于点连通度的结果的对应.此外，我们还得到了$δ(G(n,p)) - 1 = λ(G(n,p)) - 1 = κ(G(n,p)) -…
2013-03-21 math.CO
The generalized $4$-connectivity of bubble-sort graphs
对于具有$|S|\ge 2$的$S\subseteq V(G)$，令$κ_G (S)$表示连接$G$中的$S$的内部不相交树的最大数量。对于$2\le k\le n$，定义$n$ -点连通图$G$的广义$k$ -连通度$κ_k(G)$为$κ_k(G)=\min \{κ_G(S): S\in V(G) \mbox{ and } |S|=k\}$ .广义$k$ -连通度可以用来度量互连网络的容错性. $n\ge 2$的冒泡排序图$B_n$是$[n]$上的对称置换群上的Cayley图，该对称置换群由集合$\{[1,2],[2,3],\dots, [n-1,n]\}$的转置生成。在本文中，我们证明了泡沫排序图$B_n$与$n\ge 3$，$κ_4(B_n)=n-2$。
2023-03-24 math.CO
The generalized connectivity of $(n,k)$-bubble-sort graphs
令$S\subseteq V(G)$和$κ_{G}(S)$表示$G$中边不相交树$T_1, T_2, \cdots, T_r$的最大数目$r$，使得对于任何$i, j \in \{1, 2, \cdots, r\}$和$i\neq j$，$V(T_i)\bigcap V(T_{j})=S$。对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，图$G$的{ \em广义$k$ -连通度}定义为$κ_{k}(G)= min\{κ_{G}(S)|S\subseteq V(G)$和$|S|=k\}$。广义$k$ -连通性是传统连通性的推广.本文研究了$2\leq k\leq n-1$的$(n,k)$ -泡排序图$B_{n,k}$的广义$3$ -连通性。通过提出一种在$B_{n-1,k-1}$中构造$n-1$内部不相交路径的算法，我们证明了$κ_{3}(B_{n,k})=n-2$ for $2\leq k\leq n-1$，这推广了Li $et$ $al.$给出的关于泡排序图$B_{n}$的已知结果[ Applied Mathematics and Computation 274（2016）41-46]，因为泡排序图$B_{n}$是$k=n-1$的特殊$(n,k)$ -泡排序图。
2018-05-07 math.CO
The generalized 3-connectivity of a family regular networks
本文研究由同构子图加匹配构成的正则网络 $H_n$，确定其广义3-连通度，并直接推出 $HS_n$、$HCN_n$ 和 $HFQ_n$ 等两层互连网络的结果。
2022-11-01 math.CO
The generalized connectivity of some regular graphs
图$G$的广义$k$ -连通度$κ_{k}(G)$是一个度量网络$G$连接$G$中任意$k$顶点的可靠性的参数，对于一般图$G$，它被证明是NP-完全的.令$S\subseteq V(G)$和$κ_{G}(S)$表示$G$中边不相交树$T_{1}, T_{2}, \cdots, T_{r}$的最大数目$r$，使得对于任何$i, j \in \{1, 2, \cdots, r\}$和$i\neq j$，$V(T_{i})\bigcap V(T_{j})=S$。对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，图$G$的{ \em广义$k$ -连通度}定义为$κ_{k}(G)= min\{κ_{G}(S)|S\subseteq V(G)$和$|S|=k\}$。本文研究了递归构造的一般$m$ -正则和$m$ -连通图$G_{n}$的广义$3$ -连通性，得到了$κ_{3}(G_{n})=m-1$，它达到了Li { \em et al.}[Discrete Mathematics 310（2010）2147-2163]给出的$κ_{3}(G)$的上界.关于$G=G_{n}$作为主要结果的应用，可以直接得到交替群图$AG_{n}$、$k$ -元$n$ -立方体$Q_{n}^{k}$、分裂星形网络$S_{n}^{2}$和泡排序星形图$BS_{n}$等著名网络的广义$3$ -连通性.
2018-08-30 math.CO
The minimal size of a graph with given generalized 3-edge-connectivity
对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，$λ(S)$是$G$中连接$S$的边不相交树的最大数量。对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，则将$G$的\emph{generalized $k$-edge-connectivity} $λ_k(G)$定义为$λ_k(G)= min\{λ(S) : S\subseteq V(G) \ and \ |S|=k\}$。同样清楚的是，当$|S|=2$时，$λ_2(G)$不是什么新东西，而是$G$的标准边连通度$λ(G)$。本文给出了$n$阶图使得$λ_3(G)=n-3$的特征.此外，我们还确定了具有$λ_3=1,n-3,n-2$的$n$阶图的最小边数，并给出了$2\leq λ_3\leq n-4$的一个精确下界。
2013-07-09 math.CO
The generalized 4-connectivity of burnt pancake graphs
本文研究烧焦煎饼图$BP_n$的广义4-连通性，通过引入包含树并分析结构性质，证明$κ_4(BP_n)=n-1$，即任意四个顶点间存在$n-1$棵内部边不相交的树，从而评估其可靠性。
2023-10-14 math.CO
A survey on the generalized connectivity of graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$是由Hager在1985年以前提出的.作为它的自然对应物，我们最近引入了广义边连通度$λ_k(G)$的概念。本文总结了广义连通度和广义边连通度的已知结果。经过一个介绍性的部分，本文然后分为九个部分：广义（边）连接的一些图类，算法和计算复杂性，尖锐的界限$κ_k(G)$和$λ_k(G)$，图与大型广义（边）连接，Nordhaus-Gaddum型的结果，图操作，极值问题，以及一些结果随机图和多重图。同时也提出了一些有待进一步研究的问题。
2015-08-31 cs.DM math.CO
Graphs with large generalized 3-connectivity
设$S$是连通图$G$的一个非空顶点集. $G$中树的集合$T_1,..., T_\ell$被称为连接$S$的内部不相交树，如果对于任何一对不同整数$i, j$，$E(T_i)\cap E(T_j)= \emptyset$和$V(T_i)\cap V(T_j)=S$，其中$1 \leq i, j \leq r$。对于具有$2 \leq k \leq n$的整数$k$，$G$的广义$k$连通性$κ_k(G)$是最大正整数$r$，使得对于$G$的$k$顶点的任何集合$S$，$G$至少包含连接$S$的$r$内部不相交树。显然，$κ_2(G)$是$G$的连通性。本文对$n$阶连通图$G$，即$1 \leq κ_3(G) \leq n - 2$，给出了$κ_3(G)$的精确上、下界.阶$n$的图，使得分别表征$κ_3(G) = n - 2, n - 3$。
2012-01-14 math.CO
The minimal size of a graph with generalized connectivity $κ_3 = 2$
设$G$是一个阶为$n$的非平凡连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$ - $connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取在$V(G)$的所有$k$ -子集$S$上。因此是$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。本文主要研究具有$κ_{3}(G)= 2$的图$G$的最小边数问题。对于阶为$v(G)$、大小为$e(G)$且具有$κ_{3}(G)= 2$的图$G$，我们得到了$e(G)\geq 6/5v(G)$，并且通过给出一类达到下界的例子，证明了下界是尖锐的.
2011-06-09 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type results for the generalized edge-connectivity of graphs
设$G$是一个图，$S$是$G$的顶点集，$λ(S)$是$G$中两两边不交树$T_1, T_2,..., T_{\ell}$的最大个数$\ell$，使得对每个$1\leq i\leq \ell$都有$S\subseteq V(T_i)$.定义$G$的广义$k$ -边连通度$λ_k(G)$为$λ_k(G)= min\{λ(S) | S\subseteq V(G) \ and \ |S|=k\}$。因此是$λ_2(G)=λ(G)$。本文考虑了参数$λ_k(G)$的Nordhaus-Gaddum型结果.我们确定了$n$阶图$G$和$m$阶图$n$和$m$大小图的$λ_k(G)+λ_k(\bar{G})$和$λ_k(G)... λ_k(\bar{G})$的上下界.文中还给出了一些达到这些界的图类。
2012-12-30 math.CO
Note on the minimal size of a graph with generalized connectivity kappa_3= 2
图$G$的广义$k$ -连通度$κ_{k}(G)$的概念是由Chartrand等人近年来提出的.在我们早期的论文中，开始了这个图参数的极值理论。我们确定了具有$κ_{3}= 2$的$n$阶图的最小边数，即，对于阶为$n$、大小为$e(G)$且具有$κ_{3}(G)= 2$的图$G$，通过构造一类图证明了$e(G)\geq (6/5)n$，且下界是尖锐的，仅对$n\equiv 0 \ (mod \ 5)$和$n\neq 10$ .在本文中，我们改进的下界$\lceil(6/5)n\rceil$。此外，我们表明，对于所有的$n\geq 4$，但$n= 9, 10$，总是存在一个图的顺序$n$与$κ_{3}= 2$的大小达到下界$\lceil(6/5)n\rceil$。而对于$n= 9, 10$，我们给出例子来表明$\lceil(6/5)n\rceil+1$是最好的可能下界。这给出了一个清晰的图片上的最小尺寸的顺序$n$与广义连通$κ_{3}= 2$。
2011-06-22 math.CO
Extremal results for directed tree connectivity
对于一个有向图$D=(V(D), A(D))$，以及一个包含$r\in S$和$|S|\geq 2$的集合$S\subseteq V(D)$，$(S, r)$ -树是一个以$r$为根的外树$T$，其中包含$S\subseteq V(T)$。如果$A(T_1)\cap A(T_2)=\emptyset$，则两个$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为弧不相交。如果$V(T_1)\cap V(T_2)=S$，则两个弧不相交的$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为内部不相交。令$κ_{S,r}(D)$和$λ_{S,r}(D)$分别是$D$中内部不相交和弧不相交的$(S, r)$ -树的最大数目。$D$的广义$k$ -点强连通度定义为$$κ_k(D)= \min \{κ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。同样地，$D$的广义$k$ -弧强连通度定义为$$λ_k(D)= \min \{λ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。广义$k$ -点强连通度和广义$k$ -弧强连通度也称为有向树连通度，可以看作是经典有向图连通度的推广。一个有向图$D=(V(D), A(D))$称为极小广义$(k, \ell)$ -顶点（分别，弧）-强连通，如果$κ_k(D)\geq \e…
2020-12-12 math.CO
Two kinds of generalized connectivity of dual cubes
令$S\subseteq V(G)$和$κ_{G}(S)$表示$G$中边不相交树$T_{1}, T_{2}, \cdots, T_{k}$的最大数目$k$，使得对于任何$i, j \in \{1, 2, \cdots, k\}$和$i\neq j$，$V(T_{i})\bigcap V(T_{j})=S$。对于具有$2\leq r\leq n$的整数$r$，图$G$的{ \em广义$r$ -连通度}定义为$κ_{r}(G)= min\{κ_{G}(S)|S\subseteq V(G)$和$|S|=r\}$。不完全图$G$的$r$ -分量连通度$cκ_{r}(G)$是删除其导致至少具有$r$分量的图的顶点的最小数目。这两个参数都是传统连通性的推广。除了超立方体和完全二部图之外，几乎所有已知的PDMATHBNA都是关于PDMATHBNB的。本文重点研究了双立方体$D_{n}$的$κ_{4}(D_{n})$。我们首先表明，$κ_{4}(D_{n})=n-1$为$n\geq 4$。作为推论，我们得到了$n\geq 4$的$κ_{3}(D_{n})=n-1$。此外，我们表明，$cκ_{r+1}(D_{n})=rn-\frac{r(r+1)}{2}+1$的$n\geq 2$和$1\leq r \leq n-1$。
2018-03-28 math.CO
Connectivity and other invariants of generalized products of graphs
Figueroa-Centeno等人引入了以下有向图的积：设$D$是有向图，$Γ$是一族有向图，使得对每个$F\in Γ$都有$V(F)=V$。考虑任何函数$h:E(D)\longrightarrowΓ$。则积$D\otimes_{h} Γ$是顶点集为$V(D)\times V$和$((a,x),(b,y))\in E(D\otimes_hΓ)$的有向图当且仅当$(a,b)\in E(D)$和$(x,y)\in E(h (a,b))$ .在本文中，我们介绍了无向版本的$\otimes_h$ -产品，这是一个推广的经典直积的图，并在它的动机，我们也恢复了推广的经典字典积的图，是由Sabidussi en 1961年推出。我们研究的连通性和其他不变量的因素。我们还提出了一个新的交叉图，出现在我们的$\otimes_h$ -产品的图的连通性的特点。
2013-05-13 math.CO
Sharp bounds for the generalized connectivity $κ_3(G)$
设$G$是一个非平凡的$n$阶连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。具有此属性的$G$中树的集合$\{T_1,T_2,...,T_\ell\}$称为连接$S$的树的内部不相交集。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$-$connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取$V(G)$的所有$k$-子集$S$。因此是$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。一般来说，$κ_k(G)$的研究非常困难。因此，本文主要对$κ_3(G)$进行研究。研究了图的连通度与3-连通度之间的关系。首先给出了一般图$G$的$κ_3(G)$的精确上、下界，并构造了两类分别达到上、下界的图。然后证明了如果$G$是连通平面图，则$κ(G)-1 \leq κ_3(G)\leq κ(G)$，并给出了达到这一界的几类图。最后证明了平面图$G$的$κ(G)=κ_3(G)$是否能在多项式时间内求解的问题。
2009-06-17 math.CO
Directed Steiner tree packing and directed tree connectivity
对于一个有向图$D=(V(D), A(D))$，以及一个包含$r\in S$和$|S|\geq 2$的集合$S\subseteq V(D)$，$(S, r)$ -树是一个以$r$为根的外树$T$，其中包含$S\subseteq V(T)$。如果$A(T_1)\cap A(T_2)=\emptyset$，则两个$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为弧不相交。如果$V(T_1)\cap V(T_2)=S$，则两个弧不相交的$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为内部不相交。令$κ_{S,r}(D)$和$λ_{S,r}(D)$分别是$D$中内部不相交和弧不相交的$(S, r)$ -树的最大数目。$D$的广义$k$ -顶点强连通性被定义为$$κ_k(D)= \min \{κ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。类似地，定义$D$的广义$k$ -弧强连通性为$$λ_k(D)= \min \{λ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。广义$k$ -顶点强连通性和广义$k$ -弧强连通性也称为有向树连通性，它扩展了$D$的良连通性，建立了无向图到有向图的树连通性，可以看作是有向图的经典连通性的推广。本文完全确定了一般有向图、对称有向图和欧拉有向图上的$κ_{S, r}(…
2020-11-09 math.CO
Extremal properties and bounds for the generalized algebraic connectivity of graphs in Euclidean spaces
Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）；CONICET-Universidad de Buenos Aires, INTECIN（阿根廷国家科学研究委员会-布宜诺斯艾利斯大学，智能通信研究所）；Universidad de San Andrés（圣安德烈斯大学）；CONICET（阿根廷国家科学研究委员会）
本文研究了欧几里得空间中图的广义代数连通性，提出了d-刚性比作为衡量刚性的指标，并改进了相关上界。
2026-09-07 math.CO math.OC
Strong Subgraph $k$-connectivity
由Hager（1985）提出的广义连通度在无向图中得到了广泛的研究，并成为无向图理论中的一个成熟领域。对于连通性问题，有向图可以被认为是无向图的推广。通过用强连通度代替连通度，将无向图的广义$k$ -连通度自然地推广到有向图（我们称之为强子图$k$ -连通度）.我们证明了NP-完全性结果和多项式算法的存在性。我们证明了强子图$k$ -连通性在某种意义上比广义$k$ -连通性更难计算。而对于半完全有向图和对称有向图，强子图$k$ -连通度可以在多项式时间内计算.我们也给出了强子图$k$ -连通性的精确界，并提出了一些开放的问题。
2018-03-01 cs.DM math.CO
The generalized 3-connectivity of Cartesian product graphs
图的广义连通性是最近由Chartrand等人提出的，是顶点连通性概念的推广。设$S$是$G$的一个非空顶点集，$G$中的树的集合$\{T_1,T_2,...,T_r\}$称为连接$S$的内部不交树，如果对于任何一对不同的整数$i,j$，有$E(T_i)\cap E(T_j)=\emptyset$和$V(T_i)\cap V(T_j)=S$，其中$1\leq i,j\leq r$ .对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，$G$的$k$ -连通性$κ_k(G)$是最大正整数$r$，对于该最大正整数，$G$至少包含连接$S$的$S$的$k$顶点的任何集合的$S$的$r$内部不相交树。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的连通性。Sabidussi证明了对任意两个连通图$G$和$H$都有$κ(G\Box H) \geq κ(G)+κ(H)$.本文首先研究了图$G$和树$T$的笛卡儿积的3-连通性，证明了$(i)$如果$κ_3(G)=κ(G)\geq 1$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)$ ; $(ii)$如果$1\leq κ_3(G)< κ(G)$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)+1$ .此外，对于任何两个连通图$G$和$H$，如果$κ(G)>κ_3(G)$，则$κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)$ ;如果…
2011-05-03 math.CO
The generalized connectivity of complete bipartite graphs
设$G$是一个阶为$n$的非平凡连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$-$connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取$V(G)$的所有$k$ -子集$S$。因此，$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。此外，$κ_{n}(G)$是$G$的边不相交生成树的最大数目。本文主要研究了完全二部图PDMATHBNF的PDMATHBMO-连通性.首先，我们得到了$K_{a,b}$的边不交生成树的个数，即$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$，并具体给出了$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$边不交生成树。在此基础上，我们得到了所有$2\leq k \leq a+b$的$K_{a,b}$的$k$连通性.即，如果$k>b-a+2$和$a-b+k$是奇数，则$κ_{k}(K_{a,b})=\frac{a+b-k…
2010-12-28 math.CO
Completely independent Steiner trees and corresponding tree connectivity
School of Applied Sciences, Taiyuan University of Science and Technology（太原科技大学应用科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Shanxi University（山西大学数学与统计学院）
本文提出完全独立的Steiner树及其广义k*连通性概念，研究了其在完全图和完全二分图中的性质及下界。
2025-12-23 math.CO
On extremal graphs with at most $\ell$ internally disjoint Steiner trees connecting any n-1 vertices
图的最大局部连通度$\bar κ$的概念是由Bollobás提出的。其中一个问题是确定局部连通度至多为$\ell$的$n$阶图的最大边数$f(n;\barκ\leq \ell)$。我们考虑上述概念和问题的推广。对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，\emph{generalized local connectivity} $κ(S)$是连接$G$中的$S$的内部不相交树的最大数量。参数$\barκ_k(G)=max\{κ(S)|S\subseteq V(G),|S|=k\}$称为$G$的\emph{maximum generalized local connectivity}。本文研究了$n$阶图的最大广义局部连通度至多为$\ell$的边的最大个数$f(n;\barκ_k\leq \ell)$问题。确定了$k=n,n-1$的$f(n;\barκ_k\leq \ell)$的精确值。对于一般的$k$，我们构造了一个图，以获得一个尖锐的下界。
2013-04-13 math.CO
Connectivity keeping stars or double-stars in 2-connected graphs
在[W. Mader，Connectivity keeping paths in $k$ -连通图，J. Graph Theory 65（2010）61-69.]，Mader证明了：对每个正整数$k$和每个序为$m$的有限树$T$，每个$k$ -连通的，具有$δ(G)\geq \lfloor\frac{3}{2}k\rfloor+m-1$的有限图$G$包含一个同构于$T$的子树$T'$，使得$G-V(T')$是$k$ -连通的.在同一篇论文中，Mader证明了当$T$是一条路时，该猜想成立。Diwan，N. P. Tholiya，连通图中的非分离树，离散数学309（2009）5235-5237。验证了$k=1$ .本文证明了当$T$是星或双星且$k=2$是双星时，Mader猜想成立.
2017-07-24 math.CO
Shellability and higher Cohen-Macaulay connectivity of generalized cluster complexes
设$Φ$是秩为$n$的有限根系，$m$是非负整数.广义簇合物$Δ^m (Φ)$是由S. Fomin和N.阅读这些作者证实了$Δ^m (Φ)$是可壳的，V. Reiner证实了它是$(m+1)$ -Cohen-Macaulay，在Baclawski的意义上。本文证明了这些说法。对于$Δ^m (Φ)$的正部分$Δ^m_+ (Φ)$，类似的陈述也成立。本文给出了$Δ^m_+ (Φ)$与广义非交叉划分偏序集之间的同伦等价性。阿姆斯特朗
2007-03-15 math.CO math.RT
Star Structure Connectivity of Folded hypercubes and Augmented cubes
连通度是衡量网络鲁棒性的一个重要参数。作为推广，提出了图的结构连通度和子结构连通度。对于连通图$G$和$H$，分别证明了$H$ -结构连通性$κ(G; H)$（resp. $H$-$G$的子结构连通性$κ^{s}(G; H)$）是$G$的一组子图$F$的最小基数，每个子图都同构于$H$（分别为到$H$的连通子图），使得$G-F$是不连通的或单例的。$n$维折叠超立方体$FQ_{n}$和增广立方体$AQ_{n}$作为超立方体的流行变体，是多处理器系统中有吸引力的互连网络原型.在本文中，我们得到了$κ(FQ_{n};K_{1,m})=κ^{s}(FQ_{n};K_{1,m})=\lceil\frac{n+1}{2}\rceil$对于$2\leqslant m\leqslant n-1$，$n\geqslant 7$，和$κ(AQ_{n};K_{1,m})=κ^{s}(AQ_{n};K_{1,m})=\lceil\frac{n-1}{2}\rceil$对于$4\leqslant m\leqslant \frac{3n-15}{4}$。
2022-01-17 math.CO
Hardness results on generalized connectivity
设$G$是一个非平凡的$n$阶连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。具有此属性的$G$中树的集合$\{T_1,T_2,...,T_\ell\}$称为连接$S$的树的内部不相交集。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$ - $connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取在$V(G)$的所有$k$ -子集$S$上。因此，$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性，有多项式时间算法来解决它。首先，我们证明了对于两个固定的正整数$k_1$和$k_2$，给定一个图$G$和$V(G)$的一个$k_1$ -子集$S$，判定$G$是否包含连接$S$的$k_2$内部不交树的问题可以用一个多项式时间算法来解决.然后，我们表明，当$k_1$是一个固定的整数至少为4，但$k_2$是不是一个固定的整数，问题原来是NP-完全的。另一方面，当$k_2$是一个固定的整数至少为2，但$k_1$不是一个固定的整数，我们表明…
2010-05-04 cs.DM math.CO
Connectivity, toughness, spanning trees of bounded degree, and the spectrum of regular graphs
本文给出了正则图的谱与其广义连通度、坚韧度以及有界度支撑树的存在性之间的关系的一些新结果。
2016-02-18 cs.DM math.CO
Edge-fault-tolerant strong Menger edge connectivity of bubble-sort star graphs
互连网络的连通度和边连通度决定了网络的容错性。互连网络通常被看作是一个连通图，其中顶点对应于处理器，边对应于两个不同处理器之间的链路。给定一个具有点集$V(G)$和边集$E(G)$的连通图$G$，如果对任意两个不同的点$u,v\in V(G)$，$u$和$v$之间存在$\min\{d_G(u),d_G(v)\}$边不交路，则$G$是强Menger边连通的.令$m$是具有$m\geq1$的整数。如果对于任何具有$|F_e|\leq m$的$F_e\subseteq E(G)$，$G-F_e$保持强Menger边连通，则$G$是$m$ -边容错强Menger边连通的。如果对于任何具有$|F_e|\leq m$和$δ(G-F_e)\geq2$的$F_e\subseteq E(G)$，$G-F_e$是强Menger边连通的，则$G$是$m$ -条件边容错强Menger边连通的。本文考虑$n$维泡排序星图$BS_n$。我们证明了$BS_n$是$(2n-5)$ -边容错强Menger边连通的$n\geq3$和$(6n-17)$ -条件边容错强Menger边连通的$n\geq4$ .此外，我们给出了一些例子来说明我们的结果是最优的。
2020-01-03 math.CO
Extremality and Sharp Bounds for the $k$-edge-connectivity of Graphs
Boesch和Chen（SIAM J. Appl. Math.，1978）提出了广义边连通度的一个截断版本，称为$k$ -边连通度。对于具有$2\leq k\leq n$的任何整数$k$，由$λ_k(G)$表示的图$G$的{ \em $k$ -边连通性}被定义为从$G$移除其产生具有至少$k$分量的图的边的最小数目。本文首先利用$n$和$k$计算了$λ_k(G)$的一些精确值和锐界。然后讨论了$λ_k(G)$与其他广义连通性之间的关系。在$\mathcal{O}(n^2)$时间将提供一个算法，使我们可以得到一个尖锐的上限方面的最大程度。在我们的结果中，我们还计算了函数$f(n,k,t)$的一些精确值和锐界，该函数定义为具有阶$n$和$λ_k(G)=t$的连通图$G$的最小尺寸。
2019-01-18 cs.DM math.CO
Embedded connectivity of recursive networks
设$G_n$是一个$n$维递归网络. $h$ -嵌入式连接$ζ_h(G_n)$（分别$G_n$的边连通性$η_h(G_n)$）是顶点的最小数目（分别为边），其移除导致断开，并且每个顶点包含在$h$维子网络$G_h$中。本文确定了超立方体$Q_n$的$ζ_h$和$η_h$，以及泡式排序网络$B_n$的星形图$S_n$和$η_3$。
2015-11-12 math.CO
Tight connectivity and shadow densities in generalized Erdős--Rogers problems
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
研究广义Erdős–Rogers问题，证明对于r≥3且满足条件的超图F和G，存在对数上界，改进了He和Nie的猜想，并恢复了Ramsey下界。
2026-08-31 math.CO
3-path-connectivity of bubble-sort star graphs
该研究聚焦n维冒泡排序星图BSₙ的3-路径连通性问题，通过深入分析图的结构，推导出对任意n≥3，其3-路径连通度为⌊3n/2⌋-3，完善了这类互连网络的连通性理论结果。
2025-06-18 math.CO
The Component Connectivity of Alternating Group Graphs and Split-Stars
对于整数$\ell\geqslant 2$，图$G$的$\ell$ -分量连通性（用$κ_{\ell}(G)$表示）是从$G$中删除会导致至少具有$\ell$分量的断开图或具有少于$\ell$顶点的图的最小顶点数。这是一个自然的推广经典的连通图的最小顶点割定义的，是一个很好的措施，鲁棒性的图对应的网络。到目前为止，$\ell$ -连通性的确切值仅为少数几类网络和小$\ell$所知。在~[Component connectivity of the hypercubes，Int. J. Comput. Math.89（2012）137- 145]，对于大多数互连网络，诸如交替群图和星形图，确定$\ell$ -连通性仍然是未解决的。本文通过研究交错群图$AG_n$和分裂星$S_n^2$的组合性质和容错性，研究了它们的$\ell$ -分支连通性.我们得到以下结果：（i）$n\geqslant 4$的$κ_3(AG_n)=4n-10$和$κ_4(AG_n)=6n-16$，以及$n\geqslant 5$的$κ_5(AG_n)=8n-24$;（ii）$n\geqslant 4$的$κ_3(S_n^2)=4n-8$、$κ_4(S_n^2)=6n-14$和$κ_5(S_n^2)=8n-20$。
2018-12-03 cs.DM math.CO
On fault tolerance of (n,k)-star networks
$(n,k)$ -星形网络的容错性由其$h$ -超级连通性$κ_s^{(h)}$或$h$ -超级边缘连通性$λ_s^{(h)}$来衡量。Li { \it等人} [应用数学计算。248（2014），525-530; Math.Sci. Lett. 1（2012），133-138]测定了$0\leq h\leq n-k$的$κ_s^{(h)}$和$λ_s^{(h)}$。本文确定了$n-k\leq h \leq n-2$的$κ_s^{(h)}=λ_s^{(h)}=\frac{(h+1)!(n-h-1)}{(n-k)!}$。
2016-11-20 math.CO
Relationship between Conditional Diagnosability and 2-extra Connectivity of Symmetric Graphs
条件可诊断性和2-额外连通性是衡量多处理机系统故障诊断能力和容错能力的两个重要参数。$G$的条件可诊断性$t_c(G)$是在比较模型下$G$是条件$t$ -可诊断的最大数目$t$，而图$G$的2-额外连通性$κ_2(G)$是存在具有$|F|=k$的顶点切割$F$使得$G-F$的每个分量至少具有$3$顶点的最小数目$k$。一个很自然的问题是最大值和最小值之间的关系是什么？本文通过证明正则图$G$的$t_c(G)=κ_2(G)$在一定条件下是可接受的，部分回答了这个问题.作为应用，我们确定了几类著名的点传递图的条件可诊断性和2-额外连通度，这些图包括：星形图、$(n,k)$ -星形图、交错群网络、$(n,k)$ -排列图、交错群图、由换位生成树得到的Cayley图、泡排序图、$k$ -元$n$ -立方体网络和双立方体.此外，许多已知的结果，这些网络直接获得。
2015-08-10 math.CO
On resilience of connectivity in the evolution of random graphs
在本说明中，我们建立了一个弹性版本的经典击中时间的结果Bollobás和Bollason关于连接。一个图$G$被称为关于单调递增图性质$\mathcal{P}$是$α$ -弹性的，如果对于每个对所有$v \in V(G)$满足$\mathrm{deg}_H(v) \leq α\cdot \mathrm{deg}_G(v)$的生成子图$H \subseteq G$，图$G - H$仍然具有$\mathcal{P}$。假设$\{G_i\}$是随机图过程，即，从$n$顶点$G_0$上的空图开始，在每个步骤$i \geq 1$中，在缺失的边中均匀随机地选择边$e$并将其添加到图$G_{i - 1}$的过程。我们表明，随机图过程几乎肯定是这样的，从$m \geq (\tfrac{1}{6} + o(1)) n \log n$，$G_m$的最大连通分量是$(\tfrac{1}{2} - o(1))$弹性连接。结果是最佳的，在这个意义上，常数$1/6$的边缘数和$1/2$的弹性不能得到改善。我们得到类似的结果$k$连接。
2019-04-29 math.CO
Reliability Evaluation of Generalized $K_4$-Hypercubes Based on Five Link Fault Patterns
针对数据中心广义 $K_4$-超立方体，本文通过求解边等周问题，确定其多种边连通度参数及圈边连通度，从而评估五类链路故障模式下的网络可靠性。
2025-03-18 math.CO
The generalized reciprocal distance matrix of graphs
设$G$是一个简单无向连通图，其Harary矩阵为$RD(G)$，也称为$G$的倒数距离矩阵. $G$的倒数距离无符号拉普拉斯矩阵是$RQ(G)=RT(G)+RD(G)$，其中$RT(G)$表示图$G$的顶点倒数传输的对角矩阵。本文拟引入一个新的矩阵$RD_α(G)=αRT(G)+(1-α)RD(G)$，$α\in [0,1]$，来跟踪从$RD(G)$到$RQ(G)$的渐变。首先，我们完整地描述了某些特殊图的$RD_α(G)$的特征值。然后得到了$RD_α(G)$的一些基本性质，包括关于$G$的倒数距离矩阵、倒数距离无符号拉普拉斯矩阵和$RD_α$ -矩阵的谱半径的不等式.给出了$RD_α$ -矩阵的谱半径的上下界.最后，我们分别刻画了所有固定阶连通图中具有最大谱半径的$RD_α$ -矩阵的极图，以及精确的点连通度、边连通度、色数和独立数.
2022-04-08 math.CO
The star-structure connectivity and star-substructure connectivity of hypercubes and folded hypercubes
作为顶点连通度的推广，对于连通图$G$和$T$，分别给出了$T$ -结构连通度$κ(G, T)$（resp. $T$-$G$的子结构连通性$κ^{s}(G, T)$）是$G$的一组子图$F$的最小基数，每个子图都同构于$T$（分别为到$T$的连通子图），使得$G-F$是断开的。对于$n$ -维超立方体$Q_{n}$，Lin等人[6]显示了$2\leq r\leq 3$和$n\geq 3$的$κ(Q_{n},K_{1,1})=κ^{s}(Q_{n},K_{1,1})=n-1$和$κ(Q_{n},K_{1,r})=κ^{s}(Q_{n},K_{1,r})=\lceil\frac{n}{2}\rceil$。Sabir等人[11]获得了$n\geq 6$和$n$的$κ(Q_{n},K_{1,4})=κ^{s}(Q_{n},K_{1,4})=\lceil\frac{n}{2}\rceil$-维折叠超立方体$FQ_{n}$、$κ(FQ_{n},K_{1,1})=κ^{s}(FQ_{n},K_{1,1})=n$、$κ(FQ_{n},K_{1,r})=κ^{s}(FQ_{n},K_{1,r})=\lceil\frac{n+1}{2}\rceil$与$2\leq r\leq 3$和$n\geq 7$。他们提出了一个公开的问题，确定$K_{1,r}$ -结构连接的$Q_n$和$FQ_n$一般$r$。本…
2020-09-29 cs.IT math.CO math.IT
Group connectivity of 3-edge-connected signed graphs
本文研究符号图的 $A$-连通性，通过构造 Jaeger 等人三次图分解的符号图版本，证明3-边连通且允许流的符号图在 $|A|\geq 6$ 且 $|A|\neq 7$ 时为 $A$-连通。
2023-06-07 math.CO
Hamilton cycles in generalized dihedral Cayley graphs and digraphs
Xiamen University（厦门大学）；Capital University of Economics and Business（首都经济贸易大学）；The University of Melbourne（墨尔本大学）；Yantai University（烟台大学）
本文证明了广义二面体群上连通Cayley有向图存在有向Hamilton圈，证实了1978年的猜想，关键新工具是三次Haar图的三重和集覆盖定理。
2026-10-06 math.CO
On Generalized Token Graphs
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Universitat de Lleida（莱里达大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了广义令牌图的性质，探讨了不同条件下的令牌图家族及其特性，如阶数、大小和连通性。
2026-04-06 math.CO
Algebraic Connectivity and Degree Sequences of Trees
我们调查的结构的树，具有最小的代数连接之间的所有树与一个给定的度序列。我们表明，这样的树是毛毛虫和顶点度是非减少的非悬垂顶点的特征集的Fiedler向量开始的每一条路径上。
2008-10-06 math.CO math.SP
Generalized Bondage Number: The $k$-synchronous bondage number of a graph
本文研究了图的束缚数的一个推广，称为\textit{$k\,$-synchronous bondage number}。图的$k\,$ -同步束缚数是当去除边时使图的控制数增加$k$的最小边数。本文讨论了2-同步束缚数，并推广到$k\,$ -同步束缚数.给出了几类图的$k\,$ -同步束缚数，并给出了一般图的界.我们提出这个特性作为一个度量的连通性的单图与可能的用途在网络设计和优化领域。
2022-08-16 math.CO
Minimum Atom-Bond Sum-Connectivity Index of Trees With a Fixed Order and/or Number of Pendent Vertices
本文研究图的原子键和连通性（ABS）指数，刻画了固定悬挂顶点数的树中ABS指数最小的图为星图，还分析了n顶点p悬挂顶点树的最小ABS指数极值树的结构特征。
2023-12-16 math.CO
Robustness of Regular Graphs Based on Natural Connectivity
最近有人提出，自然连通度可以用来有效地刻画复杂网络的鲁棒性。自然连通性通过评估所有长度的闭合行走的加权数量来量化网络中替代路线的冗余度，并且可以被视为从图谱中获得的平均特征值。在本文中，我们探索的自然连通性的规则环格和定期随机图通过度保持随机重布线从定期环格的解析和数值。利用广义Bessel函数重新定义了正则环格的自然连通性，并证明了正则环格的自然连通性与网络规模无关，且随网络规模单调增加.我们还表明，随机正则图具有较低的自然连通性，因此不太强大，比定期环格。
2009-12-11 cond-mat.stat-mech gr-qc math.CO
Hamiltonian properties in generalized lexicographic products
本文研究广义字典序积的哈密顿性质，针对路径情形给出了可追踪性、哈密顿性和哈密顿连通性的充要条件，改进并推广了已有结果。
2023-11-15 math.CO
Connectivity of Old and New Models of Friends-and-Strangers Graphs
本文研究朋友与陌生人图的连通性，改进随机图阈值概率的上下界，否证两个猜想，并推广该概念至顶点带多重性的情形。
2023-09-07 math.CO
