Coloring intersection graphs of arc-connected sets in the plane
平面上的集合族是单的，如果它的任意子族的交是弧连通的，并且它被线$L$穿过，如果它的任意成员与$L$的交是非空线段。证明了平面上被一条公共线穿过的紧致弧连通集的简单族的交图的色数受其团数的函数限制。
2014-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
A Note on the Hodge Structure of the Intersection of Coloring Complexes
设$G$是具有$n$顶点的简单图.染色复形$Δ(G)$由Steingr 'ımsson定义，而Jonsson证明了$Δ(G)$的同调仅在维数$n-3$上是非零的。Hanlon最近证明了欧拉幂等元提供了同调群$H_{n-3}(Δ(G))$的分解，其中分解中$j^{th}$分量的维数$H_{n-3}^{(j)}(Δ(G))$等于$G$的色多项式$χ_{G}(λ)$中$λ^{j}$的系数的绝对值。Jonsson最近研究了着色复形的交叉点的拓扑。本文证明了着色复形的交的色多项式中的${j}^{th}$项的系数给出了着色复形的交的Hodge分解的$j^{th}$ Hodge子复形的Euler特征线.
2010-08-30 math.CO
Conflict-Free Coloring of Intersection Graphs of Geometric Objects
在FOCS'2002中，Even等人引入并研究了几何定义超图的无冲突染色的概念。他们的动机是蜂窝网络中的频率分配问题。自那时以来，这一概念得到了广泛的研究。图的无冲突染色是指图的顶点的染色，使得每个顶点的邻域（点或闭）包含一个顶点，该顶点的颜色与该邻域中所有其他顶点的颜色不同。本文研究了几何对象的交图的冲突着色问题。我们表明，任何交图的n个伪盘在平面上承认一个冲突的自由着色与O（\log n）的颜色，关于封闭和指向的邻居。我们还表明，后者的界限是渐近尖锐的。使用我们的方法，我们还得到了一个加强的两个主要结果的Even等人。我们相信这是独立的利益。特别是，鉴于原来的动机，研究这种着色，这种加强建议进一步应用于无线网络中的频率分配。最后，我们给出了其他类型的交图的无冲突着色所需颜色数的界，包括平行轴矩形的交图和平面上的ρ-胖对象的交图.
2017-04-06 math.CO
Coloring, list coloring, and fractional coloring in intersections of matroids
研究k个拟阵交集超图的着色参数差距，证明列表色数不超过色数的k倍及最大色数的2k-1倍，并借助拓扑工具建立多面体与分数色数、匹配及覆盖数的联系。
2025-04-23 math.AT math.CO
$k$-intersection edge-coloring subcubic planar multigraphs
给定一个简单图的边染色，给每个顶点$v$分配一个集合$S_v$，该集合由与$v$关联的边上使用的颜色组成。图的$k$交色指数是使边集能被适当$t$着色的最小$t$，另外还要求对每两个邻顶点$u$和$v$，有$|S_u \cap S_v| \le k$ .对于所有的$k \neq 2$，该值对于次三次可平面图是已知的，而且，这些值是最佳可能的。我们很自然地将这个定义推广到边重数有界的多重图，并且证明了边重数至多为2的次立方平面多重图的2-交色数至多为5，这是一个尖锐的结果。
2015-06-10 math.CO
Coloring hypergraphs with bounded cardinalities of edge intersections
本文讨论了边度有界的超图的染色的极值问题。考虑$b$ -简单超图族，其中任意两条边共享的公共顶点不超过$b$。证明了对于$n\geqslant n_0(b)$，任何最大边度至多为$c\cdot nr^{n-b}$的$n$ -均匀$b$ -简单超图都是$r$ -可染的，其中$c>0$是一个绝对常数.我们还建立了主要结果的一些应用。
2019-09-01 math.CO
The intersection of two vertex coloring problems
洞是至少有四个顶点的诱导环。一个洞是偶数，如果它的顶点数是偶数。给定一个图集L，如果G不包含L中的任何图作为导出子图，则G是L-自由图。目前，有两个问题尚未解决：偶无洞图着色的复杂性和无{4K 1，C4}图着色的复杂性。这两个问题的交集就是无{4K 1，C4，C6}图的着色问题。在本文中，我们提出的部分结果，这个问题。
2019-04-17 cs.DM math.CO
On-line coloring between two lines
我们研究了某些图的在线着色，这些图是“两条线之间”的对象的交图，即，存在一对水平线，使得表示的每个对象是包含在所述线之间的条带中的连通集，并且接触这两条线。允许这种表示的一些图类是置换图（段），区间图（轴对齐的矩形），梯形图（梯形）和协可比图（简单曲线）。本文提出了一个在线算法，利用$O(ω^3)$对具有最大团大小$ω$的图进行着色。相反，连接到单条线的线段的相交交图可能会迫使任何在线着色算法使用任意数量的颜色，即使当$ω=2$。{ \em left-of}关系使得两条直线之间的对象的交图的补成为偏序集。另外，我们还讨论了由两直线间的凸集得到的偏序集类$\mathcal{C}$与其它偏序集类的关系：所有$2$ -维偏序集和所有高度$2$的偏序集都在$\mathcal{C}$中，但有一个高度$3$的$3$ -维偏序集不属于$\mathcal{C}$ .我们还表明，两条线之间的曲线的在线着色问题是困难的任意偏序集的在线链划分问题。
2015-05-26 cs.CG math.CO
Enumeration of intersection graphs of $x$-monotone curves
Stanford University（斯坦福大学）；Rényi Institute of Mathematics（雷尼数学研究所）；Department of Mathematics, University of California at San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校数学系）
研究x-单调伪段交集图的计数，证明其数量下界与上界均为2^{O(n^{4/3}log²n)}
2026-01-09 math.CO
Coloring triangle-free rectangle overlap graphs with $O(\log\log n)$ colors
最近，证明了平面上$n$线段的无三角形交图的色数可以达到$Θ(\log\log n)$。基本上相同的建设产生$Θ(\log\log n)$ -色三角形的各种其他几何形状的交叉图-那些属于任何类的紧凑的弧连接集在$\mathbb{R}^2$关闭水平缩放，垂直缩放，平移，除了轴平行矩形。我们证明了这种构造对于平行轴矩形的边界相交图是渐近最优的，而平行轴矩形的边界相交图又可以描述为平行轴矩形的重叠图。也就是说，我们证明了无三角形的矩形重叠图具有色数$O(\log\log n)$，改进了以前的界$O(\log n)$。为此，我们利用离线着色的矩形重叠图和区间重叠图的在线着色之间的关系。我们的着色方法分解成一个有界数量的子图的树状结构，“编码”的对手在在线着色问题的战略。然后，使用来自在线算法（首次拟合）和数据结构设计（重-轻分解）的技术的组合，用$O(\log\log n)$颜色对这些子图着色。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Coloring and Maximum Weight Independent Set of Rectangles
1960年，Asplund和Grünbaum证明了平面上平行轴矩形的交图都有$O(ω^2)$ -染色，其中$ω$是团的最大尺寸。我们提出了第一个渐进的改进，在这个六十岁的界限，证明每个这样的图是$O(ω\logω)$ -着色，并提出了一个多项式时间算法，发现这样的着色。这一改进导致了一个多项式时间的$O(\log\log n)$近似算法的最大重量独立集问题的轴平行矩形，这提高了以前的近似率$O(\frac{\log n}{\log\log n})$。
2020-07-15 cs.CG math.CO
A Helly-type theorem for semi-monotone sets and monotone maps
我们考虑定义在实数上的O-极小结构上的集合和映射，例如实半代数或次解析集合。一个{ \em单调映射}是通常的一元单调函数的多维推广，而单调映射的图的闭包是紧凸集的推广.在一个常数相同的函数的特殊情况下，这样的图被称为{ \em半单调集}。单调映射的图通常是非凸的，它们的交集与凸集的交集不同，可以是拓扑复杂的。特别地，这样的交集不一定是单调映射的图。然而，我们证明了一个Helly型定理，即对于$\Real^n$的子集的有限族，如果基数至多为$n+1$的子族的所有交集都是非空的且是单调映射的图，则整个族的交集都是非空的且是单调映射的图。
2013-08-16 math.AG math.CO math.LO
Minimum number of monotone subsequences of length 4 in permutations
我们证明了对于每一个足够大的$n$，在$n$点上的置换中长度为4的单调连续的个数至少是$\binom{\lfloor n/3 \rfloor}{4} + \binom{\lfloor(n+1)/3\rfloor}{4} + \binom{\lfloor (n+2)/3\rfloor}{4}$。此外，我们刻画了$[n]$上达到这个下界的所有置换。证明使用了标志代数框架以及一些额外的稳定性参数。这个问题等价于具有两种颜色的完全图的某些特定类型的边着色，其中单色$K_4$的数目最小化。我们证明了所有的极值着色必须包含单色$K_4$的只有在两种颜色之一。这又转化回置换，其中所有长度为4的单调连续性都是增加的，或者只减少。
2014-11-11 math.CO
Coloring triangle-free L-graphs with $O(\log\log n)$ colors
证明了平面上$n$ L形的无三角形交图的色数为$O(\log\log n)$。这改进了先前的$O(\log n)$的界（McGuinness，1996）并且匹配已知的下界构造（Pawlik等人，2013年）。
2020-02-25 cs.CG cs.DM math.CO
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
2024-03-11 cs.DM math.CO
On List Coloring with Separation of the Complete Graph and Set System Intersections
我们考虑以下列表着色与分离问题：给定图$G$和整数$a,b$，找到最大整数$c$，使得对于$G$的任何列表分配$L$，对于$G$的任何顶点$v$具有$|L(v)|= a$，对于$G$的任何边$uv$具有$|L(u)\cap L(v)|\le c$，存在整数集合到$G$的顶点的分配$φ$，使得对于任何顶点$φ(u)\subset L(u)$和$φ(u)\cap φ(v)=\emptyset$适用于任何边缘$uv$。这样的$c$值称为$(G,a,b)$的分离数。使用一个特殊的划分的一组列表，我们获得了一个改进版本的庞加莱的crible，我们确定的分离数的完全图$K_n$的一些值的$a,b$和$n$，并证明了边界的其余值。
2022-09-07 cs.DM math.CO
Intersection Arrays of Completely Regular Codes of Covering Radius One in Generalized Petersen Graphs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
研究广义Petersen图GP(n,k)中覆盖半径1的完全正则码的所有可能交数组，通过完美2-着色等价转化为商矩阵枚举，给出存在性的充要算术条件并构造显式周期着色。
2026-06-15 math.CO
On generalized Kneser hypergraph colorings
在Ziegler（2002）中，第二作者给出了超图$\KG{r}{\pmb s}{\calS}$的色数的一个下界，“广义的$r$ -均匀Kneser交交重数超图$\pmb s$ .“它推广了Kriz（1992/2000）对没有交重数的${\pmb s}=(1,...,1)$的下界和Sarkaria（1990）对$\calS=\tbinom{[n]}k$的下界。在这里，我们讨论的微妙之处和困难，出现交重数$s_i>1$：1。在存在交重数的情况下，有两种不同版本的“Kneser超图”，这取决于是否允许超图的边是多集而不是集。我们证明了超图的这两个概念的色数是有本质区别的。Sarkaria（1990）和Ziegler（2002）的下界仅适用于多集版本。2.在Sarkaria和Ziegler的证明中，对素数$r$的简化仅在交重数数严格小于$r$的最大素因子时才起作用。目前我们还没有有效的证据证明其他情况下的下界结果。我们还证明了所有没有多重集边的一致超图都可以表示为广义Kneser超图。
2006-03-01 math.CO
Coloring the intersection of two matroids
本文证明两个拟阵交集的着色定理中 p 整除 q 的条件冗余，并进一步证明其满足 p+q 列表着色，利用拓扑学新参数给出连通性下界。
2025-04-23 math.AT math.CO
Coloring of zero-divisor graphs of posets and applications to graphs associated with algebraic structures
本文刻画了有限偏序集的弦图和完美零因子图。证明了有限偏序集的零因子图和有限$0$ -分配偏序集的零因子图的补图满足全染色猜想.这些结果被应用于有限约化环的零因子图、环的上极大理想图、零化理想图、环的理想的交图以及循环群的子群的交图。事实上，证明了通过由$R$构造偏序集的零因子图，可以有效地研究与具有单位元的交换环$R$相关的图.
2022-05-10 math.AC math.CO
Ramsey numbers for degree monotone paths
图$G$中的路径$v_1,v_2,\ldots,v_m$是$degree$，如果$deg(v_1) \leq deg(v_2) \leq \cdots \leq deg(v_m)$，其中$deg(v_i)$是$v_i$在$G$中的度。最近的几篇论文研究了最长度单调路径。在这里，我们考虑度单调路径的Ramsey型问题。用$M_k(m)$表示最小数$M$，使得对于所有$n \geq M$，在$K_n$的任何$k$ -边着色中，存在一些$1\leq j \leq k$，使得由着色$j$的边形成的图具有$m$阶的度单调路径。我们证明了$M_k(m)$的几个非平凡的上界和下界。
2015-03-26 math.CO
Conflict-Free Coloring of String Graphs
图$G = (V,E)$的无着色（CF-着色）是指图$V$的一种着色，使得每个顶点的邻域都包含一个顶点，该顶点的颜色与该邻域中任何其他顶点的颜色不同。本文研究了一般图和几何形状的交图的CF-色数的界。在本文中，我们得到了几类字符串图，即，（1）给出了任意顶点为$n$的弦图$G$的CF-色数的$O(χ(G)^2 \log n)$关于经典色数$χ(G)$的一般上界。这一结果与一般图的CF-色数可以是$Ω(\sqrt{n})$已经为二部图相反。(ii)对于某些中心类的弦图，CF-色数与$Θ(\sqrt{n})$一样大，这是任何图的上界，即使在非几何的背景下。对于几个这样的类（例如，图的交叉图），我们证明了一个紧界的$Θ(\log n)$关于$k$-CF-着色的概念（其中每个顶点的打孔邻域包含的颜色，出现在最多$k$时间），对于一个小的常数$k$。(iii)本文得到了任意超图的$k$-CF-色数的一个一般上界：任何具有$m$超边的超图都可以被$\tilde{O}(m^{\frac{1}{k+1}})$着色.这个界扩展了Pach和Tardos（2009）的界，对于某些弦图是紧的，直到对数因子。(iv)我们的第四个结果涉及圆图中的着色问题的动机VLSI设计。证明了$Θ(\log n)$关于圈图CF-色数的一个紧界，以及$O(\log^{3} n)$对于包含圈图的更广泛的一类，即接地L-形的交图…
2019-01-18 math.CO
Silver block intersection graphs of Steiner 2-designs
对于块设计$\cal{D}$、一系列{ \sf块交图} $G_i$或$i$ -{ \rm BIG}（$\cal{D}$），定义$i=0, ..., k$，其中顶点是$\cal{D}$的块，当且仅当对应的块恰好相交于$i$元素时，两个顶点相邻。银图$G$是相对于$G$的最大独立集定义的，称为该图的{ \sf对角线}。设$G$是$r$ -正则的，$c$是$G$的一个真$(r + 1)$ -染色. $G$中的顶点$x$被称为相对于$c$的{ \sf rainbow}，如果每个颜色都出现在闭合邻域$N[x] = N(x) \cup \{x\}$中。给定$G$的对角线$I$，如果每个$x\in I$相对于$c$是彩虹，则称着色$c$相对于$I$是银色的。我们说$G$是{ \sf silver}，如果它允许相对于某些PDMATHAMY的银色着色。研究了Steiner体系${\cal{D}}=S(2,k,v)$的0-{ \rm BIG}（$\cal{D}$）和1-{ \rm BIG}（$\cal{D}$）为银的条件.
2012-03-28 math.CO
Online coloring of disk graphs
本文对有界直径圆盘的交图的经典着色问题给出了一族在线算法。我们的算法利用这种图的几何表示，并受到Fiala等人的算法的启发，但具有更好的竞争力。改进来自于使用两种技术，即在着色之前对顶点集进行分区。其中之一是平面的b重着色的应用。该方法是更一般的，我们展示了它如何可以应用到着色其他形状的平面上，以及调整它的在线L（2，1）-标签。
2022-06-29 math.CO
Coloring hypergraphs that are the union of nearly disjoint cliques
本文研究由两两小交集团并集构成的超图最大色数，构造了团数量为多项式级的近似designs以证明其具有大色数，并通过随机贪婪超图过程对交集至多为1的情况给出下界，同时探讨了有限射影/仿影平面中最大caps数量的界。
2023-04-10 math.CO
On-line approach to off-line coloring problems on graphs with geometric representations
本文的主要目标是形式化和探索图的色性与几何表示和在线算法的竞争分析之间的联系，这在最近Pawlik等人构造了具有任意大色数的无三角形几何求交图之后变得明显。线图着色问题产生具有自然几何解释的博弈图类。我们使用这个概念来估计的色数的图形与几何表示找到，适当的简单的图形，在线着色算法，使用很少的颜色或证明，没有这样的算法存在。我们推导出矩形重叠图，子树重叠图和区间细丝图（所有这些都是广义区间重叠图）的最大色数的上限和下限时，他们的团数是有界的。区间细丝图的边界是绝对的，矩形和子树重叠图的形式$(\log\log n)^{f(ω)}$的渐近，其中$f(ω)$是团数的多项式函数，$n$是顶点数。特别地，我们首次构造了团数有界且色数渐近大于$\log\log n$的几何求交图。我们还引入了$K_k$ -free着色的概念，并表明，对于某些几何表示，$K_3$ -free色数可以有界的集团数，但普通（$K_2$ -free）色数不能。对于线段交图的这样一个结果暗示了一个著名的猜想：$k$ -拟平面几何图具有线性多条边。
2016-12-29 cs.CG cs.DM cs.DS
Coloring curves that cross a fixed curve
证明了对任意整数$t\geq 1$，平面上与固定曲线相交的曲线在至少一个且至多$t$点上的交图类是$χ$ -有界的.这基本上是对这类图类所能得到的最强的$χ$ -有界性结果。作为推论，我们证明了对任意固定整数$k\geq 2$和$t\geq 1$，$k$ -拟平面拓扑图在$n$顶点上的任意两条边最多相交$t$次都有$O(n\log n)$边.
2017-10-04 cs.CG cs.DM math.CO
Sublinear separators in intersection graphs of convex shapes
给出了R^d中紧凸集的交图存在次线性平衡分离子的一个自然充分条件。这个条件推广了以前关于交图中次线性分离子的几个结果。此外，用于证明次线性分离器存在性的论证是基于与以前在几何设置中没有探索过的广义着色数的连接。
2020-01-06 math.CO
A Strengthening of the Erdős-Szekeres Theorem
用图的形式表述的Erdens-Szekeres定理说，有序完全图$K_{rs+1}$的边的任何红-蓝着色包含一个带有$r$边的单调递增路径的红色副本或一个带有$s$边的单调递增路径的蓝色副本。尽管$rs + 1$是此结果所需的最小顶点数，但并非$K_{rs+1}$的所有边都是必需的。我们用这个着色性质刻画了$K_{rs+1}$的子图：它们是包含我们称之为圆帐篷图$CT(r,s)$的所有边的子图.此外，我们使用类似的证明技术，以改善一些界限上的在线订购的大小拉姆齐数的路径由佩雷斯-Giménez，Pralat，和西方。
2021-09-21 math.CO
Triangle-free geometric intersection graphs with large chromatic number
几个经典的结构说明了这样一个事实，即一个图的色数可以是任意大的相比，它的团数。然而，直到最近，没有这样的建设是已知的交图的几何对象在平面上。我们提供了一个一般的结构，对于任何弧连接的紧凑集$X$在$\mathbb{R}^2$是不是一个轴对齐的矩形和任何正整数$k$产生一个家庭$\mathcal{F}$的集，每个由一个独立的水平和垂直缩放和平移$X$，使没有三个集在$\mathcal{F}$两两相交和$χ(\mathcal{F})>k$。这为Gyarfas和Lehel关于L形的问题提供了否定的答案。在额外的条件下，我们还展示了如何构建一个三角形免费家庭的位似（均匀缩放）副本的一组任意大的色数。这适用于许多常见的形状，如圆形，方形边界和等边L形。此外，我们还揭示了平面上几何对象的着色与直线上间隔的在线着色之间令人惊讶的联系。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Semi-algebraic colorings of complete graphs
考虑完全图的边的$m$ -着色，其中每个色类都是半代数定义的，具有有限的复杂性。病例$m = 2$首先由Alon等人研究，他应用这个框架获得了令人惊讶的强拉姆齐型结果的相交图的几何对象和其他图形中出现的计算几何。考虑$m$的较大值是相关的，例如，关于由点集确定的不同距离的数量的问题。对于$p\ge 3$和$m\ge 2$，经典Ramsey数$R(p;m)$是使得$n$顶点上的完全图$K_n$的边的任何$m$ -染色包含单色$K_p$的最小正整数.这是一个长期存在的公开问题，可以追溯到舒尔（1916年），以决定是否$R(p;m)=2^{O(m)}$，为一个固定的$p$。我们证明，这是真的，如果每个颜色类定义半代数有界的复杂性。这个界限的数量级是紧的。我们的证明是基于Chazelle的切割引理{ \em et al.}，和Szemerédi型正则引理的多色半代数图，这是独立的兴趣。同样的技术是用来解决一个更一般的拉姆齐型问题的Erdalys和Shelah的半代数变体。
2018-12-05 cs.CG math.CO
Clique coloring $B_1$-EPG graphs
本文研究 $B_1$-EPG 图的团着色问题，证明其是 $4$-团可着色的，并给出了基于图表示构造该着色的线性时间算法。
2017-01-18 math.CO
Graph Classes Closed under Self-intersection
针对单调类算法二分法无法扩展到遗传类的问题，本文通过研究严格介于两者间的自交封闭遗传图类，证明其排除三脚架时的结构刻画，并据此得到最大独立集等问题的算法二分法。
2025-11-11 cs.CC cs.DM cs.DS
Geometry based heuristics for unit disk graphs
单位圆盘图是平面上单位半径圆的交图。我们提出了简单的和可证明的好算法的一些经典的NP-难最优化问题的单位圆盘图。所考虑的问题包括最大独立集、最小顶点覆盖、最小染色和最小控制集。我们还提出了一个在线着色启发式，实现了单位盘图的竞争比为6。我们的算法不需要单位圆盘图的几何表示。几何表示法仅用于确定几何学的性能保证。我们的几个近似算法可以推广到平面上任意半径圆的交图、正多边形的交图以及高维规则物体的交图。
1994-09-21 cs.CC math.CO
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
2020-03-31 math.CO
Ramsey numbers of cliques versus monotone paths
Erdos-Szekeres单调子序列定理的一个公式表明，对于$\{1, 2, \ldots, N\}$上完全图的边集的任何红/蓝着色，存在一个单色红色$s$ -团或一个单色蓝色增加路径$P_n$，其顶点为$n$，条件是$N >(s-1)(n-1)$。我们以前已经证明，这个问题的一个适当的推广到四重系统基本上是等价于经典的对角超图Ramsey数。在这里，我们证明了一个类似的声明，在非对角的情况下，三重系统，与拟多项式界$N>2^{c(\log n)^{s-1}}$。对于具有$n$顶点的序增图路的$t$次幂$P_n^t$，我们证明了一个近线性界$c\, n(\log n)^{s-2}$，它改进了Conlon-Fox-Lee-Sudakov提出的适用于比$P_n^t$更一般的一类图的界.
2023-03-29 math.CO
Ordered graphs and large bi-cliques in intersection graphs of curves
有序图$G_<$是指在其顶点集上具有全序$<$的图。长度为$k$的单调路径是一个顶点序列$v_1<v_2<\ldots<v_k$，使得$v_iv_{j}$是$G_<$的边当且仅当$|j-i|=1$。$m$大小的二团是顶点类为$m$大小的完全二部图。证明了对任意正整数$k$，存在一个常数$c_k>0$，使得$n$顶点上的任意有序图，如果不包含长度为$k$的单调路作为导出子图，则其顶点的度至少为$c_kn$，或者其补图的双团的大小至少为$c_kn/\log n$ .对于不含同构于固定序匹配的诱导有序子图的有序图，也有类似的结果。因此，我们给出了Fox和Pach定理的一个简短的组合证明。存在一个常数$c>0$，使得平面中$n$ $x$ -单调曲线的任何集合的交图$G$具有大小至少为$cn/\log n$的双团，或者其补图包含大小至少为$cn$的双团。（一条曲线称为$x$ -monotone，如果每条垂直线与它相交至多一点。我们还证明，如果$G$有最多$\left(\frac14 -ε\right){n\choose 2}$边缘的一些$ε>0$，那么$\overline{G}$包含一个线性大小的双团。我们表明，这种说法并不保持真实，如果我们取代$\frac14$任何较大的常数。
2019-02-26 math.CO
Bounding generalized coloring numbers of planar graphs using coin models
本文研究了可平面图的Koebe序：将图建模为平面上两两内部不相交圆盘的交图，并通过不增加相关圆盘的半径对顶点进行排序，从而得到顶点序.证明了对每一个$d\in \mathbb{N}$，这类序都有$d$ -容许数有界于$O(d/\ln d)$，弱$d$ -色数有界于$O(d^4 \ln d)$ .这特别表明，可平面图的$d$ -容许性是由$O(d/\ln d)$，这渐近匹配一个已知的下界，由于Dvoclák和Siebertz。
2022-01-23 cs.DM math.CO
Coloring lines and Delaunay graphs with respect to boxes
本文利用概率工具构造了$\mathbb{R}^3$中色数为$Ω(n^{1/15})$的无三角直线相交图，以及$\mathbb{R}^d$中关于轴平行盒子独立数极小的Delaunay图，改进了已有界限并推广了平面情形。
2023-10-26 math.CO
Lower bounds for piercing and coloring boxes
给定$\mathbb{R}^d$中的一个平行轴盒族$\mathcal{B}$，设$τ$表示它的刺穿数，$ν$表示它的独立数。对于给定的$d\geq 2$，$τ/ν$是否可以任意大是一个老问题。在这里，对于每个$ν$，我们构建了一个家庭的轴平行盒实现$$τ\geq Ω_d(ν)\cdot\left(\frac{\log ν}{\log\log ν}\right)^{d-2}.$$这不仅回答了前面的问题，为每个$d\geq 3$积极，但也匹配最好的已知的上界的双对数因子。我们的主要建设有进一步的影响的拉姆齐和着色性质的配置框以及。我们证明了在$\mathbb{R}^{d}$中存在一个$n$盒族，其相交图具有团和独立数$O_d(n^{1/2})\cdot \left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)^{-(d-2)/2}.$。这是对平凡上界$O_d(n^{1/2})$的第一次改进，并与最知名的下界匹配到双对数因子。最后，对于每一个$ω$满足$\frac{\log n}{\log\log n}\ll ω\ll n^{1-\varepsilon}$，我们构建了一个相交图的$n$盒的团数最多$ω$，色数$Ω_{d,\varepsilon}(ω)\cdot \left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)^{d-2}.$这匹配最好的已知…
2022-10-11 math.CO
Coloring in essential annihilating-ideal graphs of commutative rings
交换酉环$R$的本质零化理想图$\mathcal{EG}(R)$是一个单图，其顶点是$R$的非零理想，且零化子为非零，且两个不同顶点之间存在边$I,J$当且仅当$Ann(IJ)$与$R$的任何非零理想有非零交.本文证明了当$R$是Noether时，$\mathcal{EG}(R)$是弱完美的，并给出了$\mathcal{EG}(R)$团数的一个显式表达式.此外，还完全确定了所有本质零化理想图的色数为$2$的环的结构。在其他结果中，研究了$\mathcal{EG}(R)$的无孪晶团数和边色数。
2022-08-07 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
Distance-Two Colorings of Barnette Graphs
巴内特确定了两个有趣的类立方多面体图，他证明存在一个汉密尔顿周期。古迪证明了两个类的交集的猜想。我们从距离二着色的角度来研究这些类。图$G$的距离2 $r$ -染色是指将$r$颜色分配给$G$的顶点，使得距离至多为2的任意两个顶点具有不同的颜色。请注意，一个三次图至少需要四种颜色。三次平面图的距离为2的四色问题是NP-完全的。我们声称这个问题仍然是NP-完全的三连通二部三次平面图，我们称之为第一类巴内特图，因为他们是第一类巴内特确定。相比之下，我们声称这个问题是多项式的三次平面图的面大小$3, 4, 5,$或$6$，我们称之为类型2巴内特图，因为他们的关系巴内特的第二个猜想。我们称古迪图为二型巴内特图，其所有面的大小都是$4$或$6$。我们充分描述了所有的Goodey图，承认一个距离2四着色，并根据他们的脸的大小来描述其余的类型2巴内特图，承认一个距离2四着色。对于四次平面图，第二类Barnette图的类似物是面大小为$3$或$4$的图。对于这个类，距离为2的四色问题也是多项式的;事实上，我们可以再次完全描述所有可着色的实例--正好有两个这样的图。
2018-07-04 cs.CG cs.DM math.CO
Edge-Coloring Power Graphs
研究有限群幂图的边着色数，证明幂图是过满的当且仅当它是第2类图当且仅当群是奇素数幂阶循环群。
2026-09-30 math.CO math.GR
On uniquely packable trees
本文研究仅有一种最优填充着色的树，并在填充色数为3时完整刻画这类树，同时得到单调与非单调着色的两类唯一可填充树。
2024-03-12 math.CO
Choosability with union separation
列表着色通过要求顶点的颜色从特定于该顶点的颜色列表中选择来推广图着色。列表着色的一个改进，称为带分离的可选性，要求相邻列表的交集足够小。我们引入了一个新的改进，称为可选性与工会分离，我们需要的工会相邻列表是足够大的。对于$t \geq k$，$(k,t)$ -列表分配是列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$用于所有顶点$v$，而$|L(u)\cup L(v)| \geq t$用于所有边$uv$。一个图是$(k,t)$ -可选的，如果对每个$(k,t)$ -列表赋值都有一个合适的着色.我们探索这个概念，通过图形的例子，不是$(k,t)$ -可选的，展示稀疏性条件，意味着一个图是$(k,t)$ -可选的，并证明所有可平面图是$(3,11)$ -可选和$(4,9)$ -可选。
2015-12-24 math.CO
Coloring Geometric Hypergraphs: A Survey
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学）
本文综述了几何超图的着色问题，探讨了色数与覆盖问题的关系，以及当m足够大时色数是否为2的结论。
2025-12-10 cs.CG math.CO
On a class of intersection graphs
给定一个有向图D =（V，A），我们定义它的交图I（D）=（A，E）为以A为节点集的图，如果I（D）中的两个节点对应的弧共享一个公共节点，且该公共节点至少是其中一个弧的尾部，则I（D）中的两个节点相邻。我们称这些图为设施选址图，因为它们来自经典的无容量限制设施定位问题。在本文中，我们表明，设施位置图是很难识别，他们很容易识别时，图是三角形自由。我们还确定了顶点着色，独立集和设施定位问题的复杂性。
2013-06-18 cs.DM math.CO
On the chromatic number of disjointness graphs of curves
用$ω(G)$和$χ(G)$分别表示图$G$的团数和色数.曲线族（平面中的连续弧）的{ \em不相交图}是其顶点对应于曲线的图，并且其中两个顶点由边连接当且仅当对应的曲线不相交。一条曲线称为{ \em $x$ -monotone}，如果每条垂直线与它相交至多一点。如果$x$ -单调曲线的左端点位于$y$ -轴上，则该曲线{ \em接地}。我们证明了如果$G$是一族接地$x$ -单调曲线的不交图，使得$ω(G)=k$，则$χ(G)\leq \binom{k+1}{2}$ .如果我们只要求每一条曲线都是$x$ -单调的并且与$y$ -轴相交，那么我们有$χ(G)\leq \frac{k+1}{2}\binom{k+2}{3}$。这两个边界都是最佳可能的。证明了最后一个结果的紧密性的构造解决了一个25年前的问题：它给出了存在$x$ -单调曲线的$K_k$ -free不相交图，使得它们的任何适当着色至少使用$Ω(k^{4})$颜色.这将上限匹配到常数因子。
2018-11-22 math.CO
Boxicity, poset dimension, and excluded minors
在这篇短文中，我们将图的盒性（以及偏序集的维数）与它们的广义着色参数联系起来。特别是，与已知的估计，我们的结果意味着，任何图没有$K_t$ -小可以表示为$O(t^2\log t)$区间图的交集（提高以前的界限$O(t^4)$），并作为$\tfrac{15}2 t^2$圆弧图的交集。
2018-11-27 math.CO
Monotone Increasing Properties and Their Phase Transitions in Uniform Random Intersection Graphs
均匀随机交图已经引起了广泛的兴趣，并在各种应用中得到了广泛的应用。具有$n$节点的均匀随机交叉图被构造如下：每个节点从相同的$n$不同项目池中均匀随机地选择一组$K_n$不同项目，并且两个节点在它们之间建立无向边当且仅当它们共享至少一个项目。对于用$G(n, K_n, P_n)$表示的图，本文给出了如下结果.首先，我们提供了一个精确的概率$G(n, K_n, P_n)$有一个完美的匹配和有一个Hamilton圈，分别在$P_n = ω\big(n (\ln n)^5\big)$（所有渐近符号理解与$n \to \infty$）。分析表明，就像（$k$ -）的连接性在以前的工作中所示，完美匹配的包容性和汉密尔顿循环包容的属性，$G(n, K_n, P_n)$也表现出相变：对于上述每一个属性，随着$K_n$的增加，概率的极限，$G(n, K_n, P_n)$有$0$到$1$增加。其次，我们分别计算了$G(n, K_n, P_n)$在$k$ -连通性（KC）、完全匹配包容性（PMC）和Hamilton圈包容性（HCC）下的相变宽度。对于图属性$R$和正常数$a < \frac{1}{2}$，其中相变宽度$d_n(R, a)$定义为最小$K_n$之间的差，确保$G(n, K_n, P_n)$具有属性$R$，概率至少为$1-a$或$a$，我们针对任何正常数$a<\frac{1}{2}$和$k…
2015-02-02 cs.DM cs.SI math.CO
On-line size Ramsey number for monotone k-uniform ordered paths with uniform looseness
一个有序超图是一个超图$H$，它的顶点有一个指定的线性顺序，并且一个有序超图$G$在$H$中的出现必须遵守$V(G)$上指定的顺序。在在线Ramsey理论中，Builder迭代地呈现Painter必须立即着色的边缘。有序超图$G$的$t$ -color on-line size Ramsey number $\tilde R_t (G)$是生成器（在一个大的有序顶点集上）强制Painter使用$t$颜色生成$G$的单色副本所需的最小边数。单调紧路$P_r^{(k)}$是顶点为$r$且边都是$k$连续顶点集的有序超图。我们得到了$\tilde R_t (P_r^{(k)})$上的好界.设$P_r^{(k)}$中的边数为$m=r-k+1$，证明了$m^{t-1}/(3\sqrt t)\le\tilde R_t (P_r^{(2)})\le tm^{t+1}$ .对于一般的$k$，一个平凡的上界是${R \choose k}$，其中$R$是$k$ -均匀（有序）超图中顶点数最少的一个，该超图的$t$ -着色都包含$P_r^{(k)}$（并且是高度为$k-2$的塔）.我们证明了$R/(k\lg R)\le\tilde R_t(P_r^{(k)})\le R(\lg R)^{2+ε}$，其中$ε$是任何正的常数和$t(m-1)$是足够大的。当$t$比$m/\log m$增长更快时，我们的上界…
2018-07-13 math.CO
Intersection Graph of a Module
设$V$是一个左$R$ -模，其中$R$是一个（不一定是交换的）有单位环。$V$的真$R$ -子模的交图$\cG(V)$是一个没有环和多重边的无向图，定义如下：顶点集是$V,$的所有真$R$ -子模的集合，并且在两个不同的顶点$U$和$W$之间存在边当且仅当$U\cap W\neq 0.$我们研究这些图以将$\cG(V)$的组合性质与$R$的代数性质联系起来，我们研究了$V.$的连通性、控制性、有限性、染色性和平面性。例如，我们找到了$\cG (V).$的控制数，我们还在某些情况下找到了$\cG(V)$的色数。此外，我们研究了$\cG(V),$中的圈和$\cG (V)$中的完全子图，确定了$\cG(V)$是平面的$V$的结构。
2012-09-09 math.CO math.RA
Majority C-coloring of graphs
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）
研究图的多数C-着色，定义其色数并分析其性质，证明色数上界及不同图类中的结果，探讨色数与经典色数的关系及决策问题复杂性。
2026-04-22 math.CO
