Analytic Continuation of Harmonic Sums
我们提出了一种方法计算任何（嵌套）谐波和任意精度的所有复杂的值的参数。该方法利用谐波和（衍生物）赫维茨zeta函数之间的关系，它允许谐波和计算作为一个扩展有效的大值其参数。还提供了用于实现该方法的程序。
2009-03-06 hep-ph
Generalized Harmonic, Cyclotomic, and Binomial Sums, their Polylogarithms and Special Numbers
本文综述了多圈费曼图中出现的数学结构。这些都是多重嵌套的总和，并与它们相关联的逆梅林变换，具体的迭代积分。这两个类都导致特殊数的集合。从调和求和和多项式，我们讨论这些数量的割圆，广义（割圆），二项式加权求和，相关的迭代积分和特殊常数及其关系的最近扩展。
2013-10-21 hep-ph hep-th math-ph
Harmonic Sums and Polylogarithms Generated by Cyclotomic Polynomials
在可重正化量子场论的大规模高阶微扰计算中，Feynman积分的计算需要多重套调和和的延拓，而多重套调和和可以通过Poincaré迭代积分的Mellin变换（包括高阶分圆多项式的展开子）生成为实表示.我们导出了分圆调和多项式与调和和，并研究了它们的代数关系和结构关系。利用解析表示法将分圆调和和解析延拓到$N$的复值.我们还考虑了分圆调和多项式在自变量$x=1$上的特殊值，对于与色重zeta值有关的$N \rightarrow \infty$上的分圆调和和，基于stuffle代数和shuffle代数以及三个重宗量关系，导出了它们之间的各种关系.我们还考虑了与无限分圆调和和相关的单位根上的无限广义套调和和。导出了权重{ \sf w = 1，2}和到分圆{ \sf l = 20}的基表示。
2011-05-30 cs.SC hep-ph hep-th
The package HarmonicSums: Computer Algebra and Analytic aspects of Nested Sums
本文概述了计算机代数软件包HarmonicSums的基本功能。一方面，HarmonicSums可以处理嵌套和，如调和和及其推广，另一方面，它可以处理Poincare和Chen型的迭代积分，如调和多项式及其推广。这些表示和分析方面的相互作用说明了具体的例子。
2014-07-23 cs.SC hep-ph
Calculation of Massless Feynman Integrals using Harmonic Sums
介绍了一种计算多圈无质量费曼积分展开式的方法。该方法基于Gegenbauer多项式技术和Gamma函数的调和和展开。嵌套和调和和的评估算法被用来减少表达式，以获得展开系数的解析或数值结果。讨论了提高数值计算精度的方法。
2006-07-10 hep-ph
Structural Relations of Harmonic Sums and Mellin Transforms up to Weight w = 5
本文导出了在QED和QCD中计算无质量或有质量的单尺度量时出现的加权Nielsen积分的Mellin变换与其它依赖于单尺度的硬散射截面之间的结构关系。所有重调和和的集合直到权重5覆盖了计算3-loop反常维数所需的和。这些关系扩展了早先研究的调和和之间的拟混洗乘积所产生的集合。与洗牌关系不同，它们依赖于所考虑的量的值。直到权重{ \sf w = 5}，242个嵌套谐波和起作用。在本物理应用中，考虑不包含索引$i = -1$的谐波和的子集就足够了，该子集由69个和组成。代数关系将该集合减少到30个和。由于结构关系的调和和的数量最终减少到{15}基本功能。这些函数可以用阶乘级数来表示，并由代数可约的调和和来补充。给出了这些{15}亚纯函数在复平面上的完全解析表示，导出了它们的渐近关系和递归关系。嵌套谐波和多个zeta值出现在高阶计算的零和单尺度量的方式提出了一个总体轮廓。
2009-08-26 hep-ph hep-th math-ph
Large-Nc QCD, Harmonic Sums and the Riemann Zeros
结果表明，在大Nc量子色动力学中，局部算符的两点函数成为调和和。我们评论的属性，从这个事实。这使我们从量子理论中色散关系的观点出发，对黎曼zeta函数的零点作了一个附带的观察。
2010-10-22 hep-ph hep-th math-ph
Harmonic Sums and Mellin Transforms
有限和无限的调和和形成梅林变换的一般基础上的所有个别功能$f_i(x)$描述包容性的数量，如系数和分裂功能出现在无质量场论。我们讨论这些量的数学结构。
1999-06-24 hep-ph
Structural Relations of Harmonic Sums and Mellin Transforms at Weight w=6
本文导出了权为{ \sf w = 6}的Nielsen积分和调和多项式的套调和和与相应的Mellin变换之间的结构关系。它们出现在QED和QCD中无质量单尺度量的计算中，如反常尺寸和Wilson系数，到3-和4-圈级。我们考虑权为6的多重调和和的集合，而没有指标$\{-1\}$。这个限制对于所有已知的物理情况是足够的。结构关系补充代数关系，由于调和和之间的洗牌产品，研究较早。在权重{ \sf w = 6}处贡献的486个可能谐波和的原始量减少到99个没有索引$\{-1\}$的和。代数和结构关系导致进一步减少到20个基本功能。这些函数补充了15个基本函数的集合，直到前面导出的权重{ \sf w = 5}。给出了求复平面上基本和的解析表示的算法。
2009-01-07 hep-ph hep-th math-ph
Reduction of Multiple Harmonic Sums and Harmonic Polylogarithms
交错和非交错调和和以及相同等价类的其他代数对象由代数关系连接，这些代数关系由这些量的乘积引起，并且取决于它们的指数类而不是它们的值。我们展示了如何找到相关代数的基础。基$l$的长度被发现是$\leq 1/d$，其中$d$是所考虑的和的深度，并且由第二个{ \sc Witt}公式给出。还可以通过对相应索引集合的{ \sc Lyndon}字进行计数来确定。所导出的关系式可用于简化QED和QCD高阶计算的结果。
2004-05-03 hep-ph
Analytic and Algorithmic Aspects of Generalized Harmonic Sums and Polylogarithms
在最近的量子色动力学（QCD）中的大质量Feynman积分的三圈计算中，在最近的组合问题中，出现了所谓的广义调和和（简称$S$ -和）。它们的特征在于有理（或实）分子权重也不同于$\pm 1$。在这篇文章中，我们将系统地探讨这些和的算法和分析性质。我们工作的梅林和逆梅林变换连接的总和与相关的庞加莱迭代积分，也称为广义调和多项式。在这方面，我们得到明确的解析延拓的$S$ -和开始经常出现在当前的QCD计算的渐近展开的手段。此外，我们推导出代数和结构关系，如微分w.r.t.外和指标和不同的多变量关系，对$S$ -和式的紧化进行了研究.最后，我们计算代数关系的无限$S$ -总和，或等价的广义调和多项式在特殊值评估。相应的算法和关系被编码在计算机代数包{ \tt HarmonicSums}中。
2013-02-02 cs.SC hep-ph hep-th
Analytic Continuation of the Harmonic Sums for the 3--Loop Anomalous Dimensions
我们提出的数值使用的解析延拓复杂的参数，这些基本的梅林变换，建立谐波和贡献的3-循环异常尺寸。八个新的基本功能有助于除了解析延续的2圈无质量威尔逊系数计算。在$x ε[10^{-6},0.98]$的范围内，推导出的表示具有优于$10^{-7}$的相对精度。
2005-03-18 hep-ph
Harmonic sums, Mellin transforms and Integrals
本文描述了调和级数、二项式系数和多项式组合上的嵌套符号和的算法。此外，它对待梅林变换和反梅林变换的功能，遇到费曼图计算。连同结果的高次谐波级数在无穷远处的值，所提出的算法可用于整个类的积分，迄今棘手的符号评价。此外，许多必须评估的总和似乎涉及新的结果。大部分算法已用FORM语言编程实现。产生的过程集称为SUMMER。
1998-06-05 hep-ph
Algebraic Relations Between Harmonic Sums and Associated Quantities
本文给出了直到深度为6的有限调和和的交错和非交错的代数关系。所有的和的重量~6的关系给出了明确的形式。这些关系只依赖于调和和的指数集的结构，而不依赖于它们的值。因此，它们对所有其他服从相同乘法关系的数学对象都有效，或者可以作为其特例获得，例如调和多对数。我们验证了一个给定的索引集的独立元素的数量可以通过计算与此相关联的林登词来确定。有限调和和之间的代数关系可以用来减少Wilson系数和分裂函数的Mellin矩的表达式的高复杂性显着的无质量场论，如QED和QCD高达三圈和更高的阶数的耦合常数，也是重要的过程依赖于更多的尺度。由此获得的独立和的数目与给定索引集的所有和的数目的比率被发现是$\leq 1/d$，其中$d$是独立于权重的和的深度。对于任意深度的所有类调和和，给出了相应的计数关系的解析形式，并将其列表到深度$d=10$。
2003-11-04 hep-lat hep-ph hep-th
Harmonic Sums, Polylogarithms, Special Numbers, and their Generalizations
在这些介绍性讲座中，我们讨论目前已知的嵌套求和类，相关的迭代积分，和特殊的常数，这些常数分层出现在无质量和大规模费曼图在更高的循环评估。这些数量是元素的填充和洗牌代数代数意味着代数关系广泛独立的特殊数量考虑。它们由结构关系补充。给出了广义调和和，（广义）分圆和，并在此外二项式和逆二项式权重的总和。所有这些量都与迭代积分和特殊数有关。我们还讨论了不同类型套和到外和界N的复值的解析延拓。
2013-04-26 cs.SC hep-ph hep-th
Computer Algebra Algorithms for Special Functions in Particle Physics
本文研究了可重整化量子场论中大质量高阶微扰计算中产生的特殊嵌套对象。一方面，我们的工作与嵌套的总和，如调和和及其推广（S-总和，分圆调和和，分圆S-总和），另一方面，我们对待迭代积分的庞加莱和陈型，如调和多项式及其推广（多重多项式，分圆调和多项式）。迭代积分连接到嵌套的总和通过（概括）梅林变换，我们展示了如何计算这种变换。我们推导出代数和结构之间的关系嵌套的总和以及在无穷大的总和的值之间的关系，并连接到它的值的迭代积分评估在特殊常数。此外，我们国家的算法来计算这些嵌套对象的渐近展开，我们国家的算法重写某些类型的嵌套和表达式的分圆S-总和。此外，我们总结的主要功能的计算机代数软件包谐波和所有这些算法和转换的实现。此外，我们提出的应用和增强的多元Almkvist-Zeilberger算法的某些类型的费曼积分和相应的计算机代数包MultiIntegrate。
2013-05-03 hep-ph hep-th math-ph
Structural Relations between Nested Harmonic Sums
本文描述了在可重正化规范场理论中，直到3圈水平的物理单尺度量描述中出现的套调和和之间的结构关系。这些是权重{ \sf w=6}谐波和。我们确定通用的基本功能，可以描述一大类的物理量，并推导出其复杂的分析。对于3圈QCD Wilson系数，需要35个基本函数，而15个基本函数的子集描述了3圈异常维度。
2008-07-04 hep-ph math-ph math.AG
Structural Relations between Harmonic Sums up to w=6
多重嵌套有限调和和$S_{a_1 ... a_n}(N)$出现在量子场论的许多单尺度高阶计算中。我们讨论了它们与权{ \sf w=6}的代数和结构关系。作为一个例子，我们考虑这些关系的应用程序的软和虚拟的修正Bhabha散射$O(α^2)$。
2007-06-16 hep-ph math-ph math.MP
Iterated Binomial Sums and their Associated Iterated Integrals
考虑了二项式$\binom{2k}{k}$在分子和子上加权的有限个迭代广义调和和.这些功能的一大类出现在大量的费曼图的计算与本地运营商的插入开始在3圈顺序的耦合常数，并扩展类的嵌套谐波，广义谐波和分圆和。二项式加权和的梅林变换的平方根值的字母表上的迭代积分相关联。$N \rightarrow \infty$和$x=1$的迭代积分的值导致新的常数，扩展了由多重zeta值、分圆zeta值和特殊常数给出的特殊数的集合，这些特殊数出现在广义调和和的极限$N \rightarrow \infty$中。我们开发的算法，以获得梅林表示这些款项在一个系统的方式。它们对于导出这些和的渐近展开式及其到$N \in \mathbb{C}$的解析延拓是很重要的。相关的卷积关系是针对实参数导出的，因此可以在更广泛的背景下使用，例如用于多尺度过程。我们还推导出算法，将迭代积分的根值字母表到二项式和。利用生成函数，我们研究了无穷（逆）二项式和的几个方面。
2014-07-03 hep-ph hep-th math-ph
Mellin Moments of the Next-to-next-to Leading Order Coefficient Functions for the Drell-Yan Process and Hadronic Higgs-Boson Production
我们计算了Drell-Yan和Higgs产生截面的次次领头阶系数函数的Mellin矩。结果可以表示为多重有限调和和的最大重量w = 4。利用调和和之间的代数和结构关系，人们发现，除了单一的调和和，只有五个基本和及其衍生物w.r.t.总和指数有贡献。这种表示法降低了x空间计算中的复杂性，非常适合快速数值实现。
2005-03-21 hep-ph
Mathematics for structure functions
我们展示了一些正在开发的数学计算的深层非弹性结构函数的三个循环。这些包括调和和，调和多项式和一类差分方程，可以解决与使用调和和。
2000-04-26 hep-ph
Computer algebra tools for Feynman integrals and related multi-sums
在微扰计算中，例如，在量子色动力学（QCD）的背景下，人们的目标是计算费曼积分。在这里，人们经常面临的问题，简化的多重套积分或总和的表达式，在不确定套积分或总和。此外，人们寻求线性微分方程的耦合系统的解决方案，可以表示为不定套和（或积分）。在这篇文章中，我们详细介绍了主要的工具和相应的软件包，我们已经开发和密集使用的过程中，我们的QCD计算在过去的10年。
2018-09-17 cs.SC hep-ph hep-th
$O(α_s^2)$ Timelike Wilson Coefficients for Parton-Fragmentation Functions in Mellin Space
我们计算了非极化和极化碎裂函数的$O(α_s^2)$系数函数的Mellin矩。它们可以表示为多重最大权的有限调和和{ \sf w = 4}。利用调和和之间的代数和结构关系，人们发现，除了单一的调和和，只有三个基本的总和及其衍生物w.r.t.总和指数有贡献。梅林时刻解析地继续梅林变量的复杂值。这种表示法大大降低了$x$ -空间计算中存在的复杂性，并允许非常紧凑和快速的数值实现。
2006-04-03 hep-ex hep-ph
Using Covariant Polarisation Sums in QCD
协变规范导致规范玻色子的虚假的、非物理的偏振态。在量子电动力学中，费曼规范$\sum_λ ε_μ^{(λ)}ε_ν^{(λ)\ast} = -η_{μν}$的使用是由沃德恒等式证明的，它确保了非物理偏振态的贡献在物理观测中被抵消。相比之下，同样的替换只能应用于像QCD这样的非阿贝尔规范理论的平方振幅中的单个外部规范玻色子。一般来说，使用这种替换需要包括外部Faddeev-Popov重影。我们提出了一个教学推导这些鬼的贡献应用光学定理和Cutkosky切割规则。我们发现，在有两个以上重影的情况下，重影幅度之间产生的交叉项$A(c_1,\bar{c}_1;\ldots)A(\bar{c}_1,c_1;\ldots)^\ast$无法转换为$(-1)^{n/2}|A(c_1,\bar{c}_1;\ldots)|^2$。因此，文献中所述的费曼规则只适用于两个外部幽灵，而它通常是不正确的。
2021-12-14 hep-ph
- XSummer - Transcendental Functions and Symbolic Summation in Form
调和和及其推广在计算量子场论中的高阶微扰修正时是非常有用的。特别令人感兴趣的是所谓的嵌套和，其中调和和及其推广出现作为积木，起源于例如从广义超几何函数的扩展周围的整数值的参数。在这封信中，我们讨论了几种算法的实施，以解决这些款项的代数手段，使用计算机代数系统的形式。
2005-08-02 hep-ph math-ph math.MP
Meson mass spectrum in QCD$_2$ 't Hooft's model
该研究将特定解析方法推广到任意相等夸克质量的大$N_c$ QCD$_2$场景，得到谱和解析表达式与大$n$展开，在手征及重夸克极限下的结果与已知结论一致，推进了't Hooft模型中介子质量谱的解析研究。
2025-04-16 hep-ph hep-th math-ph
The O(α_s^3) Massive Operator Matrix Elements of O(n_f) for the Structure Function F_2(x,Q^2) and Transversity
对描述极限$Q^2 \gg m^2$中的重味Wilson系数的$O(α_s^3)$大规模算子矩阵元素的贡献$\propto n_f$针对梅林变量$N$的一般值的结构函数$F_2(x,Q^2)$和横向性进行计算。这里，对于两个矩阵元素，$A_{qq,Q}^{\sf PS}(N)$和$A_{qg,Q}(N)$，获得了完整的结果。给出了对3-圈反常维数$γ_{qg}(N)$、$γ_{qq}^{\sf PS}(N$和$γ_{qq}^{\sf NS,(TR)}(N)$贡献的第一次独立计算。在计算中，使用了超几何项与调和和乘积的嵌套和的先进求和技术。对于中间结果，出现广义调和和，而最终结果只能用嵌套调和和表示。
2010-08-19 hep-ex hep-ph hep-th
