A Computer Algebra Toolbox for Harmonic Sums Related to Particle Physics
在这项工作中，我们提出了计算机代数软件包HarmonicSums和它的理论背景的操作谐波和一些相关的数量，例如欧拉-Zagier总结和谐波多项式。调和广义调和和是递归关系的达朗伯解的特例。我们表明，调和和形成一个拟洗牌代数，并描述了一种方法，我们如何可以找到代数独立的调和和。此外，我们定义了一个微分谐波和通过一个扩展版本的梅林变换。与此同时，调和和之间的新关系将出现。此外，我们提出了一个算法，重写某些类型的嵌套和到表达式的调和和。我们说明了这些算法的合作与求和包西格玛支持费曼积分的评价非平凡的例子。
2010-11-04 math-ph math.MP
Harmonic Sums, Polylogarithms, Special Numbers, and their Generalizations
在这些介绍性讲座中，我们讨论目前已知的嵌套求和类，相关的迭代积分，和特殊的常数，这些常数分层出现在无质量和大规模费曼图在更高的循环评估。这些数量是元素的填充和洗牌代数代数意味着代数关系广泛独立的特殊数量考虑。它们由结构关系补充。给出了广义调和和，（广义）分圆和，并在此外二项式和逆二项式权重的总和。所有这些量都与迭代积分和特殊数有关。我们还讨论了不同类型套和到外和界N的复值的解析延拓。
2013-04-26 cs.SC hep-ph hep-th
The $μ$-extension of iterated integrals and nested sums
Deutsches Elektronen-Synchrotron DESY（德国电子同步加速器）；Institut für Theoretische Physik III, IV, TU Dortmund（多特蒙德工业大学理论物理第三、四研究所）；Bogolyubov Institute for Theoretical Physics（博戈柳博夫理论物理研究所）
本文构造了量子场论中单尺度费曼积分所涉及的迭代积分与嵌套求和的 $\mu$-扩展，给出了闭式解或算法，并研究了函数空间的代数结构。
2026-06-12 hep-th math-ph math.MP
Generalized Harmonic, Cyclotomic, and Binomial Sums, their Polylogarithms and Special Numbers
本文综述了多圈费曼图中出现的数学结构。这些都是多重嵌套的总和，并与它们相关联的逆梅林变换，具体的迭代积分。这两个类都导致特殊数的集合。从调和求和和多项式，我们讨论这些数量的割圆，广义（割圆），二项式加权求和，相关的迭代积分和特殊常数及其关系的最近扩展。
2013-10-21 hep-ph hep-th math-ph
Structural Relations between Harmonic Sums up to w=6
多重嵌套有限调和和$S_{a_1 ... a_n}(N)$出现在量子场论的许多单尺度高阶计算中。我们讨论了它们与权{ \sf w=6}的代数和结构关系。作为一个例子，我们考虑这些关系的应用程序的软和虚拟的修正Bhabha散射$O(α^2)$。
2007-06-16 hep-ph math-ph math.MP
Large-Nc QCD, Harmonic Sums and the Riemann Zeros
结果表明，在大Nc量子色动力学中，局部算符的两点函数成为调和和。我们评论的属性，从这个事实。这使我们从量子理论中色散关系的观点出发，对黎曼zeta函数的零点作了一个附带的观察。
2010-10-22 hep-ph hep-th math-ph
Modern Summation Methods for Loop Integrals in Quantum Field Theory: The Packages Sigma, EvaluateMultiSums and SumProduction
费曼积分的一大类，例如，具有至多一个质量并包含局部算子插入的两点参数积分可以转化为超几何表达式上的多重和。在这篇综述文章中，我们提出了一个差域方法的符号求和，使之能够简化这种明确的嵌套和不确定的嵌套和。特别是，简化-如果可能的话-在调和和，广义调和和，分圆调和和或二项式和。特别强调的是开发的软件包Sigma，EvaluateMultiSums和SumProduction，这些软件包可以帮助完成任务，完全自动地对巨大的输入表达式进行简化。
2013-10-01 cs.SC hep-th math-ph
Analytic and Algorithmic Aspects of Generalized Harmonic Sums and Polylogarithms
在最近的量子色动力学（QCD）中的大质量Feynman积分的三圈计算中，在最近的组合问题中，出现了所谓的广义调和和（简称$S$ -和）。它们的特征在于有理（或实）分子权重也不同于$\pm 1$。在这篇文章中，我们将系统地探讨这些和的算法和分析性质。我们工作的梅林和逆梅林变换连接的总和与相关的庞加莱迭代积分，也称为广义调和多项式。在这方面，我们得到明确的解析延拓的$S$ -和开始经常出现在当前的QCD计算的渐近展开的手段。此外，我们推导出代数和结构关系，如微分w.r.t.外和指标和不同的多变量关系，对$S$ -和式的紧化进行了研究.最后，我们计算代数关系的无限$S$ -总和，或等价的广义调和多项式在特殊值评估。相应的算法和关系被编码在计算机代数包{ \tt HarmonicSums}中。
2013-02-02 cs.SC hep-ph hep-th
The Hopf algebra structure of multiple harmonic sums
多重调和和出现在量子场论中各种感兴趣的量的微扰计算中。在这篇文章中，我们引入了一类描述这种和的结构的霍普夫代数，并发展了它们的一些性质，可以在计算中利用。
2004-06-29 math-ph math.MP math.QA
Reflection identities of harmonic sums up to weight three
讨论了权为3的调和和的反射恒等式.在分析BFKL方程特征值的一般结构时，需要这种恒等式。反射恒等式将在实整数点具有极点奇异性的两个谐波和的乘积分解为在负整数或零和正整数处具有极点奇异性的其他函数的线性组合。这提供了具有混合极点结构的表达式的极点分离。
2018-08-28 hep-th math-ph math.MP
Calculating Three Loop Ladder and V-Topologies for Massive Operator Matrix Elements by Computer Algebra
计算了构成大量算子矩阵元$A_{Qg}$的三个回路梯形图和$V$ -拓扑图.相应的对象都可以用嵌套和和递归表示，这取决于梅林变量$N$和维数参数$\varepsilon$。给出了这些表示，在我们的计算机代数工具箱的帮助下，可以得到所需的$\varepsilon$中的洛朗级数展开式。在这里，我们依赖于广义超几何函数和梅林-巴恩斯表示，差环算法的符号求和，优化版本的多变量Almkvist-Zeilberger算法的符号积分，并在新的方法来计算洛朗级数解耦合系统的微分方程。可以直接计算一般系数矩阵的解决方案的任何基础上，也执行的情况下，它是在不定嵌套的产品和表达式表示的尺寸参数的扩展。这个结构结果是基于我们的差环理论的新结果。在讨论的情况下，我们处理迭代和积分的解决方案，一般字母表。最后的结果表示在特殊的总和，形成拟洗牌代数，如嵌套调和和，广义调和和，嵌套二项式加权（分圆）总和。$N$的复值的解析延拓是可能的，通过这些量所服从的递归关系和它们的解析渐近展开。后者导致主机的新常数超出了多个zeta值，无限广义调和和分圆和的情况下，$V$ -拓扑。
2015-09-28 cs.SC hep-ph hep-th
Reflection identities of harmonic sums of weight four
我们考虑权为4的调和和的反射恒等式。我们将具有混合极点结构的两个调和和的乘积分解成一个线性组合，每个项在辐角的负值或正值处都有一个极点。极点分解演示了两个简单的谐波和的乘积如何在更高的权重下构建更复杂的谐波和。我们列出了一个最小的不可约双线性反射恒等式的重量四，目前的主要结果的文件。我们还讨论了如何其他三线性和四次反射恒等式可以很容易地从我们的结果与著名的洗牌关系的调和和。
2018-09-12 hep-th math-ph math.CO
Algebraic independence of sequences generated by (cyclotomic) harmonic sums
用（分圆）调和和表示的表达式可以用用所谓基和表示的拟混洗代数来简化。通过构造，这些和在拟混洗代数内是代数独立的。在这篇文章中，我们表明，基础和可以表示在塔的差环扩展常数保持不变。这个属性使人们能够嵌入这个差环的（分圆）调和和到环的序列。这种构造意味着由基和产生的序列在与交替序列邻接的有理序列上是代数独立的。
2017-04-24 cs.SC math-ph math.MP
Evaluation and regularization of generalized Eisenstein series and application to 2D cylindrical harmonic sums
在周期介质的研究中，经常会遇到条件收敛级数，其正则化是应用的关键。我们推导出一个身份，正规化二维广义爱森斯坦系列的所有布拉维格，产生物理上有意义的值。我们还获得了显式形式的广义系列在传统的爱森斯坦系列，使其封闭形式的重要的高对称性晶格的评价。结果，然后使用获得表示相关的圆柱谐波和，这也给出了所有布拉维格。最后，我们对待位移格的高对称性，表示它们的原点中心格通过几何多集恒等式。这些身份适用于所有类别的二维总和，允许总和被评估的每一个组成部分的一个单位细胞，拥有多个夹杂物。
2016-08-09 math-ph math.MP
Iterated Binomial Sums and their Associated Iterated Integrals
考虑了二项式$\binom{2k}{k}$在分子和子上加权的有限个迭代广义调和和.这些功能的一大类出现在大量的费曼图的计算与本地运营商的插入开始在3圈顺序的耦合常数，并扩展类的嵌套谐波，广义谐波和分圆和。二项式加权和的梅林变换的平方根值的字母表上的迭代积分相关联。$N \rightarrow \infty$和$x=1$的迭代积分的值导致新的常数，扩展了由多重zeta值、分圆zeta值和特殊常数给出的特殊数的集合，这些特殊数出现在广义调和和的极限$N \rightarrow \infty$中。我们开发的算法，以获得梅林表示这些款项在一个系统的方式。它们对于导出这些和的渐近展开式及其到$N \in \mathbb{C}$的解析延拓是很重要的。相关的卷积关系是针对实参数导出的，因此可以在更广泛的背景下使用，例如用于多尺度过程。我们还推导出算法，将迭代积分的根值字母表到二项式和。利用生成函数，我们研究了无穷（逆）二项式和的几个方面。
2014-07-03 hep-ph hep-th math-ph
- XSummer - Transcendental Functions and Symbolic Summation in Form
调和和及其推广在计算量子场论中的高阶微扰修正时是非常有用的。特别令人感兴趣的是所谓的嵌套和，其中调和和及其推广出现作为积木，起源于例如从广义超几何函数的扩展周围的整数值的参数。在这封信中，我们讨论了几种算法的实施，以解决这些款项的代数手段，使用计算机代数系统的形式。
2005-08-02 hep-ph math-ph math.MP
The O(α_s^3) Massive Operator Matrix Elements of O(n_f) for the Structure Function F_2(x,Q^2) and Transversity
对描述极限$Q^2 \gg m^2$中的重味Wilson系数的$O(α_s^3)$大规模算子矩阵元素的贡献$\propto n_f$针对梅林变量$N$的一般值的结构函数$F_2(x,Q^2)$和横向性进行计算。这里，对于两个矩阵元素，$A_{qq,Q}^{\sf PS}(N)$和$A_{qg,Q}(N)$，获得了完整的结果。给出了对3-圈反常维数$γ_{qg}(N)$、$γ_{qq}^{\sf PS}(N$和$γ_{qq}^{\sf NS,(TR)}(N)$贡献的第一次独立计算。在计算中，使用了超几何项与调和和乘积的嵌套和的先进求和技术。对于中间结果，出现广义调和和，而最终结果只能用嵌套调和和表示。
2010-08-19 hep-ex hep-ph hep-th
Modern Summation Methods and the Computation of 2- and 3-loop Feynman Diagrams
通过基于差域的符号求和方法，我们提出了一个通用的策略，将确定的多和，例如，从超几何项和调和和到不定套和与积。我们成功地完成了这项任务，我们所有的具体计算2-loop和3-loop大量的单尺度费曼图与当地运营商插入。
2010-06-24 hep-ph hep-th math-ph
A toolbox to solve coupled systems of differential and difference equations
我们提出的算法来解决耦合系统的线性微分方程，产生在计算大量的费曼图与本地运营商插入在3圈的顺序，这不{ \it不}要求特殊的选择基地。在这里，我们假设所需的解决方案有一个幂级数表示，我们寻求封闭形式的系数。特别地，如果系数依赖于小参数$\ep$（维数参数），我们假设系数本身可以在形式的Laurent级数中展开。$\ep$，我们尝试以封闭形式计算第一项。更确切地说，我们有一个决策算法，它解决了以下问题：如果这些项可以用一个不定的嵌套超几何和表达式来表示（作为特殊情况，包括调和和、分圆和、广义调和和或嵌套二项式和），那么我们可以计算它们。如果算法失败，我们得到了一个证明，这些条款不能表示为类的不定套超几何和表达式。在内部，这个问题是减少完整的封闭性求解耦合系统的线性差分方程。在这种情况下的基本方法依赖于解耦算法，差环算法和递归求解。我们演示了一个具体的例子，该算法可以应用于新的数学软件包\texttt{SolveCoupledSystem}，它是基于包\texttt{Sigma}，\texttt{HarmonicSums}和\texttt{OreSys}。在所有的应用中，$x$ -空间中的表示作为一般字母表上的迭代积分表示得到，推广了庞加莱迭代积分。
2016-01-08 cs.SC hep-ph hep-th
