$O(α_s^2)$ Timelike Wilson Coefficients for Parton-Fragmentation Functions in Mellin Space
我们计算了非极化和极化碎裂函数的$O(α_s^2)$系数函数的Mellin矩。它们可以表示为多重最大权的有限调和和{ \sf w = 4}。利用调和和之间的代数和结构关系，人们发现，除了单一的调和和，只有三个基本的总和及其衍生物w.r.t.总和指数有贡献。梅林时刻解析地继续梅林变量的复杂值。这种表示法大大降低了$x$ -空间计算中存在的复杂性，并允许非常紧凑和快速的数值实现。
2006-04-03 hep-ex hep-ph
Computing Mellin representations and asymptotics of nested binomial sums in a symbolic way: the RICA package
本文提出 RICA 程序包，用于符号计算嵌套二项式和式的 Mellin 表示与无穷远渐近展开，以支持 QCD/QED 微扰计算及组合学中的解析延拓需求。
2023-08-11 cs.SC hep-ph
Mellin Moments of the Next-to-next-to Leading Order Coefficient Functions for the Drell-Yan Process and Hadronic Higgs-Boson Production
我们计算了Drell-Yan和Higgs产生截面的次次领头阶系数函数的Mellin矩。结果可以表示为多重有限调和和的最大重量w = 4。利用调和和之间的代数和结构关系，人们发现，除了单一的调和和，只有五个基本和及其衍生物w.r.t.总和指数有贡献。这种表示法降低了x空间计算中的复杂性，非常适合快速数值实现。
2005-03-21 hep-ph
Analytic Continuation of Mellin Transforms up to two-loop Order
分析连续的梅林变换到复杂的N值的基本功能$g_i(x)$的动量分数x出现在数量的无质量QED和QCD到两个回路的顺序，作为非极化和极化分裂函数，系数函数，和硬散射截面的空间和时间的动量转移进行评估。这些梅林变换提供了所有有限调和和的解析延拓，直至超越性四的三倍和的水平，其中基集${g_i(x)}$由{ \sc Nielsen}-积分直至超越性四的积组成。提供了计算机代码{ \tt ANCONT}。
2000-03-10 hep-ph hep-th
NNLO coefficient functions of Higgs and Drell--Yan cross sections in Mellin space
我们计算了Drell-Yan和Higgs产生截面的次-首阶系数函数的Mellin矩。结果可以表示为有限调和和，最大为三倍，直到重量四。这些有限和之间的各种代数关系降低了结果的复杂性，适合于快速数值计算。结果表明，在Wilson系数的表示中，除了Euler的$ψ$ -函数外，只有五个非平凡函数.
2004-07-05 hep-ph hep-th
Analytic and Algorithmic Aspects of Generalized Harmonic Sums and Polylogarithms
在最近的量子色动力学（QCD）中的大质量Feynman积分的三圈计算中，在最近的组合问题中，出现了所谓的广义调和和（简称$S$ -和）。它们的特征在于有理（或实）分子权重也不同于$\pm 1$。在这篇文章中，我们将系统地探讨这些和的算法和分析性质。我们工作的梅林和逆梅林变换连接的总和与相关的庞加莱迭代积分，也称为广义调和多项式。在这方面，我们得到明确的解析延拓的$S$ -和开始经常出现在当前的QCD计算的渐近展开的手段。此外，我们推导出代数和结构关系，如微分w.r.t.外和指标和不同的多变量关系，对$S$ -和式的紧化进行了研究.最后，我们计算代数关系的无限$S$ -总和，或等价的广义调和多项式在特殊值评估。相应的算法和关系被编码在计算机代数包{ \tt HarmonicSums}中。
2013-02-02 cs.SC hep-ph hep-th
Iterated Binomial Sums and their Associated Iterated Integrals
考虑了二项式$\binom{2k}{k}$在分子和子上加权的有限个迭代广义调和和.这些功能的一大类出现在大量的费曼图的计算与本地运营商的插入开始在3圈顺序的耦合常数，并扩展类的嵌套谐波，广义谐波和分圆和。二项式加权和的梅林变换的平方根值的字母表上的迭代积分相关联。$N \rightarrow \infty$和$x=1$的迭代积分的值导致新的常数，扩展了由多重zeta值、分圆zeta值和特殊常数给出的特殊数的集合，这些特殊数出现在广义调和和的极限$N \rightarrow \infty$中。我们开发的算法，以获得梅林表示这些款项在一个系统的方式。它们对于导出这些和的渐近展开式及其到$N \in \mathbb{C}$的解析延拓是很重要的。相关的卷积关系是针对实参数导出的，因此可以在更广泛的背景下使用，例如用于多尺度过程。我们还推导出算法，将迭代积分的根值字母表到二项式和。利用生成函数，我们研究了无穷（逆）二项式和的几个方面。
2014-07-03 hep-ph hep-th math-ph
Generalized Harmonic, Cyclotomic, and Binomial Sums, their Polylogarithms and Special Numbers
本文综述了多圈费曼图中出现的数学结构。这些都是多重嵌套的总和，并与它们相关联的逆梅林变换，具体的迭代积分。这两个类都导致特殊数的集合。从调和求和和多项式，我们讨论这些数量的割圆，广义（割圆），二项式加权求和，相关的迭代积分和特殊常数及其关系的最近扩展。
2013-10-21 hep-ph hep-th math-ph
Determining the closed forms of the $O(a_s^3)$ anomalous dimensions and Wilson coefficients from Mellin moments by means of computer algebra
在Mellin空间中，发现可重整化量子场论中的单尺度量，如反常维数和硬散射截面，服从有限阶差分方程。计算这些量的固定矩通常比直接尝试用调和和及其涉及梅林参数$N$的推广来推导它们更容易。从一个足够大的数量给定的时刻，我们建立线性递归关系的最低可能的顺序通常是高次多项式系数。然后，这些递归方程求解的d 'Alembertian解决方案，其中涉及的嵌套和表示在最佳的嵌套深度。给出这个表示，就很容易用调和和来表示结果。在这个过程中，我们紧化的结果，使没有代数关系之间发生的总和。我们将QCD非极化反常维数和无质量Wilson系数的计算方法推广到3圈级，并处理了各个色系数的贡献。对于最复杂的子问题，需要5114个时刻，以产生一个递归的顺序35，其系数有度高达938。大约需要四个月的CPU时间来建立和解决的反常尺寸和威尔逊系数的递归在一个2 GHz的机器需要不到10 GB的内存。没有算法是已知的，但提供这样一个高数量的时刻3-循环量。本文提出的方法表明，用计算机代数建立和求解物理问题中出现的较大阶和次数的递推式是可能的，而且是唯一的、快速的和可靠的。
2009-02-24 cs.SC hep-ph math-ph
ABJM quantum spectral curve and Mellin transform
现有的N=4 SYM和ABJM模型中量子谱曲线问题的微扰解法仅限于态量子数为整数的情况。这些技术足以恢复完整的分析结构的保守的费用，只要我们知道一个有限的基础上的功能，他们可以明确地写。已知在N=4 SYM的情况下，渐近Bethe修正和包裹修正或有限尺寸修正的贡献都用调和和表示。然而，在ABJM模型的情况下，只有渐近贡献仍然可以写在调和和基，而包裹校正部分不能。此外，该问题的调和和基的推广也是未知的。本文提出了一种求解多圈Baxter方程的Mellin空间方法，该方法是求解相应量子谱问题的主要成分，并给出了在sl（2）扇区中twist 1算符情况下ABJM量子谱曲线的解的显式结果，其自旋值可达4圈阶，并给出了缠绕修正的显式解释.结果表明，反常维数的结果可以用单位因子的四次方根修饰的调和和来表示，从而最大超越性原理成立。
2018-07-13 hep-ph hep-th
Dimensional Regularization and Mellin Summation in High-Temperature Calculations
给出了热场论中无穷和渐近展开式的一般计算方法。结果表明，梅林求和方法工程优雅的尺寸正则化。对一类有限温度单圈费曼图导出了一个一般结果。
2000-11-01 hep-ph
Harmonic Sums and Polylogarithms Generated by Cyclotomic Polynomials
在可重正化量子场论的大规模高阶微扰计算中，Feynman积分的计算需要多重套调和和的延拓，而多重套调和和可以通过Poincaré迭代积分的Mellin变换（包括高阶分圆多项式的展开子）生成为实表示.我们导出了分圆调和多项式与调和和，并研究了它们的代数关系和结构关系。利用解析表示法将分圆调和和解析延拓到$N$的复值.我们还考虑了分圆调和多项式在自变量$x=1$上的特殊值，对于与色重zeta值有关的$N \rightarrow \infty$上的分圆调和和，基于stuffle代数和shuffle代数以及三个重宗量关系，导出了它们之间的各种关系.我们还考虑了与无限分圆调和和相关的单位根上的无限广义套调和和。导出了权重{ \sf w = 1，2}和到分圆{ \sf l = 20}的基表示。
2011-05-30 cs.SC hep-ph hep-th
Structural Relations between Nested Harmonic Sums
本文描述了在可重正化规范场理论中，直到3圈水平的物理单尺度量描述中出现的套调和和之间的结构关系。这些是权重{ \sf w=6}谐波和。我们确定通用的基本功能，可以描述一大类的物理量，并推导出其复杂的分析。对于3圈QCD Wilson系数，需要35个基本函数，而15个基本函数的子集描述了3圈异常维度。
2008-07-04 hep-ph math-ph math.AG
Large-Nc QCD, Harmonic Sums and the Riemann Zeros
结果表明，在大Nc量子色动力学中，局部算符的两点函数成为调和和。我们评论的属性，从这个事实。这使我们从量子理论中色散关系的观点出发，对黎曼zeta函数的零点作了一个附带的观察。
2010-10-22 hep-ph hep-th math-ph
Harmonic Sums, Polylogarithms, Special Numbers, and their Generalizations
在这些介绍性讲座中，我们讨论目前已知的嵌套求和类，相关的迭代积分，和特殊的常数，这些常数分层出现在无质量和大规模费曼图在更高的循环评估。这些数量是元素的填充和洗牌代数代数意味着代数关系广泛独立的特殊数量考虑。它们由结构关系补充。给出了广义调和和，（广义）分圆和，并在此外二项式和逆二项式权重的总和。所有这些量都与迭代积分和特殊数有关。我们还讨论了不同类型套和到外和界N的复值的解析延拓。
2013-04-26 cs.SC hep-ph hep-th
Difference Equations in Massive Higher Order Calculations
大量的2-循环算子矩阵元素的计算，所需的高阶威尔逊系数的重味生产深度非弹性散射，导致新类型的多个无穷和谐波和相关的功能，这取决于梅林参数$N$。我们报告的解决方案，这些款项通过高阶差分方程使用求和包{\tt西格玛}。
2007-07-31 cs.MS hep-ph math-ph
Calculating Three Loop Ladder and V-Topologies for Massive Operator Matrix Elements by Computer Algebra
计算了构成大量算子矩阵元$A_{Qg}$的三个回路梯形图和$V$ -拓扑图.相应的对象都可以用嵌套和和递归表示，这取决于梅林变量$N$和维数参数$\varepsilon$。给出了这些表示，在我们的计算机代数工具箱的帮助下，可以得到所需的$\varepsilon$中的洛朗级数展开式。在这里，我们依赖于广义超几何函数和梅林-巴恩斯表示，差环算法的符号求和，优化版本的多变量Almkvist-Zeilberger算法的符号积分，并在新的方法来计算洛朗级数解耦合系统的微分方程。可以直接计算一般系数矩阵的解决方案的任何基础上，也执行的情况下，它是在不定嵌套的产品和表达式表示的尺寸参数的扩展。这个结构结果是基于我们的差环理论的新结果。在讨论的情况下，我们处理迭代和积分的解决方案，一般字母表。最后的结果表示在特殊的总和，形成拟洗牌代数，如嵌套调和和，广义调和和，嵌套二项式加权（分圆）总和。$N$的复值的解析延拓是可能的，通过这些量所服从的递归关系和它们的解析渐近展开。后者导致主机的新常数超出了多个zeta值，无限广义调和和分圆和的情况下，$V$ -拓扑。
2015-09-28 cs.SC hep-ph hep-th
Computer Algebra Algorithms for Special Functions in Particle Physics
本文研究了可重整化量子场论中大质量高阶微扰计算中产生的特殊嵌套对象。一方面，我们的工作与嵌套的总和，如调和和及其推广（S-总和，分圆调和和，分圆S-总和），另一方面，我们对待迭代积分的庞加莱和陈型，如调和多项式及其推广（多重多项式，分圆调和多项式）。迭代积分连接到嵌套的总和通过（概括）梅林变换，我们展示了如何计算这种变换。我们推导出代数和结构之间的关系嵌套的总和以及在无穷大的总和的值之间的关系，并连接到它的值的迭代积分评估在特殊常数。此外，我们国家的算法来计算这些嵌套对象的渐近展开，我们国家的算法重写某些类型的嵌套和表达式的分圆S-总和。此外，我们总结的主要功能的计算机代数软件包谐波和所有这些算法和转换的实现。此外，我们提出的应用和增强的多元Almkvist-Zeilberger算法的某些类型的费曼积分和相应的计算机代数包MultiIntegrate。
2013-05-03 hep-ph hep-th math-ph
Analytic continuation of harmonic sums: dispersion representation
我们提出了一个简单的表示解析连续套调和和的任意复杂的论点。这种表示可以得到广泛的嵌套谐波和从一个预先计算的数据库，这些款项附近的负整数的极点表达式。我们描述的过程中，从色散表示相应的结果进行精确的数值评估。
2022-11-23 hep-ph hep-th
Structural Relations between Harmonic Sums up to w=6
多重嵌套有限调和和$S_{a_1 ... a_n}(N)$出现在量子场论的许多单尺度高阶计算中。我们讨论了它们与权{ \sf w=6}的代数和结构关系。作为一个例子，我们考虑这些关系的应用程序的软和虚拟的修正Bhabha散射$O(α^2)$。
2007-06-16 hep-ph math-ph math.MP
Analytic Continuation of the Harmonic Sums for the 3--Loop Anomalous Dimensions
我们提出的数值使用的解析延拓复杂的参数，这些基本的梅林变换，建立谐波和贡献的3-循环异常尺寸。八个新的基本功能有助于除了解析延续的2圈无质量威尔逊系数计算。在$x ε[10^{-6},0.98]$的范围内，推导出的表示具有优于$10^{-7}$的相对精度。
2005-03-18 hep-ph
Reflection Identities of Harmonic Sums and pole decomposition of BFKL eigenvalue
我们分析了已知的结果，下一个到下一个到领先（NNLO）单重BFKL本征值在$N=4$ SYM写的谐波和。嵌套谐波和建设已知的NNLO BFKL特征值的特定值的共形自旋极点在负整数。我们排序的谐波和根据其重量和深度的复杂性，并使用其极点分解的反射恒等式，找到最复杂的条款的NNLO BFKL本征值为任意值的共形自旋。所得到的结果是兼容的Bethe-Salpeter方法的BFKL的演变。
2020-11-16 hep-ph hep-th
BFKL Eigenvalue and Maximal Alternation of Harmonic Sums
我们分析的Balitsky-Fadin-Kuraev-Lipatov（BFKL）方程的本征值在微扰制度的解析连续的调和和从偶数的正参数复平面的已知结果。由此产生的亚纯函数在辐角的负整数值处具有极点。调和和的典型分类由两个主要参数决定：$a)$（\textit{weight}）-求和指数的逆幂之和; $b)$（\textit{depth}）-嵌套求和的数量。我们引入第三个参数：\textit{alternation} -在一个给定的谐波和嵌套的符号交替求和的数量。我们声称，最大交替的嵌套求和的功能建设的BFKL特征值保持从循环到循环中的微扰扩展。对$t$ -通道中的任意色位的传播态，给出了BFKL方程。基于已知的结果，可以说，颜色伴随BFKL特征值可以只使用具有正指数、最大交替为零和最大深度为一的调和和来写，而单重BFKL特征值由具有最大符号交替等于一的调和和来构造。我们还注意到，对于最大交替相等单位，调和和可以通过具有半移位自变量的交替零调和和来表示。
2019-01-16 hep-ph hep-th
Massive 3-loop Ladder Diagrams for Quarkonic Local Operator Matrix Elements
3-使用Appell函数表示法并应用由{ \sf Sigma}软件包和超代数方法提供的现代求和技术，对Mellin变量$N$的一般值直接计算局部夸克扭转2算符矩阵元素出现的梯形回路图。在某些图中，具有$ξ\in \{1,1/2,2\}$的广义调和和出现在通常的套调和和之外。正如相应积分的渐近表示所示，对于$N$的大值，广义和给出了良好的表达式。这些图有助于在区域$Q^2 \gg m^2$中的深度非弹性散射的结构函数的3圈重味威尔逊系数。
2013-05-10 hep-ph hep-th math-ph
Large Nc QCD and Harmonic Sums
在QCD的大N_c极限中，局部算符的两点函数成为调和和。我回顾了一些属性遵循这一事实，这是相关的唯象应用。这使我们考虑一类解析数论函数作为玩具模型的大Nc QCD，我也讨论。
2011-11-26 hep-ph hep-th
The package HarmonicSums: Computer Algebra and Analytic aspects of Nested Sums
本文概述了计算机代数软件包HarmonicSums的基本功能。一方面，HarmonicSums可以处理嵌套和，如调和和及其推广，另一方面，它可以处理Poincare和Chen型的迭代积分，如调和多项式及其推广。这些表示和分析方面的相互作用说明了具体的例子。
2014-07-23 cs.SC hep-ph
The analytic structure of the BFKL equation and reflection identities of harmonic sums at weight five
本文利用复平面上调和和的解析延拓所得到的亚纯函数，分析了N = 4 SYM中色单Balitsky-Fadin-Kuraev-Lipatov~（BFKL）方程的特征值的结构.我们所讨论的亚纯函数在负整数处有极点奇点，在其它所有点上取有限值。通过将具有混合极点结构的两个调和和的乘积分解为在幅角的负值或非负值处具有极点的项的线性组合，得到了权值为5的调和和的反射恒等式.极点分解演示了两个简单的谐波和的乘积如何在更高的权重下构建更复杂的谐波和。我们列出了一个最小的不可约的双线性反射恒等式的重量为5，介绍了本文的主要结果。我们展示了如何反射恒等式可以用来恢复的下一个领先的特征值的颜色单重BFKL方程在N = 4 SYM的功能形式，即我们认为，这是可能的，以恢复完整的功能形式在整个复平面上提供一个有信息的功能看起来像在复平面上的两条线。最后，我们讨论了如何非线性反射恒等式可以从我们的结果与众所周知的准洗牌关系的调和和。
2019-03-12 hep-ph hep-th
Analytic Continuation of Harmonic Sums
我们提出了一种方法计算任何（嵌套）谐波和任意精度的所有复杂的值的参数。该方法利用谐波和（衍生物）赫维茨zeta函数之间的关系，它允许谐波和计算作为一个扩展有效的大值其参数。还提供了用于实现该方法的程序。
2009-03-06 hep-ph
Analytic continuation of harmonic sums with purely imaginary indices near the integer values
本文提出一种代数方法及 MATHEMATICA 代码，用于纯虚或实整数指标调和和在整数附近的解析延拓，并应用于 ABJM 模型反常维数，验证斜率函数并预测次斜率函数的前三阶微扰项。
2022-11-07 hep-ph hep-th
Calculation of Massless Feynman Integrals using Harmonic Sums
介绍了一种计算多圈无质量费曼积分展开式的方法。该方法基于Gegenbauer多项式技术和Gamma函数的调和和展开。嵌套和调和和的评估算法被用来减少表达式，以获得展开系数的解析或数值结果。讨论了提高数值计算精度的方法。
2006-07-10 hep-ph
Algebraic Relations Between Harmonic Sums and Associated Quantities
本文给出了直到深度为6的有限调和和的交错和非交错的代数关系。所有的和的重量~6的关系给出了明确的形式。这些关系只依赖于调和和的指数集的结构，而不依赖于它们的值。因此，它们对所有其他服从相同乘法关系的数学对象都有效，或者可以作为其特例获得，例如调和多对数。我们验证了一个给定的索引集的独立元素的数量可以通过计算与此相关联的林登词来确定。有限调和和之间的代数关系可以用来减少Wilson系数和分裂函数的Mellin矩的表达式的高复杂性显着的无质量场论，如QED和QCD高达三圈和更高的阶数的耦合常数，也是重要的过程依赖于更多的尺度。由此获得的独立和的数目与给定索引集的所有和的数目的比率被发现是$\leq 1/d$，其中$d$是独立于权重的和的深度。对于任意深度的所有类调和和，给出了相应的计数关系的解析形式，并将其列表到深度$d=10$。
2003-11-04 hep-lat hep-ph hep-th
The O(α_s^3) Massive Operator Matrix Elements of O(n_f) for the Structure Function F_2(x,Q^2) and Transversity
对描述极限$Q^2 \gg m^2$中的重味Wilson系数的$O(α_s^3)$大规模算子矩阵元素的贡献$\propto n_f$针对梅林变量$N$的一般值的结构函数$F_2(x,Q^2)$和横向性进行计算。这里，对于两个矩阵元素，$A_{qq,Q}^{\sf PS}(N)$和$A_{qg,Q}(N)$，获得了完整的结果。给出了对3-圈反常维数$γ_{qg}(N)$、$γ_{qq}^{\sf PS}(N$和$γ_{qq}^{\sf NS,(TR)}(N)$贡献的第一次独立计算。在计算中，使用了超几何项与调和和乘积的嵌套和的先进求和技术。对于中间结果，出现广义调和和，而最终结果只能用嵌套调和和表示。
2010-08-19 hep-ex hep-ph hep-th
Reduction of Multiple Harmonic Sums and Harmonic Polylogarithms
交错和非交错调和和以及相同等价类的其他代数对象由代数关系连接，这些代数关系由这些量的乘积引起，并且取决于它们的指数类而不是它们的值。我们展示了如何找到相关代数的基础。基$l$的长度被发现是$\leq 1/d$，其中$d$是所考虑的和的深度，并且由第二个{ \sc Witt}公式给出。还可以通过对相应索引集合的{ \sc Lyndon}字进行计数来确定。所导出的关系式可用于简化QED和QCD高阶计算的结果。
2004-05-03 hep-ph
- XSummer - Transcendental Functions and Symbolic Summation in Form
调和和及其推广在计算量子场论中的高阶微扰修正时是非常有用的。特别令人感兴趣的是所谓的嵌套和，其中调和和及其推广出现作为积木，起源于例如从广义超几何函数的扩展周围的整数值的参数。在这封信中，我们讨论了几种算法的实施，以解决这些款项的代数手段，使用计算机代数系统的形式。
2005-08-02 hep-ph math-ph math.MP
Mathematics for structure functions
我们展示了一些正在开发的数学计算的深层非弹性结构函数的三个循环。这些包括调和和，调和多项式和一类差分方程，可以解决与使用调和和。
2000-04-26 hep-ph
