Harmonic sums, Mellin transforms and Integrals
本文描述了调和级数、二项式系数和多项式组合上的嵌套符号和的算法。此外，它对待梅林变换和反梅林变换的功能，遇到费曼图计算。连同结果的高次谐波级数在无穷远处的值，所提出的算法可用于整个类的积分，迄今棘手的符号评价。此外，许多必须评估的总和似乎涉及新的结果。大部分算法已用FORM语言编程实现。产生的过程集称为SUMMER。
1998-06-05 hep-ph
The package HarmonicSums: Computer Algebra and Analytic aspects of Nested Sums
本文概述了计算机代数软件包HarmonicSums的基本功能。一方面，HarmonicSums可以处理嵌套和，如调和和及其推广，另一方面，它可以处理Poincare和Chen型的迭代积分，如调和多项式及其推广。这些表示和分析方面的相互作用说明了具体的例子。
2014-07-23 cs.SC hep-ph
Analytic Continuation of Mellin Transforms up to two-loop Order
分析连续的梅林变换到复杂的N值的基本功能$g_i(x)$的动量分数x出现在数量的无质量QED和QCD到两个回路的顺序，作为非极化和极化分裂函数，系数函数，和硬散射截面的空间和时间的动量转移进行评估。这些梅林变换提供了所有有限调和和的解析延拓，直至超越性四的三倍和的水平，其中基集${g_i(x)}$由{ \sc Nielsen}-积分直至超越性四的积组成。提供了计算机代码{ \tt ANCONT}。
2000-03-10 hep-ph hep-th
Reflection Identities of Harmonic Sums and pole decomposition of BFKL eigenvalue
我们分析了已知的结果，下一个到下一个到领先（NNLO）单重BFKL本征值在$N=4$ SYM写的谐波和。嵌套谐波和建设已知的NNLO BFKL特征值的特定值的共形自旋极点在负整数。我们排序的谐波和根据其重量和深度的复杂性，并使用其极点分解的反射恒等式，找到最复杂的条款的NNLO BFKL本征值为任意值的共形自旋。所得到的结果是兼容的Bethe-Salpeter方法的BFKL的演变。
2020-11-16 hep-ph hep-th
BFKL Eigenvalue and Maximal Alternation of Harmonic Sums
我们分析的Balitsky-Fadin-Kuraev-Lipatov（BFKL）方程的本征值在微扰制度的解析连续的调和和从偶数的正参数复平面的已知结果。由此产生的亚纯函数在辐角的负整数值处具有极点。调和和的典型分类由两个主要参数决定：$a)$（\textit{weight}）-求和指数的逆幂之和; $b)$（\textit{depth}）-嵌套求和的数量。我们引入第三个参数：\textit{alternation} -在一个给定的谐波和嵌套的符号交替求和的数量。我们声称，最大交替的嵌套求和的功能建设的BFKL特征值保持从循环到循环中的微扰扩展。对$t$ -通道中的任意色位的传播态，给出了BFKL方程。基于已知的结果，可以说，颜色伴随BFKL特征值可以只使用具有正指数、最大交替为零和最大深度为一的调和和来写，而单重BFKL特征值由具有最大符号交替等于一的调和和来构造。我们还注意到，对于最大交替相等单位，调和和可以通过具有半移位自变量的交替零调和和来表示。
2019-01-16 hep-ph hep-th
Large Nc QCD and Harmonic Sums
在QCD的大N_c极限中，局部算符的两点函数成为调和和。我回顾了一些属性遵循这一事实，这是相关的唯象应用。这使我们考虑一类解析数论函数作为玩具模型的大Nc QCD，我也讨论。
2011-11-26 hep-ph hep-th
Mellin Moments of the Next-to-next-to Leading Order Coefficient Functions for the Drell-Yan Process and Hadronic Higgs-Boson Production
我们计算了Drell-Yan和Higgs产生截面的次次领头阶系数函数的Mellin矩。结果可以表示为多重有限调和和的最大重量w = 4。利用调和和之间的代数和结构关系，人们发现，除了单一的调和和，只有五个基本和及其衍生物w.r.t.总和指数有贡献。这种表示法降低了x空间计算中的复杂性，非常适合快速数值实现。
2005-03-21 hep-ph
Two-loop amplitudes with nested sums: Fermionic contributions to e+ e- --> q qbar g
我们给出了对e+ e-> q qbar g的双圈振幅的nf贡献的计算，并给出了在维数正则化参数中达到eps^2阶的完整单圈振幅的结果。我们的结果与Garland等人最近获得的结果一致。计算广泛使用了一种有效的方法，基于嵌套和计算两个循环积分与任意权力的传播。嵌套求和的使用以一种自然的方式导致具有简单参数的多个多项式，这允许直接的解析延拓。
2002-07-03 hep-ph
The analytic structure of the BFKL equation and reflection identities of harmonic sums at weight five
本文利用复平面上调和和的解析延拓所得到的亚纯函数，分析了N = 4 SYM中色单Balitsky-Fadin-Kuraev-Lipatov~（BFKL）方程的特征值的结构.我们所讨论的亚纯函数在负整数处有极点奇点，在其它所有点上取有限值。通过将具有混合极点结构的两个调和和的乘积分解为在幅角的负值或非负值处具有极点的项的线性组合，得到了权值为5的调和和的反射恒等式.极点分解演示了两个简单的谐波和的乘积如何在更高的权重下构建更复杂的谐波和。我们列出了一个最小的不可约的双线性反射恒等式的重量为5，介绍了本文的主要结果。我们展示了如何反射恒等式可以用来恢复的下一个领先的特征值的颜色单重BFKL方程在N = 4 SYM的功能形式，即我们认为，这是可能的，以恢复完整的功能形式在整个复平面上提供一个有信息的功能看起来像在复平面上的两条线。最后，我们讨论了如何非线性反射恒等式可以从我们的结果与众所周知的准洗牌关系的调和和。
2019-03-12 hep-ph hep-th
Mathematics for structure functions
我们展示了一些正在开发的数学计算的深层非弹性结构函数的三个循环。这些包括调和和，调和多项式和一类差分方程，可以解决与使用调和和。
2000-04-26 hep-ph
Harmonic Sums and Polylogarithms Generated by Cyclotomic Polynomials
在可重正化量子场论的大规模高阶微扰计算中，Feynman积分的计算需要多重套调和和的延拓，而多重套调和和可以通过Poincaré迭代积分的Mellin变换（包括高阶分圆多项式的展开子）生成为实表示.我们导出了分圆调和多项式与调和和，并研究了它们的代数关系和结构关系。利用解析表示法将分圆调和和解析延拓到$N$的复值.我们还考虑了分圆调和多项式在自变量$x=1$上的特殊值，对于与色重zeta值有关的$N \rightarrow \infty$上的分圆调和和，基于stuffle代数和shuffle代数以及三个重宗量关系，导出了它们之间的各种关系.我们还考虑了与无限分圆调和和相关的单位根上的无限广义套调和和。导出了权重{ \sf w = 1，2}和到分圆{ \sf l = 20}的基表示。
2011-05-30 cs.SC hep-ph hep-th
Harmonic Sums and Mellin Transforms up to two-loop Order
本文系统地研究了四阶有限调和和问题。这些总和形成了梅林变换的一般基础上出现的无质量QED和QCD的数量高达两圈顺序的动量分数$x$的所有个别函数$f_i(x)$，作为非极化和极化分裂函数，系数函数，和硬散射截面的空间和时间的动量转移。有限调和和的线性表示显式计算。代数关系连接这些款项的基础上，得到一组减少的基本功能表示。计算了所有相应Nielsen函数的Mellin变换。
2000-08-31 hep-ex hep-ph hep-th
Generalized Harmonic, Cyclotomic, and Binomial Sums, their Polylogarithms and Special Numbers
本文综述了多圈费曼图中出现的数学结构。这些都是多重嵌套的总和，并与它们相关联的逆梅林变换，具体的迭代积分。这两个类都导致特殊数的集合。从调和求和和多项式，我们讨论这些数量的割圆，广义（割圆），二项式加权求和，相关的迭代积分和特殊常数及其关系的最近扩展。
2013-10-21 hep-ph hep-th math-ph
Structural Relations of Harmonic Sums and Mellin Transforms up to Weight w = 5
本文导出了在QED和QCD中计算无质量或有质量的单尺度量时出现的加权Nielsen积分的Mellin变换与其它依赖于单尺度的硬散射截面之间的结构关系。所有重调和和的集合直到权重5覆盖了计算3-loop反常维数所需的和。这些关系扩展了早先研究的调和和之间的拟混洗乘积所产生的集合。与洗牌关系不同，它们依赖于所考虑的量的值。直到权重{ \sf w = 5}，242个嵌套谐波和起作用。在本物理应用中，考虑不包含索引$i = -1$的谐波和的子集就足够了，该子集由69个和组成。代数关系将该集合减少到30个和。由于结构关系的调和和的数量最终减少到{15}基本功能。这些函数可以用阶乘级数来表示，并由代数可约的调和和来补充。给出了这些{15}亚纯函数在复平面上的完全解析表示，导出了它们的渐近关系和递归关系。嵌套谐波和多个zeta值出现在高阶计算的零和单尺度量的方式提出了一个总体轮廓。
2009-08-26 hep-ph hep-th math-ph
Structural Relations of Harmonic Sums and Mellin Transforms at Weight w=6
本文导出了权为{ \sf w = 6}的Nielsen积分和调和多项式的套调和和与相应的Mellin变换之间的结构关系。它们出现在QED和QCD中无质量单尺度量的计算中，如反常尺寸和Wilson系数，到3-和4-圈级。我们考虑权为6的多重调和和的集合，而没有指标$\{-1\}$。这个限制对于所有已知的物理情况是足够的。结构关系补充代数关系，由于调和和之间的洗牌产品，研究较早。在权重{ \sf w = 6}处贡献的486个可能谐波和的原始量减少到99个没有索引$\{-1\}$的和。代数和结构关系导致进一步减少到20个基本功能。这些函数补充了15个基本函数的集合，直到前面导出的权重{ \sf w = 5}。给出了求复平面上基本和的解析表示的算法。
2009-01-07 hep-ph hep-th math-ph
Structural Relations between Nested Harmonic Sums
本文描述了在可重正化规范场理论中，直到3圈水平的物理单尺度量描述中出现的套调和和之间的结构关系。这些是权重{ \sf w=6}谐波和。我们确定通用的基本功能，可以描述一大类的物理量，并推导出其复杂的分析。对于3圈QCD Wilson系数，需要35个基本函数，而15个基本函数的子集描述了3圈异常维度。
2008-07-04 hep-ph math-ph math.AG
Large-Nc QCD, Harmonic Sums and the Riemann Zeros
结果表明，在大Nc量子色动力学中，局部算符的两点函数成为调和和。我们评论的属性，从这个事实。这使我们从量子理论中色散关系的观点出发，对黎曼zeta函数的零点作了一个附带的观察。
2010-10-22 hep-ph hep-th math-ph
Structural Relations between Harmonic Sums up to w=6
多重嵌套有限调和和$S_{a_1 ... a_n}(N)$出现在量子场论的许多单尺度高阶计算中。我们讨论了它们与权{ \sf w=6}的代数和结构关系。作为一个例子，我们考虑这些关系的应用程序的软和虚拟的修正Bhabha散射$O(α^2)$。
2007-06-16 hep-ph math-ph math.MP
Analytic and Algorithmic Aspects of Generalized Harmonic Sums and Polylogarithms
在最近的量子色动力学（QCD）中的大质量Feynman积分的三圈计算中，在最近的组合问题中，出现了所谓的广义调和和（简称$S$ -和）。它们的特征在于有理（或实）分子权重也不同于$\pm 1$。在这篇文章中，我们将系统地探讨这些和的算法和分析性质。我们工作的梅林和逆梅林变换连接的总和与相关的庞加莱迭代积分，也称为广义调和多项式。在这方面，我们得到明确的解析延拓的$S$ -和开始经常出现在当前的QCD计算的渐近展开的手段。此外，我们推导出代数和结构关系，如微分w.r.t.外和指标和不同的多变量关系，对$S$ -和式的紧化进行了研究.最后，我们计算代数关系的无限$S$ -总和，或等价的广义调和多项式在特殊值评估。相应的算法和关系被编码在计算机代数包{ \tt HarmonicSums}中。
2013-02-02 cs.SC hep-ph hep-th
Algebraic Relations Between Harmonic Sums and Associated Quantities
本文给出了直到深度为6的有限调和和的交错和非交错的代数关系。所有的和的重量~6的关系给出了明确的形式。这些关系只依赖于调和和的指数集的结构，而不依赖于它们的值。因此，它们对所有其他服从相同乘法关系的数学对象都有效，或者可以作为其特例获得，例如调和多对数。我们验证了一个给定的索引集的独立元素的数量可以通过计算与此相关联的林登词来确定。有限调和和之间的代数关系可以用来减少Wilson系数和分裂函数的Mellin矩的表达式的高复杂性显着的无质量场论，如QED和QCD高达三圈和更高的阶数的耦合常数，也是重要的过程依赖于更多的尺度。由此获得的独立和的数目与给定索引集的所有和的数目的比率被发现是$\leq 1/d$，其中$d$是独立于权重的和的深度。对于任意深度的所有类调和和，给出了相应的计数关系的解析形式，并将其列表到深度$d=10$。
2003-11-04 hep-lat hep-ph hep-th
Harmonic Sums, Polylogarithms, Special Numbers, and their Generalizations
在这些介绍性讲座中，我们讨论目前已知的嵌套求和类，相关的迭代积分，和特殊的常数，这些常数分层出现在无质量和大规模费曼图在更高的循环评估。这些数量是元素的填充和洗牌代数代数意味着代数关系广泛独立的特殊数量考虑。它们由结构关系补充。给出了广义调和和，（广义）分圆和，并在此外二项式和逆二项式权重的总和。所有这些量都与迭代积分和特殊数有关。我们还讨论了不同类型套和到外和界N的复值的解析延拓。
2013-04-26 cs.SC hep-ph hep-th
Computer Algebra Algorithms for Special Functions in Particle Physics
本文研究了可重整化量子场论中大质量高阶微扰计算中产生的特殊嵌套对象。一方面，我们的工作与嵌套的总和，如调和和及其推广（S-总和，分圆调和和，分圆S-总和），另一方面，我们对待迭代积分的庞加莱和陈型，如调和多项式及其推广（多重多项式，分圆调和多项式）。迭代积分连接到嵌套的总和通过（概括）梅林变换，我们展示了如何计算这种变换。我们推导出代数和结构之间的关系嵌套的总和以及在无穷大的总和的值之间的关系，并连接到它的值的迭代积分评估在特殊常数。此外，我们国家的算法来计算这些嵌套对象的渐近展开，我们国家的算法重写某些类型的嵌套和表达式的分圆S-总和。此外，我们总结的主要功能的计算机代数软件包谐波和所有这些算法和转换的实现。此外，我们提出的应用和增强的多元Almkvist-Zeilberger算法的某些类型的费曼积分和相应的计算机代数包MultiIntegrate。
2013-05-03 hep-ph hep-th math-ph
$O(α_s^2)$ Timelike Wilson Coefficients for Parton-Fragmentation Functions in Mellin Space
我们计算了非极化和极化碎裂函数的$O(α_s^2)$系数函数的Mellin矩。它们可以表示为多重最大权的有限调和和{ \sf w = 4}。利用调和和之间的代数和结构关系，人们发现，除了单一的调和和，只有三个基本的总和及其衍生物w.r.t.总和指数有贡献。梅林时刻解析地继续梅林变量的复杂值。这种表示法大大降低了$x$ -空间计算中存在的复杂性，并允许非常紧凑和快速的数值实现。
2006-04-03 hep-ex hep-ph
Iterated Binomial Sums and their Associated Iterated Integrals
考虑了二项式$\binom{2k}{k}$在分子和子上加权的有限个迭代广义调和和.这些功能的一大类出现在大量的费曼图的计算与本地运营商的插入开始在3圈顺序的耦合常数，并扩展类的嵌套谐波，广义谐波和分圆和。二项式加权和的梅林变换的平方根值的字母表上的迭代积分相关联。$N \rightarrow \infty$和$x=1$的迭代积分的值导致新的常数，扩展了由多重zeta值、分圆zeta值和特殊常数给出的特殊数的集合，这些特殊数出现在广义调和和的极限$N \rightarrow \infty$中。我们开发的算法，以获得梅林表示这些款项在一个系统的方式。它们对于导出这些和的渐近展开式及其到$N \in \mathbb{C}$的解析延拓是很重要的。相关的卷积关系是针对实参数导出的，因此可以在更广泛的背景下使用，例如用于多尺度过程。我们还推导出算法，将迭代积分的根值字母表到二项式和。利用生成函数，我们研究了无穷（逆）二项式和的几个方面。
2014-07-03 hep-ph hep-th math-ph
Computing Mellin representations and asymptotics of nested binomial sums in a symbolic way: the RICA package
本文提出 RICA 程序包，用于符号计算嵌套二项式和式的 Mellin 表示与无穷远渐近展开，以支持 QCD/QED 微扰计算及组合学中的解析延拓需求。
2023-08-11 cs.SC hep-ph
- XSummer - Transcendental Functions and Symbolic Summation in Form
调和和及其推广在计算量子场论中的高阶微扰修正时是非常有用的。特别令人感兴趣的是所谓的嵌套和，其中调和和及其推广出现作为积木，起源于例如从广义超几何函数的扩展周围的整数值的参数。在这封信中，我们讨论了几种算法的实施，以解决这些款项的代数手段，使用计算机代数系统的形式。
2005-08-02 hep-ph math-ph math.MP
