In a \emph{group testing} scheme, a set of tests is designed to identify a small number $t$ of defective items among a large set (of size $N$) of items. In the non-adaptive scenario the set of tests has to be designed in one-shot. In this setting, designing a testing scheme is equivalent to the construction of a \emph{disjunct matrix}, an $M \times N$ matrix where the union of supports of any $t$ columns does not contain the support of any other column. In principle, one wants to have such a matrix with minimum possible number $M$ of rows (tests). One of the main ways of constructing disjunct matrices relies on \emph{constant weight error-correcting codes} and their \emph{minimum distance}. In this paper, we consider a relaxed definition of a disjunct matrix known as \emph{almost disjunct matrix}. This concept is also studied under the name of \emph{weakly separated design} in the literature. The relaxed definition allows one to come up with group testing schemes where a close-to-one fraction of all possible sets of defective items are identifiable. Our main contribution is twofold. First, we go beyond the minimum distance analysis and connect the \emph{average distance} of a constant weight code to the parameters of an almost disjunct matrix constructed from it. Our second contribution is to explicitly construct almost disjunct matrices based on our average distance analysis, that have much smaller number of rows than any previous explicit construction of disjunct matrices. The parameters of our construction can be varied to cover a large range of relations for $t$ and $N$.
设$1 \le s < t$、$N \ge 1$是整数，并且大小为$t$的复杂电子电路被称为$s$激活的，$\; s \ll t$，并且如果电路的不超过$s$元件是有缺陷的，则可以作为系统块工作。否则，该电路被认为是$s$ -故障电路，应更换为类似的$s$ -有源电路。假设有可能运行$N$非自适应组测试来检查电路的$s$活动。通常，如果一个群包含至少一个有缺陷的元素，我们就说这个（选言）群检验产生肯定响应。随着传统的解码算法的基础上析取$s$码，我们认为一个阈值判决规则的最小可能的解码复杂度，这是基于一个简单的比较固定的阈值$T$，$1 \le T \le N - 1$，与肯定的响应$p$，$0 \le p \le N$的数量。对于这两种解码算法，我们讨论了零假设$\left\{ H_0 \,:\, \text{the circuit is $ s $-active} \right\}$与备择假设$\left\{ H_1 \,:\, \text{the circuit is $ s $-defective} \right\}$的统计检验的显著性水平$α$的上界。
Quantitative Group Testing and the rank of random matrices
给定随机伯努利矩阵$ A\in \{0,1\}^{m\times n} $、整数$ 0< k < n $和向量$ y:=Ax $，其中$ x \in \{0,1\}^n $具有汉明重量$ k $，{ \em定量分组测试}（QGT）问题的目标是恢复$ x $。PDMATHAMT越小，这个问题就越困难。对于我们感兴趣的参数范围，已知的多项式时间算法需要比$k$大得多的$m$值。在这项工作中，我们定义了一个看似简单的问题，我们称之为{ \em子集选择}。给定与QGT中相同的输入，子集选择中的目标是返回基数$ m $的子集$ S \subseteq [n] $，使得对于所有$ i\in [n] $，如果是$ x_i = 1 $，则是$ i\in S $。我们表明，如果由$S$索引的列定义的$A$的平方子矩阵具有近满秩，那么从子集选择问题的解决方案，我们可以恢复在多项式时间的解决方案$x$的QGT问题。我们猜想，对于每个多项式时间子集选择算法，得到的输出矩阵将满足所需的秩条件。我们证明了一些类的算法的猜想。使用这种减少，我们提供了一些例子，如何改善已知的QGT算法。使用理论分析和模拟，我们证明了修改后的算法解决QGT问题的$ m $值小于原来的算法所需的。
On the Error Exponent of Approximate Sufficient Statistics for M-ary Hypothesis Testing
考虑检测M i. i. d之一的问题。在高斯白噪声中被破坏的高斯信号。通常，匹配滤波器用于检测。我们首先表明，匹配滤波器的输出形成一组渐近最优的充分统计量的意义上最大化的错误指数检测的真实信号。然而，在实践中，M可能很大，这促使设计和分析一组减少的N个统计量，我们称之为近似充分的统计量。我们的这些统计数据的建设是基于一个小的一组过滤器，项目的匹配滤波器的输出到一个低维向量使用的传感矩阵。我们考虑具有行正交性和低相干性的传感矩阵序列。我们分析的最大似然（ML）检测器，这导致了一个可实现的边界上的误差指数的基础上的近似充分统计的性能;这个界恢复原始的误差指数时，N = M。我们将此与我们通过分析谢，Eldar和Goldsmith提出的简化非线性检测器（RDD）的修改形式获得的界限进行比较[IEEE Trans.日，59（6）：3858-3874，2013]。我们表明，通过将传感矩阵设置为列归一化的群Hadamard矩阵，导出的指数是系综紧的，即，我们的分析在给定感测矩阵和解码规则的指数尺度上是紧密的。最后，我们推导出指数的一些性质，特别是，它们在压缩比N/M中线性增加。
