Conservation law for a fourth order elliptic system in supercritical dimensions
本文在系数函数满足特定Lorentz-Sobolev可积性假设下，将Lamm-Rivière的四阶椭圆系统守恒律推广至超临界维数，拓展了该守恒律的适用维度范围。
2024-01-27 math.AP
Stationary solutions to a nonlocal fourth-order elliptic obstacle problem
非局部四阶椭圆障碍问题所产生的建模与异质介电性能的微机电系统的静态解的存在性。利用模型的基本变分结构来构造这些解作为适当正则化能量的最小值，这使我们能够大大削弱上一篇文章中使用的模型假设。
2020-03-03 math.AP
Sign-Preserving Property for Some Fourth-Order Elliptic Operators in One Dimension and Radial Symmetry
对于一类具有齐次Dirichlet边界条件的一维线性椭圆型四阶方程，证明了非正非零的右端会产生负解.对于同一类方程的球或环中的径向对称解，也得到了类似的结果。几个应用，包括应用到非线性方程和本征值问题。
2013-03-09 math.AP
Parabolic and Elliptic Schauder Theory on Manifolds for a Fourth-Order Problem with a First- and a Third-Order Boundary Condition
本文介绍流形上的 Schauder 理论，推导了光滑紧致流形上具一阶和三阶边界条件的四阶抛物线性问题的 Schauder 估计，并借此证明了解的存在性且研究了相关椭圆问题。
2023-04-09 math.AP
Uniqueness of solutions for elliptic systems and fourth order equations involving a parameter
我们研究方程\[Δ^2 u = λf(u) \qquad Ω, \]与Navier或Dirichlet边界条件。我们在一定的约束条件下的参数$ λ$的一些唯一性结果。对于方程 *} \{{array}{rrl} -Δu &=& λf（v）\qquad Ω，-Δv &=& γg（u）\qquad Ω，u&=& v = 0 \qquad \partial Ω，我们得到了类似的结果. {array}。联系我们
2011-09-23 math.AP
Heat kernel estimates for fourth order non-uniformly elliptic operators with non strongly convex symbols
得到了二维四阶非一致椭圆算子的热核估计。与现有的结果相反，被认为是运营商的符号是不是强凸的。这增加了一定的困难，因为它是已知的，而不是强凸的情况下，没有绝对的指数常数。我们的估计涉及尖锐的常数和Finsler型的距离，诱导的运营商符号。主要结果是基于两个一般的假设，加权Sobolev不等式和插值不等式，这是有关的奇异性或退化的系数。
2022-11-19 math.AP
Unique continuation for a non bi-Laplacian fourth order elliptic operator
本文讨论了扰动四阶椭圆型微分算子$\mathcal{L}_{A,q}u=0$的解的唯一延拓原理，其中主项不是Laplacian算子的某个整数幂的\[ \mathcal{L}_{A,q}(x,D)\ =\ \sum_{j=1}^nD^4_{x_j} + \sum_{j=1}^n A_jD_{x_j} + q, \qquad (A, q) \in W^{1,\infty}(Ω,\mathbb{C}^n) \times L^{\infty}(Ω,\mathbb{C}) \].我们得到了一些合适的Carleman估计，这是证明唯一连续原理的主要工具。作为副产品，我们还推出了一些稳定性估计，并证明了$2$ -维上的强唯一延拓原理。
2019-09-09 math.AP
Elliptic fourth-order operators with Wentzell boundary conditions on Lipschitz domains
本文利用形式方法和弱迹概念研究Lipschitz区域上带Wentzell边界条件的四阶椭圆算子，证明了解析半群生成并用Sobolev正则性刻画定义域，还讨论了渐近行为与正性。
2024-05-03 math.AP
Entire solutions for a class of fourth order semilinear elliptic equations with weights
研究了一类四阶、膨胀不变、带幂型权且非线性项具有次临界或临界增长的半线性椭圆型方程的整体解问题.这些方程定义了非紧的变分问题，其特征在于存在一个包含低阶导数的项，其强度由参数λ决定。我们可以证明一些Rellich-Sobolev型不等式的整体解作为极值函数的存在性。此外，当非线性适当接近临界非线性且参数λ较大时，会出现对称性破缺现象，在某些情况下，径向和非径向基态的渐近行为可以得到某种程度的描述。
2014-06-20 math.AP
Liouville-type theorems for the fourth order nonlinear elliptic equation
本文考虑非线性椭圆型方程{方程 *} Δ^2 u= |x| ^a |u| ^{p-1}u\;\ {in}\;\ Ω，{方程 *}的Liouville型定理，其中$a \ge 0$，$p>1$和$Ω\subset \mathbb{R}^n$是$\mathbb{R}^n$，$n \ge 5$的无界区域.我们证明了属于以下类别之一的解决方案的刘维尔型定理：稳定的解决方案和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或改变符号）。我们的证明是基于组合的{ \it Pohozaev型身份}，{ \it单调性公式}的解决方案和{ \it吹下}序列，这是用来获得更清晰的结果。
2013-07-09 math.AP
Fourth order weighted elliptic problem under exponential nonlinear growth
本文讨论了$\mathbb{R}^{4}$中单位球上的非线性加权双调和问题。权重为对数类型。考虑到加权索伯列夫空间$W^{2,2}_{0}(B,w)$中的Adam不等式，非线性是关键的。利用临界点理论证明了非平凡解的存在性。主要的困难是由于非线性项$f$的临界指数增长性而导致的紧性损失。我们给出了一个新的增长条件，并指出它对于检验Palais-Smale紧性条件的重要性。
2022-06-20 math.AP
Regularity of the extremal solution for a fourth-order elliptic problem with singular nonlinearity
本文考虑半线性方程$$\{\begin{array}{lllllll} βΔ^{2}u-τΔu=\fracλ{(1-u)^{p}} & in\ \ B, 0<u\leq 1 & in\ \ B, u=Δu=0 & on\ \ \partial B, \end{array} . $$的$p > 1$与极值解的临界维数之间的关系，其中$B$是$R^{n}$中的单位球，$λ>0$是参数，$τ>0, β>0,p>1$是固定常数.通过Hardy-Rellich不等式，我们发现当$p$足够大时，临界维数为13。
2010-10-28 math.AP
Ground state solution for a class of modified nonlinear fourth-order elliptic equation with sign-changing unbounded potential
本文研究四阶椭圆型方程\begin{equation}\tag{$P_λ$} \left\{ \begin{array}[c]{ll} Δ^2 u- Δu + V(x)u -λΔ[ρ(u^2)]ρ'(u^2)u= f(u)\, \, \mbox{in} \, \, \mathbb{R}^N, & u\in W^{2,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \end{equation}，其中$Δ^2 = Δ(Δ)$是双调和算子，$3\leq N\leq 6$，径向对称势$V$可以变号，允许$\inf_{\mathbb{R}^N}V(x)=-\infty$.如果$f$满足一类非二次性和单调性条件，并且$ρ$是一个合适的光滑函数，我们通过变分方法证明了问题$(P_λ)$的径向对称非平凡基态解$u_λ$的存在性，对于所有的$λ\geq 0$ .
2019-06-19 math.AP
On a nonlinear fourth order elliptic equation involving the Sobolev critical exponent
本文利用Bahri和Coron的代数拓扑论证，证明了区域的拓扑如何影响一类具有临界Sobolev指数的四阶椭圆型方程正解的存在性.
2001-12-21 math.AP math.FA
Boundary decay estimates for solutions of fourth-order elliptic equations
得到了具有正则边界的有界区域上四阶椭圆型方程解的积分边界衰减估计。我们应用这些估计，以获得相应的特征值的边界小扰动下的稳定性界限。
2007-01-08 math.AP math.SP
Multiple solutions to singular fourth order elliptic equations
利用Nehari流形方法，证明了具有奇异性和临界Sobolev增长的四阶椭圆型方程至少存在两个不同的弱解.
2012-10-23 math.AP math.DG
Remarks on two fourth order elliptic problems in whole space
本文研究半线性双调和方程$Δ^{2}u=f(u)$在$\R^N$中的整体解，其中$f(u)=e^{u}$或$-u^{-p}\ (p>0)$ .对于指数情形，我们证明了任何经典的整解在没有任何限制的情况下验证了$-Δu>0$，从而完善了\cite{Dupaigne, xu-wei}中的结果，得到了$\R^2$中的不存在性结果;我们还得到了$N=3$径向分界线解的一个精细渐近展开式，回答了\cite{Berchio}中的一个问题.对于负幂情形，我们证明了任何$0<p\leq1$的经典整体解的不存在性。
2014-05-31 math.AP
Existence of nontrivial solutions to a fourth-order Kirchhoff type elliptic equation with critical exponent
本文研究了带有次临界扰动的临界四阶 Kirchhoff 型椭圆方程，通过结合 Mountain Pass Lemma 和对 Talenti's functions 的精细估计解决了低维（≤7）下弱解的存在性，并在高维（≥8）下通过对非局部系数引入截断证明了非平凡解的存在。
2023-05-24 math.AP
Structural dichotomy and mass criticality in indirect chemotaxis cascades: fourth-order ellipticity versus Volterra memory
Boston University（波士顿大学）；Northeastern University（东北大学）
本文通过分析Keller-Segel型趋化模型中的多阶段信号级联，揭示了瞬时平衡与瞬态动力学记忆之间的严格数学二分性，并证明了质量临界维度从N=2移至N=4，同时建立了相应的临界质量公式和空间-时间阈值理论。
2026-05-28 math.AP
Inequalities for eigenvalues of fourth-order elliptic operators in divergence form on complete Riemannian manifolds
证明了完备黎曼流形上加权散度型四阶椭圆算子特征值的Payne-Pólya-Weinberger-Yang型不等式，推广了固支板问题的相应结果.我们还证明了估计低阶特征值，其中包含一些文献中的估计。作为应用，我们得到了双漂移Cheng-Yau算子的特征值估计。
2022-01-17 math.AP math.DG
A survey on obstacle-type problems for fourth order elliptic operators
本文综述四阶椭圆算子障碍型问题的已知结果与最新研究，结合位势论、变分法、局部化及单调性公式，分析适定性、解正则性与自由边界结构。
2022-11-17 math.AP
Solvability of a fourth order elliptic problem in a bounded sector, part II
本文通过变量与函数变换，将广义扩散问题转化为 Banach 空间中线性算子和的求逆问题，并运用 Da Prato–Grisvard 与 Dore–Venni 的算子和理论研究其可解性。
2024-03-05 math.AP
Compactness Properties for Geometric Fourth order Elliptic equations with Application to the Q-curvature Flow
证明了紧致黎曼4-流形上Q-曲率方程的L^1-扰动的一般四阶椭圆型方程解的紧性。因此，我们证明了一类一般的黎曼4-流形上的Q-曲率流的整体存在性和收敛性。作为副产品，我们对A. Malchiodi关于当Paneitz算子为正且具有平凡核时Q-曲率问题的有界Palais-Smale序列的存在性。
2014-04-30 math.AP math.DG
Concentration phenomena for a fourth order equations with exponential growth: the radial case
设$Ω$是$\mathbb{R}^4$的一个光滑有界整环，且函数序列$(V_k)_{k\in\mathbb{N}}\in C^0(Ω)$使得$\lim_{k\to +\infty}V_k=1$在$C^0_{loc}(Ω)$中.我们考虑一系列的功能$(u_k)_{k\in\mathbb{N}}\in C^4(Ω)$，使$$Δ^2 u_k=V_k e^{4u_k}$$在$Ω$为所有$k\in\mathbb{N}$。我们在本文中解决的问题的渐近行为的$(u_k)'s$时，$k\to +\infty$。Brézis-Merle和Li-Shafrir（以及其他人）考虑了2维中的相应问题，其中描述了爆破现象，并证明了这种爆破的量化。令人惊讶的是，正如Adimurthi，Struwe和作者所示，类似的量子化现象并不适用于这个四阶问题。假设$u_k$是径向对称的，我们进一步推进了前面的分析。我们证明了，正好有三种类型的爆破，我们描述了每一种类型中的一个非常详细的方式。
2005-12-07 math.AP
On second-order and fourth-order elliptic systems consisting of bulk and surface PDEs: Well-posedness, regularity theory and eigenvalue problems
本文研究了二阶和四阶椭圆型问题，其中在区域的边界上不仅包含一个泊松方程，而且还包含一个非齐次Laplace-Beltrami方程。的体积和表面偏微分方程耦合的边界条件是Dirichlet或罗宾型。我们指出，狄利克雷和罗宾型边界条件可以同时处理，通过我们的形式主义，而不必改变的框架。此外，我们还研究了这些二阶和四阶椭圆型方程组的本征值问题。我们进一步讨论了这些椭圆问题与某些抛物问题，特别是具有动力边界条件的Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程之间的关系。
2021-11-06 math.AP math.SP
Morse theory for a fourth order elliptic equation with exponential nonlinearity
本文计算了一类具有指数非线性项和Navier边界条件的四阶椭圆型边值问题的勒雷-绍德尔度。这将通过证明一个庞加莱-霍普夫型定理来实现。利用这一结果，结合形式重心集的一些定量结果，我们可以为问题建立一个直观的、几何上清晰的度计数公式。我们注意到，这个公式已经被林伟和王用完全不同的方法证明了。
2009-11-13 math.AP math.DG
Solvability of a fourth order elliptic problem in a bounded sector, part I
本文为两部分研究的第一部分，针对二维有限锥形域上L^p空间中反应扩散方程的广义扩散算子，完整刻画了锥顶附近解在特定加权Sobolev空间中的性态。
2023-12-13 math.AP
On the critical dimension of a fourth order elliptic problem with negative exponent
研究了球$B \subset \R^N$上半线性双调和方程$βΔ^2 u-τΔu=\fracλ{(1-u)^2}$在Navier边界条件$u=Δu=0$ on $\partial B$下极值解的正则性，其中$λ>0$为参数，$τ>0$，$β>0$为固定常数.已知存在$λ^{*}$，使得对于$λ>λ^{*}$没有解，而对于$λ<λ^{*}$存在极小解的分支。我们的主要结果断言，$u^{*}$是正规的（$\sup_{B}u^{*}<1$）$N\leq 8$和$β, τ>0$和它是奇异的（$\sup_{B}u^{*}=1$）$N\geq 9$，$β>0$和$τ>0$与$\fracτβ$小。利用改进的Hardy-Rellich不等式证明了$N\geq 9$维方程极值解的奇异性.
2009-05-12 math.AP
Multiplicity for a nonlinear elliptic fourth order equation in Maxwell-Chern-Simons vortex theory
本文证明了一个四阶方程至少有两个解的存在性，其中包括U（1）和CP（1）自对偶Maxwell-Chern-Simons模型的涡旋方程作为特例.我们的方法是变分的，它依赖于一个“渐近最大值原理“的性质，一类特殊的上解，这个四阶方程。
2003-02-05 math-ph math.AP math.MP
On the location of concentration points for singularly perturbed elliptic equations
利用最近得到的关于$C^1$类解的Pohožaev-Pucci-Serrin型变分恒等式，给出了一类散度型拟线性椭圆型问题集中点定位的必要条件.更确切地说，我们表明，浓度发生的点必须是关键的，无论是在广义或在经典意义上，一个合适的基态函数。
2003-11-19 math.AP
Ground state and multiple solutions for modified autonomous fourth-order elliptic equations with Berestycki-Lions type conditions
Sichuan Normal University（四川师范大学）；Southwest Jiaotong University（西南交通大学）
本文针对$4 < N \boldsymbol{\text{≤}} 6$的修正自治四阶椭圆方程，结合Jeanjean技巧与Pohozaev-Palais-Smale序列构造，证明了其基态解存在性，当非线性项为奇函数时还得到无穷多径向对称解，填补了该问题在最弱非线性条件下的研究空白。
2026-08-04 math.AP
Concentration and energy invariance for a class of fully nonlinear elliptic equations
研究了球上完全非线性椭圆型方程正解在幂非线性指数接近临界值时的渐近性态。我们表明，解决方案集中和爆破在球的中心，而适当的相关能量保持不变。
2018-02-09 math.AP
Existence and concentration of solution for a class of fractional elliptic equation in $\mathbb{R}^N$ via penalization method
本文研究了一类分数阶椭圆型方程$$ ε^{2s} (-Δ)^{s}{u}+V(z)u=f(u)\,\,\, \mbox{in} \,\,\, \mathbb{R}^{N}, $$正解的存在性和集中性，其中$ε$是正参数，$f$具有次临界增长，$V$具有局部极小值，$N > 2s,$ $s \in (0,1),$和$ (-Δ)^{s}u$是分数阶拉普拉斯算子.
2015-08-17 math.AP
Properties of the extremal solution for a fourth-order elliptic problem
令$λ^{*}>0$表示$λ$的最大可能值，使得$$ \{{array}{lllllll} Δ^{2}u=\fracλ{(1-u)^{p}} & \{in}\ \ B, 0<u\leq 1 & \{in}\ \ B, u=\frac{\partial u}{\partial n} =0 & \{on}\ \ \partial B. {array} . $$有解，其中$B$是以原点为中心的$R^{n}$中的单位球，$p>1$和$n$是外部单位法向量。我们证明了对于$λ=λ^{*}$这个问题具有唯一的弱解$u^{*}$，称为极值解。我们证明了当$p$的$n\geq 13$足够大且$1-C_{0}r^{\frac{4}{p+1}}\leq u^{*}(x)\leq 1-r^{\frac{4}{p+1}}$在单位球上时，$u^{*}$是奇异的，其中$ C_{0}:=(λ^{*}/\barλ)^{\frac{1}{p+1}}$和$\barλ:=\frac{8(p-1)}{(p+1)^{2}}[n-\frac{2(p-1)}{p+1}][n-\frac{4p}{p+1}]$。我们的结果实际上完成了\cite{D}留下的部分公开问题
2011-07-24 math.AP
Concentration analysis for elliptic critical equations with no boundary control: ground-state blow-up
本文研究带边界流形上临界非线性椭圆方程极小化型解的集中现象，在无边界条件下假设 $L^2$-集中，并揭示非齐次非线性促使集中点快速收敛。
2025-01-08 math.AP
Concentration Phenomena of a Semilinear Elliptic Equation with Large Advection in an Ecological Model
本文考虑一类迁移物种的生物模型中的反应-扩散-对流方程。研究了全局吸引解的定性性质，并在某些情况下确定了极限轮廓。特别地，Cantrell，Cosner和Lou关于浓度现象的一个猜想在温和的条件下得到解决。应用相关的抛物型竞争系统进行了讨论。
2010-06-10 math.AP
Some fourth order nonlinear elliptic problems related to epitaxial growth
本文讨论了晶体外延生长理论中的一些数学模型。我们专注于研究一个平稳的问题，提出了一些分析上的困难。我们研究解的存在性。本文的中心模型由下面的四阶椭圆型方程$$\begin{array}{rclll} Δ^2 u=\text{det} \left(D^2 u \right) &+&λf, \quad & x\in Ω\subset\mathbb{R}^2\\ \hbox{conditions on} &\quad& & \partial Ω. \end{array} $$给出。深入研究问题的框架依赖于边界条件。
2013-09-22 math-ph math.AP math.MP
Concentration sets for multiple equal-depth wells potentials in the 2D elliptic case
多阱梯度驱动问题的余维一界面的形成是众所周知的，并且在标量情况下建立，其中该方程通常被称为艾伦-卡恩方程。相反，向量的情况是相当开放的。这种缺乏结果和洞察力在很大程度上与缺乏已知的适当的单调性公式有关。在本文中，我们专注于在二维椭圆的情况下，并介绍了一些方法，允许规避单调性公式的缺乏。这种方法导致，正如预期的那样，集中在一维可求长集。
2018-02-05 math.AP
Spectral asymptotics for a singularly perturbed fourth order locally periodic self-adjoint elliptic operator
考虑了有界区域上具有局部周期系数的奇摄动自伴四阶椭圆型方程的均匀化问题。我们施加Dirichlet边界条件的边界域。低阶项中大参数的存在和系数对慢变量的依赖性引起本征函数局部化的效应。我们表明，$j$ th本征函数可以近似由一个重新标度的功能，构造的$j$ th本征函数的四阶或二阶有效运营商与常系数，取决于大的参数。
2015-07-16 math-ph math.AP math.MP
Nodal solutions of fourth-order Kirchhoff equations with critical growth in $\mathbb{R}^N$
在$\mathbb{R}^N$中考虑一类具有临界增长的四阶Kirchhoff型椭圆型方程.利用Nehari流形上的约束极小化方法，建立了节点（即变号）解存在的充分条件。
2021-03-25 math.AP
Equilibrium Validation for Triblock Copolymers via Inverse Norm Bounds for Fourth-Order Elliptic Operators
嵌段共聚物在材料科学中起着重要的作用，并且在许多应用中得到广泛的应用。从数学的角度来看，它们是由一个非线性四阶偏微分方程，这是一个合适的梯度的Ohta-Kawasaki能量。虽然与该方程相关的平衡态对于描述嵌段共聚物的动力学是至关重要的，但它们的数学研究仍然具有挑战性。在本文中，我们开发了计算机辅助证明方法，可用于研究由两个以上的单体链组成的嵌段共聚物的平衡解，重点是三嵌段共聚物。这是通过建立一个计算机辅助的证明技术，结合应用建设性版本的隐函数定理的限制某些四阶椭圆算子的逆范数。虽然这些结果只适用于三嵌段共聚物的情况下，我们证明，所获得的范数估计也可以直接用于其他情况下，如严格验证的歧点，或伪弧长连续四阶抛物问题。
2022-07-18 math.AP math.DS
Concentration phenomena for fractional elliptic equations involving exponential critical growth
本文研究了奇异摄动分数阶椭圆型方程$ ε^{} (-Δ)^{1/2}{u}+V(z)u=f(u)\,\,\, \mbox{in} \,\,\, \mathbb{R}, $，其中$ (-Δ)^{1/2}u$是Laplacian的平方根，$f(s)$具有指数临界增长.在适当的条件下，我们构造了一个定域束缚态解，当$ε$变为$0.$时，它集中在$V$势的正局部极小值点的孤立分量上
2015-10-23 math.AP
One-dimensional symmetry and Liouville type results for the fourth order Allen-Cahn equation in R$^N$
本文证明了RN中推广的四阶Allen-Cahn方程的Gibbons猜想的一个类似结果，以及某些解在无穷远处沿给定方向收敛到相同值的Liouville型结果.我们还证明了一个先验界和进一步的一维对称性和刚性结果的半线性四阶椭圆型方程更一般的非线性。
2016-03-11 math.AP
Existence and Concentration Solutions for a class of elliptic PDEs involving $p$-biharmonic Operator
本文给出了问题\begin{align*} \Bigg\{\begin{split} & Δ^2_p u -Δ_p u + λV(x)|u|^{p-2}u = f(x,u)\,,\,x\in \mathbb{R}^N, & u \in W^{2,p}(\mathbb{R}^N), \end{split} \end{align*}非平凡解的存在性结果，其中$λ>0$，$p>1, N>2p$和$V\in C(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}^+)$，$f\in C(\mathbb{R}^N \times \mathbb{R},\mathbb{R})$具有某些性质.我们还研究了问题的解决方案的浓度设置$V^{-1}(0)$作为$λ\rightarrow \infty$。
2017-01-11 math.AP
$L^p$-regularity for fourth order elliptic systems with antisymmetric potentials in higher dimensions
本文建立了所有超临界维数下带反对称势的四阶椭圆系统的最优$L^p$-正则性理论，改进了Struwe的Hölder正则性定理，并扩展了调和映射的$L^p$-正则性理论。
2021-11-30 math.AP
Elliptic criticality versus Volterra memory in indirect chemotaxis cascades
Northeastern University（东北大学）
研究间接趋化级联中两种渐近机制：椭圆-椭圆极限下自伴四阶算子的谱正性、熵耗散和临界空间L^{N/4}，以及混合椭圆-抛物级联中Volterra记忆算子的临界理论需基于时空估计。
2026-06-12 math.AP
Mass Concentration for the Davey-Stewartson System
本文研究了椭圆-椭圆型Davey-Stewartson方程组在描述水面波演化过程中的爆破解。我们证明了一个质量浓度性质的$H^{1}$ -解决方案，类似于一个已知的$L^{2}$ -临界非线性薛定谔方程。我们还证明了$L^{2}$ -解决方案的质量浓度的结果。
2009-09-02 math.AP
A Fourth-Order Positivity Preserving Geometric Flow
本文综述了关于无界流形上高阶椭圆型微分算子的一些结果。
2011-06-21 math.AP math.DG
Concentration results for solutions of a singularly perturbed elliptic system with variable coefficients
本文主要研究以下带系数的椭圆型方程组：\begin{equation}\notag \left\{\begin{aligned} -ε^2Δu +c(x)u=b(x)|v|^{q-1}v, &\text{ and } -ε^2Δv +c(x)v=a(x) |u|^{p-1}u &&\text{in } Ω\newline u>0, \ v>0 \text{ in } Ω, &\text{ and }\quad\frac{\partial u}{\partialν} = 0 = \frac{\partial v}{\partialν} &&\text{on }\partialΩ \end{aligned} \right. \end{equation}其中\begin{equation}\notag \left\{\begin{aligned} -ε^2Δu +c(x)u=b(x)|v|^{q-1}v, &\text{ and } -ε^2Δv +c(x)v=a(x) |u|^{p-1}u &&\text{in } Ω\newline u>0, \ v>0 \text{ in } Ω, &\text{ and }\quad\frac{\partial u}{\partialν} = 0 = \frac{\partial v}{\partialν} &&\text{on }\partia…
2020-03-09 math.AP
Concentration of eigenfunctions of a locally periodic elliptic operator with large potential in a perforated cylinder
本文研究了具有局部周期穿孔的薄圆柱中的大位势椭圆谱问题的均匀化。穿孔的大小逐点逐渐变化。我们施加齐次诺依曼边界条件上的边界穿孔和圆柱体的侧边界。一个大的参数$1/\varepsilon$在前面的潜力和穿孔的慢变量的依赖性的存在下产生的本地化的本征函数的效果。我们表明，$j$ th本征函数可以近似为一个缩放指数衰减的功能，构造的$j$ th本征函数的一维谐振子运营商。
2014-03-20 math.AP
Regularity of extremal solutions of semilinaer fourth-order elliptic problems with general nonlinearities
本文研究了一般有界区域$Ω$上的四阶问题$Δ^{2}u=λf(u)$在$R^{n}$中的Navier边界条件$u=Δu=0$在$\partial Ω$上.这里，$λ$是正参数，而$ f:[0,a_{f}) \rightarrow \Bbb{R}_{+} $ $ (0 < a_{f} \leqslant \infty)$是平滑的、递增的凸非线性，使得$ f(0) > 0 $和在$ a_{f} $处爆炸。令$$0<τ_{-}:=\liminf_{t\rightarrow a_{f}} \frac{f(t)f"(t)}{f'(t)^{2}}\leq τ_{+}:=\limsup_{t\rightarrow a_{f}} \frac{f(t)f"(t)}{f'(t)^{2}}<2.$$我们表明，如果$u_{m}$是一个序列的半稳定的解决方案，对应于$λ_{m}$满足稳定性不等式$$ \sqrt{λ_{m}}\int_Ω\sqrt{f'(u_{m})}ϕ^{2}dx\leq \int_Ω|\nablaϕ|^{2}dx, ~~\text{for all}~ϕ\in H^{1}_{0}(Ω),$$，然后$\sup_{m} ||u_{m}||_{L^{\infty}(Ω)}<a_{f}$为$n< \frac{4α_{*}(2-τ_{+})+2τ_{+}}{τ_{+}}\max \{1, τ_{+}…
2016-03-27 math.AP
Existence and concentration of solutions for a class of biharmonic equations
考虑了一类超线性四阶椭圆型方程。基态被证明是存在的，并集中在一个点上的极限。证明依赖于变分方法，其中非平凡解的存在性和浓度与适当的截断方程有关。
2013-04-16 math.AP
The critical dimension for a fourth order elliptic problem with singular nonlinearity
研究了半线性双调和方程$\bi u=\fλ{(1-u)^2}$在$\partial B$上的Dirichlet边界条件$B\subset\IR^N$下的极值解的正则性.我们在这里完成F. H. Lin和Y.S.杨\cite{LY}关于识别一个“拉入电压”$\la^*>0$，这样一个稳定的经典解决方案$u_\la$与$0<u_\la<1$存在的$\la\in (0,\la^*)$，而没有任何一种当$\la>\la^*$。我们的主要结果断言，极值解$u_{λ^*}$是正规$(\sup_B u_{λ^*} <1)$提供$ N \le 8$，而$u_{λ^*} $是奇异的（$\sup_B u_{λ^*} =1$）的$N \ge 17$，在这种情况下，$1-C_0|x|^{4/3}\leq u_{λ^*} (x) \leq 1-|x|^{4/3}$上的单位球，其中$ C_0:= <(\frac{λ^*}{\barλ}>)^{1/3}$和$ \barλ:= \frac{8 (N-{2/3}) (N- {8/3})}{9}$。其余情况下极值解的奇异性（即，当$9\leq N\leq 16$）需要计算机辅助证明时，本文将不讨论。
2008-10-29 math.AP
Unique continuation and classification of blow-up profiles for elliptic systems with Neumann boundary coupling and applications to higher order fractional equations
本文给出了具有Neumann边界耦合的椭圆型方程组的一个单调性公式，证明了爆破轮廓的唯一延拓和分类。作为应用，我们得到了某些四阶方程和高阶分数阶问题的强唯一延拓。
2018-10-25 math.AP
