Kasner-type singularities and solitons with Lifshitz asymptotics
我们提出了一个精确的解决方案，在爱因斯坦-麦克斯韦-爱因斯坦引力描述的时空具有各向异性的Kasner型奇异性和Lifshitz渐近。这种配置也可以由幻影标量支持，同时仍然满足能量条件。对于该解的某些参数，零测地线可以具有无限深的有效势，从而将光子捕获在沿径向的有限区域中。给出了一些周期零测地线的例子。这个解决方案的一个特别有趣的特殊情况是一个定期的，孤子型度量，保持其在时间坐标的Lifshitz缩放。
2017-12-07 gr-qc hep-th
Power counting renormalizability of scalar theory in Lifshitz spacetime
我们分析了D +2维Lifshitz时空中标量理论的幂次可重整化性。我们发现，谱维数成为2+（D/z）（z是临界指数）后，积分出的Radion场。我们评论的AdS/CFT对应，以及如何避免利弗希茨奇点流入AdS时空的红外。我们还对Lifshitz时空中的量子引力作了评述。
2012-10-25 hep-th
Singularities of the Casimir Energy for Quantum Field Theories with Lifshitz Dimensions
我们研究了具有Lifshitz维数的时空中标量场的Casimir能量所表现出的奇异性，并给出了无质量情况下能量的多维zeta函数表达式.使用zeta正则化方法，我们发现当4维时空具有Lifshitz维度时，对于临界指数的特定值，卡西米尔能量是奇异的，与非Lifshitz情况相反。特别地，我们发现当临界指数为$z=2$时，Casimir能量是奇异的，而当临界指数为$z\geq 3$时，Casimir能量是正则的.此外，当考虑平坦的额外维度时，Lifshitz维度的临界指数会极大地影响Casimir能量，引入非Lifshitz情况下不存在的奇点。我们还讨论了膜世界模型中的Casimir能量和Lifshitz维数在这种框架下的前景。
2013-03-11 gr-qc hep-th math-ph
Stability of Singularity-free Cosmological Solutions in Hořava-Lifshitz Gravity
基于可投射的Hohava-Lifshitz（HL）理论，研究了具有正宇宙学常数的无奇性宇宙学解的稳定性.在HL理论中，当空间曲率不为零时，可以得到各向同性和齐次的带反弹的宇宙学解。通过对非平坦Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker（FLRW）时空的微扰分析，导出了一个二次作用量，并讨论了其稳定性，即无鬼和无快子的条件。虽然标量扰动的平方有效质量在红外区必须为负，但我们可以通过考虑强哈勃摩擦来避免快子不稳定性。此外，我们估计的背景几何上的扰动，特别是对各向异性扰动封闭FLRW时空的反反应。结果表明，即使所有的扰动模式都是稳定的，某些类型的弹跳解也可能被破坏。
2017-01-22 gr-qc hep-th
Quantum Singularities in Horava-Lifshitz Cosmology
本文从量子宇宙学的角度分析了最近提出的Horava-Lifshitz（HL）引力理论。利用通常的量子宇宙学方法，我们研究了HL引力背景下充满辐射的量子Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker（FLRW）宇宙。我们发现，这个宇宙是量子力学非奇异的两种不同的方式：尺度因子$<a>(t)$的期望值永远不会消失，如果我们放弃详细的平衡条件Horava建议，宇宙的量子动力学是唯一确定的初始波包和没有边界条件在$a=0$确实是必要的。
2012-08-19 gr-qc hep-th
Black Holes and Thunderbolt Singularities with Lifshitz Scaling Terms
我们研究了一个静态的、球对称的、渐近平坦的时空，假设超曲面正交的爱因斯坦-以太理论是由Horava-Lifshitz理论激发的紫外修正，它由$z=2$ Lifshitz标度项组成，如三个Ricci曲率和以太场加速度的标量组合.对于加速度为四次项的以太场，我们得到了一类具有正则泛视界的双参数黑洞解。而如果在紫外修正中加入三个Ricci曲率平方项，则得到了一个具有霹雳奇点的解，使得宇宙视界变为类空奇点。
2015-09-27 gr-qc hep-th
Stable Singularity-free Cosmological Solutions in non-projectable Horava-Lifshitz Gravity
我们在非平坦的Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker（FLRW）时空中，在Hohava-Lifshitz（HL）理论的背景下，找到了稳定的无奇异性宇宙学解.虽然我们在原始的HL理论中遇到了标量扰动的负平方有效质量，但这些行为可以通过放松可投射性条件来纠正。在我们的分析中，从背景动力学的影响，以及在二次作用的扰动的系数的符号被考虑在内。更具体地说，我们将梯度稳定性/不稳定性进一步分类为五种类型。这些类型是根据扰动的有效平方质量$\mathcal{M}^2$、扰动方程$\mathcal{H}$中的有效摩擦系数以及这些大小关系$|\mathcal{M}^2|/\mathcal{H}^2$来定义的。此外，我们指出，振荡的解决方案可能会显示一种共振，特别是在开放FLRW时空。我们发现，高阶空间曲率项与Lifshitz缩放$z=3$是显着的，以抑制由于背景动力学的不稳定性。
2019-01-12 gr-qc hep-th
Holographic Superconductors with Lifshitz Scaling
渐近Lifshitz时空中的黑洞为强耦合Lifshitz模型中的有限温度效应提供了一个窗口。在最近提出的2+1维Lifshitz引力对偶理论中加入了Maxwell规范场和带电物质。这就产生了带有标量头发的带电黑洞，这对应于具有z > 1 Lifshitz标度的全息超导体的超导相。一路上，我们分析的静态，渐近Lifshitz黑洞在任意临界指数z > 1的整体几何。在所有已知的精确解中，黑洞区域存在零曲率奇点，并且通过一般的论证，这同样适用于一般的Lifshitz黑洞。
2010-03-27 hep-th
Hořava-Lifshitz scalar field cosmology: classical and quantum viewpoints
本文研究了一个无细致平衡条件的可投影的Hodava-Lifshitz宇宙学，它与一个非线性自耦合标量场最小耦合.在小超空间框架下，构造了该模型的超哈密顿量，得到了标度因子和标量场的经典解。由于这些解表现出各种类型的奇点，我们在量子宇宙学的惠勒-德威特方法的背景下提出了模型的量子化。由此产生的量子波函数，然后使用调查的可能性，避免经典奇点由于量子效应，这表明自己在这些奇点附近的重要性。
2021-02-21 gr-qc hep-th
Regulating the $P^+ = 0$ Singularity
我将讨论$P^+ = 0$奇点的规则并给出一些例子。调节奇异性会在理论中引入新的算子。这一过程在紫外奇异点的情况下似乎与红外奇异点的情况大不相同。
2000-04-19 hep-th
On the instability of 3d null singularities
Horowitz和Steif研究了具有零奇点的三维洛伦兹弦轨道上的弦传播，最近Liu，Moore和Seiberg也研究了弦传播。我们分析的目标空间作为一个经典的引力背景。当任意少量的物质被抛向奇点时，奇点就变成了类空的。这可以通过研究作为M=0，J=0 BTZ黑洞度规的极限的零奇点直接看到。
2002-07-24 hep-th
DeWitt wave function in Hořava-Lifshitz cosmology with tensor perturbation
在具有张量扰动的Hohava-Lifshitz（HL）宇宙学中，我们给出了一个在经典大爆炸奇点处为零的调和DeWitt波函数.在广义相对论中，一旦考虑到张量扰动，德威特波函数就是病态的。这主要是因为微扰的振幅在奇点处发散，微扰展开完全崩溃。另一方面，在HL引力中，已知微扰重整化所需的高维算子使得张量扰动尺度不变，并且一直到奇点都是正则的。在本文中，我们分析表明，在$d+1$维HL引力的张量扰动的DeWitt波函数确实是良好的定义周围的经典大爆炸奇点。此外，我们数值证明了良好的德维特波函数的张量扰动从大爆炸到有限大小的宇宙。
2022-05-24 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Conformal invariance on orbifolds and excitations of singularity
我们研究了二维轨道上的共形场论，并表明这是一种分析具有角亏损的几何奇点的物理效应的有效方法。它们与边界和交叉帽密切相关。奇异性的代表类可以用边界状态的推广来精确描述。由此，我们计算关联函数，并推导出在奇点局部的激发谱。
2007-01-08 hep-th
Excursions beyond the horizon: Black hole singularities in Yang-Mills theories (I)
我们研究了AdS/CFT对应中的黑洞奇异性。这些奇异性表现在有限温度关联函数的行为中。我们首先建立了大尺寸CFT算子的动量空间Wightman函数和体空间类空测地线之间的直接关系。这使我们能够使用CFT探测视界内和奇点附近的区域。关于黑洞奇点的信息被编码在大虚频的有限温度振荡器的指数衰减中。我们构造了新的规范不变观测量，其发散反映了奇点的存在。我们还发现了一个UV/UV连接，支配着视界内的物理学。此外，我们评论的奇点的可能解决方案。
2005-07-20 hep-th
Singularities in Hyperscaling Violating Spacetimes
我们研究时空的推广Lifshitz标度，让超标度违反不变性（即一个恒定的共形变换）的类型的奇异性经常发现在Lifshitz的情况下。我们发现，大多数这些时空遭受传统的裸曲率奇异性或零曲率奇异性强大的弦高阶导数校正。我们确实发现了一个单参数的家庭，回避这些问题，但这个家庭需要外来的物质，特别是涉及到一个负的能量密度，可能不会被解释为由于一个宇宙学常数。
2012-10-12 gr-qc hep-th
String spectra near some null cosmological singularities
我们构造了具有类卡斯纳奇点的宇宙时空作为没有其他背景场的纯引力解，通过坐标变换，这些时空可以被重塑为各向异性的平面波时空。我们分析弦量子化，以找到在这些背景下的弦模式的频谱。经典弦模可以精确地在这些含时背景下求解，这使得近奇点弦谱，（含时）振子质量和波函数的详细研究成为可能。我们发现，对于低阶弦模（有限振荡数），经典的近奇异弦模函数对于各种奇异族都是不发散的。此外，对于奇点附近的任何无穷小正则化，我们发现一个塔的超高振荡数的弦模式，基本上自由地传播的背景。由此产生的图像表明，弦的相互作用在奇点附近是不可忽略的。
2009-05-10 hep-th
Hitchin Equation, Irregular Singularity, and $N=2$ Asymptotical Free Theories
本文研究了Hitchin方程的非正则奇异解，并用它描述了四维$N=2$渐近自由规范理论.对于$SU(2)$ $A$型方程，除了一个正则奇点外，还需要两种不规则奇点来解Hitchin方程;然后对一般$SU(N)$ $A$型方程所需的不规则奇点进行了分类.
2010-05-08 hep-th
DeWitt boundary condition is consistent in Hořava-Lifshitz quantum gravity
在量子宇宙学中，德威特边界条件是一个设定宇宙的波函数在经典大爆炸奇点处为零的提议。在这封信中，我们表明，在包括广义相对论在内的许多引力理论中，一旦考虑均匀和各向同性封闭宇宙周围的张量扰动，德威特波函数就不会采取期望的形式：由于扰动引起的各向异性和不均匀性在经典奇点附近没有被抑制。然后，我们表明，Hoenava-Lifshitz引力提供了一个令人满意的德威特波函数。特别地，在$z=3$各向异性标度的极限下，我们找到了具有标度不变扰动的宇宙的DeWitt波函数的精确解析表达式。在一般情况下，与相关的变形，我们表明，德威特波函数可以系统地扩展周围的经典大爆炸奇异性与扰动下的控制。
2022-08-05 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Singularities in Horava-Lifshitz theory
研究了$(3+1)$维Horava-Lifshitz（HL）引力理论的奇异性。这些奇点可以分为标量、非标量曲率和坐标奇点。由于该理论的叶理保持性，由非本征曲率张量$K_{ij}$、三维黎曼张量及其导数构造的标量的数目远大于由广义相对论（GR）中的四维黎曼张量及其导数构造的标量的数目.因此，即使对于同一时空，它在HL理论中也可能是奇异的，而在GR中则不是。本文研究了两类具有可投射条件的解，一类是（反）de Sitter Schwarzschild解，另一类是满足可投射条件的Lu-Mei-Pope（LMP）解--广义LMP解。（反）de Sitter Schwarzschild解是HL理论和GR的真空解，而具有可投射条件的LMP解满足与各向异性热流流体耦合的HL方程。发现标量$K$和$K_{ij}K^{ij}$对于de Sitter Schwarzschild解仅在中心奇异，而对于反de Sitter Schwarzschild解在中心和$ r = (3M/|Λ|)^{1/3}$都奇异.在$ r = (3M/|Λ|)^{1/3}$的奇异性是不存在的GR。此外，所有的广义LMP解决方案有两个标量曲率奇点，位于$r = 0$和$r=r_{s} > 0$，或$r=r_{1}$和$r= r_{2}$与$r_{2} > r_{1} > 0$，或$r=r_{s} > 0$和$r = \infty$…
2010-02-21 astro-ph.CO gr-qc hep-ph
Unifying inflation with dark energy in modified F(R) Horava-Lifshitz gravity
本文研究了非线性修正的F（R）Horava-Lifshitz引力的FRW宇宙学，它有一个可行的方便的对应物.在这个理论中，早期暴胀和晚期加速的统一描述是可能的，但是宇宙学动力学细节一般不同于方便的可行F（R）模型。值得注意的是，对于某些特定的参数选择，它们确实是一致的。有限时间未来奇点的出现进行了详细研究。结果表明，这些奇异性可以通过增加一个额外的，更高的导数项，这原来是定性的不同相比，相应的一个方便的F（R）理论。
2010-08-19 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Pathologies in Asymptotically Lifshitz Spacetimes
在过去的几年里，人们对研究可能的引力场有着极大的兴趣，这种引力场被称为Lifshitz时空，通过添加物质来扭曲AdS时空的渐近性，从而各向异性地标度场论。我们指出，假定的基态的最深入研究的例子，这样的时空，具有平坦的空间部分，遭受裸奇点，并进一步指出，这个奇点是不能解决的任何已知的弦效应。我们回顾了人们可能担心渐近Lifshitz时空不稳定的原因，并采用初始数据问题来研究此类系统的稳定性。令人惊讶的是，这个问题，甚至初值问题本身，对于这些时空来说，一般都不是适定的。一般的可规范化状态将以这样一种方式演化，即在有限时间内违反Lifshitz渐近性。相反，在任何时候都强制要求渐近性，不仅对渐近区域中的度量和场，而且对深内部也有很强的限制。一般来说，即使是紧支撑的物质场的扰动也不符合所需的渐近性。
2011-01-10 gr-qc hep-th
Gravity sans singularities
研究了引力奇点定理的基础和局限性。由于奇异性是时间过程中的一种临界情况，因此，在等效原理的充分概括下，时间路径的研究提供了两种防止奇异性的机制。奇异时间平移生成器到其轨道空间的分辨率，以及相对论粒子相互作用的基本高维数，都有解决任何真正奇异问题的方面。从概念上讲，这些不同的观点有一个共同点：在每种情况下，对操作空间固有的“能量”的定义都是任意的，从而使缺乏奇点成为系统自洽的同义反复。
2002-05-28 gr-qc hep-th
The repulsive nature of naked singularities from the point of view of Quantum Mechanics
我们使用狄拉克方程耦合到一个背景度规，以检查发生了什么量子力学的可观测量，如概率密度和径向电流附近的一个裸奇点的Reissner-Nordström型。我们发现狄拉克粒子的波函数在奇点处是正则的。我们表明，概率密度恰好为零的奇异性反映量子力学的排斥性质的裸奇点。此外，在裸奇点附近的球的径向电流的表面积分原来也为零。
2010-05-10 gr-qc hep-th
Future singularity in an anisotropic universe
针对均匀各向异性宇宙，本文提出一类新的未来奇点，分析其物理后果，并通过引入四个标量场建立重建方法及各向异性增长至奇点的示例。
2024-09-06 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Integral Structure for Simple Singularities
我们计算了周期映射下ADE奇点的Milnor格的像。我们还证明了Milnor格可以与通过相应奇点的Berglund-Hübsch对偶定义的适当的相对$K$ -群相一致。
2020-08-24 hep-th math.AG
Non-exotic conformal structure of weak exotic singularities
我们研究的共形结构的奇异（非大爆炸）奇点宇宙的混合大爆炸/奇异奇点/大爆炸和大裂缝/奇异奇点/大裂缝模型，通过调查其适当的彭罗斯图。我们表明，图的标准结构的大爆炸和大撕裂和奇异奇点出现的时间，因为他们的测地完备性是潜在的横截的恒时超曲面。本文还评述了Penrose图方法在奇异奇点研究中的一些应用和推广。
2019-10-26 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Again About Singularity Crossing In Gravitation And Cosmology
该研究围绕引力与宇宙学中的奇点穿越问题展开，分析量子宇宙学下奇点消失条件、量子粒子在奇点附近的行为，并探索场重参数化与奇点消除关联的通用构建方法。
2024-11-04 gr-qc hep-th
Barotropic index w-singularities in cosmology
我们发现一个明确的宇宙模型，它允许一种特殊类型的宇宙奇点，我们称之为$w$ -奇点。这种奇异性具有有限的尺度因子，能量密度和压力为零，并且唯一的奇异行为出现在与时间相关的正压指数$w(t)$中。它不同于IV型宇宙学奇点，因为它不表现出哈勃参数的高阶导数的发散，也不同于大刹车，因为它不满足反Chaubergin气体状态方程。我们还发现了$w$ -奇点和大爆炸奇点之间有趣的对偶性。$w$ -奇点的物理例子出现在$f(R)$、标量场和膜宇宙学中。
2009-04-17 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Spacetime averaging of exotic singularity universes
以时空平均作为奇点强度的度量，我们证明了大撕裂（I型）比大爆炸更强。前者的时空平均值为无穷大，而后者的平均值为零。突然的未来奇点（II型）和$w-$奇点（V型）具有有限的时空平均值。对于某些参数值，有限标度因子（III型）奇点可能具有无穷大的平均值，在这个意义上，它们可以被认为比大爆炸更强。
2011-05-27 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Lifshitz spacetimes, solitons, and generalized BTZ black holes in quantum gravity at a Lifshitz point
本文研究了（2+1）维空间中固定Lifshitz点的量子引力的静态真空解，给出了红外极限下所有对角解的封闭形式.精确解表示具有非常丰富结构的时空：它们可以表示广义BTZ黑洞，Lifshitz时空或Lifshitz孤子，其中时空没有任何类型的时空奇点，这取决于解的自由参数的选择。我们还发现了几类精确的静态非对角解，这代表了类似的空间-时间结构中给出的对角情况。这些解决方案的非相对论性Lifshitz型规范/引力对偶的相关性进行了讨论。
2014-04-10 astro-ph.CO gr-qc hep-ph
Cusp singularities in f(R) gravity: pros and cons
我们研究了f（R）引力中的尖点奇点，特别是Starobinsky和Hu-Sawicki暗能量模型.我们说明，通过使用双零数值模拟，尖点奇点可以触发引力坍缩。这种奇异性可以通过增加一个二次项来消除，但这会导致一个可以被事件视界之外的观察者观察到的里奇标量凸起。与宇宙学参数相比，用天体物理实验观测超普朗克效应似乎是困难的。另一方面，一旦存在尖点奇异性，它就可以成为实现视界尺度曲率奇异性的机制，而视界尺度曲率奇异性可以被防火墙解释。
2015-10-13 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Kinematic and Weyl singularities
我们研究了在倾斜空间均匀Bianchi宇宙学中，一个完美流体观测者所遇到的未来奇点的性质。我们推导出外尔张量的助推公式，以建立，对于两个观察者是渐近零相对于对方，他们各自的外尔参数一般都趋于零，常数，或无穷大在一起。我们研究三类典型的例子和一个特殊的类。给定外尔参数的行为，我们可以预测遇到的奇点是外尔奇点或运动学奇点。分析表明，运动学变量也是有用的，在这些模型中的奇异性。
2006-12-27 astro-ph gr-qc hep-th
Lev Landau and the problem of singularities in cosmology
我们考虑不同方面的宇宙学奇点的问题，如BKL振荡的方法来奇点，在附近的奇点在多维和超弦宇宙模型和它们的连接与这样一个现代数学分支的无限维李代数的宇宙动力学的新功能。此外，我们还考虑了在宇宙加速现象发现后的近十年中被广泛讨论的一些新的宇宙学奇点。
2008-03-18 gr-qc hep-th physics.hist-ph
Small-mass naked singularities censored by the Higgs field
利用Israel结条件研究了超自旋裸奇点周围的真空衰变。我们发现，如果希格斯场在更高的能量尺度上发展出第二个最小值，那么一个旋转的小质量裸奇点可能会在宇宙时代导致它周围的真空衰变。由于从奇点到真空泡壁的角动量传输，在奇点周围可能形成事件视界。新形成的事件视界导致了贝肯斯坦-霍金熵的增加，从而有助于真空衰变率的提高。我们得出结论，小质量裸奇点可能被隐藏在宇宙学时间内的事件视界。
2020-02-25 gr-qc hep-ph hep-th
Generic singularity of general relativity and its quantum fate
Belinski-Khalatnikov-Lifshitz方案涉及广义相对论的类属奇点的存在。在奇点处，所有已知的物理定律都崩溃了。然而，这种情况的量子化导致了规则的量子演化。量子反弹可以避免奇异性。要建立的量子广义相对论很可能没有奇点。因此，它可以用来解决诸如宇宙学和黑洞奇点的量子命运等问题。
2020-07-17 gr-qc hep-th quant-ph
Finite-time future singularities in modified gravity
我们回顾有限时间未来奇点修正引力。我们重建了一个明确的模型，修改后的引力实现了幻影鸿沟的交叉，并表明大撕裂奇点出现在修改后的引力理论。通过保角变换，将修正引力理论中的（有限时间）大撕裂奇异性转化为相应的标量场理论中的无限时间奇异性.此外，我们研究了几种模型的修改后的重力产生加速宇宙学结束在有限时间的未来奇点的所有四个已知类型。
2009-04-17 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Asymptotically Lifshitz black hole solutions in F(R) gravity
本文考虑一类球对称时空，在无物质场（纯引力）的F（R）引力中得到了一些有趣的解。我们调查的解决方案的几何形状，并发现有一个本质的奇点在原点。此外，我们表明，有一个类似的黑洞的爱因斯坦-λ-幂-麦克斯韦不变量理论得到的解决方案之间。进一步，我们发现这些解等价于渐近Lifshitz黑洞.此外，我们还计算了d^2F/dR^2，以检验多尔戈夫-川崎稳定性判据。
2013-09-06 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Exotic-singularity-driven dark energy
我们讨论了宇宙中的各种奇异（非标准）奇点：大撕裂（BR或I型），突然未来奇点（SFS或II型），广义突然未来奇点，有限标度因子奇点（FSF或III型），大分离（BS或IV型）和$w$ -奇点。它们的特征是违反了全部或部分能量条件，导致了全部或部分物理量的爆炸：标度因子、能量密度、气压和正压指数。我们将这些奇点的出现与物理理论（超弦、膜、高阶引力、圈量子宇宙学）联系起来。我们展示了如何模型涉及奇异性可能作为暗能量通过应用观测数据。特别是，我们表明，这些奇异的奇点（虽然是一个弱型根据相对论定义）可能会发生在不久的将来的宇宙。
2009-09-30 astro-ph.CO gr-qc hep-th
Finite-time Cosmological Singularities and the Possible Fate of the Universe
本文综述广义相对论与修改引力理论中有限时间宇宙学奇点的类型、成因及理论意义，并梳理可阻止或缓解此类奇点的方法。
2023-10-02 astro-ph.CO gr-qc hep-ph
On-diagonal singularities of the Green functions for Schroedinger operators
研究了Schroedinger算子的格林函数在对角点附近的行为。唯一的非平凡的情况下，对角奇点是非零的，不依赖于谱参数，是二维和三维。在二维情况下，我们证明了奇异性与标量势和规范势都无关。在三维空间中，我们得到了在非正则势扰动下保持奇异性的条件。给出了奇异性对一般标量势和规范势的依赖性的一些例子。
2005-05-26 hep-th math-ph math.MP
Spectral singularities for Non-Hermitian one-dimensional Hamiltonians: puzzles with resolution of identity
我们研究了具有谱奇异性的非厄米特哈密顿算子的本征函数的双正交集的完备性。构造了δ型势和光滑势的恒等式的正确分解。它们的形式和贡献的光谱奇异性取决于类的功能采用的物理状态。有了这个规范，就不存在源于谱奇点的对完整性的阻碍。
2010-02-07 hep-ph hep-th math-ph
