Classification of Simple Lie Algebras on a Lattice
Kenji Iohara, Olivier Mathieu
令$Λ$是秩为$n$的格。格$Λ$上的李代数是一个李代数${\cal L}=\oplus_{λ\inΛ}\,{\cal L}_λ$，使得对所有$λ$有$\dim\,{\cal L}_λ=1$。本文对格上的单分次李代数进行了分类。
Let $Λ$ be a lattice of rank $n$. A Lie algebra on the lattice $Λ$ is a Lie algebra ${\cal L}=\oplus_{λ\inΛ}\,{\cal L}_λ$ such that $\dim\,{\cal L}_λ=1$ for all $λ$. In this article, we classify all simple graded Lie algebras on a lattice.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Symplectic structures on $3$-Lie algebras
研究了$3$ -李代数和度量辛$3$ -李代数的辛结构.对任意的$3$ -李代数$L$，构造了无限多个度量辛$3$ -李代数.证明了度量$3$ -李代数$(A, B)$是度量辛$3$ -李代数当且仅当存在可逆导子$D$使得$D\in Der_B(A)$，并且证明了度量辛$3$ -李代数$(\tilde{A}, \tilde{B}, \tildeω)$是度量辛$3$-李代数$(A, B, ω)$的$T^*_θ$ -扩张.最后，通过一个特殊的导子构造了度量辛$3$ -李代数的度量辛双扩张。
$3$-$Lie_\infty$-algebras and $3$-Lie 2-algebras
本文引入了$3$ - $Lie_\infty$ -代数和3-Lie 2-代数的概念.前者是3-李代数的一个模型，它满足直到所有高同伦的基本恒等式，后者是3-李代数的范畴化。证明了2-项$3$ - $Lie_\infty$ -代数的2-范畴等价于3-Lie 2-代数的2-范畴.本文详细研究了skeleton和严格3-Lie 2-代数。给出了由辛3-李代数构造3-李2-代数的一种方法.
Twilled 3-Lie algebras, generalized matched pairs of 3-Lie algebras and O-operators
本文首先引入了双列3-李代数的概念，构造了一个$L_\infty$ -代数，它的Maurer-Cartan元通过扭曲产生新的双列3-李代数.特别地，我们恢复了3-李代数上的Maurer-Cartan元为O-算子（也称为相对Rota-Baxter算子）的李$3$ -代数。然后利用3-李代数的广义表示，引入了3-李代数的广义匹配对的概念，从而得到了3-李代数的广义匹配对。通常的3-李代数的匹配对对应于一类特殊的双列3-李代数，我们称之为严格双列3-李代数。最后，我们利用O-算子构造了显式的双3-李代数，并解释了3-李代数的$r$ -矩阵不能产生二重构造的3-李双代数的原因.最后给出了3-李代数的例子来说明各种有趣的现象。
Lie algebras of order F and extensions of the Poincaré algebra
F-李代数是李代数（F=1）和李超代数（F=2）的自然推广。我们给出了由李代数和李超代数通过归纳过程得到的有限维F-李代数的例子。由osp（2）构造的$F-$李代数的矩阵实现|m）的。通过对具有$F>2$的$F-$李代数的Inönü-Wigner压缩，得到了Poincaré代数的一个非平凡扩张.
Anti-pre-Lie algebras, Novikov algebras and commutative 2-cocycles on Lie algebras
本文引入反预李代数作为李代数上非退化交换2-上闭链的底层结构，揭示其与预李代数的类比，并建立容许Novikov代数与Novikov代数及相应泊松型结构之间的对应关系。
New applications of graded Lie algebras to Lie algebras, generalized Lie algebras and cohomology
给出了分次李代数在标准多项式恒等式、二次李代数的形变理论、二次李代数的循环上同调、$2k$ -李代数、广义泊松括号等方面的新应用.
Reduced contragredient Lie algebras and PC Lie algebras
本文的第一个目的是证明任何有限维约化李代数及其有限维完全可约表示都可以嵌入到PC李代数中。第二个目标是找到PC李代数的结构。
Generalized Kac-Moody Lie algebras, free Lie algebras and the structure of the Monster Lie algebra
证明了任意不具有相互正交虚单根的广义Kac-Moody李代数g都可以表示为Kac-Moody子代数和Kac-Moody子代数的某些模上的自由李代数同构的子代数的向量空间直和.还包括一个详细的讨论Borcherds'建设的怪物李代数从顶点代数和一个初等证明Borcherds'定理有关李代数与“几乎正定双线性型”，以广义Kac穆迪代数。（1996年预印本）
Contragredient Lie algebras and Lie algebras associated with a standard pentad
我们将构造类似于Cartan子代数的标准五元组，并进一步研究对应于这些标准五元组的分次李代数。我们称这种五元组为Cartan型五元组，并用两个正整数和三个矩阵来描述它们。它们对应的李代数的结构与逆成分李代数有关。
A class of Lie algebras who contains a class of Kac-Moody algebras
标准五元组理论是构造分次李代数的理论，该分次李代数的局部部分由给定的李代数及其表示构成。换句话说，使用标准五元组，我们可以将给定的李代数及其表示嵌入到更大的分次李代数中。作为与标准五元组相关的李代数的特殊情况，我们有PC李代数的概念。本文的目的是证明PC李代数类包含Kac-Moody代数类，即证明PC李代数的概念是Kac-Moody代数的推广.
Lie algebras of triangular polynomial derivations and an isomorphism criterion for their Lie factor algebras
对单三角多项式导子的李代数的理想进行了分类。给出了单三角多项式导子的李代数的李因子代数的同构准则。
Structure and Cohomology of 3-Lie Algebras Induced by Lie Algebras
本文的目的是比较李代数和诱导$3$ -李代数的结构和上同调空间。
On the restricted Lie algebra structure for the Witt Lie algebra in finite characteristic
证明了Witt代数（特征为p的域上的多项式代数的商与不定式的p次幂生成的理想的导子的限制李代数）中的p-算子是由标量乘给出的.
Another class of simple graded Lie conformal algebras that cannot be embedded into general Lie conformal algebras
在作者以前的论文中，我们得到了第一个例子，一个自由生成的简单的线性增长的$\mathbb Z$ -分次李共形代数，不能嵌入到任何一般的李共形代数。本文通过对满足下列条件的$\mathbb Z$ -分次单李共形代数${\cal G}=\oplus_{i=-1}^\infty{\cal G}_i$进行分类，得到了另一类这样的李共形代数：（1）${\cal G}_0\cong{\rm Vir}$，Virasoro共形代数;（2）$i\ge-1$的每个${\cal G}_i$是秩为1的${\rm Vir}$ -模.这些代数包括一些Block型李共形代数。
Lie algebras associated with quadratic forms and their applications to Ringel-Hall algebras
定义并研究了与二次型相关的幂零李代数。我们也给出了它们与李代数和与表示有向代数相关的Ringel-Hall代数的联系。
Twisted Toroidal Lie Algebras
利用单复李代数上的$n$有穷级自同构，构造了扭曲$n$ -环面李代数.从而得到具有根空间分解的李代数。对于$n=2$的情况，我们列出了某些简单的李代数和它们的自同构，它们产生扭曲的2-环面代数。这样我们得到了与K的所有扩张仿射根系相关的李代数。齐藤
Twisted $Γ$-Lie algebras and their vertex operator representations
设$Γ$是非零复数乘法群$\mathbb{C}^*$的一般子群。定义了一类与$Γ$相关的李代数，称为扭$Γ$ -李代数，它是扭仿射李代数的自然推广.从$\mathbb Z^N$的任意偶子格$Q$和$\mathbb Z^N$的任意有限阶等距保$Q$出发，构造了一类作用于广义Fock空间的扭曲$Γ$ -顶点算子，它们为某些扭曲$Γ$ -李代数提供了不可约表示.作为应用，这恢复了许多已知的无穷维李代数的顶点算子实现，如扭曲仿射李代数，$A$型的扩展仿射李代数，$A$和$B$系列的三角李代数，酉李代数，$BC$分次李代数.
Extended affine Lie algebras and other generalizations of affine Lie algebras - a survey
本文综述了广义仿射李代数及相关类型的李代数，它们是仿射李代数的推广。
Algebraically rigid real solvable Lie algebras
给出了所有维数为$n\leq 8$的实可解代数刚性李代数.分析了复刚性李代数与实刚性李代数分类的区别。
On Representations of Toroidal Lie Algebras
这是一篇关于环面李代数的表示论的短文。本文总结了近十五年来关于环面李代数的表示论的所有结果。此外，还引入了Virasoro李代数的自然推广，并给出了相关结果.引入了仿射李代数与Virasoro李代数的半直积的一种广义化，称之为全环面李代数.连接到理论的扩展仿射李代数解释。
The Dieck-Temperley-Lieb algebras in Brauer algebras
本文研究了Bn型和Cn型的Dieck-Temlerley-Lieb代数。我们计算它们的秩，并通过使用相应的Brauer代数和Temperley-Lieb代数的一些结果来描述它们的基。
Kac-Moody Quaternion Lie Algebra
本文通过李代数的四元数化方法，在四元数框架下定义了泛、标准及约化三类Kac-Moody四元数李代数。
Weyl's character formula for non-connected Lie groups and orbital theory for twisted affine Lie algebras
我们将I.将非扭仿射李代数的Frenkel轨道理论推广到扭仿射李代数的情形，并利用了某些非连通紧李群的特征标公式。
Twisted O-operators on 3-Lie algebras and 3-NS-Lie algebras
在$3$ -李代数上引入扭曲$\mathcal{O}$ -算子.定义扭曲$\mathcal{O}$ -算子$T$的上同调为系数为适当表示的$T$诱导的$3$ -李代数的Chevalley-Eilenberg上同调.然后从上同调的角度考虑了扭曲$\mathcal{O}$ -算子的无穷小变形和形式变形。进一步，我们引入并研究了$3$ -NS-李代数作为$3$ -李代数上扭曲$\mathcal{O}$ -算子的底层结构。最后，我们研究了由李代数诱导的$3$ -李代数上的扭曲$\mathcal{O}$ -算子。
Trigonometric Lie algebras, affine Lie algebras, and vertex algebras
在这篇论文中，我们探索三角李代数，（一般）仿射李代数和顶点代数之间的自然联系。在这些主要结果中，我们得到了三角李代数的一种实现，即所谓的李代数$\mathcal{A}=\frak{gl}_{\infty}\oplus\frak{gl}_{\infty}$的仿射李代数$\widehat{\mathcal{A}}$关于某些自同构群的协变代数.然后证明了三角李代数的水平$\ell$的限制模自然对应于仿射顶点代数$V_{\widehat{\mathcal{A}}}(\ell,0)$（或$V_{\widehat{\mathcal{A}}}(2\ell,0)$）的等变拟模.进一步，我们确定了单顶点代数$L_{\widehat{\mathcal{A}}}(\ell,0)$的不可约模和等变拟模，其中$\ell$是正整数.特别地，我们证明了$\ell$型三角李代数的每一个准有限酉最高权（不可约）模都产生一个不可约等变准$L_{\widehat{\mathcal{A}}}(\ell,0)$ -模.
Index of Graded Filiform and Quasi Filiform Lie Algebras
丝状和拟丝状李代数是一类特殊的幂零李代数。本文的目的是计算这两类幂零李代数的指数并给出正则向量。本文研究了分次丝状李代数$L_{n}$，$Q_{n}$，$n$的$n$维丝状李代数$<8$，分次拟丝状李代数以及零根为$Q_{2n}$的李代数.
Classification of kinematical Lie algebras
本文总结了任意维运动李代数的分类，指出了哪些运动李代数具有不变的内积。
On $n$-pre-Lie algebras and dendrification of $n$-Lie algebras
本文的主要目的是引入$n$ -L-树状代数的概念，它可以看作是$n$ -pre-李代数通过$\mathcal{O}$ -算子的一种树状化.研究了$n$ -pre-李代数的表示论，并给出了相应的构造.进一步，我们引入了$n$ -李代数相空间的概念，证明了$n$ -李代数有相空间当且仅当它与$n$ -pre-李代数亚相邻.此外，我们还给出了一个由带有广义迹函数的$n$-pre-李代数构造$(n + 1)$-pre-李代数的方法.
Cohomology of morphism Lie algebras and some applications
态射李代数是由两个李代数$\mathfrak{g}, \mathfrak{h}$和一个李代数同态$ϕ: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{h}$组成的三重$(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, ϕ)$。定义了态射李代数的表示和上同调。作为我们的上同调理论的应用，我们研究了态射李代数的变形、交换扩张以及骨架态射sh李代数的分类.最后，我们考虑了态射李群的上同调，并找到了与态射李代数的上同调的一个关系。
Hom-Lie Algebras with Symmetric Invariant NonDegenerate Bilinear Forms
本文的目的是引入和研究二次Hom-李代数，这是具有对称不变非退化双线性型的Hom-李代数。我们提供了几个结构导致的例子和推广的双扩张理论的Hom-李代数。我们把扭曲映射可逆的情形归结为对合二次李代数的研究。建立了对合二次Hom-李代数类与对称对合二次单李代数类之间的对应关系。刻画了无中心对合二次Hom-李代数.此外，元素的一个表示论的Hom-李代数，包括伴随和coadjoint表示提供与应用程序二次Hom-李代数。
The centroid of extended affine and root graded Lie algebras
我们发展了关于李代数的质心的一般性结果，并应用它们确定了扩张仿射李代数、Loop-like李代数和Kac-Moody李代数以及有限根系分次的李代数的质心.
Extensions of finite irreducible modules of Lie conformal algebras $\mathcal{W}(a,b)$ and some Schrödinger-Virasoro type Lie conformal algebras
共形李代数$\mathcal{W}(a,b)$是Virasoro共形李代数及其秩为1的非平凡共形模的半直和。本文给出了$\mathcal{W}(a,b)$的有限不可约共形模扩张的完全分类。用类似的方法，我们刻画了Schrödinger-Virasoro型共形李代数$TSV(a,b)$和$TSV(c)$的有限不可约共形模的全部扩张.
Lie triple system central extensions of Lie algebras
考虑了完美李代数的三种泛中心扩张。更精确地说，我们可以把这样的李代数看作是李三元系，或者莱布尼茨代数，并构造适当的中心扩张。证明了李三元系泛中心扩张同构于李代数泛中心扩张，或同构于以适当方式考虑的李三元系的Leibniz代数泛中心扩张.
Symmetry of symplectic derivation Lie algebras of free Lie algebras
证明了由紧定向曲面的第一同调群生成的自由李代数的辛导子构成的李代数的稳定不可约分解存在一定的对称性。
Group algebras of finite groups as Lie algebras
研究有限群$G$的（结合）群代数上的自然李代数结构，证明了该群代数的自然对合反自同构所对应的李子代数是约化的.利用$G$的常表示给出了这些李代数的单因子分解.
Constructions and representation theory of BiHom-post-Lie algebras
本文的主要目的是给出BiHom-post-李代数的一些构造结果，它是post-李代数和Hom-post-李代数的推广.它们是BiHom-李代数的$\mathcal{O}$ -算子背后的代数结构.它们也可以看作是BiHom-李代数结构的三部分分裂。此外，我们还发展了向量空间$V$上的BiHom-后李代数的表示论。证明了其子邻李代数自然存在一个诱导表示。
Universal Algebra of a Hom-Lie Algebra and group-like elements
构造了Hom-李代数的泛包络代数，并赋予其Hom-霍普夫代数的结构.我们讨论了类群元素，我们认为是一个Hom-群集成的初始Hom-李代数。
Compatible root graded anti-pre-Lie algebraic structures on finite-dimensional complex simple Lie algebras
本研究借助${\rm sl_2(\C)}$表示理论探究有限维复单李代数的相容根阶化反预李代数结构，证明仅${\rm sl_2(\C)}$上存在且仅存在一个此类结构，其余有限维复单李代数均不存在该结构。
On the Homology of Nilpotent k-ary Lie Algebras
引入了幂零k元李代数，包括Heisenberg李代数和自由幂零李代数的类似物.利用Chevalley-Eilenberg复形的一个修正，研究了k元幂零李代数的同调.对于某些幂零k元李代数，特别是Heisenberg k元李代数，我们给出了贝蒂数的显式公式.证明了自由幂零k元李代数的表示稳定性，并用Schur模刻画了贝蒂数的下界.我们还验证了我们研究的类的toral秩猜想成立。此外，对于2步幂零k元李代数，我们给出了它的一个加细.
Lie groups and Lie algebras
本文是作者在麻省理工学院讲授的关于Lie群与Lie代数的两个学期课程的扩展笔记。
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