Reduced contragredient Lie algebras and PC Lie algebras
Nagatoshi Sasano
本文的第一个目的是证明任何有限维约化李代数及其有限维完全可约表示都可以嵌入到PC李代数中。第二个目标是找到PC李代数的结构。
The first aim of this paper is to show that any finite-dimensional reductive Lie algebra and its finite-dimensional completely reducible representation can be embedded into some PC Lie algebra. The second aim is to find the structure of a PC Lie algebra.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Classification of finite-growth contragredient Lie superalgebras
逆成分李超代数是由Cartan矩阵定义的超代数。一般来说，逆李超代数不是有限维的，但它有一个由有限维分量组成的自然Z-分次。一个逆成分李超代数有有限增长，如果这些分次分支的维数多项式依赖于次数。讨论了有限增长逆成分李超代数的分类。（与Vera Serganova合作）
Contragredient Lie algebras and Lie algebras associated with a standard pentad
我们将构造类似于Cartan子代数的标准五元组，并进一步研究对应于这些标准五元组的分次李代数。我们称这种五元组为Cartan型五元组，并用两个正整数和三个矩阵来描述它们。它们对应的李代数的结构与逆成分李代数有关。
Coefficients of Šapovalov elements for simple Lie algebras and contragredient Lie superalgebras
本文给出了简单李代数的Šapovalov元系数的次数的上界。若$\fg$是一个逆李超代数，且$\gc$是$\fg,$的正迷向根，则证明了$\gc$的Šapovalov元的存在唯一性，并得到了其系数阶的上界.对于A型李超代数，我们给出了关于Šapovalov元的一个闭公式.通常情况下，Šapovalov元素的系数是线性因子的乘积，我们提供了一些原因，这来自表示论。我们还探讨了来自不同根的Šapovalov元素之间的关系，以及它们在Borel子代数改变时的行为。
Semisimplification of contragredient Lie algebras
本文研究特征 $p$ 反伴随李代数经 Chevalley 生成元伴随作用半简化后在 Verlinde 范畴中的结构，构造其抛物限制根系、格分次、三角分解与非退化不变型，并给出具体新例子。
The Push the button algorithm for contragredient Lie superalgebras
本文的目的是说明如何将按钮算法成功地应用于与逆李超代数相关联的Vogan超图，从而得到Borel-De Siebenthal定理的等价超版本.
Classification of finite-growth general Kac-Moody superalgebras
逆成分李超代数是由Cartan矩阵定义的超代数。一个逆成分李超代数是有限增长的，如果其分次分支的维数（在自然分次中）多项式依赖于其次数。本文对有限增长逆成分李超代数进行了分类。以前，这样的分类只知道对称化的情况。
Sapovalov elements and the Jantzen filtration for contragredient Lie superalgebras: A Survey
本文综述了关于逆李超代数的Sapovalov元和Jantzen滤子的一些最新结果。内容包括Sapovalov元的存在性和唯一性，其系数的次数的界和Sapovalov元在Borel子代数改变时的行为。总有一个唯一的项，其系数比任何其他项都大。这允许我们定义一些新的最高权模块。若X是正交各向同性根的集合，且$λ\in h^*$使得$λ+ρ$与X中的所有根正交，则构造具有特征$ε^λp_X$的最高权模.这里，$p_X$是一个分拆函数，它对X中不涉及根的分区进行计数。当|X| =1时，利用这些模给出了所有项都是范畴O中正系数模的特征标的韦尔马模的一个Jantzen和公式.
Extremal projectors for contragredient Lie (super)symmetries (short review)
简要回顾了逆李（超）对称（有限维单李代数、基本经典李超代数、无限维仿射Kac-Moody代数和超代数以及它们的量子$q$ -类似物）的极值投影。一些文献评论的极值投影仪的应用。
\vS{a}povalov elements and the Jantzen sum formula for contragredient Lie superalgebras
若$\mathfrak{g}$是一个逆李超代数，且$γ$是$\mathfrak{g},$的根，则证明了$γ$的Šapovalov元的存在唯一性，并给出了其系数阶的上界.然后我们用Šapovalov元定义了一些新的最高权模。若$X$是正交各向同性根的集合，且$λ\in \mathfrak{h}^*$使得$λ+ρ$与$X$中的所有根正交，则构造了一个最高权模$M^X(λ)$，其特征标为$ε^λ{p}_X$ .这里，$p_X$是一个函数，用于对$X$中不涉及根的分区进行计数。这种模的例子可以通过抛物归纳法构造，只要$X$包含在某个Borel子代数的单根集合中。然而，我们的建设工程没有这个条件，并提供了一个最高的重量模的杰出Borel子代数。当$\mathfrak{g}$为A型时，主要结果与$M^X(λ)$的Šapovalov行列式和Jantzen和公式类似.为了证明这一点，只需研究某些“相对一般”的最大权的性质.使用等价的范畴由于程，Mazorchuk和王，我们需要的信息推导出的行为模块$M^X(λ)$时，$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(2,1)$或$\mathfrak{gl}(2,2)$。这些低维情况在附录中进行了详细研究。
Contragredient Lie algebras in symmetric categories
该研究将Cartan矩阵对应的李代数构造推广到任意对称张量范畴，定义了对称范畴中的反变李代数，解决了非交换环面的表示理论难点，得到泛Verlinde范畴中新的李代数例子并统一了已有例子。
Grothendieck rings for Lie superalgebras and the Duflo-Serganova functor
证明了有限维逆李超代数上的有限维模范畴上的Duflo-Serganova函子在Grothendieck环的自然商上诱导一个环同态，该自然商同构于特征标环.我们将这种同态实现为与超对称性有关的函数的某种求值。我们使用这种实现来描述的核和图像的同态诱导的Duflo-Serganova函子。
Cartanification of contragredient Lie superalgebras
本文定义反变李超代数的 Cartan 化 $B^W$，推广张量层级代数构造，并证明其与同广义 Cartan 矩阵给出的 $W$ 同构的条件。
On integral forms for vertex algebras associated with affine Lie algebras and lattices
本文在偶格$L$的基础上，用生成元代替基，重新构造了顶点（算子）代数$V_L$的积分形式，并构造了$V_L$ -模的积分形式.我们基于仿射李代数的最高权模构造了顶点（算子）代数的积分形式，并展示了自然生成集。对于一般的顶点算子代数，给出了积分形式包含生成Virasoro代数的标准共形向量的条件.最后，我们研究了顶点代数模的逆积分形式。
ABRR Summation Formulas for Relative Extremal Projectors
本文将ABRR递推公式推广至相对极值投影子，得到其紧致显式解，适用于多种李代数与李超代数，在表示理论等领域具应用价值。
Generators and relations for (generalised) Cartan type superalgebras
在Kac对有限维李超代数的分类中，矛盾李超代数可以由类似于简单有限维李代数的Dynkin图构造，但具有额外类型的节点。例如，可以通过向$A_{n-1} = \mathfrak{sl}(n)$的Dynkin图添加“灰色”节点来构造$A(n-1,0) = \mathfrak{sl}(1|n)$，该节点对应于奇数空根。Cartan超代数构成了一个不同的类，其中最简单的例子是$W(n)$，格拉斯曼代数在$n$生成元上的导子代数。在这里，我们提出了一种新的$W(n)$结构，从相同的Dynkin图作为$A(n-1,0)$，但有额外的发电机和关系。
Computing finite Weyl groupoids
该研究提出算法计算对角型Nichols代数与余伴随李超代数的广义根系，进而得到计算对应Kharchenko PBW基中Lyndon字及超字的算法，为获得有限根系对角型Nichols代数的极小表示提供关键数据。
Some properties of generalized reduced Verma modules over $\mathbb{Z}$-graded modular Lie superalgebras
本文主要研究$\mathbb{Z}$ -分次模李超代数上的广义约化韦尔马模.得到了广义既约韦尔马模和余诱导模的一些性质.此外，还研究了广义约化韦尔马模上的不变形式.特别地，我们证明了Cartan型$\mathbb{Z}$ -分次模李超代数的广义既约韦尔马模同构于模的混合积.
Kac-Moody Quaternion Lie Algebra
本文通过李代数的四元数化方法，在四元数框架下定义了泛、标准及约化三类Kac-Moody四元数李代数。
On the cohomology of Lie algebras with an invariant inner product
在这项工作中，我们考虑所有的度量李代数，具有非退化对称不变双线性型，在\C和\R上的5维和所有的度量李代数上的\C在6维。我们引入循环和约化循环上同调来识别它们的度量变形。
Representations of the restricted Lie superalgebra p(n)
本文研究了限制李超代数 p(n) 的约化包络代数商的中心，并利用所得结果探讨了其限制表示。
Irreducible representations for Toroidal Lie algebras
研究了有限维权空间上Toroidal李代数的不可约模。首先注意Toroidal李代数有无穷维中心。在一般情况下，无穷维中心不充当不可约模上的标量，而是充当可逆中心算子。本文证明了有限维权空间的Toroidal李代数的不可约模的研究归结为中心为标量的不可约模的研究。
The first cohomology of sl(2,1) with coefficients in $χ$-reduced Kac modules and simple modules
在特征p > 2的域上，利用这些模相对于sl（2，1）的标准Cartan子代数的权空间分解，确定了系数在所有\c{hi} -约化Kac模和单模中的特殊线性李超代数sl（2，1）的第一上同调.
Classification of Realizations of Lie Algebras of Vector Fields on a Circle
研究了圆上光滑向量场李代数的一维子代数以及圆在其自身上的分片光滑整体变换。得到了二维和三维非交换代数实现的标准型。它表明，所有其他实现的光滑向量场减少到这种形式使用全球变换。得到了这类代数的不等价实现个数的组合公式。
The Category of reduced imaginary Verma modules
本文研究任意仿射李代数在自然Borel子代数和零中心荷条件下的范畴O类似物，证明其半单性并以约化虚Verma模为单对象，推广了仿射sl(2)的已有结果。
Modular representation of Reductive Lie algebras and related combinatorial category
本文引入并研究了一个与Reductive Lie代数reduced enveloping algebras表示相关的组合范畴，该范畴与AJS范畴兼容，对研究Lusztig猜想具有重要意义。
Invariants and reduced matrix elements associated with the Lie superalgebra gl(m|n)
我们构造了李超代数gl（m）的某些不变量的特征值的显式公式|n）使用特征标识。我们讨论如何这样的特征值有关的减少Wigner系数和减少矩阵元素的发电机，从而提供了第一步，一个新的代数推导矩阵元素公式的代数的所有发电机。
Reduced matrix elements of the orthosymplectic Lie superalgebra
利用特征恒等式构造了OSP（m）的不可约表示所对应的不变量和约化矩阵元的特征值公式|n）。在介绍这些结果，我们进一步发展我们的建设性表征理论通过特征身份的方案。
Invariant Differential Operators for Non-Compact Lie Groups: the Reduced SU(3,3) Multiplets
本文以非紧代数$su(n,n)$为例，继续系统地构造不变微分算子。前面已经给出了$n\leq 4$的不可分解初等表示的主要多重态和$n=2$的约化多重态。在这里，我们给所有减少多重包含物理相关的表示，包括最小的代数$su(3,3)$。由于最近建立的抛物关系的结果也是有效的代数$sl(6,\mathbb{R})$与适当选择的极大抛物子代数。
Invariant Differential Operators for Non-Compact Lie Groups: the Reduced SU(4,4) Multiplets
本文以非紧代数$su(n,n)$为例，继续系统地构造不变微分算子。前面已经给出了$n\leq 4$的不可分解初等表示的主要多重态和$n=2,3$的约化多重态。在这里，我们给所有减少多重包含物理相关的表示，包括最小的$n=4$。由于最近建立的抛物关系的结果也是有效的代数$sl(8,\mathbb{R})$和$su^*(8)$与适当选择的极大抛物子代数。
On the Koszul map of Lie algebras
本文将李代数上的不变双线性映射与第三类同调联系起来，研究了约化Koszul映射。证明了无挠阿贝尔群中的任意分次都集中在0度，特别是当李代数允许正分次时，它为零。我们还提供了一个12维幂零李代数的例子，其约化Koszul映射不为零。在附录中，我们重新解释了Neeb和Wagemann关于当前李代数的第二同调的结果，这些结果与约化Koszul映射密切相关。
Reduced Control Systems on Symmetric Lie Algebras
本文研究对称李代数上的控制仿射系统，证明其在一般假设下等价于极大阿贝尔子空间上的约化系统及微分包含，推导了相关一般结果并给出Weyl群预序的仿真应用。
A finite number of defining relations and a UCE theorem of the elliptic Lie algebras and superalgebras with rank $\geq 2$
本文给出了秩为$\geq 2$的椭圆李代数和超代数${\frak g}_R$的有限个生成元所满足的有限个定义关系。这里$R$表示秩为$\geq 2$的约化和非约化椭圆根系。我们还证明了如果${\cal L}$是一个扩展仿射李代数（EALA），其非迷向根形成$R$，则存在一个自然同态${\cal F}:{\frak g}_R \to{\cal L}$，这也给出了从$[{\frak g}_R,{\frak g}_R]$到${\cal L}$的核的泛中心扩张满射. (More准确地说，我们采用${\bar {\frak g}}_R$而不是${\frak g}_R$。）
Harish-Chandra--Schwartz's algebras associated with discrete subgroups of Semisimple Lie groups
证明了半单李群的离散子群所对应的Harish-Chandra-施瓦兹空间是该离散子群的约化$C^*$ -代数的稠密子代数.证明了约化的$C^*$ -范数受Harish-Chandra-施瓦兹空间的范数控制.这个不等式比性质RD弱，并且对任何等距作用的离散群都成立，正确地作用在黎曼对称空间上。
Transverse Poisson Structures to Adjoint orbits in semi-simple Lie algebras
研究复半单李代数中伴随轨道的横向Poisson结构。这个问题首先减少到幂零轨道的情况下。证明了在适当选择的准齐次坐标下，横泊松结构的准度为-2。在特定的情况下，{ \emph subregular}幂零轨道，我们表明，结构可以计算通过一个简单的行列式公式，涉及限制的Chevalley不变量的切片。此外，利用Brieskorn和Slodowy的结果，Poisson结构被简化为一个三维的泊松括号，与对应于次正则轨道的简单有理奇点密切相关.
Oppositeness in buildings and simple modules for finite groups of Lie type
在李型有限群的构造中，我们考虑由标志的对立性所定义的关联关系。这样的关系导致置换模的同态（在定义特征中），其像是群的单模。关联关系的$p$秩就是这个简单模的维数。我们给出了确定单模特征标的一些一般性约化。它的最高权被确定，问题被减少到一个素域的情况下。约化问题可以通过代数群的表示论来解决，并举例说明了方法。
Fine gradings and gradings by root systems on simple Lie algebras
给定特征为零的代数闭域上的有限维单李代数上的细交换群分次，其泛分次群为$G$，证明了自由群$G/\tor(G)$的诱导分次是根系的分次（不一定是约化的）.给出了例外单李代数上细分次分类的一些结果。
Invariant Differential Operators for Non-Compact Lie Groups: the Sp(n,R) Case
本文以非紧代数sp（n，R）为例，继续系统地构造不变微分算子的工作，详细讨论了n=6的情形.我们选择这些代数是出于这样一个事实，即它们属于一个狭窄的代数类，我们称之为“共形李代数”，它具有非常相似的性质闵可夫斯基时空的共形代数。我们给出了n=6的不可分解初等表示的主要多重态和主要约化多重态，包括所有相关的不变微分算子的必要数据。事实上，这也通过约化给出了n<6的情况，因为固定n的主多重态与n+1的一个约化情况一致。
Representations of reduced enveloping algebras and cells in the affine Weyl group
设G是特征p>0的代数闭域上的半单代数群，g是它的李代数.要理解的关键李代数表示是那些与g* 中幂零chi的约化包络代数U_chi（g）相关的表示。我们猜想，正则块中的单模到仿射外尔群（对偶根系）中的左胞腔有一个自然的分配，它位于与Lusztig双射中的chi轨道相对应的双边胞腔中.这应该考虑C_G（chi）的成分群的作用，并自然地适合于Lusztig的涉及C_G（chi）特征标的扩充双射。一些证据将在特殊情况下描述。
A unitary "quantization commutes with reduction" map for the adjoint action of a compact Lie group
设$K$是一个单连通紧李群，而$T^{\ast}(K)$是它的余切丛。本文研究了$K$对$T^{\ast}(K).$的伴随作用的“量子化与约化互换”问题。我们用半形式的几何量子化对$T^{\ast}(K)$和约化相空间进行了约化。然后，我们构建了一个几何自然的映射，从空间的不变元素的量化的$T^{\ast}(K)$减少相空间的量化。我们证明了这个映射是酉映射的常数倍。
Integrable modules for affine Lie superalgebras
研究了非扭仿射李超代数中具有有限维权空间的不可约非零水平模。给出了超代数A（m，n）^和C（n）^的一个完全分类.在其他情况下的分类问题是减少到分类的尖形模有限维尖形李超代数所描述的Dimitrov，Mathieu和Penkov。证明了任何不可约弱可积（Kac和Wakimoto意义下）模都是最高权模.
Higher Deformations of Lie Algebra Representations II
Steinberg的张量积定理表明，对于半单代数群，对高阶Frobenius核的不可约表示的研究归结为对第一Frobenius核的不可约表示的研究。在本系列的前一篇文章中，变形高阶Frobenius核的分布代数产生了一族变形，称为高阶约化包络代数。在本文中，我们证明了Steinberg分解可以类似地变形，使我们能够减少这些代数的表示论问题约减少包络代数的问题。我们用它来推导这些代数上的模的结构结果。另外，我们还表明，在前面的文件中的许多结果举行没有约化的假设。
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