对称李代数上的约化控制系统
Reduced Control Systems on Symmetric Lie Algebras
AI总结：
本文研究对称李代数上的控制仿射系统，证明其在一般假设下等价于极大阿贝尔子空间上的约化系统及微分包含，推导了相关一般结果并给出Weyl群预序的仿真应用。
摘要：
对于对称李代数$\boldsymbol{\frak g}=\boldsymbol{\frak k}\boldsymbol{\frak p}$，我们考虑$\boldsymbol{\frak p}$上的一类双线性或更一般的控制仿射系统，该系统由漂移向量场$X$和控制向量场$\text{ad}_{k_i}$（其中$k_i\boldsymbol{\frak k}$）定义，使得我们对相应的紧群$\boldsymbol{\text{K}}$具有快速且完全的控制。我们证明，在对$X$的相当一般的假设下，这样的控制系统本质上等价于极大阿贝尔子空间$\boldsymbol{\frak a}\boldsymbol{\frak p}$上的自然约化系统，同样也等价于定义在$\boldsymbol{\frak a}$上的相关微分包含。我们推导了这类系统的若干一般结果，并作为应用，证明了关于Weyl群作用诱导的预序的一个仿真结果。
英文摘要：
For a symmetric Lie algebra $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p$ we consider a class of bilinear or more general control-affine systems on $\mathfrak p$ defined by a drift vector field $X$ and control vector fields $\mathrm{ad}_{k_i}$ for $k_i\in\mathfrak k$ such that one has fast and full control on the corresponding compact group $\mathbf K$. We show that under quite general assumptions on $X$ such a control system is essentially equivalent to a natural reduced system on a maximal Abelian subspace $\mathfrak a\subseteq\mathfrak p$, and likewise to related differential inclusions defined on $\mathfrak a$. We derive a number of general results for such systems and as an application we prove a simulation result with respect to the preorder induced by the Weyl group action.
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