Derivative Formula and Applications for Degenerate Diffusion Semigroups
Feng-Yu Wang, Xi-Cheng Zhang
利用Malliavin积分和求解一个控制问题，建立了一类具有非线性漂移的退化扩散半群的Bismut型导数公式。作为应用，得到了显式梯度估计和Harnack不等式.
By using the Malliavin calculus and solving a control problem, Bismut type derivative formulae are established for a class of degenerate diffusion semigroups with non-linear drifts. As applications, explicit gradient estimates and Harnack inequalities are derived.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Derivative and divergence formulae for diffusion semigroups
对于光滑流形$M$上的椭圆算子生成的半群$P_t$，我们利用直接的鞅变元导出了$P_t(V(f))$的概率公式，不涉及$f$的导数，其中$V$是$M$上的向量场.对于非对称发电机，这样的公式对应于前向变量中热核的导数。作为应用，这些公式可用于导出各种shift-Harnack不等式.
A probabilistic representation of the derivative of a one dimensional killed diffusion semigroup
本文为一维边界被杀扩散半群的导数建立了概率表示，将其表达为反射扩散过程泛函的期望，并由此得到在边界处也成立的 Bismut-Elworthy-Li 公式。
Degenerate semigroups and stochastic flows of mappings in foliated manifolds
设$(M, \mathcal{F})$是紧致黎曼叶状流形.考虑一类与$n$ -点运动律相关联的$C(M^n)$中的相容Feller半群.在某些假设下（Le Jan和Raimond，\cite{Le Jan-Raimond}），$M$中存在可测映射的随机流.我们研究这些半群的退化性，使得映射流是叶状的，即每条轨迹位于叶状的单个叶子中，从而为不同叶子中轨迹的合并造成几何障碍。作为应用，证明了一个平均原理的一阶扰动横向的叶子。估计的收敛速率计算。
Formulae for the derivatives of heat semigroups
本文利用基本鞅方法给出了导数$$d(P_tf)(x_0)(v_0)={1\over t} E f(x_t) \int_0^t \langle Y(x_s)(v_s),dB_t\rangle_{R^m}.$$的一个微分公式。这些公式首先在$R^n$上证明，然后在流形上证明。然后给出了微分形式的热传导方程的解和一个二阶公式.
Derivative Formulae and Poincaré Inequality for Kohn-Laplacian Type Semigroups
作为Heisenberg群上热半群的推广，研究了次椭圆算子$L:=\ff 1 2 \sum_{i=1}^m X_i^2$在$\R^{m+d}:= \R^m\times\R^d$上生成的扩散半群，其中$$X_i(x,y)= \sum_{k=1}^m \si_{ki} \pp_{x_k} + \sum_{l=1}^d (A_l x)_i\pp_{y_l},\ \ (x,y)\in\R^{m+d}, 1\le i\le m$$（$\si$）是可逆的$m\times m$ -矩阵，$\{A_l\}_{1\le l\le d}$是满足Hörmander条件的$m\times m$ -矩阵.首先建立了Heisenberg群上热半群的Bismut型和Driver型导数公式及其在梯度估计和耦合/Liouville性质上的应用，这些公式对于Heisenberg群上的热半群也是新的;然后推广了Heisenberg群上热半群的一些近期结果.
Convolution-type derivatives, hitting-times of subordinators and time-changed $C_0$-semigroups
在本文中，我们将考虑从属及其逆过程（首中时）。我们将通过类似于分数阶导数的卷积型积分-微分算子来给出这类过程的一般控制方程。进一步讨论了时变$C_0$ -半群的概念，当时变是通过从属子的击中时来实现的.我们将证明，这种时间变化引起的有界线性算子不保持半群性质，我们将提出他们的控制方程，再次使用积分-微分算子。这样的运营商是非本地的，因此，我们将调查存在的长程相关性。
Ergodicity of the 2D Navier-Stokes Equations with Degenerate Multiplicative Noise
考虑环面上二维不可压Navier-斯托克斯方程，证明了随机Navier-斯托克斯方程解所生成的半群P_t是渐近强Feller的.此外，我们还证明了半群P_t在某种意义下是指数遍历的
Derivatives of Feynman-Kac Semigroups
证明了完备黎曼流形上Feynman-Kac半群的一阶导数和二阶导数的Bismut型公式。我们得到的局部估计和上的积分核的对数导数的界限。固定的解决方案也被认为是。这些论点是基于局部鞅，虽然假设是纯粹的几何。
Derivative Formula and Gradient Estimates for Gruschin Type Semigroups
通过求解一个控制问题，利用Malliavin演算，得到了由Gruschin型算子生成的半群$P_t$在$\R^{m}\times \R^{d}:$ $$L (x,y)=\ff 1 2 \bigg\{\sum_{i=1}^m \pp_{x_i}^2 +\sum_{j,k=1}^d (\si(x)\si(x)^*)_{jk} \pp_{y_j}\pp_{y_k}\bigg\},\ \ (x,y)\in \R^m\times\R^d,$$上的显式导数公式，其中$\si\in C^1(\R^m; \R^d\otimes\R^d)$可能退化.特别地，如果对于某些$l\ge 1$，$\si(x)$在（\ref{A4}）意义下与$|x|^{l}I_{d\times d}$可比较，则对于任何$p>1$，存在一个常数$C_p>0$使得$$|\nn P_t f(x,y)|\le \ff{C_p (P_t |f|^p)^{1/p}}{ß{t}\land ß{t(|x|^2+t)^l}},\ \ t>0, f\in \B_b(\R^{m+d}), (x,y)\in \R^{m+d},$$，这意味着半群的一个新的Harnack型不等式。一个更一般的模型也进行了研究。
Log-Harnack Inequality for Gruschin Type Semigroups
通过两步构造一个耦合，利用正则条件概率下的Girsanov定理，建立了一类生成元可能既退化又非Lipschitz的Gruschin型半群的log-Harnack不等式.
Uniform in time estimates for the weak error of the Euler method for SDEs and a Pathwise Approach to Derivative Estimates for Diffusion Semigroups
给出了随机微分方程Euler格式弱误差一致时间收敛的一个判别准则。该准则要求：i）半群的空间导数在时间上的指数衰减; ii）欧拉近似的（某些）矩的界。我们通过例子（和反例）来说明如何需要i）和ii）来获得所需的结果。如果弱误差在时间上一致收敛到零，则遍历平均的收敛也随之而来。我们还表明，李雅普诺夫型条件是既不充分也不必要的，以弱误差的欧拉近似一致收敛的时间和澄清之间的关系的有效性李雅普诺夫条件，i）和ii）。文献中研究了ii）保持的条件。这里我们给出了i）成立的充分条件。导数估计的研究引起了人们的广泛关注，然而为了保证导数的指数快速衰减，已知的结果并不多。导数的指数衰减通常来自于包含出现在方程中的向量场及其导数的双曲型条件;这里我们关注的是这种双曲型条件在空间中是非均匀的情况。据我们所知，这种情况在文献中没有探讨过，至少在系统的层面上没有。为了得到这样的空间非齐次条件下的结果，我们发起了一个路径的方法来研究扩散半群的导数估计，并结合使用大偏差原则，这种路径的方法。
Existence of Invariant Measures of Stochastic Systems with Delay in the Highest Order Partial Derivatives
本文考虑一类无穷维随机时滞泛函微分方程的不变测度的存在性，其驱动半群是最终范数连续的。所得到的结果被应用到随机热方程的分布延迟出现在这样的条款具有最高阶偏导数。在这类系统中，相关的驱动半群一般是非最终紧的。
Derivative Formula and Harnack Inequality for Degenerate Functional SDEs
通过构造成功耦合，建立了一类退化泛函随机微分方程半群的导数公式、梯度估计和Harnack不等式.
Derivative formulas and applications for degenerate SDEs with fractional noises
对于Hurst参数为$H>1/2$的分数布朗运动驱动的退化随机微分方程，分别利用Malliavin积分和耦合方法建立了其导数公式.此外，我们发现这两种方法之间的一些关系。作为应用，给出了（log）Harnack不等式及其超有界性.
The differentiation of hypoelliptic diffusion semigroups
给出了亚椭圆热半群和调和函数的基本导数公式，推广了椭圆情形下的早期工作。重点是在局部鞅的水平上发展分部积分法公式。结合可选的采样定理，这原来是一个有效的方式来处理边界条件，以及有限的生命周期的基础扩散。我们的公式需要hypoellipticity的扩散的意义上的Malliavin演算（可积性的逆Malliavin协方差），并制定在导数流，Malliavin协方差及其逆。最后讨论了调和映射的非线性设定的一些推广。
On some ergodicity properties for time inhomogeneous Markov processes with $T$-periodic semigroup
考虑取值于波兰状态空间的时间非齐次强马尔可夫过程$(ξ_t)_{t\ge 0}$，其半群具有$T$ -周期结构.我们给出了简单的条件，这意味着遍历的网格链$(ξ_{kT})_{k\in \mathbb{N}_0}$在$d$维可能退化扩散的情况下，该条件的漂移和扩散系数的过程。
Probabilistic representation of the gradient of a killed diffusion semigroup: The half-space case
本文提出半空间上被杀灭扩散半群导数的概率表示，利用反射过程与矩阵值过程替代雅可比矩阵，并推广至多维情形。
Degenerate SDEs with Singular Drift and Applications to Heisenberg Groups
利用参考扩散半群的超压缩性，建立了一类具有奇异漂移的退化偏微分方程的Krylov估计，并通过Zvonkin变换得到了该估计的存在性和路径唯一性.主要结果适用于广义海森堡群上的奇异随机微分方程。
Gradient Estimates and Applications for Neumann Semigroup on Narrow Strip
利用Bismut型导数公式的局部和整体形式，得到了Neumann半群在窄条上的梯度估计。应用功能/成本不等式和热核估计。由于我们考虑的窄条是非凸的，具有零的内射半径，并且不满足体积加倍条件，文献中已有的结果不适用。
Entrance measures for semigroups of time-inhomogeneous SDEs: possibly degenerate and expanding
本文推广 Harris 小集方法，建立时间非齐次、可退化且扩张的 SDE 向入口测度的次几何收敛，并证明拟周期测度及环面不变测度的存在唯一性与遍历性。
Weak Poincaré Inequalities for Convergence Rate of Degenerate Diffusion Processes
对于可分希尔伯特空间上的压缩$C_0$ -半群，利用生成元的对称和反对称部分的弱Poincaré不等式估计了其衰减率.作为应用，对一类退化扩散过程的非指数收敛速度进行了刻划，从而推广了亚纯性的研究。提出了具体的例子。
Smoothing effect and Derivative formulas for Ornstein-Uhlenbeck processes driven by subordinated cylindrical Brownian noises
在无限维可分希尔伯特空间中，研究了服从严格$α\in\left(0,1\right)$稳定Lévy过程的圆柱Wiener过程的概念，并考虑了相关的随机卷积.然后，我们介绍了相应的Ornstein-Uhlenbeck过程，专注于它所定义的马尔可夫转移半群的正则化性质，特别是，我们提供了一个明确的，原始的公式-这不是Bismut-Elworthy-Li的类型-的算子所产生的半群的函数的Gateaux导数，以及其梯度的范数的上界。在$α\in\left(\frac{1}{2},1\right)$的情况下，这一估计代表了研究柯尔莫哥洛夫方程的温和形式的起点。
Malliavin Matrix of Degenerate SDE and Gradient Estimate
本文证明了一类退化随机微分方程的Malliavin矩阵的逆矩阵在某些条件下是p可积的，这些条件类似于Hormander条件，但不要求矩阵的系数都是光滑的.进一步得到了Malliavin矩阵的一致估计和梯度估计，并证明了由该估计生成的半群是强Feller半群。并给出了一些实例。
Differentiability of semigroups of stochastic differential equations with Hölder-continuous diffusion coefficients
半群的可微性有许多应用。在这里，我们重点讨论扩散系数是可微函数的平方根但本身不可微的随机微分方程。对于每一个$m\in\{0,1,2\}$，我们根据漂移系数和平方扩散系数的$C^m$ -范数建立了扩散半群的$C^m$ -范数的上界.我们的上界中的常数通常与维数无关。因此，我们的估计适合于分析某些高维和无穷维退化随机微分方程。
A spectral theoretical approach for hypocoercivity applied to some degenerate hypoelliptic, and non-local operators
本文的目的是为研究希尔伯特空间中的压缩半群收敛于平衡点，特别是hypovervity现象提供一种新颖而全面的谱理论方法.我们的方法依赖于交换关系的线性算子称为交织，我们利用这个身份转移光谱信息从一个已知的，参考半群$\tilde{P} = (e^{-t\tilde{\mathbf A}})_{t \geq 0}$的目标半群$P$，这是研究的对象。这使我们能够获得的条件下，$P$满足hypocorctive估计与指数衰减率给出的频谱间隙的$\tilde{\mathbf A}$。一路上，我们还开发了一个谓词演算涉及的非自伴决议的交织关系引起的身份。我们将这些结果在一般的Hilbert空间设置到两种情况下：退化，亚椭圆Ornstein-Uhlenbeck半群上的$\mathbb R^d$，和非局部Jacobi半群上的$[0,1]^d$，最近已推出和研究$d=1$。在这两种情况下，我们得到了次强制的估计，并能够明确地确定次强制常数
Derivative Formula and Applications for Hyperdissipative Stochastic Navier-Stokes/Burgers Equations
利用耦合方法，建立了一类超耗散随机Navier-Stokes/Burgers方程的马尔可夫半群的Bismut型导数公式.作为应用，得到了梯度估计、无量纲Harnack不等式、强Feller性质、热核估计以及不变概率测度的一些性质.
Diffusion semigroup on manifolds with time-dependent metrics
设微分流形上的$L_t:=Δ_t +Z_t $，$t\in [0,T_c)$具有含时完备黎曼度量$(g_t)_{t\in [0,T_c)}$，其中$Δ_t$是由$g_t$诱导的拉普拉斯算子，$(Z_t)_{t\in [0,T_c)}$是一族$C^{1,1}$ -向量场.首先给出了$L_t$生成的扩散过程非爆炸的显式判据，然后建立了相应半群的导子公式，最后给出了若干个与曲率下界条件等价的半群不等式，包括扩散半群的梯度不等式、运输费用不等式、Harnack不等式和泛函不等式.
A McKean--Vlasov semigroup and its application to a martingale representation problem
本文研究带公共噪声的McKean-Vlasov半群的微分结构，推导其Lions导数与后向表示公式，将其应用于Wasserstein空间线性方程的Feynman-Kac表示及无漂移情形的鞅表示问题，并讨论相关表示的扩展。
Existence of the Fomin derivative of the invariant measure of a stochastic reaction--diffusion equation
本文考虑一个受噪声（不一定是白噪声）扰动的反应扩散方程.证明了相应的迁移半群$P_t$的Fomin导数的存在性.主要工具是$\|φ\|_{L^2(H,ν)}$的新估计，其中$ν$是$P_t$的不变测度。
Regularity estimates for diffusion semigroups on weighted Sobolev spaces
本文考虑一类系数光滑且有界的二阶一致椭圆算子。给出了这些算子作用在加权索伯列夫空间上生成的半群的范数的估计，其中权满足一定的条件。我们的证明依赖于抛物型方程的基本解的导数的一个经典界。
A Bismut-Elworthy formula for BSDEs with degenerate noise
本文在噪声非退化性较弱的假设下推导了BSDEs的Bismut-Elworthy公式，考虑了无限维Hilbert空间中随机微分方程的转移半群的梯度估计，并探讨了非线性Bismut公式的应用，应用于随机波方程和阻尼随机波方程。
Bismut Formula for Lions Derivative of Distribution Dependent SDEs and Applications
利用Malliavin演算，建立了$P_tf(μ):=\mathbb E f(X_t^μ)$的Lions导数的Bismut型公式，其中$t>0,$ $ f $是有界可测函数，$X_t^μ$求解一个初始分布为$μ$的分布相关函数.作为应用，得到了不同初始值下解的Lions导数和解的分布间的总变分距离的显式估计.退化和非退化的情况被认为是。由于半群性质的缺乏和公式$P_tf (μ)= \int P_tf(x)μ(d x)$的无效性，克服了研究中的本质困难。
Generalized Curvature Condition for Subelliptic Diffusion Processes
利用曲率条件的一般形式，建立了一类次椭圆扩散半群的导数不等式。作为应用，在对称情形下，得到了扩散半群的Harnack/代价-熵/代价-方差不等式和相应Dirichlet型的Poincaré/log-Sobolev不等式.我们的结果在很大程度上推广和部分改进了最近在[BB]中得到的相应结果。
Quasiderivative method for derivative estimates of solutions to degenerate elliptic equations
给出了随机时变构造的拟导数的一个例子，Girsanov定理和Levy定理。作为应用，在关于边界法线的非退化性假设和控制拟导数矩的内部条件下，我们研究了二阶线性退化椭圆型偏微分方程狄利克雷问题概率解的光滑性和二阶导数的估计.
Ergodicity for 2D Navier-Stokes equations with a degenerate pure jump noise
本文针对高度退化的纯跳Lévy噪声驱动的二维Navier-Stokes方程，利用Malliavin分析与预想随机分析建立e-property和弱不可约性，从而证明遍历性并解决长期未决问题。
Extrinsic Derivative Formula for Distribution Dependent SDEs
该研究建立了分布依赖型随机微分方程外导数的Bismut型公式，并通过非退化、退化两类分布依赖随机微分方程例证了主要结果。
Martingales and Path-Dependent PDEs via Evolutionary Semigroups
本文利用演化半群框架，通过终值问题温和解和 $\mathbb{E}$-导数刻画路径依赖终端条件下鞅及其补偿子，并与 Dupire 导数路径依赖偏微分方程建立联系。
Degenerate Fokker-Planck Equations : Bismut Formula, Gradient Estimate and Harnack Inequality
通过构造退化扩散过程的成功耦合，给出了一类退化Fokker-Planck方程在$\R^m\times\R^{d}$上解的显式导数公式和Harnack型不等式.主要结果也应用于梯度估计、熵/运输费用不等式和热核不等式的研究。
Bismut Formula for Lions Derivative of Distribution-Path Dependent SDEs
为了刻画在道路空间上的概率测度类中变化的初始分布中与分布路径相关的随机微分方程的规律性，我们引入了巴拿赫空间上概率测度的内禀导数和Lions导数，并证明了Banach值随机变量分布的Lions导数的链式法则。利用Malliavin微积分，建立了漂移依赖于分布-路径的偏微分方程泛函解的Lions导数的Bismut型公式.当噪声项也是路径依赖的，使Bismut公式是无效的，我们建立了渐近Bismut公式。考虑了非简并和简并噪声。本文的主要结果推广和改进了最近文献中关于经典的带记忆和无记忆的McKean-Vlasov方程的相应结果。
Interior gradient and Hessian estimates for the Dirichlet problem of semi-linear degenerate elliptic systems: a probabilistic approach
本文利用倒向随机微分方程和拟导数两种工具，给出了有界区域上半线性退化椭圆型偏微分方程组的内梯度和Hessian估计.
Hypocoercivity for non-linear infinite-dimensional degenerate stochastic differential equations
本文研究非线性无穷维退化随机微分方程，用预解式方法构造无穷维Langevin动力学弱解，结合亚耗散性方法与算子本质m-耗散性结果，证明L²指数遍历性，并应用于显式退化扩散方程。
Isotropic Markov semigroups on ultra-metric spaces
设（X，d）是局部紧可分超度量空间.给定X上的参考测度μ和非负实数上的步长分布，构造了作用在L^2（X，μ）上的对称马尔可夫半群P^t.我们研究了相应的马尔可夫过程。得到了它的转移密度的上下界和格林函数，给出了一个瞬变判据，估计了它的矩，描述了它的马尔可夫生成元和它的谱，它是纯点的.在X是p-adic数域的特殊情况下，我们的构造恢复了分数阶导数和Laplacian（谱乘子）上的Tai-nov，并且我们还可以将我们的理论应用于与p-adic量子力学概念密切相关的Vladimirov Laplacian的研究。即使在这种良好的设置，我们的一些结果是新的。我们还阐述了我们的过程和Kigami的跳跃过程的边界上的一棵树，这是由随机游动诱导之间的关系。最后，我们提供的例子说明分数阶导数和随机游动之间的相互作用。
Robin Heat Semigroup and HWI Inequality on Manifolds with Boundary
设$M$是具有边界$\pp M$的完备连通黎曼流形，$Q$是$\pp M$上的有界连续函数，对于$M$上的$C^1$ -向量场$Z$，设$L= \DD+Z$是$M$上的有界连续函数.利用$L$生成的反射扩散过程及其在边界上的局部时，给出了具有Robin边界条件$N,\nn f+Qf=0,$的$M$上的$L$生成半群的概率公式，其中$N$是$\pp M$的向内单位法向量场.作为应用，在具有（非凸）边界的流形上建立了HWI不等式。为了研究这类半群，在一类带边界的非紧流形上建立了Hsu梯度估计和相应的Bismut导数公式。
Derivative estimates for SDEs with singular and unbounded coefficients
本文提出统一的PDE-概率框架，用于估计与具有奇异和无界系数的随机微分方程相关马尔可夫半群的点wise梯度和Hessian估计，通过局部结构假设和积分正则性条件，获得短时正则化估计和长时衰减界。
Large deviations principle via Malliavin calculus for the Navier-Stokes system driven by a degenerate white-in-time noise
建立了二维随机Navier-Stokes方程组的Donsker-Varadhan型大偏差原理。主要的新颖性是，噪声被假定为高度退化的傅立叶空间。通过使用arXiv：1410.6188中在离散时间设置中开发的LDP标准进行证明，并在arXiv：1505.03686中扩展到连续时间。该判据的主要条件之一是Feynman-Kac半群的一致Feller性质，我们用Malliavin演算证明了这一点。
Weighted derivative estimates for Kolmogorov equations
针对系数满足特定条件的扩散过程，本文结合李雅普诺夫函数等理论，建立了柯西问题解的空间导数及SDE关于初值导数的显式估计，为相关研究提供了关键的定量结果。
Gradient estimates for SDEs Driven by Multiplicative Lévy Noise
本文首次给出了一类乘性Lévy噪声驱动的随机微分方程所对应的半群的梯度估计.特别是，估计是尖锐的$α$稳定型噪声。为了得到这些估计，一个新的导数公式的Bismut-Elworthy-Li的类型建立的半群通过使用Malliavin演算和有限跳近似的论点。
The log-Lévy moment problem via Berg-Urbanik semigroups
考虑了Berg-Urbanik半群的Stieltjes矩问题，该半群构成了$\mathbb{R}_+$上一类与Bernstein函数集双射的乘法卷积半群.伯格和杜兰证明，法律等半群是时刻确定（至少）到时间$t=2$，并为伯恩斯坦功能$ϕ(u)=u$，伯格作出了惊人的观察，为时间$t>2$的法律，这半群是时刻不定。我们扩展这些工作，估计的阈值时间$\scr{T}_ϕ\in [2,\infty]$，它需要的法律，这样的Berg-Urbanik半群过渡到时刻不确定性的基本伯恩斯坦函数$ϕ$，如其Blumenthal-Getoor指数的简单属性。我们为处理不同情况而实施的几种策略之一依赖于当前问题的非经典阿贝尔类型准则，作者最近证明了这一点。为了实现这种方法，我们提供了详细的信息，如密度的存在性和光滑性的半群的分布特性，以及，大的渐近行为的所有$t > 0$这个密度以及其连续的衍生物。特别是，这些结果，这是原来的Lévy过程文学，可能是独立的利益。
Ergodicity for the fractional Magneto-Hydrodynamic equations driven by a degenerate pure jump noise
本文研究了由高度退化纯跳跃 Lévy 噪声驱动的随机 2D 分数阶磁流体动力学方程的遍历性，针对噪声仅作用于四个方向的高退化情形，结合 Malliavin 变分法证明半群 e-property 与弱不可约性，确立了不变测度的唯一性。
Degenerate Diffusion Operators Arising in Population Biology
我们分析了一类偏微分方程，出现“向后Kolmogorov算子”在无穷总体限制的赖特-费舍尔模型在人口遗传学和数学金融。这些是定义在有角流形上的退化椭圆算子。经典的例子是Kimura扩散算子，它作用于定义在R^n中的单形上的函数。引入各向异性的Holder空间，证明了由这类算子所定义的热解方程和预解方程的存在性、唯一性和正则性.这足以证明C^0-图闭包生成强连续半群，并且相关的鞅问题有唯一解。我们给出了前向Kolmogorov算子的零空间的详细描述。
On the fundamental solution and a variational formulation of a degenerate diffusion of Kolmogorov type
本文构造了一类Kolmogorov型退化扩散方程的基本解，并对其伴随方程发展了一个时间离散变分格式。所谓的均方导数费用函数在基本解和变分方案中都起着至关重要的作用。后者是通过最小化自由能功能相对于Kantorovich最优输运成本功能与均方导数成本。我们建立了该计划的伴随方程的解决方案的收敛性推广以前已知的结果为福克-普朗克方程和Kramers方程。
Fractional derivatives: Fourier, elephants, memory effects, viscoelastic materials and anomalous diffusions
本文将出现在AMS的通知中，首先简要介绍分数微积分的起源以及莱布尼茨和傅立叶所扮演的重要角色。介绍了分数阶导数的傅立叶定义，并用现代半群方法对其进行了解包。介绍了分数阶导数理论的最新进展。此外，我们还解决了科学界一些人提出的一些问题。最后，我们提出了三个不同的应用：人口增长与记忆，粘弹性材料和异常扩散。
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