Borel equivalence relations between \ell_1 and \ell_p
Longyun Ding, Zhi Yin
本文证明了对于每个$p>1$，在按$\le_B$排序的$\Bbb R^ω/\ell_1$和$\Bbb R^ω/\ell_p$之间存在连续的多个Borel等价关系，它们是两两Borel不可比的.
In this paper, we show that, for each $p>1$, there are continuum many Borel equivalence relations between $\Bbb R^ω/\ell_1$ and $\Bbb R^ω/\ell_p$ ordered by $\le_B$ which are pairwise Borel incomparable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Embeddings of $P(ω)/{\rm Fin}$ into Borel Equivalence Relations between $\ell_p$ and $\ell_q$
证明了对于$1 \le p<q<\infty$，偏序集$P(ω)/{\rm Fin}$可以嵌入到$\mathbb{R}^ω/\ell_p$和$\mathbb{R}^ω/\ell_q$之间的Borel等价关系中.由于$P(ω)/{\rm Fin}$中存在一个大小连续统的反链，因此在$\mathbb{R}^ω/\ell_p$和$\mathbb{R}^ω/\ell_q$之间存在着连续统的许多不可比拟的Borel等价关系.
Some equivalence relations which are Borel reducible to isomorphism between separable Banach spaces
我们将有关可分巴拿赫空间之间同构关系复杂性的已知结果改进为Borel可约性，并且我们使用经典空间$c_0$、$\ell_p$和$L_p$、$1 \leq p <2$实现了这一点。更准确地说，我们表明，关系$E_{K_σ}$是Borel可约同构和补充双嵌入之间的$c_0$或$\ell_p, 1 \leq p <2$的子空间。我们证明了关系$E_{K_σ} \otimes =^+$是Borel可约的同构，补双嵌入，和Lipschitz等价的子空间之间的$L_p, 1 \leq p <2$。
Countable Borel equivalence relations and quotient Borel spaces
考虑商Borel空间上的可数Borel等价关系.我们证明了一个推广的Feldman-Moore表示定理，但提供了一些例子表明，其他非常简单的属性可数等价关系的标准Borel空间可能会失败的背景下，非光滑等价。
Simultaneous Reducibility of Pairs of Borel Equivalence Relations
设$E\subseteq F$和$E'\subseteq F'$分别是标准Borel空间$X$和$Y$上的Borel等价关系.如果存在一个Borel函数$f:X\to Y$，它既是从$E$到$E'$的约简，又是从$F$到$F'$的约简，则$(E,F)$对同时可Borel约简为$(E',F')$对。同时Borel嵌入和同构的定义类似。我们分类所有对$E\subseteq F$光滑可数博雷尔等价关系，同时博雷尔birereductions和biembeddability，和一个显着的一部分，这样的对同时博雷尔同构。我们推广莫尔丁的概念博雷尔参数化，以确定大自然子类的光滑可数等价关系和单光滑（不一定可数）等价关系的自然组合同构不变量是完整的，我们提出了反例以外的这些子类。最后，我们将同构的光滑等价关系和对光滑可数等价关系的博雷尔等价的博雷尔函数讨论在Komisarski，Michalewski和Milewski。
A Borel graphable equivalence relation with no Borel graphing of diameter two
本文研究了一种可Borel图化的等价关系，证明其不存在直径小于3的Borel图化，且通过计算论通用性引理得出结论。
The Borel Ramsey properties for countable Borel equivalence relations
本文定义了可数Borel等价关系的强弱Borel Ramsey性质，证明其成立当且仅当关系光滑，并探讨了超有限非光滑情形的变体。
Borel graphs generated by finitely many bounded-to-1 commuting Borel functions and hyperfinite equivalence relations
该研究证明由有限个有界到1的交换函数生成的Borel图是超有限的，重现了Naryshkin等人待发表论文中的相关定理。
On the complexity of Borel equivalence relations with some countability property
研究了连续约简下的Borel等价关系类.特别是，我们的特点时，博雷尔等价关系与可数等价类是$Σ$ 0 $ξ$（或$Π$ 0 $ξ$）。我们刻画了当这样的关系的所有等价类都是$Σ$ 0 $ξ$（或$Π$ 0 $ξ$）时的特征。我们证明了类似的结果与可数许多等价类的Borel等价关系。我们也完全解决了前两个等级的这两个问题。为了做到这一点，我们证明了一些扩展的Louveau-Saint Raymond定理，它本身推广了Hurewicz定理特征时，波兰空间的Borel子集是G $δ$。
Borel equivalence relations induced by actions of tsi Polish groups
研究了标准Borel空间上tsi Polish群的Borel作用所诱导的Borel等价关系.我们的特点时，这样的等价关系承认分类可数结构使用的变体的$\mathbb G_0$ -二分法。特别是，我们找到了一个类，作为一个基础，这些等价关系下的Borel约简的可数结构的非分类。我们把这个特征和[B]的结果一起使用。D.米勒，出现在杂志的数理逻辑]，以表明，如果这样的等价关系承认分类可数结构，但它不是本质上可数的，然后等价关系${\mathbb E}^{\mathbb N}_0=\mathbb E_3$博雷尔减少到它。
Relative primeness and Borel partition properties for equivalence relations
我们引入了相对素性的概念，等价关系，加强非约简的概念，并显示许多标准的基准等价关系，非约简可以加强相对素性。我们介绍了几个类似的基数性质的Borel等价关系，包括一个总理的概念，等价关系和Borel划分性质的商空间。特别地，我们引入了Borel弱紧性的概念，并刻画了等价关系${\mathbb F}_2$和${\mathbb E}_1$的划分性质.我们还讨论了与素性相关的二分法，并看到许多与等价关系的Borel约化有关的自然问题可以在相对素性和Borel划分性质的框架中来看待。
Equivalence Relations Which Are Borel Somewhere
将显示以下内容：设$I$是波兰空间$X$上的一个$σ$ -理想，且具有这样的性质：由$\subseteq$排序的$I^+$ Borel子集的相关强迫是一个真强迫.设E是这个Polish空间上的解析或余解析等价关系，其等价类都是Borel.如果存在某些集合的sharp，则存在$X$的$I^+$ Borel子集$C$，使得$E \upharpoonright C$是Borel等价关系。
Finite-index extensions of essentially free countable Borel equivalence relations
本研究针对Kechris提出的可数Borel等价关系本质自由性的有限指数扩张保持性问题，证明E本质自由时其对应的E^fin也本质自由，从而给出该问题的肯定答案。
Canonical Borel equivalence relations on $ \mathbb{R}^n$
本文完成了H. Lefmann证明了关于$2^ω$的$n$ -元素子集的Borel等价关系，即关于一个序型，具有有限的Ramsey基.
The Effective Theory of Borel Equivalence Relations
Borel约简下Borel等价关系的研究已发展成为描述集合论的一个重要领域。Silver和Harrington-Kechris-Louveau的二分法表明，对于Borel约简，任何严格高于$ω$上的等式的Borel等价关系都高于$ω$的幂集${\cal P}(ω)$上的等式，并且任何严格高于实数上的等式的Borel等价关系都高于${\cal P}(ω)$上的模有限等式。本文通过研究有效Borel约简下的有效Borel等价关系，检验了这些结果和相关结果的有效内容。由此产生的结构是复杂的，即使是等价关系与许多等价类。然而，使用Kleene的$O$作为参数足以从无效设置恢复图像。一个关键的引理是存在两个有效的Borel实数集，其中任何一个都不包含任何有效Borel函数下的另一个的范围;这个结果的证明将Barwise紧性应用于Harrington的一个深层定理，该定理为任何递归序数$α$建立了$Π^0_1$的存在性，其$α$ -跳跃是图灵不可比的。
A dichotomy for countable unions of smooth Borel equivalence relations
本文证明了光滑 Borel 等价关系的可数并集满足二分性：要么可 Borel 归约到可数 Borel 等价关系，要么连续嵌入 $\mathbb{E}_1$，并推广到更一般情形。
An order analysis of hyperfinite Borel equivalence relations
本文研究超有限Borel等价关系上的Borel $\mathbb{Z}$-序对，定义相容性并证明二分定理，进而证明具有自相容$\mathbb{Z}^2$-序的超有限-上-超有限等价关系必为超有限。
Cardinal characteristics and countable Borel equivalence relations
Boykin和Jackson最近介绍了可数Borel等价关系的一个性质，称为Borel有界性，他们表明这与超有限等价关系的并问题密切相关。在本文中，我们引入了可数Borel等价关系的一族性质，它们对应于连续统的组合基数特征，就像Borel有界性对应于有界数$\mathfrak b$一样.我们分析了这些属性的一些基本行为，例如，显示对应于分裂数$\mathfrak s$的属性与光滑性一致。然后，我们解决了许多性质之间的蕴涵关系;这些关系与基数特征的Borel Tukey排序密切相关（但不相同）。
On Borel equivalence relations related to self-adjoint operators
在最近的工作中，作者研究了波兰空间${\rm{SA}}(H)$上定义的所有（不一定有界）自伴算子在可分无限维希尔伯特空间$H$上的各种Borel等价关系。本文研究了由$AE_{\rm{dom}}^{\rm{SA}(H)}B\Leftrightarrow {\rm{dom}}{A}={\rm{dom}}{B}$给出的域等价关系$E_{\rm{dom}}^{\rm{SA}(H)}$，并确定了它的精确Borel复杂度：$E_{\rm{dom}}^{\rm{SA}(H)}$是一个$F_σ$（而不是$K_σ$）等价关系，它与$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$上标准Borel群$\ell^{\infty}=\ell^{\infty}(\mathbb{N},\mathbb{R})$的轨道等价关系$E_{\ell^{\infty}}^{\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}$是连续双可约的.根据Rosendal定理，这表明$E_{\rm{dom}}^{\rm{SA}(H)}$对于PDMATHAMR等价关系是普适的。此外，我们证明了一般的自伴算子有纯奇异连续谱等于$\mathbb{R}$。
Martin's conjecture, arithmetic equivalence, and countable Borel equivalence relations
在递归论和描述集合论之间有着迷人的相互作用和重叠。这种相互作用的一个特别美丽的来源是马丁关于图灵不变函数的猜想。这个在递归论中长期存在的问题与描述集合论中的许多问题有关，特别是可数博雷尔等价关系理论。在本文中，我们将给出一个概述的一些工作，已完成的马丁猜想，它已经在描述集合论的应用。我们将提出一个长期未发表的结果Slaman和钢的算术等价是一个普遍的可数Borel等价关系。这个定理对于一般的普适可数博雷尔等价关系理论有有趣的推论。最后，我们提出了一些开放的问题，以及未来研究的方向。
Forcing constructions and countable Borel equivalence relations
我们证明了一些关于可数Borel等价关系与强制结构和参数的结果。这些结果揭示了某些轨道上Borel完全截面的隐藏正则性。作为后果，他们意味着不存在的博雷尔完全部分与某些功能。
Dynamical simplices and Borel complexity of orbit equivalence
证明了任何可分动力单形都是某个Toeplitz子移位的不变测度的集合。我们应用我们的建设证明了轨道等价的Toeplitz子移位是Borel双约的普遍等价关系引起的一个非阿基米德波兰群的Borel行动。
Embedding an analytic equivalence relation in the transitive closure of a Borel relation
自反、对称、解析关系的传递闭包是解析等价关系。某个更小的类是否包含每个自反的、对称的、封闭的关系的传递闭包？这里提供了一个基本上否定的答案。任意Polish空间上的每个解析等价关系都是Borel可嵌入到该空间上两个光滑Borel等价关系之并的传递闭包中的。在Baire空间中，这两个光滑关系是封闭的，嵌入是同胚的。
Intersections of $\ell^p$ spaces in the Borel hierarchy
证明了如果$Y$是$\ell^q$，$c_0$，$\ell^\infty$或${\textstyle \bigcap_{p > b}} \ell^p$中的一个，其中$0 < q,b < \infty$，并且Fréchet空间$\textstyle \bigcap_{p > a} \ell^p$适当地包含在$Y$中，则$\textstyle \bigcap_{p > a} \ell^p$首先出现在$Y$的Borel层次中的第三层乘法类中.特别地，$\textstyle \bigcap_{p > a} \ell^p$既不是$F_σ$也不是$Y$的$G_δ$子集。这回答了聂斯脱鲁姆的一个问题。这一结果提供了一个自然的例子，一组在第三级的博雷尔层次结构，并在其帮助下，我们也给出了一些例子，在第四级。
Borel graphable equivalence relations
本文研究了哪些分析等价关系是Borel图化的，并探讨了图群及其结构性质。
Borel complexity of families of finite equivalence relations via large cardinals
该研究在假设ω-Erdos基数存在的前提下，判定有限等价类的等价关系理论的Borel完全性，构建了用于界定复杂度和判定完全性的工具，并分类了细化等价关系理论的归约。
When an Equivalence Relation with All Borel Classes will be Borel Somewhere?
在$\mathsf{ZFC}$中，如果有一个可测基数，其下有无穷多个Woodin基数，则对于$\mathbb{R}$上的每个等价关系$E \in L(\mathbb{R})$与所有$\mathbfΔ_1^1$类和$\mathbb{R}$上的每个$σ$ -理想$I$，使得$I^+$ $\mathbfΔ_1^1$子集的相关强制$\mathbb{P}_I$是适当的，存在一些$I^+$ $\mathbfΔ_1^1$集合$C$，使得$E \upharpoonright C$是$\mathbfΔ_1^1$关系等价。在$\mathsf{ZF} + \mathsf{DC} + \mathsf{AD}_\mathbb{R} + V = L(\mathscr{P}(\mathbb{R}))$中，对于$\mathbb{R}$上的每个等价关系$E$与所有$\mathbfΔ_1^1$类和每个$σ$ -$\mathbb{R}$上的理想$I$，使得相关联的强制$\mathbb{P}_I$是适当的，存在某个$I^+$ $\mathbfΔ_1^1$集合$C$，使得$E \upharpoonright C$是$\mathbfΔ_1^1$等价关系。
On time change equivalence of Borel flows
本文讨论了Borel多维流的时变等价性的概念。我们表明，所有的自由流是时变等价的可压缩集。一个适当的版本，这一结果为非自由流动。
Some new results on Borel irreducibility of equivalence relations
本文证明了一般扰动波兰作用的轨道等价关系（简称ER s）不能Borel约化为包含N的所有置换群S_ \infty的波兰作用且在模所有有限集的理想Fin的Fubini积及其他运算下闭的一族ER s.本文的第二个主要结果表明：T_2（称为“实的可数集的相等”的等价关系）不是Borel可约的，它包含了Polish CLI群的连续作用、Borel与G_δ类的等价关系、某些理想，并且在$Fin.$上的Fubini积下是封闭的。这两个结果及其推论推广了Hjorth和Kechris的一些早期的不可约性定理。
Lebesgue Orbit Equivalence of Multidimensional Borel Flows
本文的主要结果是将自由多维Borel流分类到Lebesgue轨道等价，由此我们理解了保持每个轨道上的勒贝格测度的轨道等价。证明了两个非光滑欧氏流是Lebesgue轨道等价的当且仅当它们具有相同数目的不变遍历概率测度.
Infinite time decidable equivalence relation theory
我们介绍了一个模拟的理论博雷尔等价关系，我们研究的等价关系，是由一个无限的时间图灵机决定。博雷尔约化被更一般的无限时间可计算函数类所取代。经典理论的许多基本方面保持不变，额外的好处是，研究某些特殊的等价关系变得明智，这些关系的复杂性超出了博雷尔甚至解析。我们还介绍了一个无限的时间推广可数博雷尔等价关系，一个关键的子类的博雷尔等价关系，并再次表明，几个关键属性结转到更大的类。最后，我们从文献中收集了几个关于Borel约简的结果，这些结果也适用于绝对Delta_1^2约简，因此也适用于无限时间可计算约简。
Structurable equivalence relations
对于可数关系结构的类$\mathcal K$，如果存在将结构放入每个$E$ -等价类上的$\mathcal K$中的Borel方式，则称可数Borel等价关系$E$是$\mathcal K$ -可结构化的。本文研究了$\mathcal K$类的全局结构-各种$\mathcal K$的可结构等价关系.我们发现$\mathcal K$ -结构性与几种Borel同态和可数Borel等价关系分类中常用的约简有很好的相互作用。我们认为偏序集类的$\mathcal K$结构等价关系的各种$\mathcal K$，根据包含，并表明它是一个分配格，这意味着博雷尔约简预序之间可数博雷尔等价关系包含一个大的子格。最后，我们考虑了$\mathcal K$的各种模型理论性质对$\mathcal K$结构化的影响。特别是，我们刻画了$\mathcal K$，使每一个$\mathcal K$结构化的等价关系是光滑的，回答了一个问题的标志。
Abelian pro-countable groups and non-Borel orbit equivalence relations
我们研究可以定义为波兰的、亲可数的阿贝尔群、非阿基米德的阿贝尔群或拟可数的阿贝尔群的拓扑群，即，波兰次直积可数，离散群，赋予积拓扑。我们在这个类中刻画驯服群，即，群，使得由它们在波兰空间上的连续作用引起的所有轨道等价关系是Borel，以及相对驯服的群$G$，即，群，使得$G$的每个对角作用$α\times β$诱导Borel轨道等价关系，只要$G$的作用$α$，$β$是连续的，并且诱导Borel轨道等价关系。
Dichotomy Theorems for Families of Non-Cofinal Essential Complexity
我们证明了对于每一个Borel等价关系$E$，要么$E$是Borel可约的到$\mathbb{E}\_0$，要么与$E$不相容的Borel等价关系族具有共尾本质复杂性.如果$F$是Borel等价关系，$\cal F$是一族非共尾本质复杂度的Borel等价关系，它们一起满足二分法，即对于每个Borel等价关系$E$，$E\in {\cal F}$或$F$是Borel可约为$E$的，则$\cal F$仅由光滑等价关系组成，因此二分法等价于已知定理。
Measure reducibility of countable Borel equivalence relations
我们表明，每一个基础的可数博雷尔等价关系严格以上$\mathbb{E}_0$下措施reductionary是不可数的，从而排除自然推广的Glimm-Effros二分法。我们还推动了许多已知的结果有关的抽象结构的措施reductionary层次结构的基础上，使用的参数比以前采用的简单得多。
Continuous logic and Borel equivalence relations
我们使用无穷连续逻辑的方法研究度量结构类同构的复杂性。对于局部紧结构的Borel类，我们证明了如果同构的等价关系是潜在的$\mathbfΣ^0_2$，那么它本质可数.我们还提供了一个等价的模型理论条件，很容易在实践中检查。这个定理是Hjorth关于伪连通度量空间的一个结果和Hjorth-Kechris关于离散结构的一个结果的一般推广。作为一个不同的应用，我们还给出了Kechris定理的一个新的证明：波兰局部紧群作用的轨道等价关系本质可数。
Decompositions and measures on countable Borel equivalence relations
本文证明可数Borel等价关系的测度论遍历分解可由生成它的群作用的拓扑遍历分解实现，并应用于基数代数与弱等价性研究。
How many Turing degrees are there?
一个Polish空间上的Borel等价关系称为可数的，如果它的所有等价类都是可数的。标准的例子可数博雷尔等价关系（在空间的子集的整数），发生在递归论是：递归同构，图灵等价，算术等价等有一个规范层次的复杂性可数博雷尔等价关系的概念所施加的博雷尔约简。我们将从递归论的角度，对有关确定这些等价关系在这个层次结构中的位置的问题进行调查，并讨论它们的一些含义。
Borel Canonization of Analytic Sets with Borel Sections
给定一个解析等价关系，我们倾向于怀疑它是否是波莱尔。当它是非博雷尔，总是有希望它将是博雷尔在一个“大”集-非微薄或积极的措施。这导致Kanovei，Sabok和Zapletal问是否每一个适当的$σ$理想满足以下性质：鉴于$E$解析等价关系与博雷尔类，存在一组$B$这是博雷尔和$I$ -积极的，使$E\restriction_{B}$是博雷尔。我们提出了一个相关的问题--是否每一个真$σ$理想都满足：给定$A$是具有Borel截面的平面的一个解析子集，存在一个集合$B$是Borel且$I$是正的，使得$A\cap(B\timesω^ω)$是Borel.当存在可测基数时，我们的回答是肯定的，而在$L$中，我们的回答是否定的，因为没有适当的$σ$理想具有这种性质。假设$ω_{1}$在$L$中是实数不可达的，但不是Mahlo不可达的，我们构造了一个不具有此性质的ccc $σ$理想$I$--事实上，用$I$强制将一个非Borel部分添加到一个具有Borel部分的解析集，并将一个非Borel类添加到与Borel类的解析等价关系。各种反例给出的情况下，一个$\mathbf{Δ_{2}^{1}}$等价关系，以及一个不适当的理想。
Varia: Ideals and Equivalence Relations, beta-version
本文给出了Borel理想和等价关系的Borel约化的一系列基本结果，特别是那些证明简短的结果.重点是一些特殊等价如$E_0, E_1, E_2, E_3, E_\infty, Z_0,$和Banach诱导等价$l_p,$的可约/不可约结果，特别是一些二分法定理。大部分的结果包括在这本书是在20世纪90年代获得的，但最近提出的一些定理，以及像罗森达尔的证明，博雷尔理想是共尾内博雷尔等价的一般形式。
The Borel cardinality of Lascar strong types
我们表明，如果限制的Lascar等价关系的KP-强类型是非平凡的，那么它是非光滑的（当被视为一个博雷尔等价关系的适当空间的类型）。
The Borel complexity of von Neumann equivalence
本文证明了：对于包含自由群$\F_n$的一个拷贝的可数离散群$Γ$，对于某些$2\leq n\leq\infty$作为正规子群，遍历a.e. $Γ$的自由作用是保概率测度$Γ$作用的波兰空间中的解析非Borel等价关系。作为结果，我们得到的同构关系的$\II_1$，$\II_\infty$和$\III_λ$型可分作用因子的空间，$0\leqλ\leq 1$，是解析的，而不是Borel时，这些空间的Effros Borel结构。
Borel asymptotic dimension and hyperfinite equivalence relations
超有限等价关系理论中一个长期悬而未决的问题是：可数服从群的Borel作用所生成的轨道等价关系是否超有限。本文证明了当作用群是多环时，这个问题总是有一个正解，并对一类群的所有自由作用得到了一个正解，这类群包括点灯群和所有具有有限Prüfer秩的虚可解群.这标志着第一次，一组指数体积增长已被证实具有这种性质。在获得这一结果，我们引入了一个新的工具，研究博雷尔等价关系扩展格罗莫夫的概念，渐近维数的博雷尔设置。我们证明了有限Borel渐近维数的可数Borel等价关系是超有限的，更一般地，我们证明了在一个温和的相容性假设下，增加工会等等价关系是超有限的。作为我们的主要定理的一部分，我们证明了一个大类的可解群，他们所有的自由Borel行动有有限的Borel渐近维数（和有限的动态渐近维数的情况下，连续行动的零维空间）。我们还提供了Borel色数，Borel和连续Folner平铺，拓扑动力学和$C^*$ -代数的应用。
On Borel Reducibility in Generalised Baire Space
本文研究了广义Baire空间$κ^κ$上Borel等价关系（包括某些轨道等价关系）的Borel约化，其中不可数$κ$具有性质$κ^{<κ}=κ$ .这个理论看起来与它的经典对应物$κ=ω$有很大的不同，尽管一些基本定理确实可以推广。
Borel equivalence relations and Lascar strong types
Lascar强型空间，在某种类型上，相对于给定的一阶理论T，一般不是紧的T2空间。本文至少有三个目的。第一个证明了Lascar强类型空间和其他相关空间，如Lascar群，具有定义良好的Borel基数。第二是计算已知例子以及一些新例子的Borel基数。第三是探索可定义映射，嵌入和同构这些和相关的商对象之间的概念。写这篇论文的动机是最近发现，通过可定义的群体，新的例子，非G紧一阶理论。
A counterexample regarding an equivalence relation on a product space
本文提出了一个反例，推翻了文献中关于乘积空间上Borel等价关系的猜想14.1.6。
Componentwise Polish groupoids and equivalence relations
本文研究带分量式波兰拓扑的Borel群胚，证明满足适当公理时其Borel等价于波兰群作用的作用群胚，并将结果推广到拟波兰情形及若干经典工具。
Definable expansions on countable groups and countable Borel equivalence relations
本文在描述组合学框架下研究可数 Borel 等价关系与可数群的可定义扩张，建立二者对应及测度、范畴结构定理，并通过生成树、Ramsey 单色集和偏序线性化等示例说明。
Hausdorff dimension and countable Borel equivalence relations
本文证明可数 Borel 等价关系可在满 Hausdorff 维数的闭集上光滑化，并将结论推广到局部可数 Borel 拟序与低阶尺度函数情形。
The universality of polynomial time Turing equivalence
证明了多项式时间图灵等价关系和计算复杂性理论中的一大类等价关系都是普适的可数Borel等价关系.然后，我们讨论了这些等价关系的不变博雷尔集上的超滤子，这些关系与马丁关于图灵度的超滤子有关。
Polish groupoids and functorial complexity
我们引入并研究了波兰广群的函子Borel复杂性的概念。这一概念的目的是衡量一个类别的对象分类的复杂性，在建设性和功能性的方式。在主群胚的特殊情况下，这样的概念与通常的等价关系的波莱尔复杂性相吻合。我们的主要结果是：一方面，对于具有本质树轨道等价关系的波兰群胚，函子Borel复杂性与相应轨道等价关系的Borel复杂性一致.另一方面，对于每一个可数等价关系$E$是不可树的，有波兰群胚具有不同的函子Borel复杂度都有$E$作为轨道等价关系。为了得到这样一个结论，我们把关于波兰群作用的描述集合论的一些基本结果推广到波兰群胚的作用上，回答了Arlan Ramsay的一个问题.其中包括Becker-Kechris关于Borel $% G $ -空间的可磨光性、泛Borel $G$ -空间的存在性以及Borel $G$ -空间与Borel轨道等价关系的刻画等结果。
Characterizing Borel Isomorphism Among Some Weakly Minimal Trivial Theories
本文刻画了某些弱极小平凡理论间的 Borel 同构关系，涵盖有限等价关系族及交叉等价关系的驯良扩张，并证明了后者的 Borel 复杂性二分法。
Universal countable Borel quasi-orders
近年来，描述集合论的许多工作都集中在自然分类问题的Borel复杂性上，特别是在Borel约简的拟序下研究可数Borel等价关系及其结构。按照Louveau和Rosendal研究解析等价关系的方法，我们研究可数Borel拟序。本文研究了泛可数Borel拟序，即关于Borel约化的可数Borel拟序高于所有其它可数Borel拟序。首先证明了存在一个泛可数Borel拟序，然后证明了几个可数Borel拟序是泛可数Borel拟序.一个重要的例子是描述集理论树上的嵌入关系。我们的主要结果表明，有限生成群的可嵌入性是一个普适的可数Borel拟序，回答了Louveau和Rosendal的一个问题.这直接意味着有限生成群的双嵌入性是一个泛可数Borel等价关系。同样的技巧也被用来证明可数群的可嵌入性是一个泛解析拟序。最后，我们证明了，直到Borel双约化，有连续的许多不同的可数Borel拟序对称的一个普遍的可数Borel等价关系。
On the complexity of the uniform homeomorphism relation between separable Banach spaces
在解析等价关系的Borel约化层次中，考虑了可分巴拿赫空间之间一致同胚关系的复杂性的判定问题.我们证明了完全$K_σ$等价关系是Borel可约的一致同胚关系，并且我们还确定了该关系在某些小类巴拿赫空间上的可能复杂性.此外，我们确定了巴拿赫空间之间的局部等价关系的精确复杂性，即它是用$K_σ$双可约的。最后，我们构造了一类相互一致同胚的巴拿赫空间，使得实数可数集的相等关系可Borel约化为该类上的同构关系.
Idealistic equivalence relations and the Lusin derivative
本文通过分析Lusin导数定义的树集合的Borel复杂度，证明了存在一个理想解析等价关系，其Borel类不逐类Borel同构于轨道等价关系，回答了Becker等人的问题。
Borel reducibility and symmetric models
本文将$S_\infty$的闭子群导出的Borel等价关系的研究与对称模型和弱选择原理的研究联系起来，并应用它证明了Hjorth-Kechris-Louveau（1998）的一个猜想.例如，我们证明了等价关系$\cong^\ast_{ω+1,0}$严格低于$\cong^\ast_{ω+1,<ω}$在Borel约简。根据Hjorth-Kechris-Louveau的结果，$\cong^\ast_{ω+1,<ω}$为$S_\infty$的作用所诱导的$Σ^0_{ω+1}$等价关系提供了不变量，而$\cong^\ast_{ω+1,0}$为$S_\infty$的交换闭子群的作用所诱导的$Σ^0_{ω+1}$等价关系提供了不变量.我们进一步应用这些技术来研究Friedman-Stanley跳跃。例如，我们发现一个等价关系$F$，Borel双可约与$=^{++}$，使$F\restriction C$不是Borel可约为$=^{+}$任何非贫乏集$C$。这回答了Zapletal的一个问题，该问题源于Kanovei-Sabok-Zapletal（2013）的结果。对于这些证明，我们分析了Monro（1973）提出的对称模型$M_n$、$n<ω$，并通过所有可数序数将其结构扩展到$ω$之上。这回答了Karagila（2019）的一个问题。
$F_σ$ equivalence relations and Laver forcing
在V.Kanovei，M. Sabok和J.Zapletal研究了Laver树上的Borel等价。本文证明了可约化为$ω$上的$F_σ$ $P$-理想所给出的$2^ω$上的等价关系的等价关系Borel可以规范化为完全等价关系或恒等关系.这有几个推论，例如银型二分法的拉沃理想和等价博雷尔约等价关系所给予的$F_σ$ $P$-理想。
Weyl-von Neumann Theorem and Borel Complexity of Unitary Equivalence Modulo Compacts of Self-Adjoint Operators
Weyl-von Neumann定理证明了Hilbert空间$H$上的两个有界自伴算子$A,B$是酉等价的模紧，即，对于某些酉$u\in \mathcal{U}(H)$和紧自伴算子$K$，当且仅当$A$和$B$具有相同的本质谱：$σ_{\rm{ess}}(A)=σ_{\rm{ess}}(B)$。在本文中，我们考虑在何种程度上可以（不）扩展到无界算子的描述集理论的Weyl-von Neumann的结果。我们表明，如果$H$是可分的无限维，有界自伴算子的等价关系是光滑的，而一般的自伴算子的等价关系包含一个密集的$G_δ$ -轨道，但不允许分类的可数结构。另一方面，显然相关的等价关系$A\sim B\Leftrightarrow \exists u\in \mathcal{U}(H)\ [u(A-i)^{-1}u^*-(B-i)^{-1}$是紧凑的]，是光滑的。各种Borel或co-analytic等价关系相关的自伴算子也被提出。
Applications of tree decompositions and accessibility to treeability of Borel graphs
本文提出Borel方式处理Borel图分支树分解的框架，引出可达性概念与可树化准则，证明相关Borel等价关系的测度可树化等结果，推广前人结论并给出性质(T)等价关系的图化限制。
Hyper-u-amenablity and Hyperfiniteness of Treeable Equivalence Relations
本文研究了可数 Borel 等价关系的超有限性，证明了树形、超 u-可 amenable 等价关系的超有限性，并探讨了相关条件下的等价关系性质。
Strong ergodicity around countable products of countable equivalence relations
本文研究可数Borel等价关系的可数积和Borel约简族中“紧上”的等价关系.证明了如果$E$相对于$μ$是强遍历的，则$E^\mathbb{N}$相对于$μ^\mathbb{N}$是强遍历的.我们回答了克莱门斯和考斯基关于他们最近定义的$Γ$ -跳转操作的问题，特别是表明，$\mathbb{Z}^2$ -跳转的$E_\infty$严格高于$\mathbb{Z}$ -跳转的$E_\infty$。本文研究了一种等价关系的概念，这种关系可以用无限序列的“可定义可数集”来分类。特别是，我们定义了一个有趣的例子，这样的等价关系是严格高于$E_\infty^\mathbb{N}$，严格低于$=^+$，是无法比拟的$Γ$ -跳跃可数等价关系。我们建立了对称模型下Borel等价关系之间强遍历性的一个刻画。证明，然后依赖于一个很弱的选择原则“每一个序列的$E$类承认一个选择序列”，为各种可数的博雷尔等价关系$E$的精细分析。
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