Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Faster approximation algorithms for computing shortest cycles on weighted graphs
给定一个具有非负边权的$n$ -点$m$ -边图$G$，$G$的围长是$G$中最短圈的权.对于任何图$G$多项式有界的整数权重，我们提出了一个确定性的算法，计算，在$\tilde{\cal O}(n^{5/3}+m)$时间，一个循环的重量至多两倍的周长$G$。我们的方法结合了一些新的见解，以前的近似算法这个问题（Lingas和Lundell，IPL'09; Roditty和Tov，TALG'13）与命中集为基础的方法，用于近似距离预言和追溯到（Thorup和Zwick，JACM'05）。然后，我们把我们的算法变成一个确定性的$(2+\varepsilon)$ -近似图与任意非负的边权重，在一个稍差的运行时间在$\tilde{\cal O}(n^{5/3}\log^{{\cal O}(1)}{(1/\varepsilon)}+m)$的价格。最后，如果我们坚持去除边数$m$的依赖性，我们可以将我们的算法转化为具有非负边权的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3})$ -时间随机$4$ -近似-假设邻接列表是排序的。结合上述基于命中集的方法，该算法可以去随机化，从而产生对于具有多项式有界整数权重的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3})$ -时间确定性$4$ -近似，以及对于具有非负边权重的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3}\log^{{\cal O…
2018-10-24 cs.DS
Linear-Time and Efficient Distributed Algorithms for List Coloring Graphs on Surfaces
1994年，Rumassen证明了每个可平面图都是5-列表可着色的。1995年，Rassen证明了围长至少为5的可平面图是3-列表可着色的。他的证明自然导致二次时间算法找到这样的着色。在这里，我们提供了第一个这样的线性时间算法来找到这样的着色。对于一个固定的曲面S，Rumassen在1997年证明了存在一个线性时间算法来决定一个嵌入在S中的图是否是5-可着色的，同样在2003年证明了一个围长至少为5的图是否是3-可着色的。使用双曲族的理论，作者和Thomas证明了列表着色存在这样的算法。Dvorak和Kawarabayashi实际上给出了一个$O(n^{O(g+1)})$ -时间算法来在n-顶点图中找到这样的着色（如果它们存在），其中g是曲面的欧拉亏格。在这里，我们提供了第一个这样的算法，其指数不依赖于属，事实上，我们提供了一个线性时间算法。1988年，Goldberg，Plotkin和Shannon给出了n-顶点可平面图的7-着色的$O(\log n)$循环确定性分布式算法。在2018年，Aboulker，Bonamy，Bousquet和Esperet在$O(\log^3 n)$轮中提供了6-着色n-顶点可平面图的确定性分布式算法。他们的算法实际上适用于6-列表着色。他们还提供了一个$O(\log^3 n)$轮算法的4列表着色三角形的可平面图。Mukhik和Mukhtar独立地获…
2019-11-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Near-Optimal Distributed Ruling Sets for Trees and High-Girth Graphs
TU Graz（格拉茨工业大学）；Aalto University（阿尔托大学）
本文提出在树和高环长图中寻找裁定集的近最优分布式算法，改进了现有算法并降低了裁定距离。
2026-04-02 cs.DC cs.DS
A Linear Time Algorithm for Computing Max-Flow Vitality in Undirected Unweighted Planar Graphs
图中边相对于两个固定顶点$s$和$t$之间的最大流的活力被定义为由于去除该边而导致的最大流值的减少。最大流生命力问题已经有效地解决了$st$ -平面图，但仍然开放的一般平面图。我们的结果第一次为一般平面图提供了一个最优解，尽管仅限于无权平面图的情况。
2022-04-22 cs.DS
Homomorphism bounds and edge-colourings of $K_4$-minor-free graphs
本文给出了奇围长$2k+1$的图是（至少）$2k+1$的$K_4$ -minor-free图类的一个充要条件，即允许任何这样的$K_4$ -minor-free图的一个同态.这产生了一个多项式时间算法来识别这样的边界。利用这个条件，我们首先证明了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图都与维数为$2k$的射影超立方体有一个同态.这支持了第三作者的一个猜想，该猜想推广了四色定理，并与Seymour关于平面图边着色的猜想等几个杰出的猜想有关。进一步证明了Kneser图$K(2k+1,k)$满足这些条件，从而暗示了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图恰好有分数色数$2+\frac{1}{k}$ .已知奇数围长$2k+1$的最小界必须至少有${k+2 \choose 2}$顶点，我们建立了阶$4k^2$的近似最优界。此外，我们还猜想奇围长$2k+1$的$K_4$ -minor-free图的分数色数和圆色数的上确界是由奇围长$2k+1$的一个上界得到的.如果是真的，这改善了，在同态顺序，较早的紧结果的循环色数的$K_4$ -小免费的图形。我们通过证明前几种情况来支持我们的猜想。最后，作为我们工作的应用，在注意到Seymour提供了一个计算$K_4$ -minor-free重图的边色数的公式之后，我们证明了在$K_4$ -minor-free正则重图的情况下可以得到更强的结果。
2018-01-30 cs.DS math.CO
Matching Cuts in Graphs of High Girth and H-Free Graphs
该研究解决了匹配割问题的20年公开难题，证明多个匹配割相关问题在高围长有界度二部图、特定无H图上是NP完全的，还得到完美匹配割在无H子图图上的完整复杂度分类。
2023-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Fast Distributed Algorithms for Girth, Cycles and Small Subgraphs
在本文中，我们给快速分布式图算法检测和上市的小子图，并计算或近似的围长。我们的算法通过多项式因子改进了现有技术，对于围长，我们得到了拥塞集团中加性+1近似的常数时间算法，以及CONGEST中精确计算的第一个参数化算法。在拥挤的集团，我们开发了一种技术，学习小的邻域，并将其应用到获得一个$O(1)$轮算法，计算周长只有一个加性+1错误。接下来，我们介绍了一种新的技术（分区树技术），允许有效地和确定性地列出任何子图的所有副本，改进了非稠密图的最新技术。我们给出了这种技术的两个应用：首先，我们表明，对于恒定的$k$，$C_{2k}$ -检测可以解决在$O(1)$轮拥塞集团，改善以前的工作，使用矩阵乘法和多项式轮复杂度。第二，我们证明了在无三角形图中，围长可以在时间上以多项式的速度精确计算，比一般图的最佳已知界要快。在CONGEST中，我们描述了一种新的方法来寻找周期，并将其应用在两个方面：首先，我们展示了一个快速的参数化算法周长与轮复杂度$\tilde{O}(\min(g\cdot n^{1-1/Θ(g)},n))$的任何周长$g$;第二，我们展示了如何找到小的偶数长度周期$C_{2k}$的$k = 3,4,5$在$O(n^{1-1/k})$轮，这是一个多项式的改善以前的运行时间。最后，利用我们改进的$C_6$ -freeness算法和Eden等人关于证明三角形-freeness下界的障…
2021-01-19 cs.DC cs.DS
Complexity of planar signed graph homomorphisms to cycles
研究了符号图的同态问题。符号图是一个无向图，其中每条边都有一个符号，正的或负的。符号图的一个重要概念是顶点的切换操作，即改变每个关联边的符号。图的同态是保持邻接的顶点映射;在有符号图的情况下，我们也保持边符号。符号图的特殊同态，称为s-同态，已被研究。在一个s-同态中，我们允许在映射之前，对源符号图执行任意数量的切换。这个概念已被广泛研究，最近得到了一个完整的复杂性分类（多项式或NP-完全）的s-同态到一个固定的目标有符号图。这样的二分法是不知道当我们限制输入图是平面的（甚至不为非符号图同态）。我们表明，决定是否（非签署）平面图承认一个同态的平方$C_t^2$的循环与$t\ge 6$，或循环集团$K_{4t/(2t-1)}$与$t\ge2$，是NP-完全问题。我们使用这些结果表明，决定是否一个平面签署图承认一个s-同态的不平衡的甚至循环是NP-完全的。（如果一个周期有奇数个负沿，则该周期是不平衡的）。我们推导出一个完整的复杂性二分法的平面s-同态问题的任何符号圈为目标。我们还研究了进一步的限制，涉及的最大程度和周长的输入有符号图。我们证明了平面s-同态问题，签署循环保持NP-完全的，即使是最大程度的输入~ $3$（除了不平衡的情况下$4$ -循环，我们证明了这一点的最大程度~ $4$）。我们还表明，对于一个给定的整数$g$，有符号的二分平面输入周长$g$的问题是平凡的或NP-完全的…
2019-07-09 cs.DM cs.DS math.CO
Efficient Enumeration of Dominating Sets for Sparse Graphs
图$G$的支配集$D$是一组顶点，使得$G$中的任何顶点都在$D$中，或者它的邻居在$D$中。图的最小控制集的计数是计数研究的中心问题之一，因为最小控制集的计数对应于最小超图断面的计数。然而，包括非最小控制集在内的控制集的计数问题却没有得到足够的重视。本文研究了稀疏图（退化图和大围长图）的控制集的计数问题，并提出了两个算法。第一个算法是在$O(n + m)$空间上，每解在$O(k)$时间内枚举$k$ -退化图的所有控制集，其中$n$和$m$分别是输入图的顶点数和边数.也就是说，该算法是最优的图具有常数退化，如树，平面图，$H$ -子自由图与一些固定的$H$。第二个算法在恒定的时间内枚举所有的控制集，每个解决方案的输入图围长至少为9。
2018-09-29 cs.DS
Quantum Approximate Optimization Algorithms for Maximum Cut on Low-Girth Graphs
本文研究QAOA及多角度QAOA在低围长扩展图（加性乘积图）上求解最大割问题，推导期望割分数迭代公式，并通过数值实验证明其性能优于最著名经典算法。
2025-02-08 cs.DS math.OC quant-ph
Computing Circle Packing Representations of Planar Graphs
圆填充定理指出，每个平面图都可以表示为一族内部不相交的圆的切线图。一个著名的推广是3连通平面图的原对偶圈填充定理。这些表示的存在在理论计算机科学和数学中有着广泛的应用;然而，算法方面却受到了相对较少的关注。在这项工作中，我们提出了一个算法的基础上凸优化计算的原始对偶圆包装表示的最大平面图，即三角剖分。这反过来又给出了一个算法，用于计算任何平面图的圆包装表示。这两种方法都需要$\widetilde{O}(n \log(R/\varepsilon))$预期的运行时间来产生一个解，该解是接近真实表示的$\varepsilon$，其中$R$是真实表示中最大和最小圆半径之间的比率。
2019-11-01 cs.CG cs.DS
Improved Outerplanarity Bounds for Planar Graphs
本文研究平面图外平面性，利用栅栏围长和直径给出改进的紧上界，并证明可在线性时间内构造达到上界的平面嵌入。
2024-07-05 cs.DM cs.DS
Computing k-Modal Embeddings of Planar Digraphs
给定一个平面有向图$G$和一个正偶数$k$，如果$G$的每个顶点至多与$k$对具有相反方向的连续边相关联，则$G$在平面中的嵌入是k-模态的，即，通过嵌入至多k组具有相同方向的连续边，将每个顶点处的进入边和离开边分组。本文研究了平面有向图的$k$ -模态问题，它要求平面有向图存在$k$ -模态嵌入.这个组合问题是平面有向图和平面簇网络的各种约束嵌入问题的核心。
2019-07-02 cs.CG cs.DS
On Computing the Distinguishing Numbers of Planar Graphs and Beyond: a Counting Approach
图G的一个顶点k-标号是可区别的，如果唯一保持图G标号的自同构是单位映射。G的可区别数D（G）是G有可区别k-标号的最小整数k。本文利用容斥原理，给出了计算图的不等价可区别k-标号个数的递归公式。在此基础上，我们证明了可平面图的可区别数可以用图的大小的时间多项式来计算。
2007-03-30 cs.DS math.CO
Computing the inverse geodesic length in planar graphs and graphs of bounded treewidth
图$G$的逆测地线长度是图$G$的所有不同顶点对之间的距离的倒数之和。在某些领域，它被称为Harary指数或图的全局有效性。我们表明，如果$G$是平面的，并有$n$顶点，那么逆测地线长度的$G$可以计算在大约$O(n^{9/5})$时间。我们还表明，如果$G$有$n$顶点和树宽最多$k$，那么逆测地线长度的$G$可以计算在$O(n \log^{O(k)}n)$时间。在这两种情况下，我们使用的技术开发的计算距离的总和，它没有“逆”的组成部分，连同批量评估的合理功能。
2021-11-17 cs.CG cs.DS
A tree-decomposed transfer matrix for computing exact Potts model partition functions for arbitrary graphs, with applications to planar graph colourings
结合树分解和转移矩阵技术提供了一个非常通用的算法来计算定义在任意图上的统计模型的精确配分函数。该算法是特别有效的平面图的情况下。我们说明它通过计算Potts模型配分函数和色多项式（适当的顶点着色使用Q颜色的数量）的随机平面图的大样本高达N=100顶点。在后一种情况下，我们的算法产生一个次指数平均运行时间~ exp（1.516 sqrt（N）），一个显着的改善指数运行时间~ exp（0.245 N）提供了迄今为止最知名的算法。我们研究了随机平面图的色根的统计在一定程度上的细节，比较的结果与有限块的一个规则格。
2010-08-06 cond-mat.stat-mech cs.DS math-ph
Voronoi diagrams on planar graphs, and computing the diameter in deterministic $\tilde{O}(n^{5/3})$ time
给出了平面图上加权沃罗诺伊图的一个显式有效构造。设$G$是一个平面图，它有$n$顶点和$b$位点，这些位点位于常数个面上.我们展示了如何在$\tilde O(nb^2)$时间内对$G$进行预处理（脚注：$\tilde O$表示法隐藏了多对数因子。）从而可以在$\tilde O(b)$时间内计算这些位点任何加性加权Voronoi图。我们使用这种结构来计算直径的有向平面图的实弧长在$\tilde{O}(n^{5/3})$时间。这改进了Cabello（SODA'17）最近的突破性结果，既通过改进运行时间（来自$\tilde{O}(n^{11/6})$），又通过提供确定性算法。它实际上是第一个真正的次二次{ \em确定性}算法这个问题。我们使用沃罗诺伊图来计算直径的方法与Cabello的方法相同，但他使用的是抽象的沃罗诺伊图，这使得他的直径算法更复杂、更昂贵、更随机。与Cabello的工作一样，我们的算法可以为每个顶点PDMATHBMV计算距离PDMATHBMV最远的顶点（即，$v$的偏心率），以及从$v$到所有其它顶点的距离之和。因此，我们的算法也可以计算半径，中位数和维纳指数（所有成对距离的总和）的平面图在相同的时间范围内。我们的平面图的沃罗诺伊图的建设是独立的利益。
2020-06-24 cs.CG cs.DS
Efficient Algorithms for Computing Rational First Integrals and Darboux Polynomials of Planar Polynomial Vector Fields
给出了计算平面多项式向量场有界次数有理首次积分的快速算法。我们的方法受到了Ferragut和Giacomini的启发。我们改进他们的工作，证明合理的第一积分可以计算通过系统的线性方程组，而不是系统的二次方程。这导致了一个概率算法与算术复杂性$\bigOsoft(N^{2 ω})$和一个确定性算法解决问题的$\bigOsoft(d^2N^{2 ω+1})$算术运算，其中$N$表示给定的界限的程度的合理的第一个积分，其中$d \leq N$是程度的向量场，和$ω$指数的线性代数。我们还提供了一个快速的启发式的变种，计算一个合理的第一个积分，或失败，在$\bigOsoft(N^{ω+2})$算术运算。通过比较，最好的先前算法至少使用$d^{ω+1}\, N^{4ω+4}$算术运算。然后，我们将展示如何应用类似的方法来计算达布多项式。该算法在Maple软件包中实现，可供感兴趣的读者使用，并举例说明其效率。
2013-10-10 cs.DS cs.SC math.CA
