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平面图外平面性的改进上界

Improved Outerplanarity Bounds for Planar Graphs

Therese Biedl, Debajyoti Mondal

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AI总结：

本文研究平面图外平面性，利用栅栏围长和直径给出改进的紧上界，并证明可在线性时间内构造达到上界的平面嵌入。

摘要：

在本文中，我们研究平面图的外平面性，即在一个可以初始自由选择的平面嵌入中，我们必须移除外面顶点直到图为空所需的次数。众所周知，存在具有外平面性 $\tfrac{n}{6}+Θ(1)$ 的 $n$ 顶点图，并且不难证明外平面性不可能更大。我们在此给出形式为 $\tfrac{n}{2g}+2g+O(1)$ 的改进上界，其中 $g$ 是栅栏围长，即两侧都有顶点的最短圈的长度。该参数 $g$ 至少等于图的连通度，并且通常更大；例如，我们的结果蕴含平面二部图具有外平面性 $\tfrac{n}{8}+O(1)$。我们还证明平面图 $G$ 的外平面性至多为 $\tfrac{1}{2}$diam$(G)+O(\sqrt{n})$，其中 diam$(G)$ 是图的直径。我们所有的上界在低阶项意义下都是紧的，并且可以在线性时间内找到一个达到该外平面性上界的平面嵌入。

英文摘要：

In this paper, we study the outerplanarity of planar graphs, i.e., the number of times that we must (in a planar embedding that we can initially freely choose) remove the outerface vertices until the graph is empty. It is well-known that there are $n$-vertex graphs with outerplanarity $\tfrac{n}{6}+Θ(1)$, and not difficult to show that the outerplanarity can never be bigger. We give here improved bounds of the form $\tfrac{n}{2g}+2g+O(1)$, where $g$ is the fence-girth, i.e., the length of the shortest cycle with vertices on both sides. This parameter $g$ is at least the connectivity of the graph, and often bigger; for example, our results imply that planar bipartite graphs have outerplanarity $\tfrac{n}{8}+O(1)$. We also show that the outerplanarity of a planar graph $G$ is at most $\tfrac{1}{2}$diam$(G)+O(\sqrt{n})$, where diam$(G)$ is the diameter of the graph. All our bounds are tight up to smaller-order terms, and a planar embedding that achieves the outerplanarity bound can be found in linear time.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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