A small generating set for the twist subgroup of the mapping class group of a non-orientable surface by Dehn twists
本文给出了可定向曲面的映射类群的扭曲子群的小生成集。生成元的个数与德恩扭群的生成元个数的下界之差为1。从Hirose [5]的一个论证中得到了它的下界。
2016-11-02 math.GR math.GT
On the Volume Conjecture for hyperbolic Dehn-filled $3$-manifolds along the figure-eight knot
使用Ohtsuki的方法，我们证明了渐近膨胀猜想和体积猜想的Reshetikhin-Turaev和Turev-Viro不变量的所有双曲$3$-流形做一个Dehn手术沿图-$8$结。
2022-02-12 math-ph math.GT math.MP
On squares of Dehn twists about non-separating curves of a non-orientable closed surface
可定向闭曲面的层次$2$映射类群可以由非分离曲线的Dehn扭曲的平方生成。另一方面，不可定向闭曲面$N_g$的水平$2$映射类群$\mathcal{M}_2(N_g)$不能仅由Dehn扭曲生成，因此它不能由关于非分离曲线的Dehn扭曲的平方生成.本文证明了$\mathcal{M}_2(N_g)$的Dehn扭子群也不能由关于非分离曲线的Dehn扭的平方生成。作为应用，我们给出了关于分离曲线的Dehn扭生成的$\mathcal{M}_2(N_g)$子群和关于非分离曲线的Dehn扭的平方生成的$\mathcal{M}_2(N_g)$子群的有限生成集.此外，我们还研究了$\mathcal{M}_2(N_g)$对$N_g$的非分离简单闭曲线的作用。
2023-03-09 math.GR math.GT
On roots of Dehn twists
Margalit和Schleimer构造了关于非分离曲线的Dehn扭曲的非平凡根。证明了在一定条件下，非分离曲线的Dehn扭的根的共轭类与周期映射的共轭类相对应。其次，给出了确定根的共轭类的数据集。因此，我们可以找到最小度和最大度，并证明该度必须是奇数。并给出了三次根的Dehn扭表达式。
2009-12-17 math.GR math.GT
Stable commutator length of a Dehn twist
证明了映射类群中Dehn扭的稳定换位子长度为正，且关于非分离简单闭曲线的Dehn扭的10次方是两个换位子的乘积.作为应用，给出了德恩捻增长率是线性增长的新证明。
2003-07-09 math.GR math.GT
Subgroups of the mapping class group of the torus generated by powers of Dehn twists
研究了由Dehn扭的幂生成的幂生成的环面的映射类群的子群。利用乒乓引理给出了一个判别条件，证明了幂的集合Dehn twists生成自由群.证明了由Dehn扭的三个一致幂生成的子群可以是整个映射类群，也可以是秩为2的自由群与秩为2的循环群的直积，或者是秩不超过3的自由群.我们的特点所产生的一个集合（分别平方）德恩扭曲的子群，如果有一对之间，使相应的简单闭曲线的几何相交数是两个（分别为一个）。我们还确定了所有Dehn扭转的均匀幂所生成的子群。
2019-09-16 math.GR math.GT
On stable commutator lengths of Dehn twists along separating curves
给出了定向闭曲面的映射类群中Dehn twist沿分离曲线的稳定换位子长度的新的上界。这些上界的估计是$O(1/g)$，其中$g$是曲面的亏格。
2016-06-28 math.GR math.GT
Fully irreducible Automorphisms of the Free Group via Dehn twisting in $\sharp_k(S^2 \times S^1)$
利用$\sharp_k(S^2 \times S^1)$中几何Dehn扭的概念，证明了当两个$\mathbb{Z}$ -分裂到自由因子复形的投影在自由因子复形中彼此足够远时，对应于$\mathbb{Z}$ -分裂的Dehn扭自同构生成秩为$2$的自由群.此外，这个自由群的每个元素要么共轭于一个Dehn扭的幂，要么是这个自由群的完全不可约外自同构。我们还证明了，当投影到交图，同一组的Dehn扭曲产生atoroidal完全不可约自同构。
2016-06-25 math.GR math.GT
Fox pairings and generalized Dehn twists
在群代数中引入Fox对的概念，并利用Fox对定义群的Malcev完备化的自同构.这些自同构推广到代数设置的德恩扭曲的行动，在群代数的基本群的表面。这项工作的灵感来自于Kawazumi-Kuno将Dehn扭曲推广到曲面上的非简单闭曲线。
2012-06-15 math.AT math.GT
Left-orderability and exceptional Dehn surgery on twist knots
我们表明，任何特殊的非平凡的Dehn手术的扭曲结，除了三叶草，产生一个3-流形的基本群是左序。这是Clay，Lidman和Watson的一个结果的推广，也为Boyer，Gordon和Watson的一个猜想提供了新的支持证据。
2011-09-14 math.GR math.GT
Left-orderable fundamental group and Dehn surgery on twist knots
对于任意的三维球面上的双曲扭纽结，如果$r$的斜率满足不等式$0\le r \le 4$，则对纽结进行$r$ -手术所得到的流形具有左序基本群.
2012-12-27 math.GR math.GT
Optimistic calculations about the Witten--Reshetikhin--Turaev invariants of closed three-manifolds obtained from the figure-eight knot by integral Dehn surgeries
我计算了由8字形纽结通过p-外科手术得到的三流形的WRT SU（2）不变量的乐观渐近行为，其中p= 0，1，2，. 10，从中可以提取体积和陈-西蒙斯不变量的这些闭流形。我猜想这也适用于一般的闭三元流形。
2000-05-31 math.GT
Centralisers of Dehn twist automorphisms of free groups
我们改进了Cohen和Lustig关于自由群的Dehn扭的中心化器的描述。我们证明了自由群的Dehn扭的中心化子有一个有限指数的子群，它有一个有限的分类空间。我们描述了一种算法来找到一个介绍的集中器。我们用这个算法给出了Aut（F_n）中Nielsen自同构的中心化子的一个显式表示。这就限制了Aut（F_n）在CAT（0）空间上的作用.
2014-11-05 math.GR math.GT
The logarithms of Dehn twists
通过在具有一个边界分支的紧致定向曲面上引入一个环的不变量，给出了Dehn扭在曲面的基本群的完备群环上的作用的一个显式公式.这个不变量可以被认为是德恩扭曲的“符号”。该公式推广了经典的关于曲面的第一同调作用的公式，以及Morita关于扩展的第一和第二Johnson同态的显式计算。对于证明，我们使用的同调解释的高盛李代数的框架内Kontsevich的正式辛几何。作为应用，我们证明了简单闭曲线的Dehn扭曲对曲面基本群的$k$次幂零商的作用仅取决于曲线在$k$次商中的共轭类.
2010-08-30 math.AT math.GT
Reidemeister torsion and Dehn surgery on twist knots
我们计算了$S^3$中扭结的补的Reidemeister挠率和对扭结进行Dehn手术得到的3-流形的Reidemeister挠率。
2015-06-09 math.GT
Dehn twist--crosscap slide presentations for involutions on non-orientable surfaces of genera up to 5
我们给德恩扭曲-crosscap幻灯片演示对合的非可定向曲面的一般多达5。
2023-03-18 math.GT
Dynamics of Dehn Twists in the Outer Automorphism Group of a Free Group
Institute of Mathematical Sciences Chungnam National University（忠南国立大学数学科学研究所）
研究有限生成非交换自由群外自同构群中的Dehn扭转，证明在兼容条件下，有限多个Dehn扭转的足够大幂次生成右角Artin群，并建立bigon-bihedron准则和交换条件。
2026-08-12 math.GR math.GT
Groups Generated by Powers of Dehn Twists
我们对由2个德恩扭曲的幂生成的群进行分类，这些群是1）自由的或2）没有“意外”的可约元。对于由两个以上扭的幂生成的群，我们给出了一些充分条件。
1998-09-28 math.GT
Fractional Dehn twists and modular invariants
本文建立了黎曼曲面自同构的分数阶Dehn扭系数与全纯代数曲线族的模不变量之间的关系。特别地，我们给出了具有非平凡分数阶Dehn扭系数的伪周期映射的一个刻画。我们还得到了非零分数阶Dehn扭转系数的一致下界。
2020-06-22 math.AG math.GT
Factoring periodic maps into Dehn twists
设$\text{Mod}(S_g)$是亏格为$g \geq 1$的闭可定向曲面$S_g$的映射类群。在本文中，我们开发了各种方法，因式分解周期映射类到德恩扭曲，共轭。作为应用程序，我们开发的方法因式分解某些根的德恩曲折的话德恩曲折。我们还将证明$4g$和$4g+2$阶周期映射的共轭的存在性，对于$g\geq 2$，其积是伪Anosov。
2022-06-24 math.GT
Parity criterion and Dehn twists for unstabilized Heegaard splittings
给出了Heegaard图的一个宇称条件，证明了它是不稳定的.这改进了[5]的结果。作为应用，我们在任意给定的Heegaard分裂上利用Dehn扭曲构造了不稳定的Heegaard分裂.
2009-03-03 math.GT
Products of Positive Dehn-twists on Surfaces
给定可定向闭曲面的3孔球面分解，证明了该曲面的每个保持定向的同胚与合成AB是同位素的，其中A是分解曲线上正Dehn扭曲的积，B是负Dehn扭曲的积。
1999-05-21 math.GT math.SG
On the order of Dehn twists
这个笔记记录了在一系列拓扑上有意义的群中高维德恩扭曲的顺序。
2022-06-22 math.GT math.SG
Roots of Dehn twists on nonorientable surfaces
Margalit和Schleimer观察到可定向曲面上的Dehn扭曲有非平凡根。研究亏格为g的不可定向曲面N_g的映射类群M（N_g）中关于不可分离圆c的Dehn扭t_c的根问题.我们探讨根的存在，并按照麦卡洛，Rajeevsarathy和Monden的工作，给一个简单的算术描述他们的共轭类。我们还研究了极大次根，证明了如果固定一个奇数n>1，则对任意充分大的g，t_c在M（N_g）中有一个n次根.此外，对于任意可能的次数n，我们给出了N_g中关于非分离圆的一类特殊的Dehn twists根的显式表达式.
2017-08-14 math.GN math.GR math.GT
On mapping class group quotients by powers of Dehn twists and their representations
本文的目的是综述关于映射类群的Dehn扭幂映射的有限维表示的一些已知结果，并提出一些未解决的问题。人们可以构造它们的有限个等价物，从Zebraki稠密像的表示到半单李群中。我们表明，在亏格2，斐波那契TQFT表示实际上是一个特殊化的琼斯表示。最后，我们解释了一种方法，长期和穆迪提供了大家庭的映射类群表示。
2021-05-20 math.GR math.GT
An algebraic characterization of a Dehn twist for nonorientable surfaces
设$N_g^k$是亏格为\ $g\geq 5$ \的不可定向曲面，具有\ $k$ -穿刺.本文给出了$N_g^k$上关于简单闭曲线的Dehn扭的代数刻划。一路上，我们将填补一些小的差距，在\cite{A}和\cite{I1}的一些定理的证明给出代数特征的Dehn扭曲分离简单闭曲线。实际上，我们的结果将给出分离简单闭曲线的Dehn扭的拓扑型的代数刻画。
2016-03-11 math.GT
Anosov flows on Dehn surgeries on the figure-eight knot
本文的目的是分类Anosov流的3-流形上的Dehn手术上的数字8结。这组三维流形记为M（r）（r为有理数），它包含了Goodman发现的历史上第一类允许Anosov流的双曲三维流形。结合Plante对溶胶流形M（0）上Anosov流的分类，我们得到：1。若r为整数，在拓扑等价下，M（r）上存在唯一的Anosov流，该Anosov流是Goodman通过对一个悬浮Anosov流进行Dehn-Fried-Goodman手术构造的; 2.如果r不是整数，则M（r）不携带任何Anosov流。作为第二个结果的结果，我们得到了无穷多个闭的可定向双曲3-流形，它们带有绷紧的叶理，但不带有任何Anosov流。证明中的基本工具是由Schwider建立的分支曲面集，它用于在M（r）上进行基本层积。
2021-04-07 math.DS math.GT
Positive Dehn Twist Expression for a $\mathbb{Z}_3$ action on $Σ_g$
给出了二维紧致有向闭曲面$Σ_g$上具有$g+2$不动点的$\mathbb{Z}_3$作用的正Dehn扭积.计算得到的辛4-流形的同胚不变量。
2008-08-06 math.GT
Floer Homology and Fractional Dehn Twists
建立了Heegaard弗洛尔同调与曲面自同构的分数阶Dehn扭曲系数之间的关系。具体而言，我们表明，Heegaard弗洛尔同调的3-流形的秩界的分数德恩扭曲系数的单值的任何其开卷分解与连接绑定的绝对值。我们证明了这一点表明，秩的弗洛尔同调给出边界平行的右或左德恩扭曲必要添加到一个表面的自同构，以保证相关的接触流形是紧或overtwisted，分别界限。通过检查分支的双重覆盖，我们还表明，一个链接的Khovanov同源性的秩的边界分数德恩扭曲系数的奇链辫子的代表。
2015-01-06 math.GT
Dehn twists on Kauffman bracket skein algebras
本文给出了紧连通定向曲面中沿简单闭曲线的Dehn扭曲对滤波skein模完备化的作用的显式公式。为此，我们引入了曲面上的Kauffman括号skein代数和Kauffman括号skein模的滤子。
2016-07-19 math.GT
The logarithms of Dehn twists on non-orientable surfaces
引入了一个与非可定向曲面相关联的李代数，它是定向曲面的Goldman李代数的一个类似.作为应用，我们推导出了Kawazumi-Kuno和Masseyeau-Turaev关于曲面上环形简单闭曲线的Dehn扭曲的显式公式。
2014-05-09 math.GT
Roots of Dehn twists about multicurves
定义闭可定向曲面上的\textit{multicurve} $\C$为不相交的非同位素本质简单闭曲线的有限集合。关于$\C$的Dehn扭曲$t_{\C}$是关于各个曲线的Dehn扭曲的乘积。本文给出了这样的Dehn扭的根存在的充要条件，即同胚$h$使得$h^n = t_{\C}$ .我们给组合数据，对应于这样的根，并用它来确定上界$n$。最后，我们分类所有这些根共轭曲面的亏格3和4。
2015-06-04 math.GT
Generalized Dehn twists in low-dimensional topology
定向曲面中沿闭曲线的广义Dehn扭曲是一个代数构造，它涉及曲面中回路的相交。它被定义为曲面的基本群的Malcev完备化的自同构。顾名思义，对于曲线没有自相交的情况，它是由沿着曲线的通常Dehn扭曲引起的。在这篇简要的文章中，在解释了它们的定义，我们回顾了几个结果，广义Dehn扭曲，如它们的可实现性作为曲面的仿射，其图形描述的装饰树和Hopf代数框架下，他们的建设。到三维，我们还概述了广义Dehn扭曲和$3$维同调配边之间的关系，我们调查的变形广义Dehn扭曲的绞代数的表面。
2019-09-20 math.GT
Dehn filling Dehn twists
令$Σ_{g,p}$为具有$p$穿刺的亏格-$g$定向表面，具有$g>0$或$p>3$。我们证明了$MCG(Σ_{g,p})/DT$是非圆柱双曲的，其中$DT$是映射类群$MCG(Σ_{g,p})$的正规子群，它是由$K^{th}$关于$Σ_{g,p}$中曲线的Dehn扭曲的幂生成的.此外，我们表明，在低复杂性$MCG(Σ_{g,p})/DT$实际上是双曲的。特别地，对于$3g-3+p\leq 2$，我们证明了映射类群$MCG(Σ_{g,p})$是完全剩余的非初等双曲的，并且在某些$L^q$空间上允许具有无界轨道的仿射等距作用。此外，如果每个双曲群是剩余有限的，则$MCG(Σ_{g,p})$的每个凸余紧子群是可分的。上述结果遵循从一般定理复合旋转家庭，来自一个收集的子群顶点稳定的行动组$G$的双曲图$X$。我们给出的条件，确保图$X/N$再次双曲和各种性质的$G$的行动$X$持续的行动$G/N$的$X/N$。
2018-12-23 math.GR math.GT
Positive Dehn Twist Expressions for Some Elements of Finite Order in the Mapping Class Group
本文给出了二维紧致有向闭曲面$Σ_g$的映射类群中有穷级元素的正Dehn扭积，它是$Σ_g$到$2π/p$的旋转.计算了所得到的单连通辛4-流形的同胚不变量。
2005-01-22 math.GT
Positive Dehn Twist Expressions for some New Involutions in the Mapping Class Group II
给出了数学GT/0404310中描述的新对合的推广的正Dehn扭表达式。同胚类型的Lefschetz纤维化，他们定义的几个例子确定。
2004-04-19 math.GT math.SG
Generating the spin mapping class group by Dehn twists
设f是亏格g>3的闭曲面S上的Z/2 Z-自旋结构。在S的由Dehn扭构成的映射类群中，确定了f关于S中一个2g+1曲线集的稳定子的生成集。如果g=3，则我们还确定了由Dehn扭曲组成的奇Z/2 Z自旋结构关于6条曲线集合的稳定子的生成集。
2021-06-10 math.GT
Generalized Dehn twists on surfaces and homology cylinders
设$Σ$是一个紧致定向曲面。沿着每一条简单闭曲线$γ\subset Σ$的Dehn扭曲导致$Σ$的基本群$π$的自同构。如果允许曲线$γ$有自相交，有两种可能的方法来推广这样的自同构。一种方法是考虑沿$γ$的“广义Dehn扭曲”：$π$的Malcev完备的自同构，其定义涉及交集运算，并且仅依赖于$γ$的同伦类$[γ]\in π$。另一种方法是在通常的圆柱体$U:=Σ\times [-1,+1]$中选择一个投影到$γ$上的结$L$，沿着$L$进行一个外科手术，以得到一个同调圆柱体$U_L$，并让$U_L$作用于$π$的每个幂零商$π/Γ_{j} π$（其中$Γ_jπ$表示由长度为$j$的商生成的$π$的子群）。在本文中，假设$[γ]$是在$Γ_k π$的一些$k\geq 2$，我们证明了（无论$L$的选择是）的自同构的$π/Γ_{2k+1} π$诱导$U_L$同意的广义Dehn扭曲沿$γ$和我们明确地计算这个自同构的$[γ]$模${Γ_{k+2}}π$。作为应用，我们获得新的公式，某些评价的约翰逊同态显示，特别是，如何实现任何元素的目标，由一些明确的同源缸和/或广义德恩扭曲。
2020-06-15 math.AT math.GT
On Torelli groups and Dehn twists of smooth 4-manifolds
本文证明了Gay关于$S^4$光滑映射类群结果的推广，并给出了Saeki工作推论的替代证明，即单连通闭光滑4-流形沿边界球面的Dehn扭转在与足够多份$S^2\times S^2$取连通和后平凡。
2024-12-20 math.AT math.GT
Knot Floer homology of boundary Dehn twists
Michigan State University（密歇根州立大学）
本文证明纽结Floer复形及翻转映射限制可确定Borromean纽结$\pm 1$手术的对偶纽结，进而表明Heegaard Floer同调能检测边界Dehn扭转。
2026-09-14 math.GT
Fractional Dehn twist coefficients and rank bounds for categorified link invariants
Princeton University（普林斯顿大学）；Brooklyn College（布鲁克林学院）
该研究给出分层纽结不变量秩的两个新下界，分别对应纤维纽结的纽结弗洛尔同调和辫子闭包的环形霍万诺夫同调，核心技术是确定纤维纽结单值群添加边界Dehn扭转时的同调行为。
2026-08-07 math.GT
The Torsion Generating Set Of The Dehn Twist Subgroups Of Non-orientable Surfaces
设$N_g$是亏格为$g$的不可可定向曲面，$\text{MCG}(N_g)$是$N_g$的映射类群，$\mathcal{T}(N_g)$是由$\text{MCG}(N_g)$的所有Dehn扭曲生成的指数为2的子群.证明了对于奇亏格，$\mathcal{T}(N_g)$可以由三个有穷级元生成.
2018-11-19 math.GT
On the commutator length of a Dehn twist
我们证明了在亏格至少为7的不可定向曲面上，Dehn扭曲的任何幂都等于映射类群中的单个交换子，在附加的假设下，对于扭曲子群也是如此，对于亏格至少为3的可定向曲面的扩展映射类群也是如此。
2010-07-05 math.GT
Presentation of finite subgroups of mapping class group of genus 2 surface by Dehn twists
本文给出亏格为2的闭曲面的映射类群的所有有限子群在共轭下的Humphries生成元表示。
2017-03-28 math.GT
On the fractional Dehn twist coefficients of branched coverings
我们讨论了分数阶Dehn扭系数在开书的完全分歧分支覆盖下的行为，并给出了它在拓扑和切触3-流形上的应用。其中，我们表明，非右转向封闭的辫子几乎松散的横向联系。
2018-07-12 math.GT
Subgroups generated by two Dehn twists on a nonorientable surface
设a和b是可定向曲面S上的两条简单闭曲线，使得它们的几何相交数大于1。已知由相应的Dehn扭t_a和t_b生成的群同构于秩为2的自由群。本文将这一结果推广到不可定向曲面的情形。
2016-08-17 math.GT
Cofinal elements and fractional Dehn twist coefficients
本文证明边界平行 Dehn 扭转在单边界正亏格曲面映射类群的任一左序中共尾，并据此说明高亏格时分数 Dehn 扭转系数不依赖于实数作用，还给出由任意左序恢复该系数的公式。
2023-08-18 math.DS math.GR math.GT
Open books for Boothby-Wang bundles, fibered Dehn twists and the mean Euler characteristic
我们把具有纤维状德恩螺旋的力量的打开的书作为单值性来考察。由此产生的接触流形可以被认为是辛轨道上的Boothby-Wang轨道丛。利用等变辛同调的平均欧拉示性数，我们可以区分这些切触流形，从而证明某些纤维Dehn扭与相对于边界的恒等式不是辛同位素的.这补充了Biran和Giroux的结果。
2012-11-01 math.GT math.SG
Signatures of surface bundles and stable commutator lengths of Dehn twists
本文的第一个目的是给出四类非零特征曲面上的曲面丛的例子。第一个示例是基本亏格2、规定的签名、0-部分和纤维亏格大于某个数字，该数字取决于签名。这提供了一个新的上界的最小基亏格固定签名和纤维亏格。第二个定理在纤维亏格为奇数的情况下给出了这个数的一个新的渐近上界。第三种是小欧拉示性数。最后是一个非全纯的例子。第二个目的是通过将Dehn扭的幂分解为交换子的乘积来改进Dehn扭的稳定交换子长度的上界。其中的一个因子分解被用来构造曲面丛的第二个例子。作为推论，当曲面的亏格大于或等于8时，在映射类群中与在超椭圆映射类群中沿非分离曲线的Dehn扭的稳定交换子长度之间存在着差距.
2018-04-05 math.GR math.GT math.SG
The Dehn twist on a sum of two K3 surfaces
鲁伯曼给出了第一个例子的自我construomorphisms的四个流形是同位素的身份在拓扑范畴，但不顺利。我们给出了这种现象的另一个例子，使用德恩扭曲沿3-球在两个K3曲面的连接和。
2020-01-29 math.DG math.GT
A note on the boundary Dehn twist of $K3$ surfaces
本文针对带孔K3曲面的边界Dehn扭转，证明其在光滑映射类群阿贝尔化后平凡，证明依托Baraglia-Konno的Spin^C族障碍与K3曲面整体Torelli定理。
2025-06-12 math.GT
Exotic Dehn twists and homotopy coherent group actions
本文研究将光滑4-流形边界上的同伦相干有限循环群作用延拓至内部的问题，并证明沿任意Seifert同调球面（3-球面除外）在单连通正定填充上的Dehn扭转具有无限阶奇异性。
2024-09-26 math.GT
Growth Rate Of Dehn Twist Lattice Points In Teichmüller Space
Athreya，Bufetov，Eskin和Mirzakhani证明了Teichmüller空间中与半径为$R$的闭球相交的映射类群格点的个数渐近于$e^{hR}$，其中$h$是Teichmüller空间的维数。与此相反，我们表明Dehn扭曲格点相交半径$R$封闭球的数量是粗略渐近$e^{\frac{h}{2}R}$。此外，我们还证明了与半径为$R$的闭球相交的多扭格点的数目至少以$R \cdot e^{\frac{h}{2}R}$的速率粗增长。
2021-05-18 math.GT
Homeomorphisms which are Dehn twists on the boundary
3-流形M的同胚称为边界上的Dehn twists，当它对M边界的限制与M边界上不相交的简单闭曲线集合的补上的恒等式是同位素的.在本文中，我们给出了各种结果，这样的曲线集和相关的同胚。特别地，如果M是紧的，可定向的，不可约的，且M的边界是一个单环面，且M允许一个同胚在M的边界上是一个非平凡的Dehn扭，则M必是一个实环面.
2009-04-23 math.GT
