An Exponential Separation Between Randomized and Deterministic Complexity in the LOCAL Model
在过去的30年中，许多算法已经被设计用于对称破缺问题的模型，如最大匹配，MIS，顶点着色，边着色。对于大多数问题，最好的随机算法至少比最好的确定性算法快指数。在本文中，我们证明了这些指数差距是必要的，并建立了确定性和随机化的复杂性之间的联系，在ESTA模型。每个结果都有一个非常引人注目的信息：1。快速$Δ$ -树的着色需要随机位：基于Brandt等人最近的下界，本文证明了对任意$Δ\ge 3$，用最大度$Δ\ge 55$对树进行$Δ$着色的随机复杂性为$Θ(\log_Δ\log n)$，而确定复杂性为$Θ(\log_Δn)$。这也建立了$Δ$ -着色和$(Δ+1)$ -着色树的确定性复杂性之间的大分离。2.随机下界意味着确定性下界：我们证明，任何确定性算法的一个自然类的问题，在$O(1)+o(\log_Δn)$轮运行可以转换为运行在$O(\log^*n-\log^*Δ+1)$轮。如果变换后的算法违反了一个下限（甚至允许随机化），那么可以得出结论，该问题需要$Ω(\log_Δn)$时间确定性。3.确定性下界意味着随机下界：我们证明了任何自然问题的大小$n$的实例的随机复杂性至少是其确定性复杂性的大小$\sqrt{\log n}$的实例。这表明，任何问题的确定性$Ω(\log_Δn)$下限意味着随机$Ω(\log_Δ\log n)$下限。它还说明了图粉碎技术是必不可少的，以保证模型。
2016-04-06 cs.CC cs.DC cs.DS
Tight Bounds for Online Coloring of Basic Graph Classes
我们解决了在线图着色中一些长期存在的问题。更具体地说，我们开发的基本图形类的在线算法的性能上紧的下限。一个重要的贡献是，我们的界限也举行随机在线算法，其中几乎没有任何结果是已知的。从技术上讲，我们构造弦图的下界。的建设，然后让我们得到以下进一步的图形类的随机在线算法的性能结果：树，平面，二分，归纳，有界树宽和磁盘图。结果表明，确定性算法和随机在线算法的最佳竞争比均为$Θ(\log n)$，其中$n$为图的顶点数.此外，我们证明，这种保证不能得到改善，如果一个在线算法有一个前瞻性的大小$O(n/\log n)$或访问一个重排序缓冲区的大小$n^{1-ε}$，任何$0<ε\leq 1$。我们的研究结果的一个后果是，除了二分图，自然$\textit{First Fit}$着色算法实现了最佳性能，确定性和随机在线算法之间的常数因子。
2017-07-03 cs.DM cs.DS
Distance-2 Coloring in the CONGEST Model
给出了在CONGEST模型下计算图$G$的距离- $2$顶点着色的有效的随机和确定性分布式算法。特别是，如果$Δ$是最大程度的$G$，我们表明，有一个随机CONGEST模型算法来计算距离$2$着色的$G$与$Δ^2+1$颜色在$O(\logΔ\cdot\log n)$轮。此外，如果颜色的数量稍微增加到$(1+ε)Δ^2$的一些$ε>1/{\rm polylog}(n)$，我们表明，它甚至是可能的计算距离- $2$着色确定性在polylog $(n)$时间的CONGEST模型。最后，我们给出了用$Δ^2+1$颜色计算距离- $2$着色的$O(Δ^2 + \log^* n)$ -轮确定性CONGEST算法.
2020-05-13 cs.DC cs.DS
An Optimal Distributed $(Δ+1)$-Coloring Algorithm?
顶点着色是分布式计算中研究的经典对称破缺问题之一。本文给出了随机${\sf LOCAL}$模型在$O(\mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(\text{poly} \log n))$时间内$(Δ+1)$ -列表着色的一个新算法，其中$\mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(n')$是$n'$ -顶点图上$(\text{deg}+1)$ -列表着色的确定性复杂度. (In对于这个问题，每个$v$都有一个大小为$\text{deg}(v)+1$的调色板。）这改进了Harris、Schneider和Su [STOC'16，JACM'18]的具有复杂度$O(\sqrt{\log Δ} + \log\log n + \mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(\text{poly} \log n))$的先前随机化算法，并且对于$Δ$的某些范围，比Fraigniaud、Heinrich和Kosowski [FOCS'16]以及Barenboim、Elkin和Goldenberg [PODC'18]的具有复杂度$O(\sqrt{Δ\log Δ}\log^\ast Δ+ \log^* n)$的最知名的确定性算法快得多。我们的算法“似乎是”最优的，鉴于$Ω(\mathsf{Det}(\text{poly} …
2019-03-11 cs.DC cs.DS
Improved Distributed $Δ$-Coloring
我们提出了一个随机分布算法，计算在任何非完全图的$Δ$ -染色的最大程度$Δ\geq 4$在$O(\log Δ) + 2^{O(\sqrt{\log\log n})}$轮，以及一个随机算法，计算一个$Δ$ -染色在$O((\log \log n)^2)$轮时，$Δ\in [3, O(1)]$。这两种算法都是对Panconesi和Srinivasan的$O(\log^3 n/\log Δ)$轮算法[STOC'1993]的改进，该算法在过去的25年中一直是最先进的。此外，后一种算法（指数地）更接近Brandt等人的$Ω(\log\log n)$轮下界。[STOC'16]。
2020-08-02 cs.DC cs.DS
Distributed Degree Splitting, Edge Coloring, and Orientations
我们研究了一个家庭的密切相关的分布式图的问题，我们称之为度分裂，粗略地说，其目标是分区（或定向）的边缘，使每个节点的度几乎均匀地分裂。我们的研究结果导致一些问题的答案，其中包括：--我们提出了一个$poly(\log n)$轮确定性算法的$(2Δ-1)\cdot (1+o(1))$边着色，其中$Δ$表示的最大程度。对$1+o(1)$因子取模，这解决了该地区自20世纪90年代以来长期存在的开放问题之一（例如，参见Panconesi和Srinivasan [PODC'92]）。事实上，在Barenboim和Elkin的《分布式图着色》一书中的第四个开放问题中，要求$(2Δ-1)\cdot poly(\log Δ)$的一个较弱的要求--$poly(\log n)$轮中的边着色。--我们证明了无沉取向-即，定向边，使得每个节点至少有一个输出边-在$Δ$ -正则图上，可以在随机化的$O(\log_Δ \log n)$轮和确定性的$O(\log_Δ n)$轮中求解。这些证明了Brandt等人[STOC'16]和Chang，Kopelowitz和Pettie [FOCS'16]的相应下界是紧的。此外，这些结果表明，无汇定向在其随机复杂性和确定性复杂性之间表现出指数分离，类似于Chang等人对$Δ$ -着色$Δ$ -正则树的结果。--我们提出了一个随机$O(\log^4 n)$轮算法，用于定向具有…
2016-08-10 cs.DS
Online Edge Coloring: Sharp Thresholds
该研究在在线边着色领域取得突破，提出了新的确定性和随机算法，确立了贪心算法可被超越、达到近似最优着色保证的尖锐阈值，匹配了经典的不可能性结果。
2025-07-29 cs.DS
Ultrafast Distributed Coloring of High Degree Graphs
本文给出了$Δ+1$ -列表着色问题的一个新的随机分布算法。该算法及其分析大大简化了Chang，Li和Pettie [SICOMP 2020]之前已知的最佳结果。这允许许多改进，特别是，我们可以在$O(\log^* n)$轮中对最大度$Δ\ge \log^{2+Ω(1)} n$的所有$n$节点图进行着色。该算法在CONGEST模型中工作，即，它只使用每个消息的$O(\log n)$比特来进行通信。在低度图上，该算法将图分解为$O(\log^* Δ)$轮中大小为$\operatorname{poly}(\log n)$的组件，表明CONGEST中$Δ+1$ -列表着色的随机复杂性本质上取决于相关着色问题的确定性复杂性。
2021-05-10 cs.DC cs.DS
Adversarially Robust Coloring for Graph Streams
如果流算法提供具有高概率的正确输出，即使当流更新由可能观察算法的过去输出并对其作出反应的对手选择时，也认为该流算法是对抗性鲁棒的。我们成长的新兴机构的工作，这样的算法在一个新的方向，通过研究强大的算法，保持一个有效的顶点着色的$n$顶点图作为一个流的边缘的问题。按照标准的做法，我们专注于在最多$Δ$的最大程度的图形，并使用少量的颜色$f(Δ)$着色的目标。最近的一项突破（Assadi，Chen和Khanna; SODA~2019）表明，在标准的非鲁棒流设置中，可以在仅使用$\widetilde{O}(n)$空间的情况下获得$(Δ+1)$着色。在这里，我们证明了一个adversarially强大的算法运行在一个类似的空间范围内必须花费几乎$Ω(Δ^2)$颜色和强大的$O(Δ)$着色需要一个线性量的空间，即$Ω(nΔ)$。事实上，我们得到了一个更一般的下限，权衡了空间使用对颜色使用的数量。从复杂性理论的角度来看，这些下界提供了（i）对抗性鲁棒算法和普通随机算法之间的第一个显着分离，用于仅插入流上的自然问题，以及（ii）随机和确定性着色算法之间的第一个显着分离，用于图形流，因为确定性流算法是自动鲁棒的。我们补充我们的下界与一套积极的结果，给adversarially强大的着色算法，使用次线性空间。特别地，我们可以使用$\widetilde{O}(n \sqrtΔ)$空间保持$O(Δ^2)…
2021-09-23 cs.DS
Coloring in Graph Streams via Deterministic and Adversarially Robust Algorithms
近年来，在流模型中解决各种图着色问题的兴趣越来越大。这一领域的初始算法都是至关重要的随机化，这就自然而然地提出了一个问题，即随机化在流图着色中的作用有多重要。一些最近的工作已经在这个问题上取得了进展：他们证明了确定性甚至对抗性的鲁棒着色算法（其更新可能取决于算法的过去输出的流）比标准的随机算法要弱得多。然而，对于鲁棒着色和多通道确定性着色所需的颜色数量（作为最大程度$Δ$的函数）的上界和下界之间仍然存在显著的差距。我们通过证明以下结果为这一工作做出贡献。在确定性半流式传输（即，$O(n \cdot \text{polylog } n)$空间）制度，我们提出了一个算法，实现了组合最优的$(Δ+1)$着色使用$O(\logΔ \log\logΔ)$通行证。这改进了Assadi、Chen和Sun（STOC 2022）的先前$O(Δ)$着色算法，代价是在遍数中仅存在$O(\log\logΔ)$因子。在对抗鲁棒的半流机制中，我们设计了一个$O(Δ^{5/2})$着色算法，该算法改进了Chakrabarti，Ghosh和Stoeckl（ITCS 2022）以前最好的$O(Δ^{3})$着色算法。此外，我们获得了一个平滑的颜色/空间的折衷，改进了另一种算法的工作：而他们的算法使用$O(Δ^2)$颜色和$O(nΔ^{1/2})$空间，我们的，特别是，实现（i）~ $O(Δ^2)$颜色在$O(nΔ^…
2022-12-20 cs.DS
Optimal Distributed Coloring Algorithms for Planar Graphs in the LOCAL model
本文研究了具有少量颜色的平面图的分布染色问题。我们提出了一个最优的（直到一个常数因子）$O(\log{n})$时间算法的6-着色平面图。我们的算法是基于一种新的技术，在一个简单的检测小结构，可以很容易地着色给定一个适当的着色的其余顶点，并将它们从图中删除，直到图形包含一个足够小的边缘数量。我们相信这项技术可能是独立的利益。此外，我们提出了一个下界4着色平面图，基本上表明，任何算法（确定性或随机）$4$着色平面图需要$Ω(n)$轮。因此，我们完全解决了平面图的4-染色和6-染色问题的模型。
2018-03-31 cs.DS
Online Edge Coloring of Paths and Trees with a Fixed Number of Colors
我们研究了一个版本的在线边着色，其目标是尽可能多的边着色，只使用给定的数量，$k$，可用的颜色。我们所有的结果都是关于竞争分析的。以前的尝试，以确定此问题的最佳算法都失败了，即使是二分图。因此，在本文中，我们分析了更多的限制图类，路径和树。对于路径，我们考虑$k=2$，对于树，我们考虑任何$k \geq 2$。我们证明了一个自然的贪心算法称为第一次适合是最佳的确定性算法，路径以及树。对于路径，我们给出了一个随机算法，它是最优的，并且优于最好的可能的确定性算法。对于树，我们证明了为了获得比First-Fit更好的竞争比，算法必须是随机的和不公平的（即，拒绝可能已经着色的边缘），即使这样的算法也不会比First-Fit好得多。
2016-10-25 cs.DS
Hypergraph Two-Coloring in the Streaming Model
我们考虑空间有效的算法的两个着色$n$ -均匀超图$H=(V,E)$在流模型，当超边到达一个的时间。已知的是，任何这样的超图最多有$0.7 \sqrt{\frac{n}{\ln n}} 2^n$超边有一个双染色[Radhakrishnan & Srinivasan，RSA，2000]，它可以在多项式时间内确定性地找到，如果允许完全访问输入。1.设$s^D(v, q, n)$是确定性单通道流算法所使用的最小空间，该算法在接收$n$ -均匀超图$H$时在$v$顶点和$q$超边上产生$H$的适当的双染色。我们表明，$s^D(n^2, q, n) = Ω(q/n)$时，$q \leq 0.7 \sqrt{\frac{n}{\ln n}} 2^n$，和$s^D(n^2, q, n) = Ω(\sqrt{\frac{1}{n\ln n}} 2^n)$否则。2.令$s^R(v, q,n)$是随机化单通道流算法所使用的最小空间，该算法在接收到$n$ -均匀超图$H$时，以高概率在$v$顶点和$q$超边上产生$H$的适当的二着色（或宣告失败）。我们证明了$s^R(v, \frac{1}{10}\sqrt{\frac{n}{\ln n}} 2^n, n) = O(v \log v)$通过给出一个有效的随机流算法。上述结果是受研究数$q(n)$的启发，$n$ -均匀超图中不可二着色的超边的最小可能数。已…
2018-05-12 cs.DS
On the Complexity of Distributed Edge Coloring and Orientation Problems
本文研究LOCAL模型中LCL问题的随机化优势，通过度分裂问题（边着色与定向）刻画了确定性复杂度为Ω(log n)的问题能否用随机化实现指数加速，给出了精确或部分刻画。
2025-10-24 cs.DS
Dynamic Algorithms for Graph Coloring
我们设计了一个快速的动态算法，以适当的顶点和边着色的图进行边插入和删除。在静态情况下，对于最大度为$Δ$的图，有简单的$(Δ+1)$ -点着色和$(2Δ-1)$ -边着色的线性时间算法.很自然地会问，我们是否也能在动态环境中有效地保持这种着色。我们得到以下三个结果。(1)我们提出了一个随机算法，它保持了$(Δ+1)$ -顶点着色与$O(\log Δ)$预期摊销更新时间。(2)我们提出了一个确定性的算法，它保持了一个$(1+o(1))Δ$顶点着色与$O(\text{poly} \log Δ)$摊销更新时间。(3)我们提出了一个简单的，确定性的算法，保持$(2Δ-1)$边着色与$O(\log Δ)$最坏情况下的更新时间。这改进了Barenboim和Maimon最近提出的具有$\tilde{O}(\sqrtΔ)$最坏情况更新时间的$O(Δ)$ -边着色算法。
2017-11-12 cs.DS
Faster Deterministic Streaming Vertex Coloring
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Nanjing University（南京大学）
本文提出一种确定性流算法，在O(√logΔ)次遍历中实现O(Δ)色着色，首次在亚对数次遍历内达到线性Δ色 palette 大小。
2026-05-08 cs.DS
Breaking the $2^n$ barrier for graph $k$-coloring
Columbia University（哥伦比亚大学）
本研究证明对所有k，存在εₖ>0，可将图的k着色问题的随机单侧误差算法时间复杂度从2ⁿ降至(2-εₖ)ⁿ，突破了此前仅k≤6时能实现指数级改进的局限。
2026-07-30 cs.DS
Near-Optimal Distributed Degree+1 Coloring
我们提出了一种新的方法来随机分布图着色，这是更简单，更有效的比以前的。特别地，它允许我们解决$(\operatorname{deg}+1)$ -列表着色（D1 LC）问题，其中度$d_v$的每个节点$v$被分配$d_v+1$颜色的调色板，并且目标是使用这些调色板找到适当的着色。虽然对于$(Δ+1)$着色（其中$Δ$是最大度），存在快速随机化分布式$O(\log^3\log n)$轮算法（Chang，Li和Pettie [SIAM J. Comp. 2020]），但D1 LC问题没有已知的$o(\log n)$轮算法。我们给出了一个随机分布式算法D1 LC是合理的假设下的确定性问题的复杂性最优。使用Ghaffari和Kuhn [FOCS 2021]的最新确定性算法，我们的算法在$O(\log^3 \log n)$时间内运行，匹配$(Δ+1)$ -着色的最佳边界。此外，它还为$O(\log^* n)$轮中度为$Ω(\log^7 n)$的所有节点着色。一个关键的贡献是一个子程序，以产生松弛的D1 LC。当置于Assadi，Chen和Khanna [SODA 2019]以及Alon和Assadi [APPROX/RANDOM 2020]的框架中时，这几乎立即导致了D1 LC的调色板稀疏化定理，推广了以前的结果。这给出了三种不同模型中的D1 LC快速算法：MPC模型中的$O(1)$轮算法，每…
2021-12-01 cs.DC cs.DS
Coloring Fast Without Learning Your Neighbors' Colors
我们给出了一个改进的距离- $2$着色的随机CONGEST算法，该算法使用$Δ^2+1$颜色并在$O(\log n)$轮中运行，改进了[Halldórsson，Kuhn，Maus; PODC '20]中最近的$O(\log Δ\cdot \log n)$轮算法。然后，我们将时间复杂度提高到$O(\log Δ) + 2^{O(\sqrt{\log\log n})}$。
2020-08-10 cs.DC cs.DS
Fully Dynamic (Δ+1) Coloring Against Adaptive Adversaries
针对自适应敌手场景下(Δ+1)顶点着色全动态算法无法突破O(n)时间壁垒的问题，提出随机算法，实现每次边更新后以高概率在\widetilde{O}(n^{8/9})时间内维持有效着色，打破线性时间限制。
2025-01-17 cs.DS
Sublogarithmic Distributed Algorithms for Lovász Local lemma, and the Complexity Hierarchy
局部可检查标号（LCL）问题基本上包含了$\mathsf{LOCAL}$分布式算法的所有经典问题。在最近的启发性启示中，Chang和Pettie [arXiv 1704.06297]表明，任何具有$o(\log n)$轮随机算法的LCL（在有界度图上）都可以在$T_{LLL}(n)$轮中求解，这是求解有界度$n$节点图上的Lovász局部引理（LLL）（的放松变体）的随机复杂性。目前，关于$T_{LLL}(n)$的最著名的上限是由Chung、Pettie和Su [PODC'14]提出的$O(\log n)$，而最著名的下限是由Brandt等人[STOC'16]提出的$Ω(\log\log n)$。Chang和Pettie指出应该有一个$O(\log\log n)$轮算法。对这一猜想的进展的第一步，并提供了一个显着的改进算法的Chung等。[PODC'14]，我们证明了$T_{LLL}(n)= 2^{O(\sqrt{\log\log n})}$。因此，用于有界度图上的任何LCL问题的任何$o(\log n)$轮随机分布式算法可以自动加速以在$2^{O(\sqrt{\log\log n})}$轮中运行。使用这种改进和一些其他的想法，我们也提高了一些图着色问题的复杂性（在任意度图）从$O(\log n)$轮结果的Chung，Pettie和苏[PODC'14]到$2^{O(\sqrt{\l…
2017-05-16 cs.DS
Deterministic Graph Coloring in the Streaming Model
最近在图流中的突破已经导致设计用于各种图着色问题的单遍半流算法，例如$(Δ+1)$着色、退化着色、着色无三角形图等。这些算法都是随机的关键方式，是否有任何确定性的类似物，他们仍然是一个重要的悬而未决的问题，在这方面的工作。我们解决了这个基本问题，证明了没有确定性的单通道半流算法，给定一个图$G$与最大程度$Δ$，可以输出一个适当的着色$G$使用任何数量的颜色是次指数在$Δ$。我们的证明是基于分析多方通信复杂性的相关通信游戏，使用随机图论类型的参数，可能是独立的利益。我们补充我们的下限，表明只有一个额外的通过输入允许一个恢复$O(Δ^2)$着色通过一个确定性的半流算法。该结果进一步扩展到甚至在动态流中的$O(\logΔ)$通道中的$O(Δ)$着色。
2021-09-30 cs.DS
$(Δ+1)$ Coloring in the Congested Clique Model
本文针对分布计算中的拥塞团模型中的$(Δ+1)$（顶点）着色问题，提出了一种改进的算法。在该模型中，输入是$n$节点上的图，最初每个节点只知道其关联边，并且每轮每两个节点可以交换$O(\log n)$比特的信息。我们的主要结果是一个随机$(Δ+1)$顶点着色算法，工作在$O(\log\log Δ\cdot \log^* Δ)$轮。这是通过结合\local \模型中[Chang-Li-Pettie，STOC'18]的最新突破性结果和降阶技术来实现的。我们还以很高的概率得到了以下结果：（1）在$O(\log(1/ε)\log^* Δ)$轮内，对任何$ε\in (0,1)$，$Δ=O((n/\log n)^{1-ε})$的$(Δ+1)$ -着色;（2）在$O(\log^* Δ)$轮内，$(Δ+Δ^{1/2+o(1)})$ -着色.转向确定性算法，我们展示了一个$(Δ+1)$着色算法，工作在$O(\log Δ)$轮。
2020-01-12 cs.DS
One Color Makes All the Difference in the Tractability of Partial Coloring in Semi-Streaming
Aalto University（阿尔托大学）
本文研究了半流式计算中k-部分着色的可处理性，发现仅当颜色数为k+1时，k-部分着色可高效解决，而当颜色数为k时则不可行。
2026-02-22 cs.CC cs.DM cs.DS
Graph Coloring Below Guarantees via Co-Triangle Packing
本文研究保证下界图着色问题，提出基于余三角形打包的算法框架，在给定 $\overline{K_3}$-free 模时实现随机化 $O^*(2^k)$ 求解，改进了 Dual Coloring 算法并证明了更小参数的固定参数可解性。
2025-09-15 cs.DM cs.DS
Deterministic coloring algorithms in the LOCAL model
研究了在非均匀分布计算模型下超图的双色染色问题。这个问题可以很容易地解决一个随机的本地算法，没有通信。然而，它是不知道如何解决它的确定性只有一个多对数通信轮数。在本文中，我们确实设计了这样一个确定性的算法，解决了这个问题的多对数通信轮数。这是一个几乎指数级的改进，以前已知的确定性本地算法为这个问题。由于超图的双色着色问题在所有局部可检验图问题中是完全的，因此我们的结果意味着对于所有这样的问题，都存在一个有效的随机算法，并且具有多对数通信轮数的确定性局部算法.这解决了局部分布式图算法领域中的一个基本开放问题。由于Ghaffari，Kuhn和Maus [STOC 2017]的减少，这意味着许多图问题的这种多学科有效的确定性局部算法。
2019-07-31 cs.DC cs.DS
More Efficient Parallel $(Δ+1)$-Edge Coloring
Georgetown University（乔治城大学）
针对$Δ+1$边着色问题，提出跨度$\tilde{O}(Δ^3)$、工作量$\tilde{O}(mΔ^3)$的确定性并行算法，以及高概率下跨度$\tilde{O}(Δ^2)$、工作量$\tilde{O}(mΔ^2)$的随机算法，大幅优于现有算法且未增大对数因子。
2026-09-28 cs.DS
Improved Deterministic $(Δ+1)$-Coloring in Low-Space MPC
针对$n$ -顶点图的$(Δ+1)$ -着色问题，提出了一种确定性的$O(\log \log \log n)$ -轮低空间大规模并行计算（MPC）算法.在这个模型中，每台机器都有一个大小为$n^ϕ$的次线性局部存储器，用于存储任意常数$ϕ\in (0,1)$。我们的算法工作在宽松的设置下，每个机器被允许执行指数（在$n^ϕ$）本地计算，同时尊重$n^ϕ$空间和带宽的限制。我们的关键技术贡献是Chang-Li-Pettie对独创性的$(Δ+1)$ -着色算法进行了新的去随机化（STOC 2018，SIAM J. COMPUT. 2020年）。Chang-Li-Pettie算法在$T_{local}=poly(\log\log n)$轮中运行，这为局部模型中的问题设置了最先进的随机轮复杂度。我们的去随机化采用的工具，最显着的伪随机发生器（PRG）和有界独立哈希函数的组合。$O(\log\log\log n)$轮的实现轮复杂度与$\log(T_{local})$的界限相匹配，该界限目前为该模型中的局部可检查问题的所有已知随机化算法提供上限障碍。此外，没有确定性的亚对数低空间MPC算法的$(Δ+1)$着色问题是以前已知的。
2021-12-10 cs.DC cs.DS
Fast and Simple Edge-Coloring Algorithms
我们开发了顺序算法，有效地构造图和多重图的边着色，并使用少量的颜色。我们的主要重点是边着色任意简单图使用$d+1$颜色，其中$d$是最大的顶点度的图。Vizing定理指出，每个简单图都可以使用$d+1$颜色进行边着色。虽然有些图可以只使用$d$颜色进行边着色，但识别这种类型的图是NP困难的[Holyer，1981]。因此，使用$d+1$颜色是一个自然的目标。$(d+1)$ -边着色的有效技术是由Gabow、Nishizeki、Kariv、Leven和Terada在1985年开发的，Arjomandi在1982年独立开发的，导致了在$O(|E| \sqrt{|V| \log |V|})$时间内运行的算法。他们仍然是最快的已知算法为这项任务。我们改进了运行时$O(|E| \sqrt{|V|})$的小修改和仔细的分析。然后，我们开发了一个随机版本的算法，这是更简单的实现，并具有相同的渐近运行时，具有非常高的概率。在得到这些结果的过程中，我们给出了一个在$O(|E|\log d)$时间内运行的多重图的$(2d-1)$ -边染色的简单算法。这些算法的基础是一个一般的边着色策略，可以借给自己进一步的应用。
2021-03-01 cs.DS
Simple, Deterministic, Constant-Round Coloring in the Congested Clique
我们解决的复杂性的$(Δ+1)$ -着色和$(Δ+1)$ -列表着色问题的拥塞CLIQUE模型，提出了一个简单的确定性算法运行在一个恒定的轮数。这与最近由Chang等人（PODC'19）提出的突破性的随机化恒定轮$(Δ+1)$ -列表着色算法的复杂性相匹配，并且显著地改进了Parter（ICALP'18）的现有技术水平的$O(\log Δ)$ -轮确定性$(Δ+1)$ -着色界。我们的算法的一个显着的属性是它的简单性。鉴于国家的最先进的随机算法，这个问题是基于相当复杂的局部着色算法的张等人。（STOC'18），我们的算法可以描述在短短几行。在高层次上，它应用了递归过程的仔细去随机化，该过程将节点及其相应的调色板划分为单独的bin。我们表明，经过$O(1)$递归步骤，剩余的未着色的子图内的每个bin具有线性大小，因此可以解决本地收集到一个单一的节点。该算法也可以在大规模并行计算（MPC）模型中实现，只要每个机器具有线性（在$n$中，输入图中的节点数）空间。我们还展示了我们的算法的MPC制度中，机器具有次线性空间的扩展：我们提出了第一个确定性的$(Δ+1)$ -列表着色算法设计的次线性空间MPC，它运行在$O(\log Δ+ \log\log n)$轮。
2020-09-13 cs.DC cs.DS
Faster Dynamic $(Δ+1)$-Coloring Against Adaptive Adversaries
本文研究动态图中维护(Δ+1)-顶点着色问题，提出抗自适应对手的随机化算法，摊还更新时间达Õ(n^{2/3})，优于近期Õ(n^{8/9})结果并触及自然障碍，核心改进利用分布式图算法的结构提示处理最稠密区域。
2025-07-07 cs.DS
k-Coloring is Faster than Computing the Chromatic Number
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究 k 着色问题，通过推广和结合相关工具及新算法，得到从(k + 1)列表着色到 k 列表着色的可迭代归约，证明 k 着色有运行时间为(2 - ε_k)^n 的随机算法，解决了长期开放问题。
2026-09-10 cs.DS
Exact Algorithms for No-Rainbow Coloring and Phylogenetic Decisiveness
无彩虹超图着色问题的输入是一个超图$H$，其中每个超边都有$r$节点。问题是是否存在$H$的节点的$r$着色，使得所有$r$颜色都被使用并且没有彩虹超边缘--即，无超边缘使用所有$r$颜色。无彩虹超图$r$ -着色问题是$r \geq 3$的NP-完全问题。$r=4$的特例是系统发育决定性问题的补充。在这里，我们提出了一个确定性算法，解决了无彩虹$r$着色问题的$O^*((r-1)^{(r-1)n/r})$时间和随机算法，解决了问题的$O^*((\frac{r}{2})^n)$时间。
2021-04-05 cs.DM cs.DS
Faster Distributed $Δ$-Coloring via a Reduction to MIS
本文通过将$\Delta$-着色问题归约到MIS问题，在LOCAL模型中实现了与$(\Delta+1)$-着色相同的$\tilde{O}(\log^{5/3} n)$轮确定性复杂度，并改进了随机化及有界度图上的复杂度界。
2025-10-18 cs.DC cs.DS
Randomized Greedy Online Edge Coloring Succeeds for Dense and Randomly-Ordered Graphs
本文分析在线边着色中的朴素随机贪心算法，证明其在随机边序或稠密图条件下可用$(1+ε)Δ$种颜色成功着色，并推出对抗自适应情形下的确定性算法。
2024-10-29 cs.DM cs.DS math.CO
Tight Bounds for Online Edge Coloring
Vizing的著名定理断言，任何最大度$Δ$的图允许最多使用$Δ+1$颜色的边着色。相比之下，Bar-Noy、Naor和Motwani在四分之一个世纪的时间里证明，使用$2Δ-1$颜色的平凡贪婪算法是在线算法中的最佳算法。然而，他们的下限有一个警告：它只适用于低度图，使用$Δ=O(\log n)$，并且他们证明了使用$Δ(1+o(1))$颜色的在线算法的存在$Δ=ω(\log n)$。解决这一猜想的进展仅在随机到达下取得（Aggarwal等人，FOCS'03和Bahmani等人，SODA'10）。我们解决了二部图中\emph{adversarial}顶点到达的上述猜想，为此我们提出了一个先验已知的$Δ=ω(\log n)$的$(1+o(1))Δ$ -边着色算法。令人惊讶的是，如果$Δ$是不知道提前的时间，我们表明，没有$\big(\frac{e}{e-1} - Ω(1) \big) Δ$边着色算法存在。然后，我们提供了一个最佳的，$\big(\frac{e}{e-1}+o(1)\big)Δ$边着色算法未知的$Δ=ω(\log n)$。我们的研究结果的关键，可能的独立利益，是一种新的分数放松边缘着色，我们提出了最佳分数在线算法和一个近无损的在线舍入方案，产生我们的最佳随机算法。
2019-04-19 cs.DS
Fully Dynamic Algorithms for Coloring Triangle-Free Graphs
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文提出一种全动态算法，能够在三角自由图经历边插入和删除时，以高概率在 amortized 时间内维护 O(Δ/lnΔ) 的着色方案，引入了熵压缩方法以提升动态算法的分析能力。
2026-04-22 cs.DS
Fast Distributed Vertex Splitting with Applications
我们提出了${\rm poly\log\log n}$轮随机分布式算法来计算顶点分裂，一个分区的顶点到$k$部分，使一个节点的度$d(u)$有$\approx d(u)/k$邻居在每个部分的图。我们的技术可以被看作是第一个进展，一般${\rm poly\log\log n}$轮算法的Lovász局部引理。作为我们结果的主要应用，我们得到了一个随机的${\rm poly\log\log n}$ -轮CONGEST算法，用于$(1+ε)Δ$ -边着色$n$ -节点图的足够大的常数最大度$Δ$，对于任何$ε>0$ .此外，我们的结果提高了计算缺陷着色和某些紧列表着色问题。所有的结果都以指数方式提高了最先进的轮复杂度，即使在Round-Model中也是如此。
2022-08-17 cs.DC cs.DS
Distributed Delta-Coloring under Bandwidth Limitations
针对带宽受限分布式场景下的最大度Δ图Δ着色问题，提出CONGEST模型下poly log log n轮随机算法，接近已有下界，核心是归约为构造性LLL特殊实例与deg+1列表着色问题。
2024-05-16 cs.DC cs.DS
Dynamic O(arboricity) coloring in polylogarithmic worst-case time
本文改进基于图荫度 α 的动态隐式着色算法，将颜色数降至 O(α)，并把 poly(log n) 时间保证由摊还提升为最坏情况。
2024-10-25 cs.DS
Edge-Coloring Algorithms for Bounded Degree Multigraphs
本文针对最大度有界的多重图边着色问题，提出了基于 Shannon 定理的确定性及随机化顺序与分布式算法，首次将顺序算法时间复杂度从 O(n²) 改进至 O(n log n) 和最优的 O(n)，并扩展了 Vizing 定理相关结果。
2023-10-30 cs.DC cs.DM cs.DS
Fast Distributed Brooks' Theorem
本文给出了一个随机$Δ$ -着色算法，该算法在$\text{poly} \log \log n$轮中运行，其中$n$是输入图的节点数，$Δ$是输入图的最大度.这意味着随机$Δ$ -着色是一个罕见的分布式着色问题，其上界和下界在同一个球场，$\text{poly}\log\log n$，给定已知的$Ω(\log_Δ\log n)$下界[Brandt等人，STOC '16]。我们的主要技术贡献是一个恒定的时间减少到一个恒定数量的$(\text{deg}+1)$列表着色实例，$Δ= ω(\log^4 n)$，从而在一个$\text{poly} \log\log n$轮CONGEST算法，这样的图。这种减少是独立的其他设置的兴趣，包括提供一个新的证明布鲁克斯定理的高度图，并导致一个恒定轮拥塞团算法在这样的图。当$Δ=ω(\log^{21} n)$时，我们的算法甚至在$O(\log^* n)$轮中运行，这表明$Ω(\log_Δ\log n)$下限中的基数是不可避免的。以前，所有考虑的设置的最佳递归算法使用对数轮数。我们的结果是第一个$Δ$ -染色非常度图的CONGEST算法。
2022-11-14 cs.DC cs.DS
Simple and Near-Optimal Distributed Coloring for Sparse Graphs
图着色是分布式图算法的核心问题之一。关于这个主题的许多研究都集中在使用$Δ+1$颜色着色，其中$Δ$表示最大程度。在稀疏图中使用$Δ+1$颜色可能不令人满意，因为并非所有节点都具有如此高的度;更可取的是使用一些随着稀疏性而改善的颜色。捕获稀疏性的标准度量是荫度，它是图的边缘可以划分的森林的最小数量。我们提出了简单的随机分布算法，以高概率，颜色的任何$n$节点$α$荫度图：-使用$(2+\varepsilon)\cdot α$颜色，为常数$\varepsilon>0$，在$O(\log n)$轮，如果$α=\tildeΩ(\log n)$，或-使用$O(α\log α)$颜色，在$O(\log n)$轮，或-使用$O(α)$颜色，在$O(\log n \cdot \min\{\log\log n,\; \log α\})$轮。这些算法几乎是最优的，因为Linial [FOCS'87]和Barenboim和Elkin [PODC'08]的结果表明，使用$Θ(α)$颜色或甚至聚$(α)$颜色着色需要$Ω(\log_α n)$轮。之前最著名的$O(\log n)$时间结果是Barenboim和Elkin [PODC'08]提出的确定性算法，该算法使用$Θ(α^2)$颜色。Barenboim和Elkin在他们的Distributed Graph Coloring Book中指出，提高颜色的数…
2017-08-23 cs.DS
Coloring Trees in Massively Parallel Computation
在大规模并行计算（MPC）模型下，提出了树的$O(\log^2 \log n)$时间3-着色、最大独立集和最大匹配算法.我们的算法是确定性的，适用于任意度的树和工作在低空间MPC模型，其中本地内存是$O(n^δ)$的$δ\in (0,1)$和全局内存是$O(m)$。我们的主要结果是3-着色算法，它与Ghaffari，Grunau和Jin [DISC'20]的随机，最先进的4-着色算法形成对比。在获得着色后，在$O(1)$时间内进行最大独立集和最大匹配算法。我们的3-着色算法的关键成分是一个$O(\log^2 \log n)$时间适应的rake-and-compress树分解使用的张和佩蒂[FOCS'17]，并建立了米勒和赖夫。当我们把注意力限制在常数度的树上时，我们把运行时间降低到$O(\log \log n)$。
2021-10-30 cs.DC cs.DS
On the Probe Complexity of Local Computation Algorithms
局部计算算法（LCA）模型是针对具有巨大输入和输出的问题实例的计算模型。对于图问题，使用探测器访问输入图：强探测器（SP）指定顶点$v$并接收$v$的邻居列表作为回复，弱探测器（WP）指定顶点$v$和端口号$i$并接收$v$的$i^{th}$邻居作为回复.给定本地查询（例如，“某个顶点是否在输入图的顶点覆盖中？），LCA应该计算相应的本地输出（例如，“是”或“否”）同时仅进行少量的探测，要求所有局部输出形成单个全局解（例如，合法顶点覆盖）。我们研究了LCAs的探测复杂性，这些LCAs需要在可能具有任意大度数的图上工作。特别地，期望这样的LCA探测图的次数显著小于最大、平均或甚至最小程度。对于弱探针，我们主要研究弱染色问题。在我们的结果中，我们证明了弱3-着色和弱2-着色之间的分离：$\log^* n + O(1)$弱探针足以弱3-着色，但$Ω\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)$弱探针是必需的弱2-着色。对于强探针，我们考虑随机LCA的顶点覆盖和最大/最大匹配。我们的阴性结果包括显示存在图，其中找到\emph{maximal}匹配需要$Ω(\sqrt{n})$强探针。在积极的一面，我们设计了一个随机的LCA，发现$(1-ε)$近似\emph{maximum}匹配在正规图，并使用$\frac{1}{ε}^{O\left( \frac{1}{ε^…
2017-03-22 cs.DS
Improved Sublinear Algorithms for Classical and Quantum Graph Coloring
本文针对最大度为Δ的图着色问题提出三种次线性随机算法，包括改进的Δ+1着色算法、基于Grover搜索的量子加速算法以及(1+ε)Δ-着色量子算法，在经典和量子查询复杂度上均取得显著改进。
2025-02-09 cs.DS
Parallel Batch Dynamic Vertex Coloring in $O(\log Δ)$ Amortized Update Time
University of Maryland（马里兰大学）；Harvard University（哈佛大学）
该研究提出了一种并行批动态算法，以 $O(\log Δ)$ 平摊更新时间维护 $(Δ+1)$-顶点着色，同时保证并行跨度为 $O(\operatorname{polylog} b + \operatorname{polylog} n)$。
2025-12-09 cs.DC cs.DS
Lower Bounds for the Happy Coloring Problems
本文研究了最大快乐点和最大快乐边问题。最近，这些问题引起了广泛的关注，并在Agrawal '17，Aravind等人'16，Choudhari和Reddy '18，Misra和Reddy '17中进行了研究。我们的工作主要集中在这些问题的计算复杂性的下界。已建立的下界可以分为以下几组：上述保证参数化的NP-硬度，核化下界（回答Misra和Reddy '17的问题），集合覆盖猜想和指数时间假设下的指数下界，以及不可逼近性结果。此外，我们提出了一个$\mathcal{O}^*(\ell^k)$随机算法MHV和$\mathcal{O}^*(2^k)$算法MHE，其中$\ell$是所使用的颜色的数量和$k$是所需的快乐顶点或边的数量。这些算法不能改进到次指数考虑证明下界。
2019-07-11 cs.DS
Approximate Graph Coloring by Semidefinite Programming
We consider the problem of coloring k-colorable graphs with the fewest possible colors. We present a randomized polynomial time algorithm that colors a 3-colorable graph on $n$ vertices with min O(Delta^{1/3} log^{1/2} Delta log n), O(n^{1/4} log^{1/2} n) colors where Delta is the maximum degree of any vertex. Besides giving the best known approximation ratio in terms of n, this marks the first non-trivial approximation result as a function of the maximum degree Delta. This result can be generalized to k-colorable graphs to obtain a coloring using min O(Delta^{1-2/k} log^{1/2} Delta log n), O(…
1998-12-08 cs.DS
Towards Optimal Distributed Delta Coloring
针对常数度图分布式染色问题，提出一种适用于稠密图的 $O(\log n)$ 轮确定性 $Δ$-染色算法，匹配已知下界，并扩展出匹配下界的随机化算法，为解决一般情况的最优算法提供了新思路。
2025-04-03 cs.DC cs.DS
Graph Coloring via Degeneracy in Streaming and Other Space-Conscious Models
我们研究了在几个成熟的大数据计算模型中使用少量颜色对给定图进行着色的问题。这些模型包括数据流模型、通用图查询模型、大规模并行计算（MPC）模型、CONGESTED-CLIQUE和分布式计算模型。一方面，我们给算法的次线性复杂性，在这些模型中的每一个适当的复杂性的概念。我们的算法使用大约$κ(G)$颜色对图$G$着色，其中$κ(G)$是$G$的退化度：该参数与荫度$α(G)$密切相关。作为单独的$κ(G)$的函数，我们的结果接近最佳可能，因为最佳颜色数是$κ(G)+1$。另一方面，我们建立了一定的下界，表明次线性算法可能不能走得更远。特别是，我们证明了任何随机着色算法，使用$κ(G)+1$许多颜色，将需要$Ω(n^2)$存储在一个通过流模型，和$Ω(n^2)$许多查询在一般的图形查询模型，其中$n$是在图中的顶点数。即使预先知道$κ(G)$的值，这些下界也成立;同时，我们的上界不需要预先给出$κ(G)$。
2019-05-02 cs.DS
Deterministic Distributed Edge-Coloring via Hypergraph Maximal Matching
我们提出了一个确定性的分布式算法，计算$(2Δ-1)$边着色，甚至列表边着色，在任何$n$节点图与最大程度$Δ$，在$O(\log^7 Δ\log n)$轮。这就回答了\emph{distributed graph algorithms}在20世纪80年代末提出的一个长期悬而未决的问题，即要求使用多周期时间算法。参见，例如，Barenboim和Elkin的分布式图着色书中的开放问题4。之前最好的回合复杂度是Panconesi和Srinivasan的$2^{O(\sqrt{\log n})}$ [STOC'92]和Fraigniaud、Heinrich和Kosowski的$\tilde{O}(\sqrtΔ) + O(\log^* n)$ [FOCS'16]。我们的确定性列表边着色的一个推论也提高了随机化的复杂性$(2Δ-1)$边着色聚$(\log\log n)$轮。关键的技术成分是一个确定性的分布式算法\emph{hypergraph maximal matching}，我们相信这将是超越这一结果的兴趣。在任意秩为$r$的超图中，每个超边最多有$r$个顶点，每个超图有$n$个节点和最大度$Δ$，该算法在$O(r^5 \log^{6+\log r } Δ\log n)$轮中计算最大匹配.这种超图匹配算法及其扩展导致了一些其他的结果。特别地，用于具有有界邻域独立性的图的多对数时间确定性分…
2017-04-10 cs.DS
Improved Bounds for Perfect Sampling of $k$-Colorings in Graphs
我们提出了一个随机化算法，该算法以一个具有最大度$Δ$和一个整数$k > 3Δ$的无向$n$ -顶点图$G$作为输入，并返回$G$的随机正确$k$ -着色.着色的分布是\emph{perfectly}均匀的所有适当的$k$ -着色的集合，该算法的预期运行时间是$\mathrm{poly}(k,n)=\widetilde{O}(nΔ^2\cdot \log(k))$。这改进了Huber~（STOC 1998）关于$k>Δ^2+2Δ$的多项式时间完美抽样算法的结果。在我们的工作之前，没有算法与预期的运行时间$\mathrm{poly}(k,n)$是已知的，以保证完美的采样与次二次数量的颜色一般。我们的算法（像其他几个完美的采样算法，包括Huber的）是基于耦合从过去的方法。受\emph{bounding chain}方法的启发，Huber~（STOC 1998）和Häggström \& Nelander~（Scand. {} J. {}统计学家，1999），我们采用了一种新的边界链，以获得我们的结果的图着色问题。
2020-05-21 cs.DM cs.DS
Revisit the Partial Coloring Method: Prefix Spencer and Sampling
针对标题和摘要，重访部分着色方法：前缀着色方法与采样
2024-08-25 cs.DS
