Small diameters and generators for arithmetic lattices in $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ and certain Ramanujan graphs
本文证明了 $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R})$ 中特定算术格具有小覆盖集和小生成元，并在不依赖 Ramanujan 界限的情况下给出了某些 Ramanujan 图直径的 Ramanujan 强度界限。
2022-07-26 math.DS math.GR math.GT
A transformation formula involving the Gamma and Riemann zeta functions in Ramanujan's Lost Notebook
在拉马努金的《遗失的笔记本和其他未发表的论文》中，有一些拉马努金的手稿是由G。N.沃森，这是“从松散的纸张复制”。我们提出了一个美丽的拉马努金公式的证明，在这些手稿之一，即涉及Γ函数和黎曼ζ函数的转换公式。这个公式优雅地产生了一个模关系。后来，我们也给出了另一个证明的第一个平等的这一转换公式沿线建议的安德鲁P. Guinand。
2009-04-08 math.NT
Some extensions for Ramanujan's circular summation formula
本文给出了两个Jacobi θ函数的混合乘积的Ramanujan循环求和公式的一些推广。作为应用，我们还得到了Jacobi θ函数的一些有趣的恒等式.
2019-01-24 math.NT
An Elementary Proof of an Asymptotic Formula of Ramanujan
我们只使用基本的技巧来推导出除数函数的均方。
2014-01-07 math.NT
Remainder in Modified Mertens Formula and Ramanujan Inequality
为了Ramanujan不等式成立，证明了素数倒数和的修正渐近公式中的一个非常强的上估计是必要的（也是充分的）。还得到了其他一些类似的准则。
2022-01-07 math.NT
Hurwitz Zeta Functions and Ramanujan's Identity for Odd Zeta Values
灵感来自一个著名的公式Ramanujan奇zeta值，我们证明了一个类似的公式，涉及赫维茨zeta函数。我们引入了一个新的积分核相关的赫维茨zeta函数，推广与拉马努金的身份积分核。我们还推导出几个类似于拉马努金公式的无穷族恒等式。
2022-05-17 math.NT
Ramanujan's Formula for $ζ(2n+1)$
拉马努金作出了许多美丽和优雅的发现，在他短暂的生命32年，其中一个已引起注意的几个数学家多年来是他的耐人寻味的公式$ζ(2n+1)$。可以肯定的是，拉马努金的公式不具备欧拉的$ζ(2n)$公式的优雅，也不提供直接的算术信息。但是，这项调查的目的之一是让读者相信这确实是一个了不起的公式。特别是，我们讨论了历史的拉马努金公式，其连接到模形式，以及显着的属性相关联的多项式。我们还指出类似物，概括和进一步研究的机会。
2017-01-11 math.NT
On Ramanujan's formula for $ζ(1/2)$ and $ζ(2m+1)$
拉马努金的《失落的笔记》第332页包含了$ζ(1/2)$的一个令人信服的身份，多年来许多数学家都在研究它。在同一页上，拉马努金还记录了系列，\begin{align*} \frac{1^r}{\exp(1^s x) - 1} + \frac{2^r}{\exp(2^s x) - 1} + \frac{3^r}{\exp(3^s x) - 1} + \cdots, \end{align*}其中$s$是一个正整数和$r-s$是任何偶数。不幸的是，Ramanujan并没有给出任何公式。这个级数被Kanemitsu，Tanigawa和Yoshimoto重新发现，尽管他们只研究了当$r-s$是一个负偶数的时候。最近，Dianjin和第二作者推广了Kanemitsu等人的工作，得到了上述级数的一个变换公式，其中$r-s$是任意偶数。在扩展Kanemitsu等人的工作的同时，Dianjin和第二作者得到了一个美丽的推广Ramanujan的公式奇zeta值。本文研究了无穷级数的变换公式，有趣的是，我们导出了$ζ(1/2)$的Ramanujan公式，$ζ(1/k)$的Wigert公式以及$ζ(2m+1)$的Ramanujan公式.此外，我们获得了一个新的身份$ζ(-1/2)$在拉马努金的精神。
2021-06-09 math.NT
Remarks on a Formula of Ramanujan
在Mertens猜想平均形式和黎曼zeta函数零点纵坐标有理线性无关的假设下，分析了拉马努金著名公式各项的精细结构。
2023-12-24 math.NT
On Euler-Ramanujan formula, Dirichlet series and minimal surfaces
本文用某些狄利克雷级数改写了Euler-Ramanujan恒等式的两种形式，并导出了后者的函数方程.我们还利用极小曲面的Weierstrass-Enneper表示得到了涉及这些狄利克雷级数和一个复参数的恒等式.
2019-08-20 math.NT
A family of Ramanujan-Orr formulas for $1/π$
我们使用一个变种万的方法证明两个Ramanujan-Orr型公式的$1/π$。这个变体需要预先知道我们想要证明的$1/π$的公式，但避免了求解方程组的需要。
2017-12-23 math.NT
Barnes multiple zeta-functions, Ramanujan's formula, and relevant series involving hyperbolic functions
在本文的前半部分，我们给出了Barnes多重zeta-函数的函数方程，并考虑了一些相关结果。特别是，我们表明，Ramanujan的经典公式的黎曼zeta值可以从函数方程巴恩斯zeta函数。后半部分利用伯努利多项式推广了某些含双曲函数的级数的计算公式。最初的公式是由柯西、梅林、拉马努金经典地给出的，后来由伯恩特恢复并公式化。根据我们的考虑，我们给出了这些已知公式的多个版本。
2010-06-16 math.NT
Some asymptotic formulae involving Cohen-Ramanujan expansions
本文针对具有绝对收敛Cohen-Ramanujan展开的算术函数，推导了其相关卷积和的渐近公式，并给出若干函数的展开实例以验证结论。
2024-01-01 math.NT
Recent developments pertaining to Ramanujan's formula for odd zeta values
本文综述了多位数学家对拉马努金奇数zeta值公式的贡献，并补充了Berndt和Straub综述中未涵盖的近期进展。
2023-12-24 math.NT
On the error term in a Parseval type formula in the theory of Ramanujan expansions
给定两个算术函数$f,g$，我们推导出，在适当的条件下，渐近公式的误差项，卷积和$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$，早期的工作的Gadiyar，Murty和帕德玛的基础上。在我们的方法中的一个关键作用是由算术函数的拉马努金展开理论。
2015-06-05 math.NT
A Hardy-Ramanujan-Rademacher-type formula for $(r,s)$-regular partitions
令$p_{r,s}(n)$表示将正整数$n$划分为不包含$r$或$s$的倍数的部分的数目，其中$r>1$和$s>1$是无平方、互素的整数。我们使用经典的方法得到了$p_{r,s}(n)$的Hardy-Ramanujan-Rademacher型无穷级数。
2019-01-05 math.NT
On the error term in a Parseval type formula in the theory of Ramanujan expansions II
对于具有绝对收敛Ramanujan展开式的两个数论函数$f$和$g$，Murty和Saha最近在适当的条件下导出了卷积和$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$的带误差项的渐近公式（见http：//arxiv.org/abs/1506.01945）.在这篇后续文章中，我们用一个在某种意义上最小的弱化假设来改进这些结果。
2015-07-28 math.NT
On the Polynomial Ramanujan Sums over Finite Fields
多项式Ramanujan和首先由Carlitz [7]引入，并由Cohen [10]推广。本文研究了这些和的算术性质和分析性质，得到了各种基本恒等式，如H older公式、互易公式、正交关系和Davenport{Hasse}型公式。特别地，我们证明了含有多项式Ramanujan和的特殊狄利克雷级数确实是整个复平面上的整函数，并给出了一个平方均值估计.本文的主要结果对我们来说是新的，它表明了多项式Ramanujan和的特殊性。
2016-12-26 math.NT
A Five-variable generalization of Ramanujan's reciprocity theorem
借助于Bailey著名的双边6 × 6求和公式和Watson变换公式，我们将Andrews的Ramanujan互易定理的四元推广到了五元.给出了一些新的q-级数恒等式，包括Ramanujan互易定理的新证明和仅基于Jackson变换的Watson五重积恒等式的新证明。
2013-10-18 math.NT
Recursive Formulas for MacMahon and Ramanujan $q$-series
本研究扩展了MacMahon开创的关联除数和与整数分拆及Ramanujan $q$-级数的主题，重点给出MacMahon和Ramanujan研究的多种$q$-级数的显式表示，探索其模性质及在1级和2级拟模形式环中的位置。
2024-11-29 math.NT
Character analogues of Ramanujan type integrals involving the Riemann $Ξ$-function
考虑一类新的积分，它涉及与本原Dirichlet特征标相关的$Ξ$ -函数的乘积.这些积分产生$F(z, α,χ)=F(-z, β,\barχ)=F(-z,α,\barχ)=F(z,β,χ)$类型的变换公式，其中$αβ=1$。新的字符类似物的变换公式的Guinand和Koshliakov以及那些拉马努金公式及其最近的推广显示作为特殊的例子。最后，得到了Ramanujan，Hardy和Littlewood的一个猜想的特征类似物，该猜想涉及默比乌斯函数的无穷级数.
2011-02-14 math.NT
On Chudnovsky-Ramanujan Type Formulae
在一个著名的1914年的文件，拉马努金了一些迅速收敛系列的$1/π$这是来自使用模函数的较高水平。D. V.和G. V. Chudnovsky在他们1988年的论文中使用1级的模函数$J$导出了表示$1/π$的类似级数，这导致了$1/π$的高度收敛级数，通常在实践中使用。在本文中，我们解释Chudnovsky方法的背景下，椭圆曲线，模曲线，和皮卡德-富克斯微分方程。在这样做时，我们也推广他们的方法，以产生公式是有效的周围的任何奇异点的Picard-Fuchs微分方程。将该方法应用于由水平1的绝对Klein不变量$J$参数化的椭圆曲线族，确定了所有在三个奇点之一：$0, 1, \infty$附近有效的Chudnovsky-Ramanujan型公式.
2017-06-30 math.NT
The Ramanujan sum and Chebotarev densities
在这个简短的说明中，我们显示了一个类似的Alladi的和Dawsey的公式关于Ramanujan和$c_n(m)$为$m\geq1$。它们的公式在我们的结果中可以看作是$m=1$的情形。
2020-08-08 math.NT
Ramanujan series upside-down
证明了1/π的Ramanujan型公式与Dirichlet L-值公式之间存在对应关系。同样的方法也允许我们解决某些值的爱泼斯坦zeta函数的快速收敛的超几何函数。Epstein zeta函数先前由Glasser和Zucker研究。
2012-06-18 math.NT
Extensions of Ramanujan-Mordell formula with coefficients $1$ and $p$
利用模形式的性质证明了Ramanujan-Mordell公式的如下推广：\begin{align*} z^{k-j}z_p^{j}=&\frac{p_χ^{k-j}-1}{p_χ^{k}-1}F_p(k,j;τ)+ \frac{p_χ^{k}-p_χ^{k-j}}{p_χ^{k}-1}F_p(k,j;pτ)+z^{k} A_p(k,j;τ), \end{align*}对所有$ 1 < k \in \mathbb{n} $，$0 \leq j \leq k$和$p$是奇素数.我们通过计算$Γ_0(4p)$的所有尖点处的模形式的傅里叶级数展开来得到这个结果。
2018-08-02 math.NT
Completions and algebraic formulas for the coefficients of Ramanujan's mock theta functions
我们提出了模拟θ函数到权$1/2$的调和弱Maass形式的完备化和模拟θ函数系数的代数公式。我们给出了几个以仿θ函数为全纯部分的权$1/2$的调和弱Maass形式.利用这些调和弱Maass形式和Millson θ提升，我们计算有限代数公式的系数出现的模拟θ函数的痕迹奇异模。
2019-12-18 math.NT
On Ramanujan's cubic composition formula
这是拉马努金提出的一个三次合成公式的初等解释。
2021-10-04 math.CO math.NT
Ramanujan-like formulas for Fourier coefficients of all meromorphic cusp forms
本文研究了亚纯模形式的Fourier展开。多年来，亚纯模形式的一些特殊情况被证明具有傅立叶展开，非常类似于Hardy和Ramanujan计算的权$6$ Eisenstein级数的倒数的展开。本文通过研究极调和Maass形式的更大空间中的亚纯模形式，证明了所有负权亚纯模形式（以及所有拟亚纯模形式）都具有这类Fourier展开式，只要它们有界于$i\infty$ .
2016-07-11 math.NT
A Number Field Analogue of Ramanujan's identity for $ζ(2m+1)$
Indian Institute of Technology Indore（印度德雷伊理工学院）
本文提出数字段中ζ(2m+1)的拉马努金-格罗斯沃尔德公式类比，并推导出Dedekind ζ函数在奇数参数处的新公式，同时推广Eisenstein系列和Dedekind eta函数的变换公式。
2024-07-04 math.NT
Identities inspired by the Ramanujan Notebooks, second series
一系列的公式都是由拉马努金笔记本[6]的启发。其中之一出现在笔记本II约泽塔（3）。这个公式启发了其他出现在1998年，2006年和2009年作者的网站上以及后来的文献[1][2][3]。新的公式π和加泰罗尼亚常数提出了一系列令人惊讶的近似。给出了Eisenstein级数的一组新的恒等式。所有公式都是实验上发现的，所以都是理论上的。提出了一种计算p（n）的新方法。
2011-03-14 math.NT
Efficient implementation of the Hardy-Ramanujan-Rademacher formula
我们描述了如何可以实现的Hardy-Ramanujan-Rademacher公式，以允许分拆函数$p(n)$计算软最佳的复杂性$O(n^{1/2+o(1)})$和非常小的开销。一个新的实现基于这些技术实现了加速超过一个因素500比以前公布的软件，并已被作者用来计算$p(10^{19})$，指数的两倍大，在以前报道的计算。我们还调查性能的多评价$p(n)$，我们的实现的Hardy-Ramanujan-Rademacher公式变得优于幂级数方法的索引比以前的实现更密集的集合。作为一个应用，我们确定了超过22亿新的同余的分拆函数，扩展韦弗的76,065同余的制表。
2012-07-06 math.NT
On the number of representations of certain quadratic forms and a formula for the Ramanujan Tau function
本文利用模形式的理论，求出了二次型$x_1^2+ x_1x_2 + x_2^2 + \ldots + x_{2k-1}^2 + x_{2k-1}x_{2k} + x_{2k}^2,$对于$k=7,9,11,12,14$的表示数.通过与G. A. Lomadze，我们得到了某些新形式的水平$3$和权重$7,9,11$的傅傅里叶系数的某些有限和涉及的解决方案类似的二次型低变量。在$24$变量的情况下，这些公式的比较产生了一个新的拉马努金Tau函数的公式。
2017-08-05 math.NT
An extension of Ramanujan-Guinand identity for the Dedekind zeta function and a new formula for $ζ_\mathbb{F}(2)$ and $ζ_\mathbb{F}(2m+1)$
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）
本文为戴德金ζ函数建立拉马努金-吉南恒等式的数域类似物，得到ζ_F(2)的新公式及ζ_F(2m+1)的恒等式，还获戴德金η函数对数的变换公式。
2026-08-10 math.NT
A Proof of Ramanujan's Classic $π$ Formula
National University of Singapore（新加坡国立大学）；The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文通过超几何级数和晶格求和方法，证明了拉马努金经典π公式，并引用了Dirichlet和Edwards的代数数论结果。
2026-01-09 math.NT
Transcendental formulas for the coefficients of Ramanujan's mock theta functions
本研究证明了拉马努金最后一封信中全部17个伪θ函数的精确系数公式，同时给出了奇秩格相伴韦伊表示的克洛斯特曼和之和的界定理，推进了伪θ函数系数的精确表达研究。
2025-09-02 math.NT
Some asymptotic formulae involving Cohen-Ramanujan expansions
本文研究了具有绝对收敛Cohen-Ramanujan展开的算术函数，推导了其加权和式的渐近公式，并给出特定函数的展开以说明结果。
2024-11-07 math.NT
One-parameter Generalizations of Ramanujan's Formula for $π$
给出了$\frac{1}π$的Ramanujan公式的几个终止推广，并给出了完整的WZ证明.
2009-03-02 math.CO math.NT
A rapidly converging Ramanujan-type series for Catalan's constant
本文利用一个已知的超几何级数恒等式证明了两个关于Catalan常数的Ramanujan型级数。这些中心二项式级数的收敛速度超过了所有已知的类似级数，包括一个经典的公式由Ramanujan和最近的公式由Lupas。有趣的是，这表明可以为这个常数找到一个类似于Apéry的非理性证明。
2017-06-03 math.NT
Some Remarks on Glaisher-Ramanujan Type Integrals
一些积分的Glaisher-Ramanujan型建立在一个更一般的形式比以前的研究。作为应用，我们证明了一些Ramanujan型级数恒等式，以及Dirichlet β函数在值$s=3.$上的一个新公式
2015-05-06 math.NT
Ramanujan-Nagell's Equation and Some of its Variations
本文共分两部分。目的的第一，主要的，部分是解释，在一个小学的方式，哈塞的证明拉马努金-Nagell定理。在第二部分中，我们给出了Ramanujan-Nagell方程的一些自然扩张。
2017-06-16 math.NT
Extensions of Ramanujan's two formulas for $1/π$
利用超几何方法，我们建立了Ramanujan [27]关于$1/π$的两个公式的推广.此外，还以同样的方式推导了具有自由参数的$1/π$的其他五个求和公式。
2012-02-06 math.CO math.NT
Transformations of Ramanujan's summation formula and its applications
本文给出了Ramanujan求和公式的几个新的变换公式，并建立了几个η-函数恒等式。我们还导出了一个q-Γ函数恒等式、n个q-积分和一些有趣的级数表示。
2005-01-28 math.CV math.NT
On a problem on Ramanujan-Sato series of level 11
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文解决了关于第11级Ramanujan-Sato级数系数$c_{11}(n)$的长期未解问题，通过引入并证明一个双二项式求和公式，直接类比较低级系数公式，成功给出了所有非负整数$n$的显式表达式。
2026-10-02 math.NT
A method for proving Ramanujan series for $1/π$
在一个著名的文件$1914$拉马努金给出了一个列表的$17$非凡的公式数$π$。在本文中，我们解释了一个一般的方法来证明他们，根据原来的想法詹姆斯万和在一些自己的想法。
2018-08-16 math.NT
Ramanujan-like series for $1/π^2$ and String Theory
利用卡-丘微分方程理论中的机械原理，我们找到了超几何和非超几何类型的$1/π^2$的公式。
2012-03-21 math.NT
Ramanujan's formula for the logarithmic derivative of the gamma function
我们证明了一个显着的拉马努金公式的对数导数的Γ函数，收敛速度比经典的扩展，这是没有证明拉马努金的笔记本电脑。该公式有一些非常有趣的后果，我们得出，包括一个优雅的双曲求和，拉马努金公式的黎曼ζ函数评价在奇数正整数，和新的公式欧拉常数，伽玛。
2005-05-07 math.CA math.NT
Generalized Lambert series, Raabe's integral and a two-parameter generalization of Ramanujan's formula for $ζ(2m+1)$
对广义Lambert级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{N-2h}\exp{(-an^{N}x)}}{1-\exp{(-n^{N}x)}}, 0<a\leq 1,\ x>0$、$N\in\mathbb{N}$和$h\in\mathbb{Z}$进行了全面的研究。我们在这里获得的这个系列的两个一般变换导致Ramanujan著名的$ζ(2m+1)$公式，$m>0$和$\logη(z)$的变换公式的双参数推广。许多重要的特殊情况下，我们的转换派生。对于$N$奇数和$m\in\mathbb{N}$，获得与$ζ(2N+1), ζ(4N+1),\cdots, ζ(2Nm+1)$相关的恒等式。对于奇zeta值和广义Lambert级数，得到了Zudilin型和Rivoal型超越结果.给出了超越$ζ(2m+1)$的一个判据和Euler常数$γ$无理性的一个Zudilin型结果。对$N$偶得到了类似于Ramanujan和Klusch的新结果，并得到了一个涉及$ζ\left(2m+1-\frac{1}{N}\right)$的超越结果.
2018-01-28 math.NT
A p-adic analogue of a formula of Ramanujan
拉马努金一生中提供了许多将二项和与Γ函数的特殊值联系起来的公式。基于数值计算，Van Hamme最近提出了类似于这些公式的$p$ -adic类似物。利用普通的和高斯的超几何级数的组合，我们证明了这些公式之一。
2007-08-24 math.CO math.NT
Abel Summation of Ramanujan-Fourier Series
本文利用Abel求和方法证明了算术函数的Wiener-Khinchin公式的一个弱形式，该公式具有逐点收敛的Ramanujan-Fourier展开式。主要结果是：具有R-F展开式的大多数算术函数的卷积是Abel可和的，其结果只涉及R-F展开式的Ramanujan-傅里叶系数。
2015-12-06 math.NT
Asymptotic expansions for a class of generalized holomorphic Eisenstein series, Ramanujan's formula for $ζ(2k+1)$, Weierstrass' elliptic and allied functions
本文建立了一类广义全纯Eisenstein级数的完整渐近展开及余项显式表达式，并由此导出Riemann zeta函数特定值的Euler和Ramanujan公式新变体，以及Weierstrass椭圆函数的模关系。
2023-04-11 math.NT
Generalizations (in the spirit of Koshliakov) of some formulas from Ramanujan's Lost Notebook
本文在科什利亚科夫理论框架下推广了拉马努金遗失笔记中关于除数函数和戴德金η函数对数变换的若干恒等式。
2023-07-07 math.CA math.NT
On generalized Eisenstein series and Ramanujan's formula for periodic zeta-functions
本文研究了由\[ G(z,s;A_α,B_β;r_{1},r_{2})=\sum\limits_{m,n=-\infty}^{\infty }\ \hspace{-0.19in}^{^{\prime}}\frac{f(αm)f^{\ast}(βn)} {((m+r_{1})z+n+r_{2})^{s}},\text{ }\operatorname{Re}(s)>2,\text{ }\operatorname{Im}(z)>0 \]定义的一大类Eisenstein级数的变换公式，给出了$s=1-r$，$r\in\mathbb{N}$ .这里$\left\{ f(n)\right\}$和$\left\{ f^{\ast}(n)\right\}$、$-\infty<n<\infty$是具有周期$k>0$的复数序列，以及$A_α=\left\{ f(αn)\right\} $和$B_β=\left\{ f^{\ast}(βn)\right\}$、$α,β\in\mathbb{Z}$。变换公式中出现的是包含周期伯努利函数的Dedekind和的推广。在变换公式的范围外，证明了周期Apostol-Dedekind和的互易律.此外，给出了$G(z,s;A_α,I;r_{1},r_{2})$和$G(z,s;I,A_{α};r_{1},r_{2})$的变换公式，其中$I=\left\{ 1\right…
2016-02-22 math.NT
Zeros of Ramanujan-type Polynomials
本文针对拉马努金型多项式$R_{2k+1,p}(z)$的非实零点分布猜想，给出了该多项式所有非实零点均位于圆$|z|=1/p$上的证明，推进了相关数论多项式零点性质的研究。
2023-06-17 math.NT
Product formulas for the $5$-division points on the Tate normal form and the Rogers-Ramanujan continued fraction
证明了以$(X,Y)=(0,0)$为阶点的椭圆曲线的Tate标准形$E_5$上的$5$ -扭点的显式公式。这些公式将$E_5[5] - \langle(0,0)\rangle$中的点的坐标表示为根据$5$的单位根和参数$u$的线性分数量的乘积，其中定义曲线$E_5$的参数$b$被给出为$b=(\varepsilon^5 u^5- \varepsilon^{-5})/(u^5+1)$和$\varepsilon = (-1+\sqrt{5})/2$。如果$r(τ)$是Rogers-Ramanujan连分数和$b=r^5(τ)$，则$E_5[5] - \langle(0,0)\rangle$中$5$阶点的坐标是$r(5τ)$中的线性分式表达式与$\mathbb{Q}(ζ_5)$中的系数的乘积.
2018-06-11 math.NT
