A map of Ramanujan expansions
地图是小比例尺的全景图.在这篇半调查半研究的论文中，我们给出了Ramanujan展开式的一般结果。我们不包括海洋的结果，从文献上的两个类（见施瓦茨，Spilker书，也卢希特的调查这些）的添加剂和乘性函数，而我们包括，说，两个新的（不是简单连接）土地有限拉马努金膨胀（见我的论文，与Murty &萨哈）和移位拉马努金膨胀（见我随后的论文，与Murty）。
2018-12-08 math.NT
On Ramanujan-Fourier expansions
本文利用归一化Ramanujan-Fourier展开启发式研究除数函数的移位卷积，并验证该方法能给出预期结果。
2023-05-28 math.NT
Some asymptotic formulae involving Cohen-Ramanujan expansions
本文针对具有绝对收敛Cohen-Ramanujan展开的算术函数，推导了其相关卷积和的渐近公式，并给出若干函数的展开实例以验证结论。
2024-01-01 math.NT
Type-(I,II) Interpolations and some asymptotic expansions using Ramanujan's master theorem
Mellin变换理论是评价zeta函数的一些著名结果的非常有用的工具。拉马努金在他的季度报告\cite{1}了一个定理梅林变换这是现在被称为拉马努金的主定理\cite{2}。本文在已有结果\cite{3}的基础上，导出了Ramanujan主定理的一些推广形式，并将其应用于Riesz函数$R(z)$和广义二项式函数等特殊函数.利用推广的Ramanujan主定理，还导出了一些渐近展开.
2022-08-01 math.NT
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions
对于两个数论函数$f$和$g$，我们研究了形式为$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$的卷积和，给出了其具有显式误差项的渐近公式.在这里，我们介绍了有限拉马努金展开的算术函数的概念，并延长我们以前的工作在这个设置。
2016-12-09 math.NT
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions, II
我们继续我们的研究卷积和两个算术函数$f$和$g$，形式$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$，在启发式渐近公式的上下文中。这里，整数$h\ge 0$通常被称为卷积和的{ \it移位}。为了研究广义$f,g$的有限Ramanujan展开式的卷积和，我们进一步研究了广义$f,g$的有限Ramanujan展开式.此外，我们介绍了另一种Ramanujan扩展的卷积和的$f$和$g$，即在其移位$h$方面，我们比较这个\lq \lq移位Ramanujan扩展\rq \rq，与我们以前的有限扩展的$f$和$g$参数。最后但并非最不重要的，我们给出了这样的移位扩展的例子，在经典文献中，启发式公式。
2017-05-19 math.NT
On Ramanujan smooth expansions for a general arithmetic function
本文详细研究了一般算术函数的 Ramanujan smooth 展开，提出了针对无平方因子且素因子不超过 $P$ 的自变量的 $P-$local 展开方法，并给出了特定算术函数子集的局部与全局展开一般结果。
2024-07-29 math.NT
Ramanujan expansions of arithmetic functions of several variables over $\mathbb{F}_{q}[T]$
设$\mathbb{A}=\mathbb{F}_{q}[T]$是有限域$\mathbb{F}_{q}$上的多项式环，$\mathbb{A}_{+}$是$\mathbb{A}$中的首一多项式集.本文证明了$\mathbb{A}_{+}$上的一大类多元算术函数可以通过多项式Ramanujan和与酉多项式Ramanujan和展开.这些结果与Winter，Delange和Tóth关于$\mathbb{N}$的经典结果类似.
2019-09-29 math.NT
Finite and infinite Euler products of Ramanujan expansions
所有具有在$a\in $ N中逐点收敛的拉马努金展开式$F(a)=\sum_{q=1}^{\infty}G(q)c_q(a)$（这里$c_q(a)$是拉马努金和）的$F:$ N $\rightarrow $ C，其中$G:$ N $\rightarrow $ C是乘法函数，可以分解为两个拉马努金展开式，其中一个是有限欧拉积：细节在我们的主要定理中。这是一个普遍的结果，具有意想不到的和有用的后果，特别是，对于零函数的Ramanujan展开，假设0。主定理不需要其他分析假设，因为逐点收敛就足够了;这取决于欧拉$p-$因子的一般性质（欧拉乘积中的因子）;即，一旦固定$G(q)c_q(a)$ N（和素数$p$），$G(q)c_q(a)$的$p-$欧拉因子（涉及所有$p-$幂）有有限个非零项（取决于$a$）：参见我们的主引理。如果我们还加上一些其他的假设，比如绝对收敛，我们就得到了更多经典的欧拉积：无穷乘积。对于0的拉马努金展开式，这个强假设使得0的拉马努金系数类小得多;也排除了拉马努金的$G(q)=1/q$和哈代的$G(q)=1/φ(q)$（$φ$是欧拉的totient函数）。相反，我们的主要定理足以对0的所有乘法Ramanujan系数进行分类，因此我们也宣布并（部分）证明了这种分类。
2019-11-11 math.NT
Convergence of Ramanujan expansions, I [Multiplicativity on Ramanujan clouds]
我们称$R_G(a):=\sum_{q=1}^{\infty}G(q)c_q(a)$为系数为$G:$ N $\to$ C的“Ramanujan级数”，其中$c_q(a)$是众所周知的Ramanujan和。我们研究这个系列的收敛性（初步的一步，研究Ramanujan展开和定义$G$ 'Ramanujan系数'时，$R_G(a)$逐点收敛，在所有自然$a$。然后，$R_G:$ N $\to$ C被很好地定义（'w-d'）。固定的$F:$ N $\to$ C的“拉马努金云”是$<F>:=$ { $G:N\to C|R_G \; w-d, F=R_G$ }。(See附录）。我们详细研究乘法拉马努金系数$G$：其$<F>$子集被称为“乘法拉马努金云”，$<F>_M$。我们的第一个主要结果，$G$乘法的“收敛性定理”，以及其他等价于“$R_G$良好定义”的性质，将收敛性测试减少到有限集，即，$R_G$ w-d等价于：$R_G(a)$收敛于所有除$N(G)\in$ N的$a$，我们称之为“Ramanujan导体”。我们的第二个主要结果，“有限欧拉积显式公式”，乘法拉马努金系数$G$，写$F=R_G$作为有限欧拉积;因此，$F$是一个半乘法函数（以下Rearick定义）和该产品是Selberg因式分解$F$。特别是，我们有：$F(a)=R_G(a)$绝对收敛，是有限的（长度取决于$a$的非零$p-…
2020-09-29 math.NT
Abel Summation of Ramanujan-Fourier Series
本文利用Abel求和方法证明了算术函数的Wiener-Khinchin公式的一个弱形式，该公式具有逐点收敛的Ramanujan-Fourier展开式。主要结果是：具有R-F展开式的大多数算术函数的卷积是Abel可和的，其结果只涉及R-F展开式的Ramanujan-傅里叶系数。
2015-12-06 math.NT
On Ramanujan expansions and primes in arithmetic progressions
Delange的一个著名定理给出了一个算术函数是相关的Ramanujan展开式与Wintner的一个结果所提供的系数之和的充分条件。利用Delange定理讨论了von Mangoldt函数与其不完全形式的相关性，导出了一个涉及等差数列中素数计数函数的不等式.一个值得注意的方面是，这样的不等式等价于著名的Hardy和Littlewood的孪生素数的代数公式。
2022-03-23 math.NT
Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions
Chinmaya Vishwa Vidyapeeth (Deemed to be University)（钦迈亚维什瓦维德佩特大学）；Baby John Memorial Government College（贝比·约翰纪念政府学院）；Government of Kerala, India（印度喀拉拉邦政府）
本文推导了Jordan亏函数的科恩-拉马努金展开式，并给出了相关求和的渐近公式。
2025-12-06 math.NT
On a Ramanujan type expansion of arithmetical functions
Srinivasa Ramanujan提供了一系列的扩展某些算术函数的指数和定义的$c_r(n) = \sum\limits_{\substack{{m=1}\\ (m,r)=1}}^{r} e^{\frac{2 πimn}{r}}$在[Trans.剑桥Phillos。Soc.，22（13）：259- 276，1918]。这里我们给出了类似的关于E.科恩在[杜克大学数学杂志，16（85-90）：2，1949]作为$c_r^s(n)=\sum\limits_{\substack{h=1\\ (h,r^s)_s=1}}^{r^s}e^{\frac{2πi n h}{r^s}}$。我们还提供了这种扩张存在的一些充要条件。
2023-03-15 math.NT
Expansions of arithmetic functions of several variables with respect to certain modified unitary Ramanujan sums
我们引入了新的类似物的Ramanujan和，表示为$\widetilde{c}_q(n)$，与酉因子，并获得有关的结果展开的算术函数的几个变量的总和$\widetilde{c}_q(n)$。我们将这些结果应用到与$σ^*(n)$和$ϕ^*(n)$相关的某些函数，分别表示酉σ函数和酉phi函数。
2018-06-11 math.NT
A reciprocity theorem for the Cohen-Ramanujan sums and its application to Cohen-Ramanujan expansions in the second variable
本文证明 Cohen-Ramanujan 和的互反定理，并据此刻画某些算术函数在第二变量上的两类 Cohen-Ramanujan 展开的等价存在性。
2023-12-10 math.NT
Some asymptotic formulae involving Cohen-Ramanujan expansions
本文研究了具有绝对收敛Cohen-Ramanujan展开的算术函数，推导了其加权和式的渐近公式，并给出特定函数的展开以说明结果。
2024-11-07 math.NT
Ramanujan-like formulas for Fourier coefficients of all meromorphic cusp forms
本文研究了亚纯模形式的Fourier展开。多年来，亚纯模形式的一些特殊情况被证明具有傅立叶展开，非常类似于Hardy和Ramanujan计算的权$6$ Eisenstein级数的倒数的展开。本文通过研究极调和Maass形式的更大空间中的亚纯模形式，证明了所有负权亚纯模形式（以及所有拟亚纯模形式）都具有这类Fourier展开式，只要它们有界于$i\infty$ .
2016-07-11 math.NT
Ramanujan and the Regular Continued Fraction Expansion of Real Numbers
在最近的一些论文中，作者考虑了\[ [a_{0};\underbrace{a,...,a}_{m}, \underbrace{a^{2},...,a^{2}}_{m}, \underbrace{a^{3},...,a^{3}}_{m}, ... ], \]形式的正则连分式，其中$a_{0} \geq 0$，$a \geq 2$和$m \geq 1$是整数.对于一般的$a$以及在$m=1$和$m=2$的情况下，这种连分数的极限被给出为某些无穷级数的比。然而，这些公式可以从已知的事实，两个连续分数的拉马努金。出于这些意见，我们给以前的作者的情况下$m=1$和$m=2$的结果的替代证明，并使用已知的结果对其他$q$ -连续分数的Ramanujan研究，以获得其他无限家庭的经常连续分数的限制。
2004-02-27 math.NT
On an identity of Delange and its application to Cohen-Ramanujan expansions
本文将 Delange 关于 Ramanujan 和的界、精确值及展开存在性条件推广到 E. Cohen 定义的 Cohen-Ramanujan 和。
2023-12-10 math.NT
Two complementary relations for the Rogers-Ramanujan continued fraction
令$R(q)$为Rogers-Ramanujan连分数。对Ramanujan给出的和Watson和Ramanathan证明的$R(q)$的两个互补关系给出了不同的证明.我们的证明只使用经典Jacobi θ函数的乘积展开式。
2021-12-24 math.NT
Asymptotic expansions for the truncation error in Ramanujan-type series
许多已知的计算$π$的最快算法涉及广义超几何级数，例如Ramanujan-Sato级数。本文研究了几个这类级数的收敛速度，并给出了有限逼近误差的渐近展开式。例如，当使用Chudnovskys级数的第一$n$项时，我们得到有限近似$π_n\approx π$。已知截断误差满足$|π_n-π|\approx 53360^{-3n}.$在本文中，我们证明了Chudnovskys级数中的截断误差的渐近展开式是$$\left|π_n-π\right|=53360^{-3n}\cdot\frac{{106720}\sqrt{{10005}π}}{{1672209}\sqrt{n}}\cdot\exp\left(\frac{A_1}{n}+\frac{A_2}{n^2}+\frac{δ_n}{n^3}\right),$$，具有${0.006907}<δ_n<{0.008429}$和$A_1$和$A_2$的精确有理数值：$$A_1= -\frac{1781843197433}{7456754505816},$$ $$A_2= -\frac{1080096011925710088395}{3475199235000451148614116}.$$因此，我们演示了如何建立精确的误差界，通过对$1/π$的Ramanujan样级数获得的$π$的近似。在附录中，我们还给出了所有已知的$1/π$有理超几何级数…
2022-05-19 math.NT
Asymptotic expansions for a class of generalized holomorphic Eisenstein series, Ramanujan's formula for $ζ(2k+1)$, Weierstrass' elliptic and allied functions
本文建立了一类广义全纯Eisenstein级数的完整渐近展开及余项显式表达式，并由此导出Riemann zeta函数特定值的Euler和Ramanujan公式新变体，以及Weierstrass椭圆函数的模关系。
2023-04-11 math.NT
Vanishing coefficients in several $q$-series expansions related to the Rogers--Ramanujan continued fraction
本文研究了算术级数中泰勒系数为零的几类无穷乘积.这些无穷乘积与Rogers-Ramanujan连分数密切相关。此外，将建立一些涉及拉马努金参数的新身份。
2020-03-28 math.CO math.NT
On new identities connecting Ramanujan-Göllnitz-Gordon continued fraction and Ramanujan's continued fraction of order four
Manipal Institute of Technology, Manipal Academy of Higher Education（马尼帕尔高等教育局马尼帕尔理工学院）
本文利用q级数和theta函数理论，建立连接拉马努金-戈尔尼茨-戈登连续分数与四阶拉马努金连续分数的新恒等式，并利用拉马努金的_1ψ_1求和公式获得Lambert级数恒等式。
2026-06-06 math.NT
Generalizing Ramanujan's J Functions
We generalize Ramanujan's expansions of the fractional-power Euler functions (q^{1/5})_{ \infty } = [ J_1 - q^{1/5} + q^{2/5} J_2 ](q^5)_{ \infty } and (q^{1/7})_{ \infty } = [ J_1 + q^{1/7} J_2 - q^{2/7} + q^{5/7} J_3 ] (q^7)_{ \infty } to (q^{1/N})_{ \infty }, where N is a prime number greater than 3. We show that there are exactly (N+1)/2 non-zero J functions in the expansion of (q^{1/N})_{ \infty }, that one of these functions has the form +-q^{X_0}, that all others have the form +-q^{X_k} times the ratio of two Ramanujan theta functions , and that the product of all the non-zero J's is +-…
2011-10-03 math.NT
Logarithmic moments of the Rogers-Ramanujan continued fraction and odd zeta values
该研究探讨Rogers-Ramanujan连分数的尖点展开对其普通与对数Mellin矩的控制作用，证明相关系数的代数性质，确定归一化矩生成函数的极点，并建立反射恒等式等结果。
2026-10-14 math.NT
Level $17$ Ramanujan-Sato series
利用两个17级模函数$$ r=q^{2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{\left(\frac{n}{17}\right)},\quad s=q^{2}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{17n})^{3}}{(1-q^{n})^{3}}, $$构造了一类新的$1/π$的Ramanujan-Sato级数.这种膨胀是由类似于拉马努金笔记中出现的5级和13级的模恒等式引起的。导出了参数奇异值对应的有理级数和二次级数的完整列表。
2017-11-01 math.NT
General elementary methods meeting elementary properties of correlations
本文综述两个一般算术函数相关性的性质，从 Ramanujan expansions 视角出发，深化并新增了证明 Ramanujan exact explicit formula 的初等方法。
2024-03-25 math.NT
Congruences for Ramanujan's f and ω functions via generalized Borcherds products
Bruinier和Ono最近发展了广义Borcherds积理论，它使用某些Maass形式的系数作为亚纯模形式的无穷乘积展开式的指数。利用这一点，人们可以使用经典的结果，同余的模形式，以获得的同余的马斯形式。本文给出了Ramanujan模拟θ函数f和ω的例子。
2013-08-15 math.NT
Berndt-Type Integrals and Series Associated with Ramanujan and Jacobi Elliptic Functions
本文以闭式求解含双曲与三角函数的Berndt型无穷积分，通过Gamma函数特殊值及椭圆函数展开求双曲和，并给出显式公式与猜想。
2026-11-10 math.NT
Good Ramanujan Expansions: A suitably enhanced decay of coefficients has important consequences
本文引入“好的拉马努金展开”（G.R.E.）定义，要求系数具有对数幂次增强衰减，并证明该性质导致算术函数的若干重要推论，包括无穷小性、唯一性、有界性以及一类新函数无法具有G.R.E.。
2026-08-31 math.NT
Series for $1/π$ of signature 20
利用θ函数的性质和Jacobi和Ramanujan的Eisenstein级数推导了与20级McKay Thompson级数相关的微分方程。利用奇异值理论导出了签名$20$的$1/π$的展开式，类似于Ramanujan的展开式.
2017-11-01 math.NT
An elementary property of correlations
本文研究了满足Ramanujan猜想的一般$f,g$的移位Ramanujan展开式（见1705.07193），以得到它们的移位卷积和的公式，比如$C_{f,g}(N,a)$，长度为$N$，移位为$a$（所以Ramanujan展开式是关于a>0的）.我们证明，假设Delange假设（DH）的扩展，我们得到说Ramnujan精确的显式公式（R.e.e.f.）。当然，一个值得注意的例子是$f=g=Λ$，即冯·曼戈尔特函数，所以$C_{Λ,Λ}(N,2k)$，对于自然的$k$，与$2k-$孪生素数有关;假设它们是$(DH)$，我们得到（从相应的R.e.e.f.）证明哈代-利特尔伍德猜想。
2017-09-18 math.NT
Extensions of Ramanujan-Mordell formula with coefficients $1$ and $p$
利用模形式的性质证明了Ramanujan-Mordell公式的如下推广：\begin{align*} z^{k-j}z_p^{j}=&\frac{p_χ^{k-j}-1}{p_χ^{k}-1}F_p(k,j;τ)+ \frac{p_χ^{k}-p_χ^{k-j}}{p_χ^{k}-1}F_p(k,j;pτ)+z^{k} A_p(k,j;τ), \end{align*}对所有$ 1 < k \in \mathbb{n} $，$0 \leq j \leq k$和$p$是奇素数.我们通过计算$Γ_0(4p)$的所有尖点处的模形式的傅里叶级数展开来得到这个结果。
2018-08-02 math.NT
Multiplicative Ramanujan coefficients of null-function
空函数$0(a):=0$，$\forall a\in $ N，有Ramanujan展开式：$0(a)=\sum_{q=1}^{\infty}(1/q)c_q(a)$（其中$c_q(a):=$ Ramanujan和），由Ramanujan给出，和$0(a)=\sum_{q=1}^{\infty}(1/φ(q))c_q(a)$，由Hardy给出（$φ:=$欧拉函数）。两者都在N中逐点收敛（不是绝对收敛）。$G:$ N $\rightarrow $ C被称为拉马努金系数，焦距对R.c.，当且仅当$\sum_{q=1}^{\infty}G(q)c_q(a)$收敛于所有$a\in $ N;给定$F:$ N $\rightarrow $ C，我们称$<F>$，它的R.c.s的集合，$F$的拉马努金云。arxiv：1910.14640中关于Ramanujan展开式和有限Euler积的主要定理，给出了$0$的乘法Ramanujan系数的一个完全分类. Ramanujan的$G_R(q):=1/q$是正规算术函数$G$，即，在所有素数$p$上与$G(p)\neq 1$相乘;而Hardy的$G_H(q):=1/φ(q)$是零星的$G$，即对于$p$的有限集合是相乘的$G(p)=1$，但是没有$p$与$G(p^K)=1$在所有整数$K\ge 0$上（Hardy的有$G_H(p)=1$当且仅当$p=2$）…
2020-06-07 math.NT
On the Divergence of the Rogers-Ramanujan Continued Fraction on the Unit Circle
设任意无理数$t \in (0,1)$的连分数展开式记为$[0,a_{1}(t),a_{2}(t),...]$，该连分数展开式的第i次收敛记为$c_{i}(t)/d_{i}(t)$。设\[ S=\{t \in (0,1): a_{i+1}(t) \geq ϕ^{d_{i}(t)} \text{infinitely often}\}, \]，其中$ϕ= (\sqrt{5}+1)/2$ .令$Y_{S} =\{\exp(2 πi t): t \in S \}$。证明了若$y \in Y_{S}$成立，则Rogers-Ramanujan连分数R（y）在y处发散. S是一个不可数的零测度集。它还表明，有一个不可数的点集，$G \subset Y_{S}$，使得如果$y \in G$，则R（y）一般不收敛。进一步证明了对于|y| > 1，R（y）一般不收敛;如果y是一个本原的5 m次单位根，某个$m \in \mathbb{N}$，则R（y）一般收敛.
2001-10-15 math.NT
Beyond Endoscopy via the trace formula - II: Asymptotic expansions of Fourier transforms and bounds towards the Ramanujan conjecture
我们继续分析的椭圆部分的轨迹公式发起的\cite{Altug:2015aa}。在该文献中，泊松求和被应用到椭圆部分，并分析了主导项。本文的主要目的是研究泊松求和后的余项。分析了（光滑）轨道积分的傅里叶变换，得到了精确的渐近展开。作为一个应用，我们恢复，使用阿瑟-塞尔伯格迹公式，库兹涅佐夫的结果（cf。\cite{Kuznetsov:1980aa}）证明了$p$ th Hecke算子在尖点自守表示上的迹是由$p^{\frac14}$有界的.
2015-12-31 math.NT math.RT
A smooth summation of Ramanujan expansions
本文提出Ramanujan级数的光滑求和概念，证明其在Wintner假设下收敛，并应用于相关性与Hardy–Littlewood孪生素数猜想。
2023-06-24 math.NT
Simple error bounds for an asymptotic expansion of the partition function
本文为整数划分函数 $p(n)$ 的 Poincaré 型简化渐近展开建立了可计算的误差界，该界比近期文献更尖锐且推导更简单。
2024-09-25 math.NT
Ramanujan's approximation to the exponential function and generalizations
利用Perron鞍点法重新检验了Ramanujan对指数函数的逼近。这允许一个广泛的推广，包括巴克霍尔茨的结果，并在所有的渐近展开系数可以给出封闭的形式。拉马努金近似的指数积分处理类似。
2022-05-17 math.CO math.NT
Instant Evaluation and Demystification of $ζ(n),L(n,χ)$ that Euler,Ramanujan Missed - I
对于Hurwitz Zeta函数，本文将其关于各点的Taylor级数展开式视为第二变量在适当圆上的解析函数，证明了对于第一变量的非正整数辐角，这些Taylor级数都是第二变量的多项式，从而利用泛函方程，得到了黎曼ζ函数在辐角为正偶数整数值时和Dirichlet L级数在正整数值时的即时求值当其自变量和相应的Dirichlet特征标均为偶数或均为奇数时，我们得到了任意Dirichlet L级数的有限和表达式，当其自变量为1时，我们也用类似的方法处理了Lerch的Zeta函数.
2008-01-06 math.NT
A new class of Correlations insisting on Ramanujan expansions
本文提出了一种新的双季节相关性类，用于研究孪生素数和相关算术问题。
2026-02-20 math.NT
Ramanujan sums analysis of long-period sequences and 1/f noise
Ramanujan和是指数和，其指数定义在不可约分数上。到目前为止，它们已经被用来提供收敛展开的一些算术函数出现在数论的背景下。在本文中，我们提供了一个应用程序的Ramanujan和扩展到周期，准周期和复杂的时间序列，作为一个重要的替代傅立叶变换。13年来道琼斯指数的Ramanujan-Fourier光谱和69年来太阳活动日冕指数的Ramanujan-Fourier光谱被作为说明性的例子。可以用明显的长周期来代替傅里叶变换的1/f ^α谱。
2008-12-11 math-ph math.MP math.NT
Asymptotic expansions, $L$-values and a new Quantum Modular Form
2010年，Zagier提出了量子模形式的概念。他的第一个例子是“奇怪的”功能$F(q)$的Kontsevich。在这里，我们产生了一个新的例子，量子模形式利用一些Ramanujan的模拟θ函数。使用这些功能和他们的转换行为，我们也计算渐近展开类似的$F(q)$的扩展。
2013-11-14 math.NT
Matching coefficients in the series expansions of certain $q$-products and their reciprocals
我们证明了某些$q$-乘积的级数展开式具有\textit{matching coefficients}及其倒数.一些结果与拉马努金的连分数。例如，令$R(q)$表示具有公知的$q$-乘积表示$$R(q)=\dfrac{(q;q^5)_\infty(q^4;q^5)_\infty}{(q^2;q^5)_\infty(q^3;q^5)_\infty}.$$的Rogers-Ramanujan连分数。如果\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}α(n)q^n=\dfrac{1}{R^5\left(q\right)}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}α^{\prime}(n)q^n\right)^{-1},\\ \sum_{n=0}^{\infty}β(n)q^n=\dfrac{R(q)}{R\left(q^{16}\right)}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}β^{\prime}(n)q^n\right)^{-1}, \end{align*}，则\begin{align*} α(5n+r)&=-α^{\prime}(5n+r-2) \quad r\in\{3,4\},\\ β(10n+r)&=-β^{\prime}(10n+r-6) \quad r\in\{7,9\}. \end{align*}
2021-10-29 math.NT
Ramanujan's function on small primes
本文研究了拉马努金函数在小素数上的特征值振荡现象，并探讨其对勒默问题的潜在应用。
2026-03-10 math.CV math.NT
Ramanujan's formula for the logarithmic derivative of the gamma function
我们证明了一个显着的拉马努金公式的对数导数的Γ函数，收敛速度比经典的扩展，这是没有证明拉马努金的笔记本电脑。该公式有一些非常有趣的后果，我们得出，包括一个优雅的双曲求和，拉马努金公式的黎曼ζ函数评价在奇数正整数，和新的公式欧拉常数，伽玛。
2005-05-07 math.CA math.NT
5-Dissections and sign patterns of Ramanujan's parameter and its companion
1998年，Michael Hirschhorn发现了Rogers-Ramanujan连分数$R(q)$及其倒数的5-剖分.本文给出了函数$R(q)R(q^2)^2$和$R(q)^2/R(q^2)$的5-剖分，它们本质上是Ramanujan参数及其伴随参数. 5-这两个函数的倒数的解剖推导以及。这些5-剖分意味着在它们的级数展开式中的系数具有周期性的符号模式，很少有例外。
2020-06-25 math.CO math.NT
Applications of the Heine and Bauer-Muir transformations to Rogers-Ramanujan type continued fractions
本文证明了一般Ramanujan函数$G(aq,b,łq)/G(a,b,ł)$的商的各种连分数可以通过Bauer-Muir变换相互导出。分子和子的分别收敛在证明连分数及其Bauer-Muir变换收敛于同一极限中起着关键作用。我们还证明了这些连分数可以由$_2ϕ_1$函数的比例的Heine连分数和类似类型的其它连分数导出，并由此导出了$G(aq,b,łq)/G(a,b,ł)$的一个新的连分数.最后，我们得到了一些新的版本的一些美丽的连分数展开的拉马努金的某些组合的无穷乘积，以下是一个例子：\begin{multline*} \frac{(-a,b;q)_{\infty} - (a,-b;q)_{\infty}}{(-a,b;q)_{\infty}+ (a,-b;q)_{\infty}} = \frac{(a-b)}{1-a b} \- \frac{(1-a^2)(1-b^2)q}{1-a b q^2}\\ \- \frac{(a-bq^2)(b-aq^2)q}{1-a b q^4} %\phantom{sdsadadsaasdda}\\ \- \frac{(1-a^2q^2)(1-b^2q^2)q^3}{1-a b q^6} \- \frac{(a-bq^4)(b-aq^4)q^3}{1-a b q^8} \- \cds . \end{multline*}
2019-06-27 math.NT
Landau and Ramanujan approximations for divisor sums and coefficients of cusp forms
本文通过计算 Euler-Kronecker 常数得到除数和函数计数函数渐近展开的二阶项，并确定 Ramanujan 逼近优于 Landau 逼近的条件，进而研究六个尖形式 Fourier 系数的不可整除性。
2021-09-07 math.NT
Sign law for Ramanujan's third order mock theta function $ρ(q)$
Institute of Discrete Mathematics and Geometry（离散几何研究所）；TU Wien（维也纳工业大学）
研究Ramanujan三阶模拟theta函数ρ(q)的系数r(n)的符号模式，利用Watson关系与Rademacher展开证明r(3n)>0、r(3n+1)<0、r(3n+2)<0对充分大n成立。
2026-06-29 math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
An asymptotic expansion for a Lambert series associated to the symmetric square $L$-function
Hafner和Stopple证明了Zagier的一个猜想，即与Ramanujan tau函数相关联的对称平方$L$ -函数的逆梅林变换具有关于黎曼ζ函数$ζ(s)$的非平凡零点的渐近展开。后来，Chakraborty，Kanemitsu和第二作者将这一现象推广到全模群上的任何Hecke特征形。本文研究了Lambert级数\begin{equation*} y^k \sum_{n=1}^\infty λ_{f}( n^2 ) \exp (- ny), \quad \textrm{as}\,\, y \rightarrow 0^{+}, \end{equation*}的一个渐近展开，其中$λ_f(n)$是全模群上权为$k$的Hecke本征形式$f(z)$的$n$阶Fourier系数.
2021-05-15 math.NT
