李系统：理论、推广与应用

变形线性谐振子相空间坐标得到的Liénard和广义Liénard型非线性常微分方程的精确解

Exact solutions of the Liénard and generalized Liénard type ordinary non-linear differential equations obtained by deforming the phase space coordinates of the linear harmonic oscillator

研究了线性谐振子方程与物理上描述重要振子系统的Liénard型和广义Liénard型二阶非线性常微分方程之间的联系.本文利用量子力学的方法，将经典线性谐振子的运动方程推广到几类强非线性微分方程，这种方法是基于谐振子相空间坐标的变形。第一积分，和相应的方程的精确解的数量明确获得。所设计的方法可以进一步推广到与谐振子无关的二阶非线性微分方程的显式通解。所得结果的应用研究的行波解的反应对流扩散方程，和大振幅自由振动的均匀悬臂梁也提出。

2015-06-28math-phmath.CAmath.MP

Liénard型非线性常微分方程的一类精确解

A class of exact solutions of the Liénard type ordinary non-linear differential equation

得到了Liénard型常非线性微分方程的一类精确解.作为研究的第一步，将二阶Liénard型方程转化为第二类Abel型一阶微分方程.利用Abel方程的精确可积性条件（Chiellini引理），可以得到Abel方程的精确通解，从而得到Liénard方程的一类精确解，以参数形式表示。我们还将Chiellini可积性条件推广到一般Abel方程的情形。作为可积性条件的应用，我们得到了一些特殊的Liénard型方程的精确解，其中包括一个广义的van der Pol型方程.

2014-01-20math-phmath.MPnlin.SI

变分常微分方程守恒律的李代数

Lie algebras of conservation laws of variational ordinary differential equations

我们建立了第一诺特定理的新版本，根据该版本，给定的Euler-Lagrange方程在一个自变量中的第一积分（的等价类）与满足两个简单几何条件的向量场的（等价类），也就是说，它们同时保持喷流空间的完整性分布和从其导出欧拉-拉格朗日方程的作用。

2014-11-22math-phmath.DGmath.MP

可积系统与到李群的调和映射

Integrable Systems and Harmonic Maps into Lie Groups

研究李群中的调和映射，作为对其他著名的可积系统研究的推广，特别是Toda和自对偶的Chern Simons理论。

2005-06-09math-phmath.APmath.MP

李群与微分方程的数值解：不变离散与微分近似

Lie groups and numerical solutions of differential equations: Invariant discretization versus differential approximation

我们简要回顾了两种不同的方法应用李群理论的数值解常微分方程。在具体的例子中，我们展示了如何保持对称性的离散化提供的差分格式的“一阶微分近似”是不变的，在相同的李群作为原来的常微分方程。

2013-04-25math-phmath.MPnlin.SI

一阶时滞常微分方程的李群分类

Lie group classification of first-order delay ordinary differential equations

给出了一阶时滞常微分方程的一种群分类，并给出了一阶时滞常微分方程的时滞参数（时滞关系）方程。这样的系统（延迟常微分系统或DODS）的一个子集，其中包括线性DODE和解决方案独立的延迟关系具有无限维对称代数，因为这样做的非线性可线性化的变量的可逆变换。非线性DODS具有维数为$n$，$0 \leq n \leq 3$的对称代数。它示出了如何精确的解析解的不变DODS可以使用对称性约简。

2017-12-07math-phmath.MP

标量$n$阶常微分方程的对称性分类

Symmetry Classification of Scalar $n$th Order Ordinary Differential Equations

利用n阶纯量常微分方程$n \geq 4$的对称李代数，完成了它们的李对称分类。已知有三种类型的这样的方程取决于它们所具有的对称代数，即，一阶方程，承认无限维李代数的点对称，二阶方程具有最大的八点对称和高阶，$n \geq 3$，承认最大$n + 4$维对称代数。证明了除了$n = 5$可以容纳$sl(3, R)$代数外，$n \geq 4$的n阶方程不最大容纳一个$n + 3$维李代数.此外，它们可以拥有一个$n + 2$维李代数，该李代数产生一个非线性方程，该非线性方程不能通过点变换线性化。结果表明，对于$n \geq 5$只有一类这样的方程。

2022-08-22math-phmath.CAmath.MP

线性或可线性化的一阶时滞常微分方程及其Lie点对称性

Linear or linearizable first-order delay ordinary differential equations and their Lie point symmetries

前一篇文章研究了一类一阶时滞常微分系统（DODS）的对称性。这里我们集中讨论线性DODS。由于线性叠加原理，它们具有无限维的李点对称群。它们的对称代数总是包含一个由线性连通向量场实现的二维{子}代数。我们确定所有类别的线性一阶DODS有额外的对称性，而不是由于线性。我们介绍每个班级的代表。这些额外的对称性，然后使用对称性约简构造精确的解析特解。

2017-12-21math-phmath.MP

喷流、框架及其Cartan几何

Jets, frames, and their Cartan geometry

喷流标架是流形上普通标架的推广，它用类似于规范理论的语言来描述。这是通过构造流形的Cartan几何相对于同构对称来实现的。这一点的价值允许在喷流框架理论中给出新的见解和解释，特别是通过在普通规范理论概念和纯喷流概念之间进行插值。

2006-03-24math-phmath.MP

具有双参数对称群的三阶常微分方程的李方法积分

Integration of Third Order Ordinary Differential Equations Possessing Two-Parameter Symmetry Group by Lie's Method

利用群论的方法，得到了一类具有两参数李对称群的三阶常微分方程的解。它表明，减少到求积是可能的，根据两种情况：1）如果在第一次降阶后，所获得的二阶常微分方程除了继承的点对称性获得至少一个新的点对称性（可能是一个隐藏的II型对称性）。2)首先，构造了具有四参数对称群的四阶微分方程使一阶方程具有一个已知（继承）对称性的约化路径。然后，约化路径沿具有两个参数的对称群出现的三阶方程被挑选出来，并遵循，直到一个一阶方程具有一个已知的（继承）对称性得到。该方法使用条件的保存，消失和再现的点对称性。

2005-09-30math-phmath.MP

一类偶数阶自治常微分方程的对称性分析

Symmetry analysis of a class of autonomous even-order ordinary differential equations

本文从李对称的观点讨论了一类自治的偶数阶常微分方程。结果表明，对于一定的幂次非线性，Noether对称群与Lie点对称群重合。建立了首次积分，并求出了精确解，在一维情形下，本文补充了近20年来多调和方程李群分析和Noether对称性文献中的一些结果。特别地，证明了[A. H. Bokhari，F. M. Mahomed和F. D.张文，等，四阶Euler-Bernoulli梁方程的对称性和可积性，数学物理学报，vol.51，053517，（2010）]是单参数特殊幂族的成员，其中Lie对称群与Noether对称群重合。

2015-06-13math-phmath.CAmath.MP

可解李代数与常微分方程的积分方法

On solvable Lie algebras and integration method of ordinary differential equations

对于作用于某组耦合常微分方程的给定对称生成元$\{\mathbf{Z}_{\bar{l}}\}$，一旦将“第一积分法”应用于某个Abel生成元子代数$\{\mathbf{Z}_{i}\}$以约化该方程组，就可以发现一些更一般的“继承条件”.我们证明了以下定理：某个可解子代数的所有生成元都可以通过“一次积分法”用于降低（阶）和/或（可能）积分方程组。文中还给出了逐步归约过程的具体顺序，以及仅用求积法得到分析解的条件。我们定义的概念“最佳”的一些给定的最大的，可解的子代数，并证明了一个定理，说明：这个代数导致最有利可图的方式使用对称发电机的集成程序在手。

2020-02-04math-phmath.CAmath.MP

k-辛李系统：理论与应用

k-symplectic Lie systems: theory and applications

李系统是一个一阶常微分方程系统，描述了一个取向量场的有限维实李代数（即所谓的Vessiot-Guldberg李代数）中值的$t$依赖向量场的积分曲线。我们建议定义一类特殊的李系统，$k$ -辛李系统，承认一个关于$k$ -辛结构的前辛形式的Hamilton向量场的Vessiot-Guldberg李代数。我们设计了新的$k$ -辛几何方法来研究它们的叠加规则、与时间无关的运动常数和一般性质。我们的结果说明了物理和数学兴趣的例子。作为副产品，我们发现一个新的有趣的设置应用的$k$ -辛几何：系统的一阶常微分方程。

2014-10-05math-phmath.CAmath.DG

向量场李代数的可解性蕴涵了其可积性

Solvability of a Lie algebra of vector fields implies their integrability by quadratures

我们提出了一个实质性的推广的一个经典的结果李可积。即证明了流形上向量场的有限维可迁可解李代数中的所有向量场都可以求积积分。

2016-10-07math-phmath.MP

二阶常微分方程线性系统的容许变换与李对称性

Admissible transformations and Lie symmetries of linear systems of second-order ordinary differential equations

该研究针对含任意因变量的正规二阶常微分方程线性系统，在多规范下分析容许变换，划分奇异与正则子类，刻画等价群胚，确立李对称性质与维数界，给出降阶积分方法，并完成两因变量情形的完全群分类。

2024-09-17math-phmath.CAmath.MP

Lie对称的一种半递归搜索

A Semi-Algorithmic Search for Lie Symmetries

在[Solving second order ordinary differential equations by extending the Prelle-Singer method，J.Phys.A：Math.Gen.，34，3015-3024（2001）]中定义了一个函数（我们称之为S），该函数与一个有理二阶常微分方程（有理2 ODE）相关联，该方程与积分因子的搜索相关联。在这项工作中，我们研究这些$S$ -函数和有理2 ODE的李对称性之间的关系。基于这个关系，我们可以构造一个半算法的方法来找到一个2 ODE的李对称性，即使在它不存在李点对称性的情况下。

2010-07-16math-phmath.MPnlin.SI

李超堆及其群化

Lie Superheaps and their Groupification

提出李超堆概念作为李超群的推广，利用点函子证明尖点李超堆与李超群范畴同构。

2026-06-09math-phmath.AGmath.DG

叠加法则与二阶Riccati方程

Superposition rules and second-order Riccati equations

叠加法则是一种特殊类型的映射，它使人们能够表示一阶常微分方程的某些系统的通解，即所谓的李系统，从特解的一般族和一组常数中。这项工作的第一个目的是提出几个概括这一概念的二阶微分方程。其次，给出了这种推广的存在性的几个结果，并发现了它与Lie系统和拟Lie格式理论的关系。最后，我们的方法被用来研究二阶Riccati方程和其他具有数学和物理意义的二阶微分方程。

2011-07-13math-phmath.MP

处理Darboux和Lie都很困难的二阶有理常微分方程：$S$函数法

Dealing with Rational Second Order Ordinary Differential Equations where both Darboux and Lie Find It Difficult: The $S$-function Method

本文提出了一种寻找二阶有理常微分方程一阶不变量（一阶积分）的新方法。这种方法是Darbouxian和对称方法的替代。我们的程序可以在这两种方法失败的许多情况下成功。我们还在这里提出了一个Maple实现的理论结果和方法，在此介绍，在一个计算包- { \it InSyDE}。该软件包的设计，除了具体化的算法，提供了一套工具，让用户分析的过程中的中间步骤。

2017-07-27cs.SCmath-phmath.MP

具有Poisson李作用的双线性型Poisson空间

On a Poisson space of bilinear forms with a Poisson Lie action

我们考虑在我们以前的论文arXiv：1012.5251中研究的具有二次泊松括号的复N维向量空间上的双线性型的空间。我们利用B对双线性型的定义矩阵A的自然作用是Poisson-李群的Poisson作用的性质，对矩阵对A和B的集合上所有可能的二次括号进行分类，从而赋予这个双线性型空间以Poisson齐性空间的结构.除了乘积Poisson结构之外，我们还发现了两个（彼此对偶的）结构，对于它们（与乘积Poisson结构相反），我们可以通过Dirac过程实现到具有块上三角定义矩阵的双线性型空间的约化。我们认为上述建设的推广到三元组，并表明，空间的双线性型，然后获得的结构泊松对称空间。我们还研究了广义链的变换和量子和量子仿射代数和建设之间的关系的泊松对称空间和泊松广群。

2015-03-20math-phmath.MPmath.QA

非线性发展方程的Lie-Bäcklund对称性和非不变解

Lie-Bäcklund symmetry and non-invariant solutions of nonlinear evolution equations

研究了描述非均匀介质中扩散过程的非线性偏微分方程的对称约化。我们找到了将偏微分方程化为常微分方程的方法。利用三阶常微分方程的Lie-Bäcklund对称性算子构造了方程的解.该方法给出了可能性，找到解决方案，不能凭借经典的李方法。对于单参数、双参数和三参数李群的点变换不变性的非线性扩散方程，构造了这样的解。

2017-01-13math-phmath.APmath.MP

分次丛的线性扩张与（李）代数胚的高级类似

Linear duals of graded bundles and higher analogues of (Lie) algebroids

分次丛是一类分次流形，它是向量丛的自然推广，包括高阶切丛作为典型例子。我们提出并研究了分次丛的线性化的概念，这使我们能够定义分次丛的线性对偶的概念。它们是双重结构、分次线性（$\mathcal{GL}$）丛的例子，包括双重向量丛作为特殊情况。在$\mathcal{GL}$ -丛上，我们定义了我们称之为加权代数胚的东西，它可以理解为分次丛范畴中的代数胚。它们可以作为高阶拉格朗日力学的几何框架。典型的例子是李群胚的高切丛的约化。加权代数胚也表示Gracia-Saz & Mehta定义的$\mathcal{VB}$ -代数胚和Mackenzie的$\mathcal{LA}$ -丛的推广。由此产生的结构是惊人的相似Voronov的高李代数胚，但我们的方法不需要初始结构上定义的超流形。

2015-11-06math-phmath.DGmath.MP

F阶李代数与Poincaré代数的扩张

Lie algebras of order F and extensions of the Poincaré algebra

F-李代数是李代数（F=1）和李超代数（F=2）的自然推广。我们给出了由李代数和李超代数通过归纳过程得到的有限维F-李代数的例子。由osp（2）构造的$F-$李代数的矩阵实现|m）的。通过对具有$F>2$的$F-$李代数的Inönü-Wigner压缩，得到了Poincaré代数的一个非平凡扩张.

2002-09-18hep-thmath-phmath.MP

非线性常微分方程的对称性：以修正 Emden 方程为案例研究

Symmetries of nonlinear ordinary differential equations: the modified Emden equation as a case study

本文以修正 Emden 方程等非线性振子方程为例，系统梳理二阶常微分方程的多种 Lie 相关对称性推导算法及其与积分因子、积分和降阶求解的联系。

2015-02-13math-phmath.MPnlin.SI

利用因子分解技术求耦合Liénard型非线性系统的精确解

Exact solutions of coupled Liénard-type nonlinear systems using factorization technique

非线性常微分方程的通解一般很难找到，尽管文献中存在强大的可积性技术。它已被证明，在某些标量情况下，特殊的解决方案，可能会发现很少的努力，如果它是可能的因式分解方程的一阶微分算子。在我们目前的研究中，我们使用这种因式分解技术来解决的问题，找到一般的两个耦合的Liénard型非线性微分方程组的解决方案。我们描述了一个通用的算法，以确定特定类的Liénard型系统的解决方案，我们证明了这种方法，通过识别一类两个耦合方程的特定的解决方案，可以通过解决一个伯努利方程。这类方程包含了修正的Emden方程的耦合推广。利用本文讨论的因式分解方法，我们进一步导出了一类耦合常微分方程的通解。

2012-01-28math-phmath.CAmath.MP

带延迟变元常微分方程积分的对称性方法

Symmetry Approach to Integration of Ordinary Differential Equations with Retarded Argument

Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Science（俄罗斯科学院凯尔迪什应用数学研究所）；Norwegian School of Economics（挪威商学院）；Suranaree University of Technology（素拉那瑞技术大学）

本文综述了利用李群对称性研究带延迟变元常微分方程的方法，完成一阶和二阶单延迟方程的李群分类，并通过诺特型定理给出二阶延迟方程的首积分，最后提出若干开放问题。

2025-11-06math-phmath.CAmath.MP

F阶超维李代数

Finite-dimensional Lie algebras of order F

$F-$李代数是李代数（F=1）和李超代数（F=2）的自然推广。当$F>2$没有很多有限维的例子是已知的。本文从李代数和李超代数出发，通过归纳过程构造了有限维$F-$李代数$F>2$。给出了由$\mathfrak{su}(n), \mathfrak{sp}(2n)$ $\mathfrak{so}(n)$和$\mathfrak{sl}(n|m)$，$\mathfrak{osp}(2|m)$构造的$F-$李代数的矩阵实现.利用$F>2$对某些$F-$李代数进行Inönü-Wigner压缩，得到了Poincaré代数的非平凡扩张.

2002-05-13hep-thmath-phmath.MP

偏微分方程的拟李概型

Quasi-Lie schemes for PDEs

本研究将拟李系统理论推广至偏微分方程组，通过推广拟李概型理论提出拟李系统构造方法，分析其在含时叠加规则与可积性条件中的应用，并通过多个物理数学相关的微分方程验证了技术有效性。

2018-03-29math-phmath.APmath.DG

非线性抛物-椭圆方程组的Lie对称性及其在肿瘤生长模型中的应用

Lie symmetries of nonlinear parabolic-elliptic systems and their application to a tumour growth model

一个概括的李对称方法被应用到分类的耦合系统的反应扩散方程，其中的非线性涉及任意函数的极限情况下，其中一个方程对是准稳定的，但其他没有。一个完整的李对称分类，包括一些情况下，其特征在于不太可能被确定纯粹的直觉，得到。值得注意的是，除了偏微分方程本身的对称性分析，该方法被扩展到允许推导出由生物应用（肿瘤生长）激发的特定移动边界问题的精确解。提供了解决方案的图形表示和生物学解释简要说明。结果概括的多维情况下，假设径向对称形状的肿瘤。

2017-04-25math-phmath.MP

T-对偶之旅：T-对偶的几何和拓扑方面

A Tour of T-duality: Geometric and Topological Aspects of T-dualities

本论文的主要重点是研究与T-对偶及其推广相关的空间的数学和物理性质。在弦论中，T对偶是两个先验不同的弦背景之间的关系，但从物理的角度来看，它们的行为是相同的。这些背景可以有不同的几何形状，不同的通量，甚至是拓扑上不同的流形。T对偶是一种独特的“弦”现象，因为它不会出现在点粒子的理论中，并且与其他对偶一起，在阐明弦论和M理论的性质方面非常有用。通常的T-对偶存在着各种各样的概括，其中一些仍然是假定的，没有一个是完全理解的。这些对偶性中的一些受到数学的启发，一些受到物理学的启发。这些推广包括非交换T-对偶、Poisson-Lie T-对偶、非等距T-对偶和球面T-对偶。在这篇论文中，我们回顾了T-对偶及其各种推广，研究了与这些对偶相关的空间的几何、拓扑和物理性质。

2019-04-27hep-thmath-phmath.MP