The paper contains the following results and observations: (1) There exists a sequence of unweighted graphs $\{G_n\}_n$ with maximum degree 3 such that a Banach space $X$ has no nontrivial cotype iff $\{G_n\}_n$ admit uniformly bilipschitz embeddings into $X$; (2) The same for Banach spaces with no nontrivial type; (3) A sequence $\{G_n\}$ characterizing Banach spaces with no nontrivial cotype in the sense described above can be chosen to be a sequence of bounded degree expanders; (4) The infinite diamond does not admit a bilipschitz embedding into Banach spaces with the Radon-Nikodým property; (5) A new proof of the Cheeger-Kleiner result: The Laakso space does not admit a bilipschitz embedding into Banach spaces with the Radon-Nikodým property; (6) A new proof of the Johnson-Schechtman result: uniform bilipschitz embeddability of finite diamonds into a Banach space implies its nonsuperreflexivity.
Classes of Banach spaces stable and unstable with respect to the opening
本文是一个补充的调查：M.I.奥斯特洛夫斯基“To\-po\-logies\-gies on the set of all subspaces of a巴拿赫空间and related problems of巴拿赫空间geometry”，《数学》（即将出版）。它包含证明的一些结果的稳定性的性质的巴拿赫空间相对于几何开放的调查中所述的没有证据。本文的一些结果是独立的兴趣，特别是一个前对偶性质的Banach-Saks性质的描述。
A metric interpretation of reflexivity for Banach spaces
我们在每个Schreier族$\mathcal{S}_α$，$α<ω_1$上定义了两个度量$d_{1,α}$和$d_{\infty,α}$，利用它们我们证明了Banach空间$X$自反性的如下度量特征：$X$是自反的当且仅当存在$α<ω_1$，使得不存在$$ cd_{\infty,α}(A,B)\le \|Φ(A)-Φ(B)\|\le C d_{1,α}(A,B) \text{ for all $A,B\in\mathcal{S}_α$.}$$为之的映射$Φ:\mathcal{S}_α\to X$。其次，我们证明了对于可分自反巴拿赫空间$X$，以及某些可数序数$α$，其为$\max(\text{ Sz}(X),\text{ Sz}(X^*))\le α$当且仅当$({\mathcal S}_α, d_{1,α})$不双Lipschitzly嵌入$X$。这里$\text{Sz}(Y)$表示Banach空间$Y$的Szlenk指标。
Amalgamations of classes of Banach spaces with a monotone basis
Argyros和Dodos证明了：对于可分巴拿赫空间的许多类$ C $，如果它们具有$ P $的某些性质，则存在一个同构泛空间也满足$ P $.我们介绍了一个变种，他们的融合技术，提供了一个等距的普遍空间的情况下，$ C $由空间的单调Schauder基础。例如，我们证明了：如果$ C $是一个关于Effros-Borel结构解析的可分巴拿赫空间的集合，并且每个$ X \in C $都是自反的，并且有单调Schauder基，那么存在一个可分自反Banach空间，它对$ C $是等距泛域的.
A new approach to low-distortion embeddings of finite metric spaces into non-superreflexive Banach spaces
本文的主要目标是发展一种新的嵌入方法，我们使用它来证明某些有限度量空间允许低失真嵌入到所有的非超自反空间中。该方法是基于Brunel和Suchester（1975-1976）提出的等号可加序列理论。我们还表明，使用该方法获得的一些低失真嵌入性结果不能使用基于$\ell_1$的求和基和单位向量基之间的因式分解的方法获得，该方法由Bourgain（1986）和Johnson and Schechtman（2009）使用。
Test-space characterizations of some classes of Banach spaces
设$\mathcal{P}$是一类巴拿赫空间，$T=\{T_α\}_{α\in A}$是一组度量空间.如果下列两个条件等价：（1）$X\notin\mathcal{P}$ ;（2）空间$\{T_α\}_{α\in A}$允许向$X$中一致地嵌入bilipschitz，则我们说$T$是$\mathcal{P}$的{ \it测试空间}的集合.本文的第一部分是致力于简化的证明以下测试空间的特点得到的M. I。Ostrovskii [Different forms of metric characterizations of classes of巴拿赫空间，Houston J. Math.，出现]：对于有限维巴拿赫空间的每个序列$\{X_m\}_{m=1}^\infty$，存在一个最大度为3的有限连通无权图序列$\{H_n\}_{n=1}^\infty$，使得Banach空间$Y$上的下列条件等价：（A）$Y$允许$\{X_m\}_{m=1}^\infty$的一致同构嵌入;（B）$Y$允许$\{H_n\}_{n=1}^\infty$的一致bilipschitz嵌入.第二部分的文件是专门的情况下，当$\{X_m\}_{m=1}^\infty$是一个增加序列的空间。证明了在这种情况下，由（A）给出的空间类可以用一个测试空间来刻画，该测试空间可以选择为最大度为3的无限图。
Improved bounds in the metric cotype inequality for Banach spaces
证明了如果（X，||.||_ X）是具有Rademacher余型q的Banach空间，则对于每个整数n存在偶数m< n^{1+1/q} $ such that for every f:Z_m^n --> X we have $ \sum_{j=1}^n \Avg_x [||f（x+（m/2）e_j）-f（x）||_X^q ] < C m^q \Avg_{\e,x} [||f（x+ \e）-f（x）||_X^q ]$，其中期望值是关于均匀选择的x \in Z_m^n和\e \in \{-1，0，1\}^n，并且所有隐含的常数可以仅取决于q和X的Rademacher cotype q常数。这改进了来自[Mendel，Naor 2008]的m< n^{2+ \frac{1}{q} }的界限。上述不等式的证明基于“平滑和近似”过程，该过程简化了[Mendel，Naor 2008]的Rademacher cotype的度量特征的证明。我们还证明了度量余型不等式的任何这样的“光滑化和逼近”方法必须要求m> n^{（1/2）+（1/q）}。
Complexity of distances: Reductions of distances between metric and Banach spaces
我们证明了所有来自度量几何和泛函分析的标准距离，如Gromov-Hausdorff距离、Banach-Mazur距离、Kadets距离、Lipschitz距离、Net距离和Hausdorff-Lipschitz距离都具有相同的复杂性，并且可以以精确定义的方式相互约简。这是在描述集合论方面完成的，是作者在\emph{Complexity of distances: Theory of generalized analytic equivalence relations}中发起的一个更大的研究计划的一部分。然而，该文件的目标也是专家在度量几何和几何的巴拿赫空间。
