Idempotent splittings, colimit completion, and weak aspects of the theory of monads
Gabriella Böhm, Stephen Lack, Ross Street
我们表明，最近在文献中的一些结构，命名为“弱”的推广，可以系统地处理通过从2-范畴的范畴丰富的笛卡尔幺半范畴柯西完全范畴。
We show that some recent constructions in the literature, named `weak' generalizations, can be systematically treated by passing from 2-categories to categories enriched in the Cartesian monoidal category of Cauchy complete categories.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sifted Colimits, Strongly Finitary Monads and Continuous Algebras
本文刻画了 Pos、CPO 和 DCPO 范畴上强有限单子等价于保持筛选余极限的单子，并将连续代数簇等同于强有限单子的单子范畴。
We develop a general framework for studying signatures, presentations, and algebraic colimits of enriched monads for a subcategory of arities, even when the base of enrichment $\mathcal{V}$ is not locally presentable. When $\mathcal{V}$ satisfies the weaker requirement of local boundedness, the resulting framework is sufficiently general to apply to the $Φ$-accessible monads of Lack and Rosický and the $\mathcal{J}$-ary monads of the first author, while even without local boundedness our framework captures in full generality the presentations of strongly finitary monads of Lack and Kelly as we…
Kan extensions are partial colimits
本文借助单子bar构造中的部分赋值将左Kan扩张是部分余极限的直觉严格化，定义图表单子与小预层单子间的“像”态射推广共尾函子概念，证明逐点左Kan扩张对应余极限的部分赋值。
We define and study a probability monad on the category of complete metric spaces and short maps. It assigns to each space the space of Radon probability measures on it with finite first moment, equipped with the Kantorovich-Wasserstein distance. This monad is analogous to the Giry monad on the category of Polish spaces, and it extends a construction due to van Breugel for compact and for 1-bounded complete metric spaces. We prove that this Kantorovich monad arises from a colimit construction on finite power-like constructions, which formalizes the intuition that probability measures are limit…
Left Kan extensions that are algebraic over colax-idempotent 2-monads
使用语言的双重类别，我们概括了一个经典的结果，有限产品保持左Kan扩展，由Adámek和Rosickelo，一个左Kan扩展，保持代数结构定义的“合适的”colax幂等2单子，以及获得两个相关的结果。准确地说，这里的“合适的”2-单子指的是扩展到正常的lax双单子的2-单子。在附录中，我们考虑诱导代数结构的预层对象。
Algebraic weighted colimits
本文研究了2-范畴中带有同态的加权上极限。这样的上极限包括大多数带有可数的泛结构，像范畴中的普通上极限、丰富范畴中的加权上极限和左Kan扩张。在第一章中，我们回顾了2-范畴配备有promorphisms（也简称为设备）的概念，它提供了一种将双模态射添加到2-范畴的连贯方法。在第二章中，我们回顾了两种定义设备加权余限的方法。对我们来说最重要的是它们的原始定义，由Wood介绍，在具有封闭结构的设备中。第二个概念，我们称之为逐点加权共极限，是由Grandis和Paré提出的。它不需要额外的结构和generalises街的概念逐点左坎扩展2类。第二章的主要结果给出了在封闭设备上这两个概念一致的一个条件。在第三章中，我们考虑了设备上的单子。本文的主要思想，在第四章给出，推广的概念，宽松和colax态射，代数上的2-单子，宽松和colax promorphisms的概念，代数上的单子上的设备。其中之一，右colax promorphisms，是非常适合建设加权colimits。特别地，给定一个设备K上的单子T，我们将证明T-代数，共轴T-态射和右共轴T-同态形成一个双范畴T-rcProm。虽然弱于设备，双范畴仍然允许加权上极限的定义，我们的主要结果表明，遗忘函子T-rcProm -> K提升所有加权上极限时，K是封闭的，在T上的一些温和的条件。
Idempotent convexity and algebras for the capacity monad and its submonads
引入了凸性的幂等类似物。本文证明了在代数范畴中的容量单子的代数范畴同构于$(\max,\min)$ -幂等双凸代数范畴及其双仿射映射。还证明了超测度单子（$(\max,\min)$ -幂等测度）的代数范畴同构于$(\max,\min)$ -幂等凸代数范畴及其仿射映射.
The nerve theorem for relative monads
本文为具有稠密根的充实相对单子建立了代数范畴的刻画定理，推广了现有神经定理，并在精确虚拟装备背景下揭示了相对单子与其松散单子通过双范畴极限构造代数对象的关系。
We introduce a general construction on 2-monads. We develop background on maps of 2-monads, their left semi-algebras, and colimits in 2-category. Then, we introduce the construction of a colimit induced by a map of 2-monads, show that we obtain the structure of a 2-monad and give a characterisation of its algebras. Finally, we apply the construction to the map of 2-monads between free symmetric monoidal and the free cartesian 2-monads and combine them into a linear-non-linear 2-monad.
Constructing monads from cubical diagrams and homotopy colimits
本文将 Hess–Johnson 基于相容余单子的广义微积分构造对偶到单子情形，利用 $\mathcal{P}(n)$-模和同伦余极限构造单子，并证明其推广 McCarthy 对偶微积分。
Lawvere theories, finitary monads and Cauchy-completion
从Endf（Set）-丰富范畴论的角度考虑了Lawvere理论与Set上的有限单子的等价性，其中Endf（Set）是Set的有限内函子范畴.我们识别具有单对象Endf（Set）-范畴的有限单子，以及允许有限幂的普通范畴（即，n倍产品的每个对象本身）与Endf（集）范畴承认一定类φ的绝对colimits;然后，我们表明，从这个角度来看，通过从有限单子相关的Lawvere理论是由完成下φ colimits。我们还占其他现象从丰富的观点：等价的代数有限单子与相应的Lawvere理论的模型;函子语义在任意范畴的有限权力;和存在的左伴随代数函子。
The Partial Simplicial Category and Algebras for Monads
我们明确地构造了单纯范畴上的权，使得具有这些权的2-函子的余极限和极限分别提供了任何2-范畴中的Kleisli对象和Eilenberg-Moore对象。
On categories of monads and comonads in double categories
本文研究双范畴中单子范畴的幺半性、余完备性和局部可表现性，并推广到余单子情形，主要依赖于平行和稳定局部余极限等概念。
Restriction categories III: colimits, partial limits, and extensivity
限制范畴是部分映射范畴的一个抽象公式，定义为某些特定的幂等元，称为限制幂等元。部分映射的所有范畴都是限制范畴;相反，限制范畴是部分映射的范畴当且仅当限制幂等元分裂。限制范畴促进了关于部分映射的推理，因为它们具有纯代数形式。本文研究了限制范畴中的余极限和极限。由于限制范畴的概念不是自对偶的，我们不应该期望限制范畴中的余极限和极限以相同的方式表现。限制上下文中的余限概念非常简单，但极限更微妙。适当的极限概念是一种宽松的极限，满足某些额外的性质。特别令人感兴趣的是联积本身的行为和关于部分乘积的行为。我们探讨了各种条件下的余产品是“广泛的”在这个意义上说，总范畴（相关的部分映射范畴）成为广泛的范畴。当部分极限存在时，它们就变成了总范畴中的普通极限。因此，当余积是广延的时，我们得到一个广延范畴作为全范畴。特别是，这提供了一个描述广泛完成的分配范畴。
A note on idempotent semirings
本文证明由恒等式 1+2x=1 与 x^2=x 确定的 S-代数子簇对非空余极限封闭，并由此统一导出布尔环与分配格在交换半环中的相应封闭性。
An object $P$ in a monoidal category $\mathcal{C}$ is called pivotal if its left dual and right dual objects are isomorphic. Given such an object and a choice of dual $Q$, we construct the category $\mathcal{C}(P,Q)$, of objects which intertwine with $P$ and $Q$ in a compatible manner. We show that this category lifts the monoidal structure of $\mathcal{C}$ and the closed structure of $\mathcal{C}$, when $\mathcal{C}$ is closed. If $\mathcal{C}$ has suitable colimits we show that $\mathcal{C}(P,Q)$ is monadic and thereby construct a family of Hopf monads on arbitrary closed monoidal categories…
Monadic aspects of the ideal lattice functor on the category of distributive lattices
本文利用Fakir幂等逼近构造推广了松弛幂等单子理论，证明理想函子迭代生成的单子与余单子序列不产生新范畴，并由此给出分配格与凝聚框架等价性的新证明。
Consider a monad on an idempotent complete triangulated category with the property that its Eilenberg-Moore category of modules inherits a triangulation. We show that any other triangulated adjunction realizing this monad is 'essentially monadic', i.e. becomes monadic after performing the two evident necessary operations of taking the Verdier quotient by the kernel of the right adjoint and idempotent completion. In this sense, the monad itself is 'intrinsically monadic'. It follows that for any highly structured ring spectrum, its category of homotopy (a.k.a. naive) modules is triangulated if …
Bornological LB-spaces and idempotent adjunctions
本文研究两种“有界LB空间”概念，指出其不同但密切相关，并深入探讨有界化和拓扑化函子的幂等伴随。
Idempotent monads and $\star$-functors
对于结合环$R$，令$P$是具有$S=\End_R(P)$的$R$ -模。C. Menini和A. Orsatti提出了一个问题，当相关函子$\Hom_R(P,-)$（与左伴随$P\ot_S-$）导致一个等价的一个子范畴的$_R\M$封闭下的因素模块和一个子范畴的$_S\M$封闭下的子模块。他们观察到，这正是这种情况下，如果单位的附加是一个满态和counit是一个单态。包含这些性质的模块$P$称为$\star$ -模块。本文的目的是考虑函子$G:\B\to \A$在任意范畴之间的对应问题。我们称$G$为{ \em $\star$ -函子}，如果它有一个左伴随$F:\A\to \B$，使得该伴随的单位是{ \em极满射}，而其计数是{ \em极单射}。在这种情况下，$(F,G)$是一对幂等的函子，并导致单子$GF$的模范畴$\A_{GF}$和余单子$FG$的余模范畴$\B^{FG}$之间的等价。此外，$\B^{FG}=\Fix(FG)$在$\B$中的因子对象下是封闭的，$\A_{GF}=\Fix(GF)$在$\A$中的子对象下是封闭的。
Although the notion of crossed groups was originally introduced only in the simplicial case, the definition makes sense in the other categories. For instance, Batanin and Markl studied crossed interval groups to investigate symmetries on the Hochschild cohomology in view of operads. The aim of this paper is to make a comprehensive understanding of crossed groups for arbitrary base categories. In particular, we focus on the local presentability of the category of crossed groups, monadicity, and the basechange theorem along certain sorts of functors. The paper also contains the classification of…
On monads of exact reflective localizations of Abelian categories
本文将Gabriel单子定义为阿贝尔范畴中与精确反射局部化相关的幂等单子，并利用一组简单的性质刻画了它们。一个Gabriel单子的余象是一个Serre商范畴。加布里埃尔单子在它的余象和它的象之间导出了一个等价，这个象是局部对象的局部化子范畴。
Completion, closure, and density relative to a monad, with examples in functional analysis and sheaf theory
给定一个在适当的丰富范畴B上的单子T，它具有适当的分解系统（E，M），我们定义了T-完备化，T-闭包和T-稠密的概念。我们表明，不仅熟悉的概念，完成，关闭，并在赋范向量空间的密度，而且sheafification，关闭，并与密度的概念相对于一个Lawvere-Tierney拓扑，是给定的抽象概念的实例。T-完备化的过程同样是与T相关联的丰富的幂等单子（我们称之为T的幂等核），并且我们证明了只要B因子中的每个态射都是T-稠密态射，然后是T-闭M-嵌入，它就存在。只要B具有一定的回调以及M嵌入的宽交叉，后一个假设就得到满足。因此，由此产生的定理存在的幂等核心的丰富单子需要Fakir的存在结果在非丰富的情况下，以及伴随函子因式分解的结果Applegate蒂尔尼和天。
Differential torsion theories on Eilenberg-Moore categories of monads
本文证明了在正合且保持余极限的monad的Eilenberg-Moore范畴上，所有遗传挠理论均为微分的，且U-模上的δ-导子可唯一扩张至其商模。
Homotopy-theoretic aspects of 2-monads
我们研究2单子和他们的代数使用猫丰富版本的奎伦模型类别，强调同伦和2范畴的观点之间的相似之处。每个具有有限极限和上极限的2-范畴都有一个典范模型结构，其中弱等价是等价;我们使用这些来构造2-范畴上更有趣的模型结构，包括2-单子T上的2-范畴代数上的模型结构，以及固定2-范畴K上的2-单子2-范畴上的模型结构。
On the iteration of weak wreath products
Based on a study of the 2-category of weak distributive laws, we describe a method of iterating Street's weak wreath product construction. That is, for any 2-category K and for any non- negative integer n, we introduce 2-categories Wdl^{(n)}(K), of (n+1)-tuples of monads in K pairwise related by weak distributive laws obeying the Yang-Baxter equation . The first instance Wdl^{(0)}(K) coincides with Mnd(K), the usual 2-category of monads in K, and for other values of n, Wdl^{(n)}(K) contains Mnd^{n+1}(K) as a full 2-subcategory. For the local idempotent closure K^ of K, extending the multiplica…
A dagger category is a category equipped with a functorial way of reversing morphisms, i.e. a contravariant involutive identity-on-objects endofunctor. Dagger categories with additional structure have been studied under different names e.g. in categorical quantum mechanics and algebraic field theory. In this thesis we study the dagger in its own right and show how basic category theory adapts to dagger categories. We develop a notion of a dagger limit that we show is suitable in the following ways: it subsumes special cases known from the literature; dagger limits are unique up to unitary isom…
On the 2-categories of weak distributive laws
2-范畴中的弱混合分配律（也称为弱缠绕结构）由单子和余单子以及以推广Beck的混合分配律的方式联系它们的2-胞腔组成。我们证明了弱混合分配律可以描述为单子和余单子的相容对，在2-范畴中，分别扩展了余单子的2-范畴和单子的2-范畴。在此基础上，我们定义了一个2-范畴，它的0-胞腔是弱混合分布律。在一个2-范畴K中，它允许单子和余单子的Eilenberg-Moore构造，并且其中幂等元2-胞分裂，我们从这个2-范畴的弱混合分配律到K^{2 x 2}构造一个完全忠实的2-函子。
Bimonads and Hopf monads on categories
本文的目的是发展一个理论的bimonads和霍普夫单子上的任意类别，从而提供了可能性转移的本质理论的霍普夫代数在向量空间中更一般的设置。该理论对{ \em monoidal}范畴有几个扩展，这些范畴在某种意义上遵循经典轨迹。在这里，我们不提出任何条件，我们的基础范畴，但我们确实是指monoidal结构的范畴endofunctors对任何类别$\A$，并通过这一点，我们保留了一些组合的复杂性，使理论如此有趣。作为一个基本的工具，我们使用分配律之间的单子和comonads（缠绕）$\A$：我们定义一个{ \em bimonad} $\A$作为endofunctor $B$这是一个单子和comonad的缠绕$λ:BB\to BB$满足一定的条件。这个$λ$也被用来定义（混合）$B$ -双模的范畴$\A^B_B$。在经典情形下，从向量空间的扭曲映射导出了一个缠绕的$λ$.这里不一定是这种情况，但可能存在满足杨-巴克斯特方程的特殊分配律$τ:BB\to BB$（{ \em局部预编织}），它诱导出缠绕的$λ$，并导致{ \em编织Hopf代数}理论的扩展。对极被定义为一个具有特殊性质的自然变换$S:B\to B$，并且对于具有极限或余极限的范畴$\A$和保持极限或余极限的双模$B$，对极的存在等价于$B$，从而在$\A$和$B$ -双模的范畴$\A^B_B$之间引入一个等价性.这是Hopf代数…
We outline the theory of reflections for prederivators, derivators and stable derivators. In order to parallel the classical theory valid for categories, we outline how reflections can be equivalently described as categories of fractions, reflective factorization systems, and categories of algebras for idempotent monads. This is a further development of the theory of monads and factorization systems for derivators.
Free monad sequences and extension operations
本文分析了非余完备范畴中的自由单子序列，并利用所得函子性原理，为沿代数弱分解系统余代数范畴通过拉回方块扩张映射范畴的问题推导出弱饱和的代数条件。
While any infimum in a poset can also be computed as a supremum, and vice versa, categorical limits and colimits do not always approximate each other. If I approach a point from below, and you approach it from above, then we will surely meet if we live in a poset, but we may miss each other in a category. Can we characterize the limits and the colimits that approximate each other, and guarantee that we will meet? Such limits and colimits are called *tight*. Some critically important network applications depend on them. This paper characterizes tight limits and colimits, and describes tight com…
Completeness results for quasi-categories of algebras, homotopy limits, and related general constructions
考虑一个准范畴图，它允许函子保持一个固定形状的极限或余极限。我们表明，任何加权极限的重量是一个投射coordinant单纯函子再次准范畴承认这些（co）限制，他们被保存的函子在极限锥。特别地，拟范畴图的Bousfield-Kan同伦极限允许存在于该图中的函子中并由其保持的任何极限或余极限。在以前的工作中，我们证明了同伦相干单子的代数的拟范畴可以描述为具有射影相干权的加权极限，因此这些结果立即为我们提供了关于代数的拟范畴的重要（余）完备性结果。这些概括了大多数的经典范畴的结果，除了一个著名的定理，表明限制解除类代数的任何单子，无论其函子部分保留这些限制。本文的后半部分建立了这个更一般的结果在准范畴设置：表明，一元遗忘函子的准范畴的代数同伦相干单子创建所有的限制，存在于基地准范畴，没有进一步的假设单子。这个证明依赖于一个更微妙的和明确的分析特定的重量用来定义准范畴的代数。
Lax orthogonal factorisation systems
本文引入了2-范畴上的松弛正交代数弱因子分解系统，并给出了它们的构造方法。这种方法基于简单2-单子的概念，这是卡西迪，赫伯特和凯利研究的简单反射的概括。一个完备2-范畴上的每一个单2-单子都产生一个松弛正交代数弱因子分解系统，并给出了一类上极限下的完备化单2-单子的一个例子。研究了KZ提升运算、松弛自然提升运算和态射之间的松弛正交性等概念。
The weak theory of monads
我们在2-范畴K中构造了Lack & Street的2-范畴单子的一个“弱”版本EM^w（K），通过在2-胞元上附加一个条件来替换它们的1-胞元与单子单位的相容性约束.讨论了EM^w（K）中单子与K中复合预单子之间的关系。如果K允许单子的Eilenberg-Moore构造，我们定义了K中单子的两个对称的“弱提升”概念。如果K分裂中的2-胞元是幂等的，则通过一个适当的伪函子EM^w（K）--> K来描述这两种弱提升。弱缠绕结构和部分缠绕结构被证明在这些各自的意义上实现了单子的共单子的弱提升。弱双代数被刻画为代数和余代数，使得对应的单子对于对应的余单子弱提升，并且余单子对于单子也弱提升。
Completions and Terminal Monads
该研究刻画了保持子范畴对象的终单子，证明若干常见单子可由余增广自函子范畴终对象性质唯一确定，推广到无穷范畴可完整刻画Bousfield-Kan R-同调完备化，还关联了幂等射影完备化塔并推广了空间同调完备化塔的性质。
Internal algebra classifiers as codescent objects of crossed internal categories
受Batanin和Berger最近关于操作的同伦理论的工作的启发，本文提出了一个关于结构中的结构的一般单子理论背景，并研究了构造包含指定内部结构的通用环境结构的问题。根据拉克的工作，这些泛对象必须从单子理论框架中产生的单纯对象中构造出来，作为某些2-范畴余限，称为代码对象。我们隔离的额外结构，这些单纯的对象，使他们的codescent对象进行计算。这些都是交叉内部类别的标题，并概括了交叉单纯群的Loday和Fiedorowicz。最一般的结果，这篇文章关注的是如何计算这样的codescent对象在2类内部类别，并隔离条件上的单子理论的情况下，使这些结果适用。结合作者早期的工作，其中操作被看作是多项式2-单子，我们的结果，然后应用到非对称，对称和辫子运算的理论。特别是，众所周知的建设PROP从操作符恢复，作为我们的技术的一个例子。
Coproduct idempotent algebras over internal operads in enriched $\infty$-categories
本文将内蕴算畴的作用解释为单子作用，证明在可展示性条件下余张量性质可传递到代数范畴，从而证明余积幂等代数在诱导张量作用下不变，并应用于稳定母题同伦范畴。
Traced Monads and Hopf Monads
本文在迹幺半范畴上引入迹相干Hopf单子，证明对称Hopf单子为迹单子当且仅当其为迹相干Hopf单子，并给出多类例子及反例。
Probability theory can be studied synthetically as the computational effect embodied by a commutative monad. In the recently proposed Markov categories, one works with an abstraction of the Kleisli category and then defines deterministic morphisms equationally in terms of copying and discarding. The resulting difference between 'pure' and 'deterministic' leads us to investigate the 'sober' objects for a probability monad, for which the two concepts coincide. We propose natural conditions on a probability monad which allow us to identify the sober objects and define an idempotent sobrification …
We determine the existential completion of a primary doctrine, and we prove that the 2-monad obtained from it is lax-idempotent, and that the 2-category of existential doctrines is isomorphic to the 2-category of algebras for this 2-monad. We also show that the existential completion of an elementary doctrine is again elementary. Finally we extend the notion of exact completion of an elementary existential doctrine to an arbitrary elementary doctrine.
Distributing Retractions, Weak Distributive Laws and Applications to Monads of Hyperspaces, Continuous Valuations and Measures
本文提出分配收缩概念以识别由弱分配律构建的组合单子，证明两者在2-范畴中一一对应，并应用于超空间与连续赋值单子以描述预势单子的代数结构。
We introduce and study the Scott adjunction, relating accessible categories with directed colimits to topoi. Our focus is twofold, we study both its applications to formal model theory and its geometric interpretation. From the geometric point of view, we introduce the categorified Isbell duality, relating bounded (possibly large) ionads to topoi. The categorified Isbell duality interacts with the Scott adjunction offering a categorification of the Scott topology over a poset (hence the name). We show that the categorified Isbell duality is idempotent, similarly to its uncategorified version. …
Colax adjunctions and lax-idempotent pseudomonads
本文将 Bunge-Gray 关于相对 Kan 扩张构造 colax 伴随的定理推广到 lax-幂等伪单子情形，建立 Kleisli 2-范畴的弱完备性并描述 colax 基变换伴随，同时给出二维单子理论经典结果的 lax 对偶版本。
Some notes on Esakia spaces
在分配格的Stone/Priestley对偶下，Esakia空间对应于Heyting代数，这导致了著名的在Esakia空间和态射的范畴与Heyting代数和Heyting态射的范畴之间的对偶等价。基于幂等分裂完备化的技巧，我们给出了一个涉及某些关系而不是函数作为态射的更一般结果的简单证明。我们还将Esakia空间的概念推广到所有稳定的局部紧空间，并证明了这些空间定义了紧T2空间的幂等分裂完备。最后，我们展示了相关单子与分裂代数的连接。
The 2-category of weak entwining structures
2-范畴K中的弱缠绕结构由单子t和余单子c以及以推广混合分配律的方式联系这两个结构的2-胞元组成，弱缠绕结构可以被刻画为单子和余单子的相容对，分别在2-范畴中推广了2-范畴的余单子和2-范畴的单子。这一观察被用来定义K中弱缠绕结构的2-范畴Entw^w（K）。如果2-范畴K允许单子和余单子的Eilenberg-Moore构造以及K分裂中的幂等2-胞腔，则存在从Entw^w（K）到K中单子的2-范畴和余单子的2-范畴的伪函子，分别取弱缠绕结构（t，c）到t对c的弱提升和c对t的弱提升。Eilenberg-Moore对象的解除单子和解除comonad被证明是等价的。如果K是双模诱导函子的2-范畴，则这些Eilenberg-Moore对象同构于通常的弱诱导模范畴。
Aspects of algebraic Algebras
本文研究Kock-Zöberlein单子下Kleisli与Eilenberg-Moore范畴之间的中间范畴，刻画自由代数、研究加权极限存在性，并应用于滤子单子的幂等完备化。
The category of Hilbert modules may be interpreted as a naive quantum field theory over a base space. Open subsets of the base space are recovered as idempotent subunits, which form a meet-semilattice in any firm braided monoidal category. There is an operation of restriction to an idempotent subunit: it is a graded monad on the category, and has the universal property of algebraic localisation. Spacetime structure on the base space induces a closure operator on the idempotent subunits. Restriction is then interpreted as spacetime propagation. This lets us study relativistic quantum informatio…
Stone Duality for Monads
本文研究了单调子的石对偶性，通过构造一个反变的幂等伴随，将有等级的单调子范畴与内部范畴和内部反函子范畴联系起来，揭示了单调子的行为范畴与局部范畴之间的对应关系。
Weak bimonoids in duoidal categories
在对偶范畴中引入了弱双紧性。它们提供了对偶范畴中的双对偶和辫幺半范畴范畴中的弱双对偶的共同推广。假设幂等态射在基范畴分裂，他们诱导弱bimonads（在四个对称的方式）。因此，它们有四个可分离的弗罗贝纽斯基（共）幺半群，每个基本的幺半范畴范畴中有两个。通过将诱导单子弱提升到诱导单子的Eilenberg-Moore范畴，定义了弱双紧环上的Hopf模.对对偶范畴作适当的假设，证明了Hopf模的基本定理：一个基幺半群上的模范畴等价于Hopf模范畴当且仅当一个伽罗瓦型余单态射是同构.
Riesz-Schwartz extensive quantities and vector-valued integration in closed categories
我们通过monoidal和丰富的范畴论，在抽象的公理化环境中发展泛函分析的各个方面。我们在一个给定的闭范畴中工作，其对象我们称之为空间，我们研究其中的R-模对象（或交换单子的代数），我们称之为线性空间。基于Lawvere和Kock的思想，我们研究了标值映射空间上的泛函，包括紧支撑的Radon测度和Schwartz分布。我们发展了一个抽象的理论，向量值的整合方面，这些标量泛函及其亲属。我们研究了三个公理化的方法，向量整合，包括一个抽象的佩蒂斯型积分，表明所有包含的公理化通过单子，所有符合在适当的情况下。我们研究了这个向量积分与线性空间中完备性的相关概念的关系。一个这样的概念的完整性，定义通过丰富的正交性，确定了一个对称monoidal封闭反射子范畴组成的正是那些分离的线性空间，支持向量积分。证明了向量积分的Fubini型定理。此外，我们发展方面的几个支持主题的范畴论，包括丰富的正交性和因子分解系统，丰富的关联幂等单子和伴随因子分解，对称monoidal分解和交换单子，并丰富交换代数理论。
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