增广∞-范畴中内蕴算畴上的余积幂等代数
Coproduct idempotent algebras over internal operads in enriched $\infty$-categories
AI总结：
本文将内蕴算畴的作用解释为单子作用，证明在可展示性条件下余张量性质可传递到代数范畴，从而证明余积幂等代数在诱导张量作用下不变，并应用于稳定母题同伦范畴。
摘要：
在arXiv:1712.00555中，H. Heine证明了给定一个对称幺半∞-范畴𝒱和一个弱𝒱-增广的∞-范畴𝒞上的单子T，则存在𝒱在LMod_T(𝒞)上的诱导作用。此外，诸如张量或增广等性质可以从𝒞上的作用传递到LMod_T(𝒞)上的作用。我们观察到内蕴算畴O ∈ Alg(sSeq(𝒞))的作用可以解释为单子T_O的作用，使得Alg_O(𝒞)≅LMod_{T_O}(𝒞)。然后我们证明，在可展示性假设下，如果范畴𝒞关于𝒱的作用容许余张量，那么Alg_O(𝒞)≅LMod_{T_O}(𝒞)也容许余张量。这一结果用于证明余积幂等代数在诱导的张量作用下保持不变。我们将此应用于稳定母题同伦范畴，并证明任何母题球面与有理母题上同调的张量等价于后者。
英文摘要：
In arXiv:1712.00555, H. Heine shows that given a symmetric monoidal $\infty$-category $\mathcal{V}$ and a weakly $\mathcal{V}$-enriched monad $T$ over an $\infty$-category $\mathcal{C}$, then there is an induced action of $\mathcal{V}$ on $LMod_T(\mathcal{C})$. Moreover, properties like tensoring or enrichment can be transferred from the action on $\mathcal{C}$ to that on $LMod_T(\mathcal{C})$. We see that the action of an internal operad $O \in Alg(sSeq(\mathcal{C}))$ can be interpreted as the action of a monad $T_O$, such that $Alg_O(\mathcal{C})\cong LMod_{T_O}(\mathcal{C})$. We can then prove that, under a presentability assumption, if the category $\mathcal{C}$ admits cotensors with respect to the action of $\mathcal{V}$, then so does $Alg_O(\mathcal{C})\cong LMod_{T_O}(\mathcal{C})$. This is used to show that the coproduct-idempotent algebras are fixed by the induced tensoring action. We apply this to the stable motivic homotopy category and prove that the tensor of any motivic sphere with rational motivic cohomology is equivalent to the latter.
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