Existence and qualitative properties of isoperimetric sets in periodic media
本文回顾和推广了非均匀各向异性周期介质中极小曲面和等周集存在性的一些结果。我们还描述了均匀化的表面张力，也被称为稳定的范数（或最小作用）在弱KAM理论的定性性质。特别地，我们研究它的严格凸性和可微性。
2013-05-02 math.AP math.DG
Quantitative isoperimetric inequalities for log-convex probability measures on the line
研究了直线上对称对数凸概率测度的等周不等式。使用几何参数，我们首先重新证明，极值集的等周不等式的间隔或补充的间隔（一个结果，由于Bobkov和Houdré）。然后给出了该等周不等式的一个定量形式，并由此导出了一个奇异的性质。实际上，在等周不等式几乎是一个等式的意义上，一个集合可能非常接近于最优，但同时又非常远离（在集合之间的对称差的意义上）任何极值集合！从集合上的结果，我们得到了弱Cheeger型的数量函数不等式.
2014-01-03 math.DG math.PR
Topological regularity of isoperimetric sets in PI spaces having a deformation property
本文证明了具有形变性质的PI空间中等周集的拓扑正则性，揭示了其开集、边界密度估计及有界性，并推广至塌缩RCD空间，简化了经典欧几里得论证。
2023-09-09 math.DG math.FA math.MG
Characterization of large isoperimetric regions in asymptotically hyperbolic initial data
设$(M,g)$是Schwarzschild-anti-deSitter渐近的完备黎曼$3$流形，具有数量曲率$R \geq - 6$ .在A.~的工作基础上Neves和G.~ Tian和第一作者的结果，我们证明了$(M, g)$的正则叶理的叶是关于其面积的等周问题的唯一解.假设$R \geq -6$是必要的。这是第一个表征结果的大等周区域中的渐近双曲设置，并不假设精确的旋转对称在无穷远。
2018-04-02 math.DG
Isoperimetric inequalities for finite perimeter sets under lower Ricci curvature bounds
证明了作者在证明局部曲率维数条件的本质无分支度量测度空间框架下，在以前的文献中得到的关于等周不等式和Cheeger常数的Minkowski容度公式的结果，在周长的更强形式下也成立.
2018-01-16 math.DG math.FA math.MG
Quantitative Quermassintegral Inequalities for Nearly Spherical Sets
本文建立了近似球面集上的quermass积分的定量Alexandrov-Fenchel不等式.特别是，我们从下面的Frankael不对称约束的$(k,m)$ -等周赤字。我们还发现了一个下界的$(k,m)$ -等周赤字使用的球面偏差。
2022-01-12 math.DG
Quantitative anisotropic isoperimetric and Brunn-Minkowski inequalities for convex sets with improved defect estimates
在本文中，我们重新各向异性等周和Brunn-Minkowski不等式凸集。在这两个不等式中，最著名的常数$C(n)=Cn^{7}$取决于空间维度$n$，这是由于Segal [ \ref{bib:Seg.} ]。我们改进的常数$Cn^6$凸集和$Cn^5$中心对称凸集。我们还推测，这两个不等式中的最佳常数必须具有$Cn^2,$的形式，即，二次在$n.$的工具是Brenier的映射从理论的质量输运结合新的尖锐的几何-算术平均和一些代数不等式加上跟踪估计由Figalli，Maggi和Pratelli。
2018-03-03 math.AP math.DG
Isoperimetric and stable sets for log-concave perturbations of Gaussian measures
设$Ω$是$\mathbb{R}^{n+1}$中的一个开半空间或平板，赋以形式为$f(p):=\exp(ω(p)-c|p|^2)$的高斯测度的扰动，其中$c>0$和$ω$是一个光滑凹函数，仅取决于到平行于$\partialΩ$的线性超平面的有符号距离。在这项工作中，我们遵循变分的方法来表明，垂直于$\partialΩ$的半空间唯一最小化的加权周长在$Ω$之间的集合包围相同的加权体积。证明的主要内容是将平行于或垂直于$\partialΩ$的半空间刻画为具有小奇异集和零权容量的唯一稳定集。我们的方法也适用于$Ω=\mathbb{R}^{n+1}$，特别是产生的高斯空间中的稳定集的分类和高斯等周不等式的一个新的证明。最后，我们使用最优输运研究的加权极小扰动项$ω$是凹的，可能是不光滑的。
2014-11-13 math.DG math.MG
Isoperimetric inequalities in conically bounded convex bodies
本文研究了在圆锥有界凸集内部，在体积约束下，最小化相对周长的问题，允许\emph{exterior}渐近锥面的无界凸体。得到了关于等周区域的存在性、大体积等周轮廓的性质以及大体积等周区域在圆锥有界旋转凸集上的一个特征。
2014-10-14 math.DG
Stable and isoperimetric regions in some weighted manifolds with boundary
在一个黎曼流形与一个光滑的正函数的权重相关联的豪斯多夫措施，我们研究稳定集，即，在保持加权体积的变化下加权周长的二阶最小值。通过假设边界的局部凸性和Bakry-Émery-Ricci张量的某些行为，我们推导出刚性性质的稳定集，通过使用构造从平行向量场切线的边界。作为结果，我们完全分类的稳定集在一些黎曼柱面$Ω\times\mathbb{R}$与产品的重量。最后，我们还建立了唯一性结果表明，任何极小的加权周长固定加权体积是有界的水平切片$Ω\times\{t\}$。
2020-07-26 math.DG
On the existence of isoperimetric regions in manifolds with nonnegative Ricci curvature and Euclidean volume growth
本文给出了具有非负里奇曲率和欧氏体积增长的黎曼流形中大体积等周集的存在性结果。我们找到了它们存在的充分条件在无穷远的几何流形。作为一个副产品，我们证明了大体积的等周集总是存在于具有非负截面曲率和欧氏体积增长的流形上。我们的方法结合了最小化序列的渐近质量分解结果，非光滑空间上的一个尖锐的等周不等式，以及等周轮廓的非线性性质。后者是新的一般性的非塌陷流形的里奇曲率有界以下。
2021-07-15 math.DG math.FA math.MG
Isoperimetric and Concentration Inequalities - Equivalence under Curvature Lower Bound
众所周知，在一个非常一般的测度度量空间中，等周不等式蕴含着适当的浓度不等式。前者将集合的边界测度作为其测度的函数，而后者将与具有总测度的一半的集合分离的集合的测度作为其相互距离的函数。我们证明了，在一个下界条件下的Bakry--Émery曲率张量的黎曼流形配备了一个密度，完全一般的浓度不等式隐含回他们的等周对应，到维数\emph{independent}界。作为推论，推广了Bobkov的一个等周不等式，恢复和推广了以前所有已知的（与维数相关的）结果，并给出了一个新的证明：在自然凸性假设下，任意弱浓度蕴含一个与维数无关的线性等周不等式.进一步的应用将在随后的工作中描述。与以前在这个方向上的尝试相反，我们的方法完全是几何的，继续Gromov提出的方法，并适应于Morgan的流形密度设置。
2009-12-01 math.DG math.FA
Curvature bounds via an isoperimetric comparison for Ricci flow on surfaces
证明了由规范化里奇流演化的曲面的泛覆盖上的等周轮廓的一个比较定理。对于任何初始度量，构造模型比较，其最初位于初始度量的轮廓下方并且收敛于常曲率度量的轮廓。比较定理意味着演化度量在所有时间都被模型比较限制在下面，因此收敛到常曲率轮廓。这就产生了一个曲率界和一个界的等周常数，导致一个直接的证明，度量收敛到常曲率度量。
2014-03-19 math.AP math.DG
Uniqueness on average of large isoperimetric sets in noncompact manifolds with nonnegative Ricci curvature
该研究在具有非负Ricci曲率、欧几里得体积增长和二次曲率衰减的非紧完备黎曼流形中，证明了大体积等周集在体积趋于无穷时的平均唯一性及边界严格保体积稳定性，并构造反例说明无法对所有大体积都成立唯一性或严格稳定性。
2025-02-24 math.DG math.MG
Isoperimetric sets in spaces with lower bounds on the Ricci curvature
本文研究了$\sf RCD$空间中拟周长的体积约束极小元的正则性和拓扑性质，其中参考测度是Hausdorff测度.拟周长是由通常周长和适当的连续项之和给出的泛函。特别是，等周集是我们研究的一个特例。证明了在${\sf RCD}(K,N)$空间$({\rm X},{\sf d},\mathcal{H}^N)$上，有$K\in\mathbb R$，$N\geq 2$，单位球的体积有一致下界，拟周长的体积约束极小元是开有界集，其$(N-1)$ -Ahlfors正则拓扑边界与本质边界重合.证明是基于${\sf RCD}(K,N)$空间$({\rm X},{\sf d},\mathfrak m)$中有限周长集的一个新的形变引理和对拟周长的体积约束极小元的内点和外点的研究。该理论适用于光滑黎曼流形的体积约束极小，可能与边界，提供了一个一般的规则性结果，这样的极小在光滑设置。
2021-09-21 math.DG math.FA math.MG
The isoperimetric problem for regular and crystalline norms in $\mathbb H^1$
研究了具有Heisenberg群结构的$\mathbb R^3$上各向异性左不变周长测度的等周问题.周长与水平分布上的左不变范数$ϕ$相关联。本文首先证明了正则集的$ϕ$-周长的一个表示公式，并假设$ϕ$及其对偶范数$ϕ^*$具有一定的正则性，从而导出了具有常$ϕ$-曲率的$\mathrm C^2$-光滑曲面的次Finsler测地线的叶理性质.然后，我们证明了的特征集的$\mathrm C^2$-光滑曲面的局部极值的等周问题是由孤立点和水平曲线满足一个合适的微分方程。基于这样的一个特征，我们刻画了$\mathrm C^2$-光滑$ϕ$-等周集作为子Finsler模拟潘苏的泡沫。我们还表明，适当的正则性$ϕ$下，这样的子Finsler候选等周集确实是$\mathrm C^2$-光滑。通过一个近似过程，我们最终证明了在一般情况下（包括$ϕ$是晶体的情况）候选解的条件极小性。
2022-09-13 math.DG math.MG math.OC
Isoperimetric problem and structure at infinity on Alexandrov spaces with nonnegative curvature
研究非负曲率有限维Alexandrov空间的等周剖面、等周集存在性与无穷远渐近结构的关系，证明线性体积增长等条件的等价性，并给出2维情形下等周集的存在性与拓扑刻画。
2025-03-15 math.DG math.MG
Isoperimetric inequalities in convex cylinders and cylindrically bounded convex bodies
本文考虑凸柱$K\times\mathbb{R}^q$的等周轮廓，其中$K$是$m$维凸体，以及柱上有界凸集的等周轮廓，即在$\mathbb{R}^{n+1}$的某个超平面上具有相对紧的正交投影的凸集，渐近于形式为$K\times\mathbb{R}$的右凸柱，其中$K\subset\mathbb{R}^n$ .结果有关的等周轮廓，存在的等周区域，等周区域的几何描述的小和大的体积。
2014-10-14 math.DG math.MG
Total curvature and the isoperimetric inequality in Cartan-Hadamard manifolds
得到了黎曼流形上函数水平集的全曲率的一个比较公式，并将这个结果推广到非正曲率空间中的等周问题.
2021-09-23 math-ph math.AP math.DG
The $k$th Order Preserving Sets and Isoperimetric Type Inequalities for Planar Ovals
Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
本文研究了第k阶保持集与中点集的几何性质，并建立了与卵形曲线相关的等周型不等式，揭示了等角外接k边形的结构特征。
2026-02-24 math.DG
On the relative isoperimetric problem for the cube
本文解决了正交多面体在[0,1]^3中的相对等周问题，确定了极小化子的形式，并与该空间中无约束相对等周问题的猜想极小化子进行了比较。
2024-11-26 math.DG
Isoperimetric interpretation for the renormalized volume of convex co-compact hyperbolic 3-manifolds
我们重新解释重整化体积为凸余紧双曲三维流形的等周轮廓的渐近差。利用类似的技巧，我们还证明了$\mathbb{H}^3$中关于均匀凸集的一个尖锐的Minkowski不等式.最后，我们包括分类稳定的常中曲率曲面在区域内的两个测地平面在$\mathbb{H}^3$或在循环的$\mathbb{H}^3$。
2023-02-27 math.DG math.GT
Two properties of optimisers for the reverse isoperimetric problem
Goethe-Universität Institut für Mathematik（歌德大学数学研究所）
研究黎曼流形中在给定半径球内自由滚动且固定体积的凸集，证明无C^2光滑的周长最大化者，并证明C^2光滑区域的最小主曲率为常数。
2026-07-03 math.DG math.MG
Isoperimetry by stretching
本文通过在闭合流形中构造分离超曲面来构建等周区域，揭示了等周边界在拓扑类型和奇异集方面的多样性。
2026-09-16 math.DG
A Reverse Isoperimetric Inequality and its Application to the Gradient Flow of the Helfrich Functional
证明了Willmore能量在$8π$外有界的嵌入曲面的一个定量逆等周不等式.我们使用该结果来分析Willmore能量的负$L^2$梯度流加上封闭体积的正倍数。我们证明了Willmore能量小于$8π$且具有正封闭体积的初始曲面在有限或无限时间内收敛于一个圆点。
2020-09-25 math.AP math.DG
On the isoperimetric inequality and surface diffusion flow for multiply winding curves
本文建立了旋转对称平面内浸入闭曲线（可能是非凸的）的等周不等式的一般形式。作为一个应用，我们得到了表面扩散流的整体存在性结果，提供了一个初始曲线是$H^2$ -接近一个多覆盖的圆和充分旋转对称。
2019-09-19 math.AP math.DG
ADM mass and the capacity-volume deficit at infinity
基于等周不等式，G. Huisken在广义相对论中提出了一个总质量的定义，它等价于非负数量曲率的（光滑）渐近平坦3-流形的ADM质量，但在更大的普遍性中定义得很好。类似地，我们使用等容不等式（从下面的体积的约束能力）来提出总质量的新定义。我们证明了它和ADM质量之间的不等式，并证明了反向不等式与调和平坦的渐近，或一般的渐近，球（而不是任意紧集）的耗尽。这种方法可以应用于广义相对论中涉及低正则性度量和收敛的问题，并且相对于等周质量可能具有一些优势。提出了CMC曲面和等周区域的一些类似结果。
2020-02-20 gr-qc math.DG
Curvature bounds by isoperimetric comparison for normalized Ricci flow on the two-sphere
证明了双球上规范化里奇流解的等周轮廓的一个比较定理：如果初始度量的等周轮廓大于某个正曲轴对称度量的等周轮廓，则该不等式对于演化度量的等周轮廓仍然成立.我们应用这个使用Rosenau解决方案作为模型度量推导出尖锐的时间依赖的曲率边界的任意解决方案的规范化里奇流的两个球。这给出了一个简单而直接的证明收敛到一个常曲率度量，而不使用任何爆破或紧参数，Harnack估计，或任何分类的行为附近的奇点。
2009-08-26 math.AP math.DG
The isoperimetric problem on Riemannian manifolds via Gromov-Hausdorff asymptotic analysis
本文在假定Gromov-Hausdorff渐近于适当的常截面曲率单连通模型的条件下，证明了Ricci下有界的黎曼流形中任意体积的等周区域的存在性.前面的结果是一个一般的结构定理的周长最小化序列集的固定体积上的非塌陷黎曼流形上的里奇曲率的下界。我们表明，在不假设任何进一步的假设上的渐近几何，所有的质量和周长在无穷远丢失，如果有的话，恢复在最多可数许多等周区域坐在一些（可能是非光滑的）Gromov-Hausdorff限制在无穷远。Gromov-Hausdorff渐近分析使我们能够恢复和扩展不同的先前存在定理。当在光滑条件下研究等周问题时，非光滑几何自然出现，因此我们的处理结合了两种理论的技术。
2022-09-05 math.DG math.MG
A comparison theorem for the isoperimetric profile under curve shortening flow
我们证明了一个比较定理的简单闭曲线的等周轮廓演变的归一化曲线缩短流：如果由初始曲线包围的区域的等周轮廓是大于，一些“模型”凸区域正好有四个顶点，并在两个轴上的反射对称，然后不等式仍然为真的演变区域的等周轮廓。我们应用此使用的Angenent的解决方案作为模型区域推导出尖锐的时间依赖的曲率上界任意嵌入闭曲线演变的归一化曲线缩短流。一个稍微不同的比较也给出了曲率的下界，其结果是格雷森定理的一个简单而直接的证明，而不使用任何爆破或紧性参数，Harnack估计，或自相似解的分类。
2011-04-05 math.AP math.DG
Quantitative isoperimetric inequalities for classical capillarity problems
本文研究欧几里得半空间中带常数边界权重的毛细管等周问题，利用ABP型技巧给出尖锐等周不等式的新证明，并通过定量ABP方法与选择型论证相结合，建立了关于最优截断球的Fraenkel不对称性和边界接触部分不对称性的两个定量估计。
2024-09-17 math.AP math.DG math.OC
Isoperimetry on manifolds with Ricci bounded below: overview of recent results and methods
本文综述了Ricci下界流形上等周问题的最新进展，重点介绍等周轮廓二阶微分不等式及其证明方法，并展示了其在等周不等式和等周集存在性等方面的应用，同时指出了若干开放问题。
2023-05-13 math.AP math.DG math.MG
Rigidity and large volume residues in exterior isoperimetry for convex sets
本文利用“渐近维数”概念刻画了外部等周剖面与半空间相等的凸体，并证明了当渐近维数较低时大体积下剖面渐近于全空间，同时给出了相应误差的幂律估计。
2023-10-20 math.AP math.DG
The Cheeger Constant, Isoperimetric Problems, and Hyperbolic Surfaces
本文对等周问题作了简要的文献回顾，并讨论了它与黎曼$n$ -流形的Cheeger常数的关系。对于某些非紧的有限面积2-流形，证明了等周比等于Cheeger常数的子集的存在性和正则性。为了做到这一点，我们使用哈斯-摩根的等周问题，这些流形的结果。我们也给出了一个例子，有限区域2-流形，其中不存在这样的子集。利用亚当斯-摩根的工作，我们分类所有这样的子集的几何有限双曲曲面，这样的子集总是存在的。由此，我们提供了一个算法，用于找到这些集的拓扑结构，长度谱，和表面的简单的闭测地线之间的距离的信息。找到这样一个子集允许直接计算表面的Cheeger常数。作为Agol提出的这一工作的一个应用，我们给出了Selberg特征值猜想的一个检验。我们这样做是通过比较定量改善Buser的不平等造成的作品阿戈尔和作者的上界的Cheeger常数这些表面，后者由布鲁克斯-祖克。正如所料，我们的测试并不矛盾塞尔伯格的猜想。
2016-01-06 math.DG math.GT math.SP
