Non-rationality of the symmetric sextic Fano threefold
Arnaud Beauville
我们给出了一个简单的证明，证明了在P^6中由方程<$x_i =<$x_i^2 =<$x_i^3 = 0定义的Fano三重性的非合理性。
We give a simple proof of the non-rationality of the Fano threefold defined by the equations Σx_i = Σx_i^2 = Σx_i^3 = 0 in P^6 .
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We study a double solid X branched along a nodal sextic surface in a projective space and the 2-torsion subgroup in the third integer cohomology group of a resolution of singularities of X. This group can be considered as an obstruction to rationality of X. Studying this group we conclude that all sextic double solids admitting non-trivial obstructions to rationality are branched along determinantal surfaces of very specific type and we provide an explicit list of them.
Refinement of the classification of weak Fano threefolds with sextic del Pezzo fibrations
通过考虑弱Fano三重性的Hodge数，我们改进了具有六次del Pezzo纤维化的弱Fano三重性的分类.根据细化分类结果，将这三种类型分为17种。本文的主要结果是证明了除2种情形外，其余17种情形各有一个例子。
A splitting criterion for rank 2 vector bundles on a general sextic threefold
本文证明了在一般的六次超曲面$X\subset \bf P^4$上，秩为2的向量丛$E$分裂当且仅当对任意$n \in \bf Z$都有$h^1(E(n))=0$.从而得到了$X$中完全相交曲线的一个特征
Double EPW-sextics with actions of A7 and irrational GM threefolds
本文构造了两个带 A7 作用的 K3[2] 型超凯勒四重流形，并利用其双 EPW 六次超曲面结构给出显式的非有理 Gushel-Mukai 三重流形族。
On the birational geometry of sextic threefold hypersurface in $\mathbf{P}(1,1,2,2,3)$
研究六次三维超曲面在加权射影空间中的理性质，证明其非理性。
Let $X$ be a double cover of $\mathbb P^3$ branched along a sextic surface $Y$. In this paper, we show that, for general $X$, the Abel-Jacobi map associated to the normalization $\tilde F(X)$ of the surface $F(X)$ of curves contained in $X$ which are preimages of lines bitangent to $Y$, gives an isogeny between the Albanese variety of $\tilde F(X)$ and the intermediate Jacobian of $X$.
Rationality of singular cubic threefolds over $\mathbb R$
本文研究实数域上奇异三次三倍体的有理性性质，为相关代数几何问题提供新的理解。
We study unirationality and rationality of Fano threefolds of degree 18 over nonclosed fields.
Threefolds Fibred by Mirror Sextic Double Planes
本文系统研究以镜像六次双平面K3曲面为纤维的三维簇，提出广义函数与同调不变量，构造Weierstrass形式及极小形式，并分析其奇异纤维、典范除子和Betti数。
On stable rationality of Fano threefolds and del Pezzo fibrations
我们证明了非常一般的非有理Fano三重，不是双有理到三次三重是不稳定的理性。
Rationality of $\mathbb{Q}$-Fano threefolds of large Fano index
证明了Fano指数$\ge 8$的三倍的$\mathbb{Q}$ -Fano是有理的.
A rationality criterion for real Fano threefolds
该研究探讨光滑几何有理法诺三维簇实轨迹的连通性，提出并证明了一个实合理性的充分准则，为相关几何对象的合理性分析提供了理论依据。
Stable rationality in smooth families of threefolds
我们展示了家庭的顺利投射三倍稳定理性和非稳定理性纤维。
We give necessary and sufficient conditions for unirationality and rationality of Fano threefolds of geometric Picard rank-1 over an arbitrary field of zero characteristic.
K-stability and space sextic curves of genus three
本文研究沿亏格3光滑六次曲线吹张三维射影空间得到的法诺三维簇，构造了其新K-稳定实例，并刻画了所有可忠实作用于其上的有限群。
A Fano-Enriques threefold is a three-dimensional non-Gorenstein Fano variety of index 1 with at most canonical singularities. We study the birational geometry of Fano-Enriques threefolds with terminal cyclic quotient singularities. We investigate their rationality, and also provide an example of a Fano-Enriques threefold, whose pliability is 9, i.e. a Fano-Enriques threefold birationally equivalent to exactly 9 Mori fibre spaces in Sarkisov category.
We classify some special classes of non-rational Fano threefolds with terminal singularities. In particular, all such hyperelliptic and trigonal varieties are found.
We construct two small resolutions of singularities of the Coble fourfold (the double cover of the four-dimensional projective space branched over the Igusa quartic). We use them to show that all $S_6$-invariant three-dimensional quartics are birational to conic bundles over the quintic del Pezzo surface with the discriminant curves from the Wiman-Edge pencil. As an application, we check that $S_6$-invariant three-dimensional quartics are unirational, obtain new proofs of rationality of four special quartics among them and irrationality of the others, and describe their Weil divisor class grou…
Geometry of genus 8 Nikulin surfaces and rationality of their moduli
设S是亏格为8的一般复Nikulin曲面，给出了S的一个尺规作图法.考虑Grassmannian G（1，4）的光滑三重线性截面T和T的有理正规六次曲线的Hilbert格式。其中考虑了特殊的六次曲线族A，它也包含在有理正规四次曲线P^4的双斜线的同余中。我们证明了S对于T的一个包含六次曲线A的二次截面是双正则的。特别地，A允许包含在G（1，4）中的一个1维双割线族，其中8条在S中.然后利用这种显式构造证明亏格为8的Nikulin曲面的模空间是有理的。
We prove rationality criteria over algebraically non-closed fields of characteristic $0$ for five out of six types of geometrically rational Fano threefolds of Picard number $1$ and geometric Picard number bigger than $1$. For the last type of such threefolds we provide a unirationality criterion and prove stable non-rationality under additional assumptions.
Burkhardt quartic, Barth sextic, and the icosahedron
本文研究了二十面体群$\mathfrak{A}_5$的作用下的两个有理Fano三折叠.第一个是著名的Burkhardt四次三重曲面，第二个是分支于Barth六次曲面的射影空间的重覆盖。证明了它们都是$\mathfrak{A}_5$ -Fano簇，并且是$\mathfrak{A}_5$ -双有理超刚性的.这给出了群$\mathfrak{A}_5$到空间Cremona群中的两个新嵌入。
The rationality of the moduli space of one-pointed ineffective spin hyperelliptic curves via an almost del Pezzo threefold
利用几乎del Pezzo三重几何，证明了亏格$g$单点无效自旋超椭圆曲线的模空间对每个$g\geq 2$都是有理的.
Double covers of smooth quadric threefolds with Artin-Mumford obstructions to rationality
本文分类了作为光滑二次三重流形双重覆盖且具有 Artin-Mumford 有理性障碍的节点 Fano 三重流形，证明其属于三个明确描述的族，其中两个族为首次发现。
We classify nonrational Fano threefolds $X$ with terminal Gorenstein singularities such that $\mathrm{\rk}\, \mathrm{\Pic}(X)=1$, $(-K_X)^3\ge 8$, and $\mathrm{\rk}\, \mathrm{\Cl}(X)\le 2$.
Non-rationality of the S_6-symmetric quartic threefolds
P^4不变的四次超曲面在S_6的标准表示下形成线性束。我们证明了这支铅笔的一般成员是不合理的。
Rationality of rationally connected threefolds admitting non-isomorphic endomorphisms
本文证明了弱Q-Fano三重非同构自同态的一个结构定理，更一般地，证明了具有大反典范除子的三重非同构自同态的一个结构定理。并给出了一个有理连通三重图是有理的判别准则。因此，我们表明（不使用的分类），每一个光滑的Fano三倍有一个非同构的满射自同态是合理的。
Stable rationality of orbifold Fano threefold hypersurfaces
我们完全确定了非常一般的拟光滑Fano 3重加权超曲面的合理性，并确定了除三次3重加权超曲面以外的拟光滑Fano 3重加权超曲面的稳定合理性。更精确地，我们证明了：（i）除三次Fano超曲面外，指数为1或2的非常一般的Fano三次加权超曲面都不是稳定有理的;（ii）在指数大于2的27个Fano三次加权超曲面族中，特定的7个Fano三次加权超曲面族中的非常一般的成员都不是稳定有理的，其余的20个Fano三次加权超曲面族由有理簇组成.
Good reduction of Fano threefolds and sextic surfaces
我们调查版本的Shafarevich猜想，证明曲线和阿贝尔簇的法尔亭，其他类别的品种。我们首先获得类似物的某些法诺三倍。我们使用这些结果来证明光滑六次曲面的Shafarevich猜想，这似乎是第一个非平凡的结果，在文献中的算术等表面。此外，我们表现出一定的模栈的法诺品种是不是双曲，这使我们能够表明，模拟的Shafarevich猜想并不总是持有法诺品种。我们的研究结果也提供了新的例子，其中Campana和Lang-Vojta的结构举行。
On the rationality of some real threefolds
本文研究某些实三维二次曲面包络在实数域及更一般的实闭域上的有理性，通过未分枝上同调和birational刚性技术，得出正负结果及具体构造。
On rationality of nonsingular threefolds with a pencil of Del Pezzo surfaces of degree 4
本文证明了$P^1$上两个纤维二次曲面的完全交的非奇异性准则。作为推论，我们得到以下除了Alexeev定理的合理性标准Del Pezzo纤维化的4度$P^1$：我们证明，任何纤维化的这种拓扑欧拉示性数-4是合理的。
Rationality in families of threefolds
证明了在定义于代数闭域上的射影三重域族中，有理纤维的轨迹是可分有理连通纤维的轨迹的闭子集的可数并.当基域具有特征零点时，这意味着在一个光滑的三重射影族中有理纤维的轨迹是至多可数个闭子族的并。
Equivariant rationality of Fano threefolds in the family \textnumero 2.12
本文研究族 2.12 中 Fano 三维完全交的等变有理性，刻画了忠实群作用可线性化的充要条件。
On the rationality of certain Fano threefolds
本文研究具典范奇点的 Gorenstein Fano 三维簇有理性，证明三角、含平面、高亏格及含普通直线等四类情形在相应阈值下均为有理簇。
Fibers of Landau-Ginzburg models and rationality
本文通过镜像Landau-Ginzburg模型的纤维单值性刻画Fano三维流形的有理性，证明有理当且仅当所有可约纤维的单值性为幺幂。
A new proof of the nonrationality of cubic threefolds
本文给出了一般三次三重曲线的非有理性的一个新证明：如果一般三次三重曲线是有理的，则相应的中间雅可比矩阵是曲线雅可比矩阵的乘积。我们退化一个通用的三次三倍到塞格雷三次三倍，所以有一个退化的中间雅可比以及。与退化的Prym家族相关联的是幺模向量系统。一般立方三重的合理性意味着幺模系统将是余图切割。然而，我们证明，得到的幺模系统是一个众所周知的对称非余图切割称为E_5。
EPW varieties as moduli spaces on ordinary GM surfaces and special GM threefolds
本文证明与强光滑 Gushel-Mukai 曲面相关的双对偶 EPW 六次曲面可实现为其有界导出范畴上半稳定对象的模空间，并观察到与特殊 Gushel-Mukai 三维族相关的双对偶 EPW 曲面可实现为其 Kuznetsov 分量上半稳定对象的模空间，进而讨论了主要结果到双 EPW 六次曲面和双 EPW 曲面的推广，以及在温和假设下对 Bayer 和 Perry 关于具有等价 Kuznetsov 分量的 Gushel-Mukai 三维族的一个陈述的改进。
Unirational Fano threefolds
本文运用Cheltsov等人的相对阿贝尔-雅可比构造，得到50维单有理次数1德尔佩佐三维簇族，构造了两类单有理三维簇的显式单参数族，并重新阐释了双二次三维簇的Roth--Iskovskikh单有理性构造。
A remark on Fano threefolds with canonical Gorenstein singularities
我们给出了具有典型Gorenstein奇点的Fano三重的一些合理性构造。
A threefold violating a local-to-global principle for rationality
本文构造了一个在 $\mathbb Q$ 上非有理但在所有局部处均有理的光滑射影三维簇，通过在相关亏格 $2$ 曲线的 Jacobian 的 Tate--Shafarevich 群中构造阶为 $4$ 的显式元素证明其有理性。
Non-rational nodal quartic threefolds
结点四次3重数的$\mathbb{Q}$ -因式性暗示了它的非理性。我们证明了一个结点不超过8个的四次三次结点是$\mathbb{Q}$ -阶乘的，并且证明了一个结点为9个的四次三次结点不是$\mathbb{Q}$ -阶乘的当且仅当它包含一个平面.然而，在$\mathbb{P}^4$中存在非有理非$\mathbb{Q}$ -阶乘结点四次3-折叠.特别是，我们证明了非理性的一般非$\mathbb{Q}$阶乘节点四次3倍，其中包含一个平面或一个光滑的del Pezzo表面的程度为4。
We construct $S$-linear semiorthogonal decompositions of derived categories of smooth Fano threefold fibrations $X/S$ with relative Picard rank $1$ and rational geometric fibers and discuss how the structure of components of these decompositions is related to rationality properties of $X/S$.
On nodal prime Fano threefolds of degree 10
研究了指数为1、次数为10的节复素Fano三重图的几何和周期图。我们证明了这三个折叠是双有理同构的Verra固体（超曲面的二度$(2,2)$在$ ¶^2\times ¶^2$）。利用Verra关于这类立体的周期映射和平面六次曲线的双顶点覆盖的Prym映射的结果，证明了我们的节点三次曲面的周期映射的纤维是两个曲面的双有理并，并给出了几种描述.该结果是在节点情况下对平滑情况在arXiv：0812.3670中获得的结果的模拟。
Conic bundle threefolds differing by a constant Brauer class and connections to rationality
研究在一般(2,2)-除子上分歧的P^1×P^2双重覆盖Y的几何标准锥丛结构，通过比较Y与两个二次曲面交的锥丛结构，用常数Brauer类刻画第一投影Y→P^1截面的存在性障碍，并应用于实域和局部域上的有理性判定。
On the birational geometry of $\mathbf{Q}$-Fano threefolds of large Fano index, I
本文研究Fano指数≥2的Q-Fano三维流形的理性问题，探讨其几何性质和分类方法。
On the birational geometry of $\mathbf{Q}$-Fano threefolds of large Fano index, II
本文研究Fano指数≥3的Q-Fano三维流形的理性问题，延续前文研究。
We discuss birational properties of Mukai varieties, i.e., of higher-dimensional analogues of prime Fano threefolds of genus $g \in \{7,8,9,10\}$ over an arbitrary field $\mathsf{k}$ of zero characteristic. In the case of dimension $n \ge 4$ we prove that these varieties are $\mathsf{k}$-rational if and only if they have a $\mathsf{k}$-point except for the case of genus $9$, where we assume $n \ge 5$. Furthermore, we prove that Mukai varieties of genus $g \in \{7,8,9,10\}$ and dimension $n \ge 5$ contain cylinders if they have a $\mathsf{k}$-point. Finally, we prove that the embedding $X \hook…
Curve classes on conic bundle threefolds and applications to rationality
研究几何有理曲面上圆锥丛三维流形的曲线类结构，构造Galois等变同态推广Beauville结果，并应用于精细中间Jacobian挠子(IJT)有理性阻碍，证明在低算术复杂度基域下IJT可刻画有理性。
Lines on cubic threefolds and fourfolds containing a plane
该研究刻画了特征非2域上含平面的一般三次三维簇的直线Fano概形，以此刻画非闭域上这类三次三维簇的有理性，并显式构造含平面三次四维簇直线Fano簇的拉格朗日纤维化。
Sextic Double Solids
证明了P^3的Q-阶乘二重覆盖X沿至多有单二重点的六次曲面分歧的非有理性和双有理超刚性。我们还表明，条件#|唱（X）|< 15表示X的Q-因子性。特别地，P^3的每一个至多有14个单二重点的双覆盖都是非有理的，并且不是双有理同构于圆锥丛。对X到椭圆纤维化和到具有正则奇点的Fano 3-folds的双有理变换进行了分类。我们考虑有限特征域上的一些相关问题。当X定义在数域F上时，如果Sing（X）不为空，则证明了3重X上的有理点集是潜在稠密的.
Hyperelliptic and trigonal Fano threefolds
我们分类的Fano 3-folds与典型Gorenstein奇点的反正则线性系没有基点，但不给嵌入，我们分类的反正则嵌入的Fano 3-folds与典型Gorenstein奇点不是二次曲面的交集。我们还研究了大多数这些品种的合理性问题。
Calabi-Yau-threefolds with Picard number $ρ(X)=2$ and their Kaehler cone II
本文证明了Kähler锥的合理性和$c_2(X)$的正性，如果$X$是一个具有$ρ(X)=2$的Calabi-Yau-三重的，并且在$(n,m)=(1,3),(3,1)$的情形下嵌入到${\bb P}^m$上的${\bb P}^n$ -丛.本文的第一部分完成了案例$(n,m)=(2,2)$。此外，如果$(n,m)=(3,1)$，我们描述的“其他”收缩不同的投影。
A quantum connection approach to rationality
本文提出从量子连接提取秩和正则化指数，证明其在双有理比较下不变，并用于证明多种三维簇及乘积的非理性。
Double solids, categories and non-rationality
本文以范畴论为基础，对三重合理性问题提出了一种新的研究方法。继M。Ballard，D.法韦罗湖Katzarkov（ArXiv：1012.0864）和D.法韦罗湖Katzarkov（Noether-Lefschetz Spectrum and Algebraic cycles，in preparation）我们改进了A. Kuznetsov（arXiv：0904.4330）通过引入Noether-Lefschetz谱--Orlov谱（C. Oliva，代数圈和Hodge理论上的广义Reye同余，Compos。92，No.1（1994）1- 22）和霍赫希尔德同调。本文的主要目标是提出一系列有趣的例子，其中上述技术可能适用。我们首先构造一个有35个结点的六次双立体$X$，它在$H^3(X,\mathbb Z)$中有挠。这是一个新的例子-在Artin和Mumford（1972）的经典例子之后，这是第二个在3阶整数同调群中具有挠率的Fano三重群的例子。特别是$X$是非理性的。我们考虑其他的例子，以及- $V_{10}$与10个奇点和双重覆盖的二次分歧在八次线与20个节点奇点。在分析了他们的朗道-金兹伯格模型的几何结构之后，我们提出了一个基于同调镜像对称和范畴论的一般非理性图景。
We introduce new obstructions to rationality for geometrically rational threefolds arising from the geometry of curves and their cycle maps.
Let $W\subset \mathbb{P}^{13}$ be the image of the rational map defined by the linear system of the sextic surfaces of $\mathbb{P}^3$ having double points along the edges of a tetrahedron. Let $\mathcal{L}$ be the linear system of the hyperplane sections of $W$. It is known that a general $S\in \mathcal{L}$ is an Enriques surface. The aim of this paper is to study the sublinear system $\mathcal{L}_{\bullet}\subset \mathcal{L}$ of the hyperplane sections of $W$ having a triple point at a general point $w \in W$. We will show that a general element of $\mathcal{L}_{\bullet}$ is birational to an …
Rational points on log Fano threefolds over a finite field
证明了完满域特征域$p>5$上klt三重的$W\mathcal{O}$ -有理性和klt Fano三重的有理链连通性.因此，在有限域上的任何klt Fano三重都有一个有理点。
Toric models of smooth Fano threefolds
本研究证明一般有理光滑Fano三维簇存在环面模型，其双有理复杂度为零，并论证了有理性、一般性、光滑性三个条件的必要性。
We construct a $15$-dimensional affine variety $Π_{\mathbb{A}}^{15}$ with a ${\rm GL}_{2}$- and $(\mathbb{C}^{*})^{4}$-actions. We denote by $Π_{\mathbb{A}}^{14}$ the affine variety obtained from $Π_{\mathbb{A}}^{15}$ by setting one specified variable to $1$ (we refer the precise definition to Definition 1.1 of the paper). Let $Π_{\mathbb{P}}^{13}$ be several weighted projectivizations of $Π_{\mathbb{A}}^{14}$, and $Π_{\mathbb{P}}^{14}$ the weighted cone over $Π_{\mathbb{P}}^{13}$ with a weight one coordinate added. We show that $Π_{\mathbb{P}}^{13}$ or $Π_{\mathbb{P}}^{14}$ produce, as weight…
Algebraic hyperbolicity of very general hypersurfaces in projective spaces
本文证明了射影空间中非常一般超曲面代数双曲性的最后未解情形，即四次三维簇，完成了分类，方法基于Coskun--Riedl构造及稳定映射模空间和对数几何。
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