On the Hilbert scheme of varieties defined by maximal minors
Daniele Faenzi, Maria Lucia Fania
本文计算了射影空间中由多项式矩阵的极大子式截割的正维子簇的Hilbert格式的维数。
We compute the dimension of the Hilbert scheme of subvarieties of positive dimension in projective space which are cut by maximal minors of a matrix with polynomial entries.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hilbert functions of points on Schubert varieties in the Grassmannian
本文证明了Kreiman和Lakshmibai关于Grassmannian中Schubert簇上点的Hilbert函数的一个猜想。
A mixed fibration theorem for Hilbert irreducibility on non-proper varieties
本文证明了在适当条件下，弱希尔伯特性质沿定义在任意特征为零的域上的变种的映射上升。
Punctual Hilbert schemes of points of $\mathbb{A}^3$ in the Grothendieck group of varieties
给出了$\mathbb{A}^{m+1}$的$n$点关于Grothendieck簇群中的$m$维划分的点Hilbert格式的显式分层.作为应用，我们计算了$n\leq 5$的Grothendieck簇中$\mathbb{A}^3$的$n$点的点Hilbert格式类和$\mathbb{A}^3$的$n$点的Hilbert格式类.
On the cohomology rings of Grassmann varieties and Hilbert schemes
利用向量场技术，计算了射影平面上点的Hilbert概型的普通上同调环和等变上同调环与格拉斯曼簇的上同调环的关系。
The Standard Conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of K3 surfaces
我们证明了标准的复杂的投影品种，是变形的希尔伯特计划的点在K3表面。证明涉及Verbitsky的理论的超全纯层和研究的上同调代数的希尔伯特计划的K3表面。
Hilbert polynomials of the first and second secant varieties
本文通过描述光滑射影复簇上2或3点的Hilbert方案上充分正线丛的对称幂的上同调群，将其维数用第一和第二割簇的希尔伯特多项式表示，并完全计算了这些多项式。
Calculation of Rozansky-Witten invariants on the Hilbert schemes of points on a K3 surface and the Generalised Kummer varieties
通过给出K3曲面上点的Hilbert格式的Rozansky-Witten不变量和广义Kummer簇随维数变化的结构性结果，给出了一个用Chern数计算大类Rozansky-Witten不变量的方法.
Non-rational varieties with the Hilbert Property
如果$X(k)$不薄，则称一个$X/k$变种具有希尔伯特性质。我们将描述簇的一些例子，希尔伯特性质是它们的一个新结果。本文给出了一个判别条件，当一个簇$X$的Hilbert性质通过一个有限群的作用蕴涵着该簇的同元$X/G$的Hilbert性质时，该判别条件成立.在群$G$的线性作用的情况下，这给出了具有希尔伯特性质的（非有理）单有理簇的例子，为Colliot-Thélène和Santiago的猜想提供了正面的例子。然后，我们重点研究具有两个椭圆纤维化的K3曲面的Hilbert性质，特别是对角四次曲面，即形式为$ax^4+by^4+cz^4+dw^4=0$的各种曲面。然后，我们展示，通过一个明确的应用程序，如何可以使用上述标准，以提供其他例子的K3曲面的希尔伯特性质。由于希尔伯特性质与有理点的存在有关，因此K3曲面应该（严格地）代表二维的极限情况。
Invariant Hilbert scheme resolution of Popov's $SL(2)$-varieties I: the toric case
我们证明了每一个三维仿射法线拟齐次$SL(2)$簇都有一个由不变Hilbert格式给出的奇点的等变奇点的分解.本文讨论的情况下，这种$SL(2)$ -品种是复曲面。非复曲面的情况将在即将发表的文章中讨论[Kub 18]。
Power structure over the Grothendieck ring of varieties and generating series of Hilbert schemes of points
利用作者构造的复拟射影簇的Grothendieck（半）环上的幂结构，将光滑拟射影簇上零维子格式的Hilbert格式类的生成列表示为同维复仿射空间上的生成列的指数.这个关系的特殊化给出了生成一系列希尔伯特点格式的不变量的公式，如欧拉示性数和Hodge-Deligne多项式。
Toric Varieties in Hilbert Schemes
对于任意域K，设I是环K[[x，y]]中的理想，可表示为理想对（x，y^4）和（x，y）或理想对（x，y^3）和（x^2，y）中的多项式。设G是K[[x，y]]的自同构群，将理想（x，y^2）发送给自身。则I的G轨道的闭包的正规化是环面簇。我们使用的Hilbert计划和环面品种的性质的相互作用来研究这些空间。
Hilbert squares of K3 surfaces and Debarre-Voisin varieties
Debarre-Voisin hyperkähler fourfolds是从$10$维复向量空间上的交替$3$ -形式构建的，我们称之为三向量。它们类似于与三次四重相关的Beauville-Donagi四重。在这篇文章中，我们研究了几个三向量，其相关的Debarre-Voisin簇是退化的，在这个意义上，它要么是可约的或有多余的维数。我们发现，Debarre-Voisin品种专门化，沿一般$1$参数退化到这些三向量，品种同构或双理性同构的希尔伯特平方的K3表面。
Tangent bundle of punctual Hilbert scheme and distinguishing products of varieties
研究光滑项目表面点希尔伯特方案的切包不可分解成分，并证明关于光滑项目表面点希尔伯特方案乘积分类的猜想，同时确定两个对称幂乘积的同构条件。
Invariant Hilbert scheme resolution of Popov's $SL(2)$-varieties II: the non-toric case
本文是文献[Kub 18]的继续，证明了若$3$维仿射法线拟齐次$SL(2)$簇$E$是环面的，则它具有由不变Hilbert格式$\mathcal H$给出的奇点的等变分解.在这篇文章中，我们考虑的情况下，$E$是非复曲面，并表明希尔伯特-周态射$γ: \mathcal H \to E$是一个奇点的分解性和$\mathcal H$是同构的最小分辨率的加权爆破$E$。
Hilbert series of second order jets of determinantal varieties
本文针对行列式簇射流概型中希尔伯特函数难以计算的问题，成功给出了 $2\ imes n$ 矩阵极大子式情形下二阶射流概型的希尔伯特函数。
From logarithmic Hilbert schemes to degenerations of hyperkähler varieties
本文提出通过构造超kähler品种的退化例子，研究其对数希尔伯特方案与退化结构之间的关系，并计算了对偶复形。
Hilbert irreducibility for abelian varieties over function fields of characteristic zero
该研究证明了特征零函数域上阿贝尔簇的希尔伯特不可约定理，完善了相关数论与代数几何理论。
Hilbert irreducibility for varieties with a nef tangent bundle
本文证明了具有Hilbert型性质的簇的纤维化性质，并将其应用于研究具有nef切丛的簇上的有理点。
Characteristic classes and Hilbert-Poincaré series for perverse sheaves on abelian varieties
阿贝尔簇上的反常层的卷积幂定义了一个有趣的分支局部系统族，其几何形状仍然知之甚少。我们表明，生成系列的一般秩是一个有理函数的一个非常简单的形状和一个类似的结果举行的对称卷积的权力。我们也给出了公式的其他舒尔函子的特征类的对偶阿贝尔簇，并作为一个例子，我们讨论的情况下，Prym-Tjurin品种。
Non-commutative desingularization of determinantal varieties, II: Arbitrary minors
在我们的论文“非交换的行列式簇的去奇异化，I”中，我们构造并研究了由极大子式定义的行列式簇的非交换分解。在引言的最后，我们断言，结果可以推广到由非极大子式定义的行列式簇，至少在特征零。本文以特征自由的方式证明了一般情况下非交换归结的存在性，并利用特征零中的生成元和关系进行了显式描述。作为我们的结果的应用，我们证明了有界导出范畴的两个典型的（交换）决议的行列式品种之间有一个完全忠实的嵌入，证实了一个著名的猜想Bondal和Orlov在这种特殊情况下。
Local structure of the Hilbert scheme of conics in quintic del Pezzo varieties
本文通过torus作用证明五次德尔皮佐四重域中圆锥的希尔伯特方案是一个维数为7的光滑簇，为之前结论提供更直接的证明。
On the interior motive of certain Shimura varieties: the case of Hilbert-Blumenthal varieties
本文的目的是构造一个Hecke-等变Chow动机，它的实现等于具有非常数代数系数的Hilbert-Blumenthal簇的内（或交）上同调.
Canonical Subgroups over Hilbert Modular Varieties
我们得到了关于正特征的Hilbert模簇的几何以及它们之间的态射的新结果。利用这些结果和刚性几何的方法，我们发展了具有实乘法的阿贝尔簇的标准子群理论。
Hilbert property for double conic bundles and del Pezzo varieties
本文证明了在Hilbert基域上，具有两个锥纤维且纤维具有非零交积的曲面具有Hilbert性质。然后，我们给出了这个结果的一个应用，即某些del Pezzo簇的Hilbert性质的验证。
Hilbert schemes of points of $\mathcal O_{\mathbb P^1}(-n)$ as quiver varieties
在前一篇文章中，给出了Hirzebruch曲面上框架无挠层的模空间的单子实现。我们建立在该结果上，以构造$\mathbb P^1$上的线丛$\mathcal O(-n)$的全空间的点的希尔伯特方案的ADHM数据，对于$n \ge 1$，即，$\frac1n(1,1)$类型奇点的解析。基本上通过实现一个版本的特殊麦凯对应，这ADHM描述反过来又被用来实现这些希尔伯特计划的不可约连接组件的mills品种。我们以这种方式获得的新的例子，不属于Nakajima类型的变种。
Tautological rings of Hilbert modular varieties
我们计算了Hilbert模簇在非分歧素上的重言式环。该方法概括了范德吉尔从西格尔的情况。
On the cohomology groups of local systems over Hilbert modular varieties via Higgs bundles
设$X$是Hilbert模簇，$\mathbb{V}$是$X$上具有无穷单值的非平凡局部系.本文利用Higgs丛的方法研究了上同调群$H^k(X,\mathbb{V})$上的Saito混合Hodge结构。在其它结果中，我们证明了Eichler-Shimura同构，给出了Hodge数的维数公式，并证明了混合Hodge结构在$\mathbb{R}$上是分裂的。这些结果类似于Matsushima-Shimura [Annals of Mathematics 78，1963]中的余紧情形，并补充了Freitag [Book：Hilbert模形式，Springer-Verlag，Berlin，1990]中的常系数结果。
Hilbert curve characterizations of some relevant polarized manifolds
研究了具有低余指数的Fano流形以及具有一般光纤流形的纤维化的Hilbert曲线，并赋予适当的偏振。特别是，所有最相关的品种产生的附加理论的特点是在其希尔伯特曲线。
Curves in Hilbert modular varieties
证明了实乘法阿贝尔簇族的一个有界性定理。更一般地说，我们研究曲线的希尔伯特模品种的角度来看，绿色格里菲斯-朗猜想声称，整个曲线在复杂的射影品种的一般类型应包含在一个适当的子品种。利用全纯叶理理论，建立了Nevanlinna理论的第二主要定理.最后，利用度量方法，我们建立了Hilbert模簇的强Green-Griffiths-Lang猜想，直到有100个可能的例外。
Pathologies of Hilbert scheme of points of supersingular Enriques surface
证明了特征为2的超奇异Enriques曲面上点的Hilbert格式是单连通的辛簇，但不是Hodge数$h^{2,0} > 1$那样的不可约辛，即使超奇异Enriques曲面是不可约辛簇也是如此.这些是只出现在特征2中的变种类，它们表明Göttsche-Soergel的霍奇数公式不适用于特征2。给出了既不是既约辛也不是Calabi-Yau的平凡标准类簇的例子，从而证明了特征为2的平凡标准类单连通簇的种类严格多于Beauville-Bogolomov分解定理所给出的$\mathbb{C}$上的平凡标准类单连通簇的种类.
Automorphisms of punctual Hilbert schemes and symmetric powers of varieties
本文分类了复光滑射影曲面，回答了Belmans等人的问题并扩展相关工作，简化为对称幂自同构研究，给出高维簇对称幂自同构自然的条件，刻画Kodaira维数≥1的曲面并探讨簇由点Hilbert概形确定的问题。
Invariant Hilbert schemes and Wonderful varieties
证明了\cite{BC1}中的不变Hilbert格式是仿射空间。证明依赖于严格的奇妙品种的分类。本文利用形变理论论证，得到了这些不变Hilbert格式的亲和性的无分类证明。因此，我们恢复在一个较短的方式分类严格的精彩品种。这为回答Luna猜想提供了一种新的方法。
Riemann-Hilbert correspondence for unit $F$-crystals on embeddable algebraic varieties
对于特征为$p>0$的理想域$k$上的有限型分离格式$X$，其中允许浸入截断Witt环$W_{n}$上的真光滑格式中，我们定义了在$W_{n}$上的$X$上的具有有限Tor维数的局部非线性生成单位$F$ -晶体的有界导出范畴，与浸入的选择无关.然后证明了该范畴与有限Tor维数的${\mathbb Z}/{p^{n}{\mathbb Z}}$ -模的可构造层的有界导范畴的反等价性.我们还讨论了当$n=1$时，$t$ -结构在这些导出范畴上的关系.我们的结果是由于Emerton-Kisin的单位$F$ -晶体的Riemann-Hilbert对应推广到特征$p>0$中的（可能是奇异的）可嵌入代数簇的情况。
New derived autoequivalences of Hilbert schemes and generalised Kummer varieties
我们证明了对每个光滑射影曲面X和每个$n\ge 2$，沿对角嵌入的前推给出了X^n的导出范畴中的$S_n$ -等变$P^{n-1}$ -函子.利用Bridgeland-King-Reid-Haiman等价，得到了X上n点Hilbert格式的导出范畴的一个新的自等价.在X的典范丛是平凡的且n=2的情况下，这个自等价与已知的由Hilbert格式的边界引起的EZ-球面扭曲相一致。我们还将库默尔曲面上由例外曲线给出的16个球形物体推广到广义库默尔簇上的n^4个正交$P^{n-1}$ -物体。
On the construction of some Buchsbaum varieties and the Hilbert scheme of elliptic scrolls in P^5
本文从$P^n$到$Ω(2)$的结构层的m个拷贝的直和，以及从将$Ω(2)$的截面作为线性线聚的经典几何解释的观点出发，研究了一般丛态射的退化轨迹.我们特别考虑m= 2，3的$P^5$的情况。当n=5，m=3时，通过定义一个从Grassmannian G（2，14）到H的自然有理映射，给出了$P^5$中椭圆法向涡卷的Hilbert概型H的一个显式描述，其结果是具有一般四次纤维的优势.
Fibration theorems for varieties with the weak Hilbert property
本文研究特征零域上簇的弱希尔伯特性质（WHP）及其整数值变体，提出新的纤维化定理，推广了已有结果，并应用于证明HP簇上部分非平凡阿贝尔概形具有WHP。
Arithmetic compactifications of the Hilbert modular varieties and Hilbert modular forms for $Γ_1(c,n)$
我们构造了水平$Γ_1(\mathfrak{c},\mathfrak{n})$的Hilbert模簇的分歧尖点的局部图。这使得我们能够密切关注M。Rapoport和C.- L. Chai，构造这些模簇的算术环和极小紧化。给出了模形式的一些应用。请参阅我们与J. Tilouine的联合工作以了解其他应用。
Hilbert properties of varieties
本文综述了代数簇的希尔伯特性质及其变种的相关研究成果。
Explicit Kodaira-Spencer map over Hilbert modular varieties
本文显式计算 Hilbert-Siegel 模簇和扭曲 Hilbert 模簇上的 Kodaira-Spencer 映射及其对 Hodge 丛度量的影响，推广了 arXiv:2205.11334 的结果。
On the boundary and intersection motives of genus 2 Hilbert-Siegel varieties
研究了全实域$F$上的群$\mbox{GSp}_{4,F}$对应的亏格2 Hilbert-Siegel簇，即Shimura簇$S_K$，以及由$\mbox{GSp}_{4,F}$的不可约表示$V_λ$得到的$S_K$上的交换型相对Chow模$^λ\mathcal{V}$.我们分析了在Baily-Borel紧化的边界上退化的这种动机的权重过滤，并且我们找到了最高权$λ$的准则，该准则表征了相应退化中中间权重0和1的缺失。由于Wildeshaus的理论，这些权重的缺失允许我们在$\mathbb{Q}$上构造Heck-等变Chow动机，其实现等于$S_K$与$V_λ$ -系数的内部（或交叉）上同调。我们给应用程序的建设相关的动机自守表示。
Arithmetic Hilbert modular varieties and forms for $Γ_1(c,n)$
我们首先回顾一下$Γ_1(\mathfrak{c},\mathfrak{n})$级的希尔伯特模簇及其紧化的解析理论。在第一作者构造的Hilbert模簇的紧化上，构造了泛Hilbert-Blumenthal阿贝尔簇（及其纤维积）的算术环紧化.给出了Hodge理论、Hilbert-Jacobi模形式和半整数权的Hilbert模形式的几个应用.
Superspecial Abelian Varieties and the Eichler Basis Problem for Hilbert Modular Forms
设$p$是全实数域$L$中的非分歧素数，使得$h^+(L)=1$ .我们的主要结果表明，$Γ_0(p)$的平行权为2的Hilbert模新形式可以通过经典的θ级数，由Hilbert模空间上的超特殊实乘阿贝尔簇的同构模自然地构造出来。这可以被看作是希尔伯特模形式的Eichler基问题的几何重新解释。
On varieties of Hilbert type
域K上的簇X是Hilbert型的，如果它的有理点集X（K）不是稀疏的.我们证明，如果f：X \to S是K簇的支配态射，且S和S（K）中的纤维f^{-1}（s），s都是Hilbert型的，则X也是.我们应用这个结果回答了Serre关于簇的乘积的一个问题，并推广了Colliot-Th'el' ene和Santiago关于代数群的一个结果.
Diophantine Approximation of non-algebraic points on varieties II: Explicit estimates for arithmetic Hilbert Functions
由于其无效性，通常的算术Hilbert-Samuel公式不适用于丢番图逼近。为了克服这一困难，本文给出了射影空间中闭子簇的算术Hilbert函数的显式估计。
Hard Lefschetz for Chow groups of generalized Kummer varieties
本文的主要结果是广义Kummer簇的Chow群的硬Lefschetz定理。同样的论证也证明了交换曲面的希尔伯特格式的Chow群的硬Lefschetz。因此，我们获得新的信息，某些件的周群的广义Kummer品种，和希尔伯特计划的交换曲面。这些证明是基于Shen-Vial和Fu-Tian-Vial关于乘法Chow-Künneth分解的工作。
The motive of the Hilbert cube
已知光滑射影簇$X$的长度- $3$子格式的Hilbert格式$X^{[3]}$是光滑和射影的。我们研究了在取希尔伯特立方体的情况下，具有乘法Chow-Kuenneth分解的性质是否稳定。这通过考虑映射$X^3 \dashrightarrow X^{[3]}$的显式分辨率来实现。希尔伯特平方的情况在我们以前的工作中得到了照顾。通过阿贝尔簇，给出了具有乘法Chow-Kuenneth分解的簇的典型例子.最近的工作似乎表明，hyperKaehler品种共享相同的属性。粗略地说，如果一个光滑的投射簇$X$有一个乘法的Chow-Kuenneth分解，那么它的幂$X^n$的Chow环有一个过滤，这是期望的Bloch-Beilinson过滤，它是分裂的。
Homogeneous varieties for Hilbert schemes
本文研究了群Z^m上关于（非标准）阶数齐次的仿射簇。在其他性质中，它表明，每一个这样的品种可以嵌入在其Zapriki切空间在原点，使它是光滑的当且仅当它是同构的仿射空间。所得结果直接适用于研究P^n中子簇的Hilbert格式。
Phylogenetic toric varieties on graphs
我们定义了一个三价图的系统发育投影环面模型，作为一个三价系统发育树的二元对称模型的推广。给出了单圈图模型的射影坐标环的生成元.具有相同拓扑不变量的图的系统发育模型是变形等价的，并且具有相同的Hilbert函数.我们还提供了一个算法来计算希尔伯特函数。
Hilbert Schemes and Toric Degenerations for Low Degree Fano Threefolds
对于固定次数的$d\leq 12$，我们研究了次数为$d$的Fano三重光滑的Hilbert格式的反正则嵌入.我们用它来分类所有可能的退化这些品种的复曲面法诺品种在最典型的Gorenstein奇点。
Effective Bounds of Linear Series on Algebraic Varieties and Arithmetic Varieties
本文证明了射影簇上的线丛和算术簇上的埃尔米特线丛的有效截面的有效上界。它们是希尔伯特-塞缪尔公式和算术希尔伯特-塞缪尔公式的有效版本。
Secant varieties to high degree Veronese reembeddings, catalecticant matrices and smoothable Gorenstein schemes
我们研究割线品种的Veronese品种和Veronese再嵌入的一个光滑的投射品种。给出了用行列式方程从集理论上割出这些割线簇的条件。更确切地说，它们是由catalecticant矩阵的子式给出的。这些条件包括投射簇的维数至多为3并且再嵌入的程度足够高的情况。这给出了一个积极的答案集理论版本的一个问题的艾森巴德在维至多3。对于4维及更高维，我们给出了大量的例子，当catalecticant minor不足以从集合理论上定义割线簇到高度Veronese簇时。这是通过将问题与某些零维Gorenstein方案的光滑性相关联来完成的。
Plectic Galois action on CM points and connected components of Hilbert modular varieties
我们扩大Nekovásness的建设plectic半转移定义一个plectic伽罗瓦行动的希尔伯特模簇。更准确地说，我们研究了一个统一的时尚志村品种与不同的群体，只有在中心从$R_{F/\mathbb{Q}}{\rm GL}_2$。我们定义plectic伽罗瓦行动的CM点和一组连接组件的这些志村品种，并表明，这两个行动是兼容的。这扩展了Nekovásny-Scholl的plectic猜想。
Totally nonnegative cells and matrix Poisson varieties
本文明确地描述了实矩阵的完全非负胞腔的可容许的子式族，即在A.波斯尼科夫为了做到这一点，我们与完全非负细胞环面轨道辛叶的泊松品种的复杂矩阵。特别地，我们描述了在辛叶环面轨道上消失的未成年人，我们证明了这样的未成年人族是完全容许的家庭，我们证明了非空的完全非负细胞是辛叶环面轨道与完全非负矩阵空间的交叉点.
A study of the Hilbert-Mumford criterion for the stability of projective varieties
我们做了一个系统的研究的希尔伯特-芒福德标准的不同概念的稳定性极化代数簇$(X,L)$，特别是K-和周稳定性。对于每种类型的稳定性，这导致了一个概念的斜率$μ$的品种和其子计划;如果$(X,L)$是半稳定的，那么$μ(Z)\leμ(X)$的所有$Z\subset X$。我们给出的例子，如曲线，典型的模型和Calabi-Yaus。我们证明各种基本的技术成果对理解相反的，导致部分结果，特别是这给出了一个几何（而不是组合）证明的稳定性的平滑曲线。
Constructing projective varieties in weighted flag varieties
本文计算了广义加权旗簇的Hilbert级数，并讨论了确定其定义方程的计算机辅助方法。我们将所得结果应用于G_2型和GL（6）型李群的加权旗簇，分别构造了余维为8和6的极化投射簇.
Multiplicities of Singular Points in Schubert Varieties of Grassmannians
本文从群论和组合的角度给出了切锥在格拉斯曼Schubert簇X的恒等式上的Hilbert函数的一个封闭公式。我们还给出了一个公式的多重性的X在单位元，和Grobner基础的理想定义交叉的X与相反的细胞作为一个封闭的子品种的相反的细胞。我们给出Hilbert函数和重数在点以外的单位。
Supersingular locus of Hilbert modular varieties, arithmetic level raising and Selmer groups
本文有三个目标。首先，我们将Deuring和Serre关于模曲线超奇异轨迹的刻画的结果推广到全实数域上的全不定四元数代数的所有Shimura簇.其次，我们推广Ribet的算术水平提升的结果，在惰性的情况下，这样的Shimura品种。第三，作为数论的应用，我们利用前面的结果研究了在Bloch-Kato猜想的背景下，椭圆曲线的某些三重积动机的Selmer群。
On generating series of classes of equivariant Hilbert schemes of fat points
在以前的文章中，作者给出了在复拟射影簇的Grothendieck环上，在光滑簇和轨道上的零维Hilbert子格式的类级数的生成公式，并给出了相应环上的幂结构.在这里，我们给出了类似的这些公式的等变（相对于一个行动的有限群的光滑簇）希尔伯特计划的零维子计划和计算一些本地生成系列的行动的循环群在光滑表面上。
Quiver varieties and Hilbert schemes
本文给出了一些Nakajima的类簇的明确的几何描述。更精确地说，我们证明了$Γ$ -等变Hilbert格式$X^{Γ[n]}$和Hilbert格式$X_Γ^{[n]}$（其中$X=\C^2$，$Γ\subset SL(\C^2)$是有限子群，而$X_Γ$是$X/Γ$的最小分解）是仿射Dynkin图的双簇，通过McKay对应，相同的维数向量，但不同的参数$ζ$对应于$Γ$（关于这个方向的早期结果，参见[4，12，13]）。特别地，由此得出变种$X^{Γ[n]}$和$X_Γ^{[n]}$是同形的。计算它们的上同调（在$Γ=\Z/d\Z$的情况下）通过不动点的$(\C^*\times\C^*)$ -行动，我们推导出以下组合的身份：数量$UCY(n,d)$均匀着色的d颜色杨图组成的ND盒与数量$CY(n,d)$的集合d杨图的盒子的总数等于n。
Nested Punctual Hilbert Schemes and Commuting Varieties of Parabolic Subalgebras
已知交换幂零矩阵的各种参数化对是不可约的，这为点Hilbert格式在平面上的不可约性提供了一个证明。我们将这一联系推广到$M\_n(\K)$的抛物子代数的幂零交换簇和准时嵌套Hilbert方案。利用这种方法，我们得到了这些模空间维数的一个下界。我们的特征的数值条件下，他们是不可约的。在某些可约情形下，我们描述了不可约分量及其维数。
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