Review of AdS/CFT Integrability, Chapter VI.2: Yangian Algebra
Alessandro Torrielli
我们回顾了Hopf代数，经典和量子R-矩阵，无限维Yangian对称及其表示的背景下，可积性的N=4与AdS 5xS 5对应的研究。
We review the study of Hopf algebras, classical and quantum R-matrices, infinite-dimensional Yangian symmetries and their representations in the context of integrability for the N=4 vs AdS5xS5 correspondence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Classical Integrability and Super Yangian of Superstring on AdS_5 x S^5
本文讨论了AdS_5 × S^5背景下的IIB型弦论的经典可积性。利用AdS_5 × S^5上超弦的Roiban-Siegel表述，我们仔细地处理了Wess-Zumino项和超对称情形的内在约束条件，并构造了隐藏无限维对称的显式非定域荷.对称性的存在由贝纳-波尔钦斯基-罗伊班证明。然后计算了超Yangian代数。我们还显示了确保结构的Hopf代数的Serre关系。此外，通过构造拉克斯对和转移矩阵，讨论了经典可积性。
Integrability of Smooth Wilson Loops in N=4 Superspace
本文详细研究了平面N=4超Yang-Mills理论中光滑超对称Maldacena-威尔逊圈的Yangian对称性.这种隐藏的对称性扩展了这些观测量的全局超共形对称性。规范协变作用的威尔逊线上的杨根发电机的建立，推广以前的建设上建立的路径变化。利用这些生成元证明了非手征N=4超空间中一般路径在一阶微扰下的Yangian对称性。由于符合极限的发散，一级发生器的双局部部分需要使用调节器。我们进行正则化的点分裂的细节，从而构建额外的本地和边界的贡献，作为正则化的所有一级杨日发电机。此外，检查了第一层的Yangian代数，并建立了与局部kappa-对称性的相容性。最后，杨氏对称性的一致性取决于两个性质：基础超共形代数的对偶Coxeter数的消失和规范场理论的一个新的超空间“G-恒等式”的存在。这就严格限制了可积性可能适用的共形规范理论。
On the Dressing Factors, Bethe Equations and Yangian Symmetry of Strings on AdS3 x S3 x T4
可积性被认为是AdS 3/CFT 2对应于16个超荷的基础。我们阐明在这个可积的框架内的无质量模式的作用。首先，我们找到进入无质量和混合质量世界表S矩阵的修饰因子。其次，我们导出了闭弦的全圈Bethe方程，确定了它们的对称性和弱耦合极限。第三，我们研究了无质量扇区中的基本杨安对称性，并表明它符合杨安可积性的一般框架。此外，我们比较我们的S矩阵在近相对论极限与最近的微扰世界片计算的Sundin和Wulff。
Yangian Symmetry of Long-Range gl(N) Integrable Spin Chains
在平面AdS/CFT对应的背景下出现了一种有趣的自旋链类型：它基于可积的最近邻自旋链，并且它被长程相互作用微扰变形，这显然保持了可积结构。类似的模型可以通过要求仅存在一个守恒的局部电荷来构建。虽然后者不是一个充分的可积性条件一般，模型往往显示令人信服的迹象完全可积性。在这里，我们考虑一类长程自旋链的自旋变换在gl（N）的基本表示。对于最一般的具有一个守恒局部电荷的模型，我们构造了一个守恒的Yangian生成元，并证明了它服从Serre关系。因此，我们提供了一个正式的证明这类模型的可积性。
Yangian Symmetry and Integrability of Planar N=4 Super-Yang-Mills Theory
本文建立了平面N = 4超杨-米尔斯理论的杨对称性。我们证明了该模型的经典运动方程在Yangian生成元的作用下是封闭的。此外，我们提出了一个离壳扩展我们的声明，这是等价的不变性的行动，并证明它是完全满足的。我们断言，我们的关系作为一个标准的可积性在平面规范理论明确检查，它适用于可积ABJM理论，但不适用于不可积N = 1超杨-米尔斯理论。
Comments on Higher Loop Integrability in the $su(1|1)$ Sector of $\cal N$=4 $SYM$: Lessons From the $su(2)$ Sector
本文从Yangian对称性的观点分析了$\cal{N}$ =4 $SYM$的$su(1|1)$扇区中的两圈可积性.进行分析的扩张算子的标度限制，这被证明有一个明显的$su(1|1)$不变性。将伸缩算子的标度极限嵌入到一般的（类Inozemtsev）可积长程超对称自旋链中后，证明了双圈伸缩算子的微扰Yangian对称性.给出了双圈规范理论转移矩阵和杨吉荷的显式公式。与最近的结果进行了比较快速运动的字符串在同一部门的有效哈密顿量。除此之外，还介绍了Beisert、Dippel、Serban和Staudacher在$su(2)$领域的相应结果。
A dictionary between R-operators, on-shell graphs and Yangian algebras
我们之间的转换不同配方的杨不变量相关的树级散射振幅的计算在N=4超杨-米尔斯理论。虽然R-算子公式允许将散射振幅与从可积性中已知的结构相关联，但它同样可以与由壳上图编码的排列相关联。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.3: The dressing factor
我们回顾了AdS/CFT敷料因子的构建，其分析性质及其有效性的几个检查。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter IV.1: Aspects of Non-Planarity
我们回顾的作用，可积性在某些方面的N=4 SYM超越了平面谱。特别地，我们讨论了与非平面反常维数、多点函数和Maldacena-威尔逊圈有关的可积性。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.6: Thermodynamic Bethe Ansatz
本章的目的是介绍在教学方式的概念热力学贝特Anchor设计计算有限体积可积系统的能级，并审查它是如何应用在平面AdS/CFT设置。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.7: Hirota Dynamics for Quantum Integrability
本文综述了可积离散Hirota动力学（Y-系统）在平面AdS/CFT谱计算中的应用。我们从描述Hirota方程的Backlund方法的解开始，其中对解析性的要求导致嵌套的Bethe不等式方程。然后讨论了Hirota动力学在AdS/CFT Y-系统中长算子渐近极限分析中的应用。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter V.1: Scattering Amplitudes - a Brief Introduction
本文综述了超对称规范理论中多腿多圈壳层上散射振幅的有效构造方法。最大超对称杨-米尔斯理论在四维的例子包括在内。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter IV.4: Integrability in QCD and N<4 SYM
越来越多的证据表明，QCD（以及一般的四维规范理论）具有一种隐藏的对称性，这种对称性并不表现为经典拉格朗日的对称性，而只是在量子水平上被揭示出来。在这篇综述中，我们考虑了局域规范不变算符的标度依赖性和散射振幅的高能（Regge）行为，以解释这两种情况下的有效QCD动力学都是由完全可积的可积系统描述的，这些系统被证明与著名的海森堡自旋链及其推广有关。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter II.1: Classical AdS5xS5 string solutions
我们回顾AdS 5xS 5中经典弦解的基本例子。我们集中在最简单的刚性封闭弦解决方案的圆形或折叠型所描述的可积1-D诺依曼系统，但也提到各种推广和相关的开弦解决方案。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter II.3: Sigma Model, Gauge Fixing
这篇评论致力于AdS5xS5超弦理论的经典可积性。它开始于作为陪集模型的相应动作的提醒。这个行动的对称性，然后审查。经典的可积性，然后考虑从拉格朗日和哈密顿的观点。本文的第二部分论述了这一理论的规范固定。最后，对纯旋量公式的某些方面也作了简要的评述。
Yangian Symmetry of String Theory on $AdS_3 \times S^3 \times S^3 \times S^1$ with Mixed 3-form Flux
我们发现了IIB型超弦在具有Ramond-Ramond和Neveu-Schwarz-Neveu-Schwarz混合流的$AdS_3 \times S^3 \times S^3 \times S^1$上的可积性的杨氏对称性。Yangian的抽象对易关系通过RTT实现来制定，而其矩阵实现则取决于Wess-Zumino项的量化系数的评估表示。该构造自然地编码了世界面散射矩阵的秘密对称性，该矩阵的生成器将不同的杨格水平映射到彼此。我们表明，在大的有效弦张力极限的杨成为一个酉圈代数的变形，我们推导出其普遍的经典r-矩阵。
A Yangian Double for the AdS/CFT Classical r-matrix
我们表示经典的r-矩阵的AdS/CFT的张量积涉及一个无限的家庭的发电机，它采取的形式暗示的普遍表达从一个杨双。这应该提供了一个洞察的结构的无限维对称代数的基础上的可积性的模型，并给出了一个线索，其通用的R-矩阵的建设。我们推导出这些新的生成元的代数关闭的交换关系。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter V.3: Scattering Amplitudes at Strong Coupling
本文综述了强耦合下平面极大超对称Yang-Mills系统散射振幅的计算。通过使用AdS/CFT对偶，问题归结为AdS上某些极小曲面的面积的计算。然后，可以有效地使用该模型的可积性，以给出一组积分方程的问题的答案。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter IV.2: Deformations, Orbifolds and Open Boundaries
本文综述了除N=4 SYM外，可积性在四维超共形规范理论平面谱问题中的作用。所考虑的情况包括N=4 SYM的Leigh-Strassler边缘变形，AdS 5xS 5在双引力侧的轨道折叠理论，以及涉及开自旋链的各种理论。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter I.3: Long-range spin chains
在这篇文章中，我们简要地回顾了最近的发展在长程可积自旋链理论。这些自旋链构成了一个自然的推广，充分研究可积最近邻链，并特别相关的可积性在AdS/CFT对应，因为在渐近区域的扩张算子被证明是一个可积的长程psu自旋链的哈密顿量。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter VI.1: Superconformal Symmetry
综述了与AdS/CFT对偶性和可积性有关的D=4，N=4超共形对称性的一些方面.其中包括李超代数psu（2，2| 4），它的表示，共形变换和关联函数在N=4超杨-米尔斯理论以及说明的AdS 5 × S 5超空间上的对偶弦论制定。
Higher Spins and Yangian Symmetries
详细地建立了玻色高自旋${\cal W}_\infty[λ]$代数、$\mathfrak{gl}_{1}$的仿射Yangian和SH $^c$代数之间的关系.对于一般的$λ$，我们发现明确的表达式为低的${\cal W}_\infty[λ]$模式的仿射杨格生成器，并从中推导出精确识别之间的$λ$和仿射杨格的参数。此外，对于对应于$λ=0$和$λ=1$的自由场情形，我们给出了仿射Yangian生成元在自由场下的封闭形式表达式.有趣的是，${\cal W}_\infty$模式和仿射杨格的模式之间的关系是一个非局部的，在一般情况下。我们还建立了仿射Yangian和SH $^c$生成元之间的显式字典。鉴于杨代数是可积性的标志，这些鉴定应该铺平道路，揭示可积和更高的自旋对称性之间的关系。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter II.2: Quantum Strings in AdS5xS5
我们回顾了弦的半经典分析AdS 5xS 5的重点是潜在的可积结构的关系。我们讨论了大电荷弦的能量的微扰计算，使用折叠弦在AdS 5的AdS 3子集中旋转作为我们的主要例子。此外，我们还回顾了弦论的微扰光锥量子化和世界片S-矩阵的计算。
Yangian Symmetry in N=4 super Yang-Mills
本文综述了N=4超Yang-Mills理论中对称性的最新结果。对称性对于研究和限制散射振幅有着不可估量的帮助，近年来这方面的研究取得了很大的进展。人们已经认识到，普通的超共形对称性并不是这个理论的完全对称性。确实存在一个对偶超共形对称，它们一起形成了一个扬格结构，指出了理论的潜在可积性。在这里，我们给出了一个概述的杨代数和它的行动上的散射振幅，在树和循环的水平。这篇文章是《高能物理进展》2011年焦点问题“规范/弦对偶性”的特邀评论。
Massive Integrability: From Fishnet Theories to Feynman Graphs and Back
本文综述了费曼积分的杨氏对称性的大量推广。我们说明了一个大规模的渔网理论定义为一个双标度极限的库仑分支N=4 SYM理论的关系。
A Shortcut to General Tree-level Scattering Amplitudes in N=4 SYM via Integrability
我们结合最近的应用程序的二维量子逆散射方法的散射振幅的问题，在四维N=4的超级杨-米尔斯理论。可积性使我们能够获得一个通用的，明确的方法，推导出的杨不变量相关的树级散射振幅在N=4的模型。
Integrability for Feynman Integrals
本文概述了Feynman积分的Yangian对称性，通过AdS/CFT的fishnet极限探讨可积结构的出现，讨论了相关微分方程及其推广，并揭示了Yangian不变量与Calabi-Yau几何周期积分的对应关系。
Yangian Symmetry Escapes from the Fishnet
研究经典双标量和超对称鱼网模型的Yangian对称性及其在平面关联函数中的应用，发现特定参数模式下经典实现，但量子关联函数中不保持对称性，指出非零对偶 Coxeter 数阻碍量子Yangian对称性及平面QFT完全可积性。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter I.1: Spin Chains in N=4 Super Yang-Mills
在“AdS/CFT可积性综述”这一章中，我们引入了N=4的超级Yang-Mills。讨论了全局超代数PSU（2，2| 4）及其对规范不变算子的作用。然后，我们讨论了某些规范不变算子，即所谓的单迹算子在大N极限的计算。我们表明，在规范理论的相互作用导致混合的运营商。我们计算这种混合在一个循环的水平，并显示问题映射到一个一维的自旋链与最近邻相互作用。对于SU（2）扇区中的算符，我们证明了自旋链是铁磁海森堡自旋链，其本征值由Bethe方程确定。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.1: Bethe Ansätze and the R-Matrix Formalism
一维Heisenberg XXX自旋链出现在AdS/CFT可积系统的一个特殊极限中。我们回顾了证明其可积性的各种方法，并讨论了相关的解决方法。特别是，我们概述了坐标和代数贝特anasteries，参考文献适合学习这些技术。最后，我们推测哪种方法可能提升到AdS/CFT系统的精确解，并勾勒出一个有前途的方法来构造XXX链的Baxter Q-算子。它允许使用某些代数技术找到模型的谱，同时完全避免了贝特的不确定性。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.4: Twist states and the cusp anomalous dimension
我们回顾了用渐近Bethe方法计算N=4 SYM平面极限下扭曲算子的反常维数，并演示了如何在弱、强和中间值的耦合常数下得到这个量.扭曲运营商的限制大洛伦兹自旋的异常尺寸发挥了重要作用的建设以及在许多测试的渐近贝特方程，这方面的故事是强调。
Yangians, S-matrices and AdS/CFT
这篇评论是为了是一个帐户的无限维量子群（具体来说，杨）对称性背后的AdS/CFT谱问题的可积性。顺便说一句，机会是给一个简明的选集的基本事实有关杨格和可积系统，并存储一系列的评论，意见和证据，作者收集了五年的跨度研究的问题。我们希望这个练习将有助于将来在场论和弦论中研究杨氏，不管有没有超对称性。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter IV.3: N=6 Chern-Simons and Strings on AdS4xCP3
本文在AdS 4xCP 3的背景下，讨论了N=6超共形三维Chern-Simons理论和IIA超弦理论的对偶性和可积性.我们介绍了这两种模型，并描述了它们的自由度是如何映射到一个长程可积自旋链的激发。最后，我们讨论了Bethe方程的性质，S-矩阵和代数曲线，这是特殊的对应，并不同于N=4 SYM理论和弦的情况下，在AdS 5xS 5。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter V.2: Dual Superconformal Symmetry
平面N=4超Yang-Mills理论的散射振幅显示出一种显著的对称结构。除了超共形对称的拉格朗日理论，平面振幅表现出双重超共形对称。这种额外的对称性的存在对振幅施加了很强的限制，并且与将散射振幅与定义在多边形光状轮廓上的威尔逊圈相关的对偶性有关。超共形对称和对偶超共形对称的结合产生了一个杨格数，一种已知与该理论其他领域中可积性的出现有关的代数结构。我们讨论了对称性的两个对偶公式，并讨论了其不变量的分类。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter II.4: The Spectral Curve
我们回顾了AdS 5xS 5中经典弦的光谱曲线。AdS 5xS 5弦的经典可积性意味着存在一个平坦的连接，其单值性产生一组无限的守恒电荷。谱曲线是由monodromy矩阵的特征值--准动量构成的，每个有限间隙经典解都可以用这样的曲线来表征。这为经典解空间提供了简洁而有力的描述。此外，弦的半经典量子化可以用准动量来表示。我们回顾了半经典量子化的一般框架，在这种情况下，它与循环弦的解决方案，这是在AdS 5xS 5的RxS 3上支持。
The SAGEX Review on Scattering Amplitudes, Chapter 9: Integrability of Amplitudes in Fishnet Theories
我们讨论了散射振幅的共形双标量渔网理论，以前出现在$\mathcal N=4$ SYM的可积变形的研究中的属性。与后一种理论不同的是，共形渔网理论中的散射振幅不受红外发散的影响，并具有增强的对称性。我们证明了，对于最简单的四粒子散射的单和双迹部分振幅可以计算任意耦合的主导色近似。我们还回顾了在无限维Yangian对称性下，多粒子渔网振幅的单迹分量在主导色极限中的不变性。
Yangians in Deformed Super Yang-Mills Theories
我们讨论了变形的四维N=4的超Yang-Mills理论的可积性结构。我们采用Beisert和Roiban最近的方法，推广了Lunin和Maldacena的β变形，产生了N=1超共形规范理论，它具有超代数SU（2，2| 1）xU（1）xU（1）.变形的理论，包括那些具有更一般扭曲的理论，被证明保留了它们的可积结构。在这里，我们研究这些变形理论的杨代数。在一个五域的子扇区中，我们计算了SU（2）xU（1）xU（1）xU（1）和SU（2| 1）xU（1）xU（1）作为SU（2，2）的剩余对称|1）xU（1）xU（1）.我们计算这些理论的扭曲的余积，并表明，只有剩余的对称性，我们保留标准的余积。扭曲的余积因此提供了对称性破缺的方法。然而，SU（2）的完整杨安结构|3）是体现在我们的子部门，虽然扭曲的余积，并提供了理论的可积性。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.5: Luscher corrections
在可积量子场论中，大体积谱由Bethe Anglerian给出。由于虚拟粒子在圆柱体周围循环，导致的主要校正被编码在所谓的Luscher校正中。为了将这些技术应用于AdS/CFT对应，必须将这些修正推广到一般色散关系和多粒子态的情况。我们回顾这些不同的推广和应用Luscher的更正的研究世界表QFT的超弦在AdS 5xS 5，因此，异常尺寸的运营商在N=4 SYM理论。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter I.2: The spectrum from perturbative gauge theory
本文用显式Feynman图计算的方法，在平面极限下，讨论了N=4 SYM的味SU（2）子扇区中的伸缩算子和复合算子谱的构造和检验，重点讨论了单圈以外的分析.从四个循环上，扩张算子确定的频谱仅在渐近制度，即一个循环的顺序，这是严格小于复合算子的基本字段的数量。我们还审查的计算，其中采取了第一步超越这一限制，包括领先的包装校正。
$gl(n|m)$ color Calogero-Sutherland models and Super Yangian Algebra
基于Yangian的$Y(gl(n|m))$，考虑了彩色Calogero-Sutherland模型的超对称扩展.详细讨论了该模型的代数结构。我们证明了超量子行列式可以产生对易守恒量，从而建立了模型的可积性。此外，还研究了该模型在Yangian对称退化为超圈代数时的有理极限。
Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.2: Exact world-sheet S-matrix
我们回顾了在AdS 5xS 5背景下平面N=4超对称Yang-Mills理论和IIB超弦理论的S-矩阵的推导。在基于坐标Bethe变换在单圈水平上导出su（2）和su（3）扇区的S-矩阵之后，我们展示了su（2）如何|（2）对称性导致了S-矩阵的精确渐近性，直到一个整体标量函数。然后，我们简要地回顾了光谱的束缚态有关这些国家的简单极点的S-矩阵。最后，我们回顾了渐近Bethe方程的推导过程，它可以用来确定渐近多粒子谱。
Massive Conformal Symmetry and Integrability for Feynman Integrals
在平面全息的背景下，可积性对于求解某些无质量的量子场论（如N=4 SYM理论）起着重要的作用。在这封信中，我们表明，可积性也功能的大规模量子场论的基石。在单圈阶，我们证明了所有的大规模的n边形费曼积分在一般的时空维度下是不变的一个大规模的杨氏对称。在两个循环中，类似的陈述可以被证明是由两个n-n构成的图。在一般的循环顺序，我们推测，所有的图切割的平面上的大规模传播的边界上的定期平铺不变。我们支持这一猜想的一些数值测试更高的循环和腿。观测到的Yangian扩展了十年前在N=4 SYM理论的库仑分支上发现的大质量对偶共形对称的玻色子部分。通过将杨维一级生成元从对偶空间转化到原动量空间，我们引入了动量空间共形对称的一个大规模推广。即使对于非对偶的保形积分，这种新颖的对称性仍然存在。因此，Yangian可以被理解为大质量对偶共形对称的闭合和这种新的大质量动量空间共形对称，这表明了通过AdS/CFT的解释。作为我们的研究结果的应用，我们引导超几何积木的例子，大量的费曼积分。
Grassmannian Integrals in Minkowski Signature, Amplitudes, and Integrability
本文试图从可积性出发，系统地导出四维平面最大超对称杨-米尔斯理论中的树能级散射振幅。我们首先回顾可积自旋链之间的联系，杨不变性，和建设这样的不变量的格拉斯曼轮廓积分。基于这些结果，我们装备一类格拉斯曼积分一般对称代数酉积分轮廓。通过特别注意代数的适当现实条件，这些轮廓就会自然出现。专门针对PSU（2，2| 4）和极大超共形对称的Minkowski空间中，我们发现在一些例子的表达式类似，但微妙的不同微扰物理散射振幅。我们的研究结果表明，一个微妙的突破杨不变性后者，与好奇的影响，他们的建设可积性。
Separation of variables in the quantum integrable models related to the Yangian Y[sl(3)]
由于量子可积性没有精确的定义，变量的可分性可以作为它的实际替代。对于由Yangian Y[sl（3）]生成的任何量子可积模型，构造满足"量子特征方程“（L算子的谱代数曲线的量子对应物）的正则坐标和共轭算子。构造的坐标提供了变量的局部分离。列出了变量的全局分离发生所必需的条件。
Integrability and Canonical Structure of d=2, N=16 Supergravity
给出了d=2，N=16超引力的正则表达式.给出了N=16的超对称生成元（包括所有高阶旋量项）和超共形约束代数。然后，我们描述了与经典运动方程的仿射E_9对称性相关的守恒非局域电荷的构造。这些费用显示弱交换与超对称性的限制，因此与所有其他的限制。在对易下，它们合为Yangian型的二次代数，形式上与玻色理论的二次代数相同。证明了E_9对经典解的Lie-Poisson作用。我们的研究结果的进一步影响进行了讨论。
Gauge Theory and Boundary Integrability
本文研究了Costello，Witten和Yamazaki在轨道折叠$(Σ\times{\mathbb C})/{\mathbb Z}_2$上的混合拓扑/全纯Chern-Simons理论，得到了边界存在时格可积系统的一个描述.通过对$\hbar$的一阶计算，我们得到了与有理拟经典$R$ -矩阵相关的$K$ -矩阵的渐近性质的一个公式. $Σ\times {\mathbb C}$上的${\mathbb Z}_2$ -作用固定了一条线$L$，并且$L$上的线算子被显示为用扭曲杨格线的表示来标记。这样的线运营商的OPE与威尔逊线的散装示出给扭曲Yangian的余积。给出了边界杨-巴克斯特方程的$RTT$表示中Sklyanin行列式的规范理论实现及相关条件.
Aspects of Integrability in N =4 SYM
最近发展的各种四维超对称杨-米尔斯理论与二维可积系统之间的联系是提高我们对AdS/CFT对应的理解的关键因素。本文着重介绍超共形四维Yang-Mills理论与各种可积系统之间的联系。特别是，我们专注于研究闭合弦激发的规范理论对偶中的扬安对称性的作用。我们还简要地回顾了规范理论如何连接到Calogero模型和开放的量子自旋链，通过研究的规范理论的D3膜和开弦结束。这篇为《现代物理学快报A》撰写的特邀评论是基于普林斯顿高等研究院的一次研讨会。
Lectures on Yangian Symmetry
在这些介绍性讲座中，我们从不同的角度讨论了Yangian对称性的主题。形成的经典对应的Yangian和普通的诺特对称性的延伸，首先在经典的，二维场论的非局部电荷的概念进行了审查。然后，我们定义的杨代数Drinfeld的原始动机，以构建解决方案的量子杨巴克斯特方程。讨论了Yangian的不同实现及其作为Hopf代数和量子群的数学作用。我们演示了如何在量子，二维场论和它的发电机是如何重整化的Yangian代数。研究了杨氏对称性对二维散射矩阵的影响。我们还考虑了可积自旋链上实现的离散杨氏对称性的重要情况。最后，我们简要介绍了平面四维超杨-米尔斯理论中的杨对称性，并指出了它对伸缩算子和树能级散射振幅的影响。这些讲座说明了几个例子，特别是二维手征Gross-Neveu模型，海森堡自旋链和N=4超共形杨米尔斯理论在四维空间。这篇评论来自杜伦大学（英国）青年研究人员可整合性学院的讲座。
The classical Yangian symmetry of Auxiliary Field Sigma Models
本文研究了在广泛类别的可积西格玛模型及其辅助场变形中，变形荷及其杨代数结构的系统组织原则，通过推广BIZZ递归过程生成非本地荷，并给出其满足杨代数的充分条件，发现所有情况下均存在杨代数和Maillet括号结构，从而统一解释了在广泛变形的西格玛模型中哈密顿可积性和杨代数对称性的持续性。
An Integrability Primer for the Gauge-Gravity Correspondence: an Introduction
我们介绍了一系列的文章，审查有关的AdS/CFT对应的可积模型的各个方面。在这些评论涵盖的主题是：经典的可积性，Yangian对称性，因子化散射，Bethe anomaly，热力学Bethe anomaly，和可积结构（共形）量子场论。在本文中，我们将重点介绍这些概念在AdS/CFT中的应用，并简要概述本系列中包含的材料。
Hybrid classical integrability in squashed sigma models
我们证明了SU（2）_L Yangian对称和q-变形SU（2）_R对称在定义于三维压缩球上的二维西格玛模型中得以实现。这些对称性使我们能够发展两种描述来描述它的经典动力学，1）有理描述和2）三角描述。前者1）基于SU（2）_L对称性，后者2）基于SU（2）_R对称性破缺。以两种方式构造的每一个拉克斯对都导致相同的运动方程。这两种描述通过非局部映射相互关联。
The SAGEX Review on Scattering Amplitudes, Chapter 1: Modern Fundamentals of Amplitudes
本章介绍了散射振幅的基本要素。它的目的是让读者只对量子场论有基本的了解。涵盖的主题包括：四维旋量螺旋度形式和Yang-Mills散射振幅的色分解; Yang-Mills和重力振幅的软极限和共线极限的研究; BCFW递归关系和广义么正性，以及$\mathcal{N}{=}4$超对称Yang-Mills的超级振幅形式;概述了$\mathcal{N}{=}4$超对称Yang-Mills的$S$ -矩阵的标准对称性和隐对称性，如共形对称性、对偶共形对称性和Yangian对称性;并对Yang-Mills理论中保护算子和非保护算子的形状因子作了简要的说明。还提供了几个例子和明确的计算。
Massive Fishnets
最近，大量的费曼积分的无限家庭被发现具有意想不到的杨安对称性。在无质量的情况下，类似的可积性性质可以通过将单个费曼积分解释为古尔多坎和卡扎科夫引入的无质量渔网理论中的扩张子来理解。在这里，我们寻求一个类似的解释，可积性的大量费曼积分。我们对比两种方法来定义简单的大质量量子场论在四维空间。首先，我们讨论了无质量双标量渔网理论中的自发对称性破缺。然后，我们提出了一个替代路线，一个大规模的渔网理论采取双标度极限的N=4 SYM理论的库仑分支。这两种方法都导致了无质量渔网理论的大规模扩展，不同之处在于质量如何进入传播子。在后一种理论中，平面离壳振幅与那些在杨格下被证明是不变的大质量费曼积分是一一对应的。这表明重新调查库仑分支N=4 SYM理论的可积性。最后，我们证明了在自发对称性破缺的情况下，原来的共形对称性导致软定理的散射振幅在破碎的阶段。
Review of AdS/CFT Integrability: An Overview
这是AdS/CFT通信背景下的可积性综述集的介绍性章节。在收集中，我们提出了截至2010年这一主题的成就和地位的概述。
Classical integrability of Schrodinger sigma models and q-deformed Poincare symmetry
讨论了以三维薛定谔时空为目标空间的二维西格玛模型的经典可积结构。薛定谔时空被看作AdS_3的类零形变。由于变形，原始AdS_3等距SL（2，R）_L × SL（2，R）_R被破坏为SL（2，R）_L × U（1）_R。根据这一对称性，系统的经典动力学有两种描述：1）SL（2，R）_L描述和2）增强U（1）_R描述。在前1）中，我们证明了通过改进SL（2，R）_L Noether流实现了Yangian对称性。然后利用改进的流构造了一个拉克斯对，并通过推导r/s-矩阵代数证明了经典可积性.在后2）中，我们利用变形AdS_3的一个标度极限找到了一个非局部流，它将U（1）_R增强为一个q-变形的Poincare代数。然后给出了另一个拉克斯对，并计算了相应的r/s-矩阵.这两种描述通过非局部映射是等价的。
Integrability of the AdS_5 x S^5 superstring and its deformations
本文综述了可积性在AdS_5 × S^5上弦谱问题及其变形中的应用。我们开始与教学的介绍，最终在其有限体积光谱的描述，通过热力学贝特分析的可积场论。接下来，我们将这些思想应用于AdS_5 × S^5弦，并在后面的章节中讨论如何考虑特殊的可积变形。通过AdS/CFT对应，这给出了平面N=4超对称杨-米尔斯理论中单迹算子的反常标度维数的精确描述，它的“轨道折叠”，以及β和γ变形的超对称杨-米尔斯理论。我们还触及了这些变形理论中出现的一些微妙之处。此外，我们考虑了su（2）扇区中的复杂激发态（束缚态），并给出了它们的热力学Bethe近似描述。最后，我们讨论了AdS_5 × S^5超弦S-矩阵的量子形变的热力学Bethe不等式，它与Pohlmeyer约化弦论有密切的关系，并简要地指出了这一领域的最新发展。
One-point functions in AdS/dCFT: MPS and twisted Yangian
本文研究 D5-D3 探针膜系统对偶缺陷场论中的标量单点函数，将其计算映射为矩阵乘积态与 Bethe 态的重叠，并证明矩阵乘积态满足扭曲边界 Yang-Baxter 方程，为探针膜系统及非平衡系统研究提供新方法。
The S-matrix algebra of the AdS2 X S2 superstring
在本文中，我们找到了负责AdS 2 × S2 × T^6超弦在平面极限中的可积性的杨代数。我们证明了相应的精确S-矩阵的对称性在大规模部门，包括存在的秘密对称性。我们给出了两种不同的介绍的霍普夫代数，以及相关的讨论问题的评价表示。我们研究了经典的r-矩阵，并重新发现了一个秘密的对称性，也在这种情况下的需要。最后，将简化的S-矩阵的零耦合极限作为代数Bethe矩阵的生成R-矩阵，得到了周期自旋链上自由费米子的有效模型。这个极限应该能为神秘的超共形量子力学的单圈反常维度提供线索，它是这种几何中超弦理论的对偶。
Manin matrices and Talalaev's formula
研究了一类特殊的非交换矩阵，并证明了它们在可积系统理论中的各种应用。他们出现在Yu。Manin在87-92年的作品作为多项式环之间的线性同态;更明确地说，他们读：1）在同一列的元素交换; 2）交叉项的交换子是相等的：$[M_{ij}, M_{kl}]=[M_{kj}, M_{il}]$（例如$[M_{11}, M_{22}]=[M_{21}, M_{12}]$）。我们声称，这样的矩阵行为几乎以及矩阵与交换元素。即线性代数的定理（例如，行列式的自然定义、凯莱-汉密尔顿定理、牛顿恒等式等等）对它们成立。另一方面，我们注意到这样的矩阵在量子可积性理论中是普遍存在的。例如，Manin矩阵（及其q-类似物）包括满足杨-巴克斯特关系“RTT=TTR”的矩阵和所谓的Cartier-Foata矩阵。此外，他们进入Talalaev的hep-th/0404153显着的公式：$det(\partial_z-L_{Gaudin}(z))$，“量子谱曲线”的$det(1-e^{-\p}T_{Yangian}(z))$等。我们证明了线性代数的定理，在建立了这类矩阵之后，对量子可积系统和李代数有各种应用，例如在$Z(U(\hat{gl_n}))$中构造新的生成元（一般来说，在量子守恒定律的构建中），在Knizhnik-Zamolodchikov方程中，以及在Wick排序问题中。我们还讨论了分离变量问题，新的Ca…
Integrable systems, separation of variables and the Yang-Baxter equation
本文以作者的博士论文为基础，综述了近年来量子可积性领域的最新进展，特别是高阶可积自旋链的分离变量（SoV）程序和求解Yang-Baxter方程的boost机制。我们首先概述了量子可积系统，特别强调其描述的量子代数。然后，我们提供了一个详细的帐户Yangian的$\mathfrak{gl}(n)$特别是贝特代数，融合，T-和Q-系统。然后，我们引入分离变量的概念，在可积系统和Sklyanin的工作秩1模型和扩展到更高的秩。通过利用SoV和量子代数表示理论之间的一种新的联系，我们构造了$\mathfrak{gl}(n)$自旋链的分离变量，用于对称代数的任意紧致表示，并开发了各种新的工具。接下来，我们在前一部分的基础上开发了一种新的技术，用于在SoV框架中计算标量积，我们称之为Functional SoV或FSoV。与前一部分的工作不同，这一方法是基于Baxter TQ方程的。开发这种技术后，我们补充它与一个新的运营商建设提供一个统一的功能和操作的SoV的视图。然后，我们将前一部分的结果从紧自旋链推广到非紧自旋链。这项工作的最后一部分是基于解决杨-巴克斯特方程的工具的发展。我们开发了一个自底向上的方法，这是基于所谓的Boost自同构，并使用自旋链哈密顿量作为起点。我们的方法使我们能够对许多家庭的解决方案进行分类，特别是一个完整的分类4 × 4的解决方案，保留费米子数，在AdS/CFT对应…
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